Le er et leur hauteur 2, sera =: 13 ainsi

S=—;(2+6)2 —8, P—92—+0.0p/1<1— 7,656; substituant ces valeurs dans la formule 3, nous obtien-

drons

D=— 0,0892 + [2756 PL Us 0,001 | = 2,0359;

et, par suite, Q — 8 X 2,0379 — 16,303. La vitesse dans un tel canal sera donc de 2",038 par seconde et la dépense dans le même temps de 16 mètres cubes, plus 303 décimètres cubes.

En négligeant le terme 0,0011 sous le radical, nous eussions obtenu

valeurs qui différent très-peu des précédentes. Les formules des grandes vitesses (6) nous auraient donné

0,0015 X 8] = ESC nl En 2,0191,

19. La détermination de la pente p qu’on doit donner à un Canal dont toutes les autres dispositions sont déterminées s'effectue au moyen de l'équation (1) : nous reproduirons pour exemple le calcul de la pente du canal de l’Ourcq donné par M. D’Aubuisson.

« On avait à disposer de 3%, 0188 d’eau par seconde ; la navigation qu’on y projetait exigeait une profondeur d’eau de 1", 50 ; et pour que l’eau ne s’altérât pas, au point de devenir impropre au service des fontaines de Paris, il lui fallait une vitesse de o®, 35 au moins; la nature du terrain permettait de ne donner aux talus que 1 ? de base sur 1 de hauteur.

» Onaici Q —=3,0188; v = 0°,35; À = 1,50 ; et

t— 1,50. De plus, d’après les données du problème, S est connu, car

6 le sera aussi, car de l'expression S — (e - 1h) k(n° 2) on déduit

S— th?

STE 5p ; 8625 — 1,50 (50) 3,50:

par suite on aura encore

P—etohl/2 T1 — 8,908.

D'après cela, l'équation générale P P = 0,0005055 S (v° + 0,06658 v),

en y substituant les quantités numériques , donne P — 0°,00005502; c'est la pente indiquée par les formules.

» M. Girard, ingénieur chargé du tracé du canal, est arrivé à un résultat à peu près pareil. Mais il a fait observer avec raison, que les plantes aquatiques qui croissent sur le fond et sur les berges des canaux, augmentent considérablement le périmètre mouillé, et par suite la résistance : il a rappelé que Dubuat ayant mesuré la vitesse de l’eau dans le canal du Jard, avant et après la coupe des roseaux dont il était garni, avait trouvé un résultat bien moindre ayant qu'après. En conséquence, il a presque doublé la pente donnée par le calcul, et il l’a portée à 0,0001056 : la longueur du canal étant de 96000 mètres, c’est 10,14 de pente absolue. »

13. Les exemples que nous venons de donner montrent suffisamment la marche qu'on doit suivre pour déterminer l’inconnue du problème dans l’établissement d’un canal lorsqu'il n’y en a qu’une, mais le plus ordinairement les seules quantités données sont p et Q, ou la pente et la dépense, et il s’agit de choisir la forme de la section qui peut remplir le plus convenablement l’objet qu’on a en vue. Pour les canaux creusés dans les terres, il est essentiel de tenir les berges inclinées, car sans cela elles ne pourraient se soutenir et s’ébouleraient, aussi la figure du trapèze est celle qui est généralement adoptée, et on donne aux berges une inclinaison de 34° au plus à l’horizon. Supposons donc qu’on ait une dépense de 3 mètres cubes d’eau et qu'il s'agisse de construire un canal dont la pente soit o",oo11 et le talus 1,50, les quantités à déterminer sont la largeur et la hauteur de la section. Or, de tous les trapèzes qu’on peut choisir pour la section, celui dont la surface est la plus grande et Le périmètre mouillé le plus petit est le

plus avantageux, puisque la résistance que l’eau éprouve à se mouvoir est en raison directe du périmètre et en raison inverse de la section (n° 8); ce trapèze le plus avantageux a sa largeur moyenne, ou la demi-somme de ses bases parallèles, double de sa hauteur, de sorte que nous pouvons établir la condition + (ee) —2h,

oue—th—2h, Ca: h (n°2); il en résulte,

d’une part, S — 2h, et de l’autre, P— 2h —th2h|/C+ FA

ou simplement P —nh, en faisant 2 — {+ 21/ #41 — n. D'après les données nous avons ici

Substituant les valeurs S — 2h?, P — 1,8028 k, p = 0,0011, et Q —53 dans la formule (2), elle deviendra

0,0011 X 8hf — 0,00056554 X 1,8028h X (3: 0,0664 X3 X 2h°),

ou 0,0088h° — 0,0059309 - 0,0002625h,

Divisant le tout par 0,0088 et transposant, nous aurons définitivement l’équation

h5 — 0,0298hk° — 0,674 — 0,

d'où nous obtiendrons, en la résolvant, À — 0",9501. Connaissant ainsi la hauteur du trapèze, nous tirerons la valeur de sa plus petite base de l'équation e-th—2}, qui donne

La section sera donc un trapèze dont la plus petite base devra avoir 0®,46505, la plus grande 3°,25555 et la hauteur 0",9301; mais ces dimensions sont celles de la masse fluide, et la profondeur du canal doit être un peu plus grande ; on lui donnera au moins 1°,20, et alors la largeur du fond demeurant 0°,46505, celle au niveau du terrain sera 4",565.

14. La forme du trapèze est, comme nous l'avons dit, celle qui convient le mieux pour les canaux creusés dans les terres, parce qu’elle réunit à la facilité de la construction la solidité et l’économie, mais elle n’est pas la figure capable de donner à la fois le maximum de section et de dépense. De toutes les figures isopérimètres, le cercle est celle qui a la plus grande surface, et cette surface diminue à mesure que le nombre des côtés du polygone régulier diminue. Il en est de même du demi-cercle et des demi-polygones réguliers de même périmètre, la surface du cercle est la plus grande, et celle du demi-carré est la plus petite. S'il était possible de construire un canal dont la section fût un demi-

cercle, on aurait à la fois le maximum de section et de dépense; mais les frais qu’entraînent une semblable construction lui font préférer le demi-carré pour tous les canaux creusés dans le roc ou revêtus de maçonnerie, tels que les aqueducs. Dans ceux-ci, on a donc le maximum de section et de dépense lorsque le rapport de la base à la hauteur de la section est celui des nombres 2 : 1.

On voit d’après ces considérations que le trapèze capable de donner la plus grande dépense est celui qui, sur un talus { déterminé par la nature du terrain, renferme la plus grande surface dans le plus petit périmètre.

1 ; Lorsque le talus est 1 3» Ce qui est un des cas les plus

ordinaires, il faut donner au trapèze une largeur moyenne double de sa hauteur, parce qu'avec un tel rapport dans ses dimensions il a même surface et même périmètre mouillé qu’un rectangle de même hauteur dont la base serait égale à sa largeur moyenne, et qui, par conséquent, donnerait le maximum de dépense et de section. En effet, si nous désignons par À la hauteur du rectangle, sa base sera 2h, sa surface 2h°, et son périmètre mouillé 4h; le trapèze ayant pour hauteur k et pour largeur moyenne 2h, a également pour surface 2° ; quant à son périmètre mouillé, si dans l'expression gé-

: . 1 nérale du n° 2 nous faisions {= 1 +3 et que nous don-

nions à e la valeur (2-{)h qui résulte de la relation eth = 2h, il viendra

(ren f( eo] =if$+av fer

c'est-à-dire la même valeur que pour le périmètre mouillé du rectangle. Dans tous les cas où le talus se-

rait plus grand que 17, on devrait donc, pour plus

d’exactitude, déterminer le rapport de la hauteur à la largeur moyenne du trapèze, de manière à obtenir le maximum de section et de dépense; cependant il est d'usage de conserver le rapport 1 : 2, et c'est ce que nous avons fait dans l'exemple précédent.

15. Dans les canaux rectangulaires, la largeur devant être le double de la hauteur, on peut aisément la calculer, lorsque la masse d’eau qu'ils doivent conduire est donnée, car en nommant æ cette largeur , l’aire de

à ol s la section a pour expression —æ?, et on a, par consé-

quent, v étant la vitesse et Q la dépense,

d'où

vtt =Q,

Di

Nous ne nous arrêterons point à donner des exemples de ces calculs, qui ne présentent aucune difficulté.

16. Nous avons fait observer (n° 6) que la vitesse des divers filets d’un cours d’eau était d'autant plus grande que ces filets étaient plus éloignés des parois du canal, et qu'en évaluant la dépense par le produit de la section et de la vitesse, il fallait employer nécessairement la vitesse moyenne et non la vitesse particulière de tel ou tel filet. La détermination de cette vitesse moyenne est donc très-importante, et comme on ne peut mesurer avec facilité que la vitesse des filets supérieurs, il serait nécessaire de connaître la loi du décroissement qu’éprouvent les vitesses à partir de la surface fluide jusqu’au fond du canal, pour pouvoir évaluer avec certitude la vitesse moyenne. Dubuat a conclu, d’une série d'expériences faites avec beaucoup de soin, que la vitesse moyenne est une moyenne proportionnelle arithmétique entre celle de la surface et celle du fond, et que le rapport de ces deux dernières, entièrement indépendant de la hauteur de la section, est d'autant plus grand que la vitesse de la surface est plus petite. Voici les résultats numériques de ses observations, malheureusement trop peu nombreuses pour être concluantes.

Soit V la vitesse de la surface, » celle du fond et # la vitesse moyenne, on aura

ù — [y Ÿ—0,165]?, u — (1/0 — 0,082)? Lo,0067.

M. de Prony a tiré des expériences de Dubuat la for-

mule DV E

qui lui paraît représenter les faits avec plus d’exactitude,. Mais il pense que dans la pratique on peut admettre, avec une approximation suflisante ,

Nous devons ajouter que la vitesse V est celle du filet fluide le plus éloigné des parois, ou la plus grande vitesse du courant. Ce filet, dans les canaux réguliers, est celui du milieu de la surface, c’est ce qu’on nomme le fil de l'eau.

S IL. Du mouvement de l'eau dans les rivières.

19. L'irrégularité des lits des rivières ne permet pas de les comparer aux canaux, où la vitesse devient promptement uniforme; dans ceux-cf le volume d’eau conduit est toujours le même, tandis que dans les rivières ce volume augmente ou diminue suivant les yariations que le lit éprouve dans sa pente et ses dimensions, et encore par l'effet des affluens qu'il reçoit. Lorsque la pente d’une rivière, après être demeurée

constante sur une certaine longueur, vient à augmenter ou à diminuer, la vitesse augmente où diminue, et comme la largeur du lit ne change pas brusquement, il en résulte que dans le premier cas la hauteur de la section devient plus petite, tandis qu’elle devient plus grande dans le second. Ces changemens de hauteur s’opérant par degrés, la surface fluide prend une forme convexe quand son mouvement s'accélère, et une forme concave quand il se ralentit, de sorte que le fil de l’eau, considéré depuis la source jusqu’à l'embouchure, présente une suite de lignes droites réunies par de petites lignes courbes tantôt convexes, tantôt concayes.

Si l’on conçoit un plan perpendiculaire à la surface fluide et passant par le fil de l’eau, l'intersection de ce plan par le fond du lit offrira une ligne semblable au fil de l’eau, c’est-à-dire composée de parties droites et courbes, dont les inégalités correspondront aux inégalités du fil de l’eau, mais seront plus grandes. La fig. 4 de la PI. 10 indique la différence des deux sections.

On nomme contre-pente toute inclinaison de peu d’étendue opposée à l’inclinaison générale du lit, comme serait, par exemple, la pente offerte contre le courant de l’eau par un banc de cailloux disposé transversalement sur le lit d’une rivière. L'eau, en le franchissant par suite de sa vitesse acquise, présente une surface concave dans la montée et une surface convexe dans la descente, et sa vitesse diminue jusqu’au point le plus élevé de la courbe, d’où elle s'accélère en descendant. La résistance de l’obstacle, jointe à la pesanteur qui agit spr les molécules fluides, ne permettant pas à ces molécules de s'élever au-dessus du plan général de la surface de la rivière, autant que l'obstacle est élevé luimême au-dessus du plan général du lit, le fil de l’eau ne peut donc jamais avoir une irrégularité aussi grande que la section longitudinale correspondante du lit, comme nous venons de le dire. Dans certains cas, les obstacles qui se rencontrent dans le lit d'une rivière produisent un rebroussement d’une partie du fluide contre le courant, c’est ce qu'on nomme un remou (Voy. ce mot).

18. Les effets résultant des élargissemens et des rétrécissemens des lits sont semblables à ceux des variations de pente. Lorsque le lit s’élargit, la hauteur de la section diminue, mais dans un rapport un peu moindre que l’augmentation de largeur, parce que la vitesse diminue un peu par suite de l'accroissement du périmètre mouillé. Lorsque le lit se rétrécit, la hauteur de l’eau augmente ainsi que la vitesse. On ne doit pas perdre de vue, pour se rendre compte de toutes ces variations, le principe de d'écoulement des fluides (Voy. ce mot), que nous allons rappeler.

Dans toute masse fluide qui se meut sans solution de continuité, il passe un méme volume fluide dans ur même

temps, par chacune des sections faites perpendiculairement à la direction du mouvement.

19. Les sections longitudinales de la surface fluide des rivières ne sont pas les seules qui présentent des parties courbes. Les-sections transversales offrent encore une forme remarquable dont la fig. 5, PI. 10, peut donner une idée. C’est une courbe convexe dont le point le plus élevé est dans le fil de l’eau, et dont l'élévation respective des autres points, qui va en décroissant également ou inégalement vers chaque bord, est d’autant plus grande que les filets correspondans ont une plus grande vitesse.

20. La détermination de la vitesse moyenne d’une rivière présente de grandes dilicultés qu’on est loin d’avoir complètement surmontées. Lorsque la rivière présente une pente assez uniforme et un lit assez régulier sur une longueur assez considérable, mille mètres au moins, pour qu'on puisse, dans cette étendue, la comparer à un canal, on doit prendre le profil de plusieurs sections, mesurer la pente avec beaucoup de soir, et en déduire les valeurs moyennes de S et de P, qui feront connaître la vitesse cherchée en les substituant dans la formule (3) du N° 10. Ce procédé, quoique approximatif, est supérieur aux mesures directes, quand il peut être employé.

Lorsque les localités n'offrent pas la réunion des circonstances que nous venons d'indiquer, on mesure la vitesse du courant au moyen de certains instrumens nommés hydromètres (Voy. ce mot), dont nous nous bornerons ici à décrire le plus simple. Qu’on imagine un petit morceau de bois, ou quelque autre corps d’une pesanteur spécifique presque égale à celle de l’eau, placé sur le fil de l’eau ou sur le plus fort du courant et abandonné à lui-même. Entraîné par le mouvement de l’eau, ce flotteur, ainsi qu’on le nomme, ne tarde pas à acquérir une witesse égale à celle du fluide environnant, et si l'on observe alors l’espace qu'il parcourt dans un temps donné, on pourra déterminer cette vitesse avec une exactitude suffisante.

Les flotteurs ne peuvent faire connaître que la vitesse du fil de l’eau, parce qu’ils ne se maintiendraient pas dans la direction nécessaire si on les placait sur d’autres filets; mais il existe des hydromètres avec lesquels on mesure la vitesse d’un point quelconque de la surface fluide, et d'autres qui sont destinés à mesurer les vitesses au-dessous de la surface. Nous verrons au mot Hypro- NÈTRE la série d'opérations qu’exige la détermination de

la vitesse moyenne d’une rivière au moyen de ces instrumens.

21. La connaissance de la vitesse moyenne d’une rixière est principalement nécessaire pour déterminer le volume d’eau qu'elle conduit ou pour jauger le cours

CoU 71

d'eau. Ce volume est égal au produit de la vitesse moyenne d’une section par son aire.

Le jaugeage des petits cours d’eau s’effectue d’une manière beaucoup plus simple par un barrage que par les mesures hydrométriques, auxquelles on n’a eu recours jusqu'ici que pour quelques fleuves. Ce procédé consiste à barrer le courant par une cloison en planches, sur le haut de laquelle on pratique un déversoir ou ouverture rectangulaire dont le seuil doit avoir, audessus du fond du lit, une hauteur telle que l’épaisseur de la lame fluide qui s’écoule soit au moins de 10 centimètres. Les formules de l'écoulement des eaux par les déversoirs font alors connaître la dépense, à l’aide des dimensions du déversoir et de la hauteur mesurée de la surface du courant au-dessus du seuil. Voy. ÉcouLe- MENT DES FLUIDES.

22. Les affluens ou cours d’eau qui se perdent dans une rivière principale font varier le volume d’eau qu’elle conduit. Ce volume augmente nécessairement au-dessous de la jonction, de sorte que la dépense n’est la même pour toutes les sections de la rivière qu’autant qu’il ne se trouve aucun affluent sur la longueur où elles sont prises. Cette dépense varie, en outre, par toutes les causes qui font varier les sources alimentatrices, et on doit distinguer les divers cas des hautes, des moyennes et des basses eaux, qui ont lieu dans les diverses saisons de l’année.

On dit que la vitesse d’une rivière est faible, lorsqu'elle est au-dessous de 0",50 par seconde, et qu’elle est trèsgrande, lorsqu'elle dépasse 2 mètres. La vitesse ordinaire s’estime de 0",60 à 0”,90. Celle de la Seine, aux enyirons de Paris , est moyennement de 0°,60 à 0,65. La vitesse du Rhône et de la Durance s'élève jusqu’à 4 mètres dans les fortes crues. La dépense de la Seine, sur une largeur moyenne de 150 mètres et une profondeur de 1,50, est d’environ 130 mètres cubes d’eau par seconde.

S LIT. Du mouvement de l'eau dans les conduites.

23. On nomme conduite une suite de tuyaux joints exactement les uns aux autres qui sert à mener l’eau d’un lieu à un autre. Pour examiner le mouvement de l’eau dans les conduites, nous considérerons d’abord le cas d’un seul tuyau rectiligne et d’un même diamètre dans toutes ses parties.

Soit donc BD (P1. 10, fig. 6), un tuyau incliné recevant par son ouverture supérieure EB l’eau d’un réservoir M, et la versant par son ouverture inférieure CD. La vitesse de l'écoulement en CD sera due à deux forces distinctes : l’une, provenant de la pression que la masse fluide duréservoir exerce en EB, et l’autre, de la portion de la force absolue de la pesanteur qui se développe sur le plan incliné BG ; c'est-à-dire que le fluide entre en ER

animé d’une vitesse due à la hauteur AE ou CF, et que cette vitesse s’augmente de toute celle qu’il pourrait acquérir par la seule hauteur FD, si les molécules fluides commencaient à descendre en EB sans aucune vitesse préalablement acquise. La vitesse finale de l’écoulement a donc lieu en vertu de la somme des deux hauteurs GF —- ED, ou simplement de la hauteur GD de la surface du réservoir au-dessus de l’orifice d'écoulement. Nous désignerons par H cette dernière hauteur, qu’on appelle la charge de la conduite.

Si les parois du tuyau ne présentaient aucune résistance au mouvement de l’eau, ce mouvement devrait continuellement s’accélérer, et la vitesse v’ de sortie serait (Voy. ÉcouLEMENT)

Mais il n’en est point ainsi : dans les conduites, comme dans les canaux, le mouvement devient sensiblement uniforme à une très-petite distance de son origine, de sorte que la vitesse de sortie n’est jamais celle qui correspond à toute la hauteur H. Nommons v la vitesse réelle de sortie et X la hauteur à laquelle elle serait due, nous aurons

et par conséquent dv?

sera la portion de hauteur absorbée par la résistance et représentera cette résistance.

Or, la résistance provenant de l’action des parois est proportionnelle à toute la surface intérieure du tuyau: car, dans le cas que nous examinons, l'écoulement se fait à plein tuyau (s’il n’en était point ainsi, la conduite serait un simple canal); de plus, elle est proportionnelle au carré de la vitesse, plus une fraction de la simple vitesse , et, enfin, elle est en raison inverse de l’aire de la section. Si nous désignons donc par L la longueur de la conduite, par $ sa section, par P le périmètre mouillé et par A et B deux coefliciens constans à déterminer par expérience, la surface intérieure du tuyau sera LP, ct nous aurons pour l'expression de la résistance

LP A (0° + Bv), ce qui nous donnera l'équation fondamentale... (b) v° LP H———A— (1 ps = AS (0° +-Bt)

M. de Prony a obtenu, pour les coefficicas A et B,

les valeurs

mais M. d’Aubuisson, en combinant des expériences plus récentes, trouve

D’après ces dernières valeurs, l’équation fondamentale devient... (7) 4

H — — 0,0003425 : (op? 0,055v) »

Pour rendre cette équation plus facilement applicable aux cas particuliers, observons que si nous désignons par D le diamètre des tuyaux, nous aurons S = : rl’, P — xD; 7 étant le rapport de la circonférence au diamètre ou le nombre 3,1415296. Substituant ces valeurs ainsi que celle de g, il viendra... (8)

équation qui fera connaître une quelconque des quatre quantités H, L, D, v, lorsque les trois autres seront données.

24. La dépense étant le plus ordinairement une des quantités données ou cherchées dans les questions relatives au mouvement de l’eau dans les conduites, il est utile de la faire entrer dans l'équation (8), ce qui ne présente aucune difficulté : car en la nommant Q, on a

Q — vS ou Q — :rvD?, ce qui donne v — 12700.

Substituant cette valeur de v dans (7), il vient... (9)

H — 0,08264 = — 0,00221 2 (Q°? + 0,0432 QD:), équation qui renferme la solution de tous les problèmes pratiques. On en tire pour la valeur de Q... (10)

0,0216 450,2HD° , /o,0216LD° | L+37, D D (en)

Quant à celle de D, qui est très-souvent la quantité à déterminer, il faut résoudre l’équation (8) par rapport à D en la ramenant à la forme... (10)