I. Voir Olirlahyrintli, cl \' Oreille, chap. v

LE SENS ARITHMETIQUE : NOMBRE ET TEMPS lOl

plus attentif la question concernant l'origine de notre représentation de temps. Depuis qu'il fut établi, au début de mes recherches, que l'appareil des canaux semi-circulaires avec ses ganglions cérébraux centraux remplit l'importante fonction physiologique consistant à régler et à mesurer avec une grande précision, lorsde l'accomplissement des mouvements volontaires ou réflexes, l'intensité, la durée et la succession des innervations de nos muscles, cette partie de ma théorie a reçu un développement considérable, grâce à mes propres travaux comme à ceux d'autres chercheurs.

Un des principaux résultats qui se dégage de toutes ces recherches est que, dans certaines terminaisons nerveuses du labyrinthe de l'oreille et dans leurs centres cérébraux, il existe de véritables appareils automatiques de calcul, qui jouent un rôle fonctionnel de première importance dans les innervations des muscles moteurs. L'action de ces appareils de calcul et de mesure, régis par le labyrinthe de l'oreille, ne se borne pas à déterminer les intensités des innervations, mais elle s'exerce aussi sur leur succession et leur durée dans le temps. Dans iiotrc sphcrc iVactivitc motrice, les fonctions Ju îab\'rinthe de l'oreille comprennent donc non seulement les processus relatifs de l'espace, mais encore les processus relatifs au temps. Cette constatation m'a facilité la tâche de faire entrer le problème du temps dans le domaine de mes recherches sur le labyrinthe de l'oreille. Malheureusement, l'application desméthodesexpérimentalesà l'étude desappareils de mesure automatiques de la durée des innervations n'a pu être faite jusqu'ici que dans des limites très étroites Pendant les contractions musculaires, il est extrêmement difficile, aussi bien chez les animaux que chez 1 homme, de mesurer avec une précision scientifique suffisante les valeurs de ces durées d innervations Ainsi que nous l'avons clairement démontré au paragraphe a du chapitre i. les innervations des muscles ne nous fournissent aucune sens:ition. Ni le profane, ni le physiologiste, quelque attention qu'ils y

picicnl, ne dccoiivrent la moindre trace Je pi-rii-f^lions ifNfurJiatt's de ces innervations.

Mais au point de vue de la physiologie des perceptions de temps et de la formation de nos représentations de temps, la simple constatation de l'existence de centres cérébraux, chargés de la fonction de régler et de mesuser automatiquement la durée et la succession des innervations, était déjà d'une portée décisive. Non moins importante était la constatation que les centres cérébraux investis de cette fonction se trouvaient, pendant qu'ils l'accomplissaient, sous la dépendance de certaines parties du labyrinthe de l'oreille. Dans l'exposé qui suit, nous verrons que les données acquises par les nombreuses études expérimentales de divers investigateurs autorisés sur la succession et la durée des sensations de nos cinq organes sensoriels spéciaux peuvent être appliquées presque entièrement aux processus analogues qui s'accomplissent dans la sphère d'activité motrice. Ces licitx clcmciits inif)<)rtanh Je notre représoitatio)! Je temps reposent, en effet sur le fonetionnenieiit Jes orjranes Jes sens pour Ij Jirection et pour le nonihre, orifjnes renfermes Jcins le labyrinthe Je l'oreille.

% 2. — Les sens généraux de e. }i. weber et de karl vierordt.

La succession et la durée constituent, on le sait, les éléments les plus importants des représentations de temps. Aussi ces deux valeurs de temps ont-elles formé jusqu'ici les principaux objets de la plupart des recherches expérimentales faites par des psychologues et des physiologistes sur les représentations de temps et sur la conscience du temps.

La plupart de ces recherches «jnt consisté à mesurer, aussi exactement que possible, le temps qui sécoule entre l'excita-

tion et la perception de la sensation, ainsi que la durée de cette sensation et de ses suites éventuelles. Les sensations dont la durée a été le plus souvent soumise à de pareilles mesures étaient les sensations tactiles, visuelles et auditives. Les difficultés inhérentes à l'exécution de ces mesures sont de deux sortes : la nécessité d'employer des méthodes de mesure parfaitement précises, et les complications inévitables qui se produisent lors de l'appréciation des résultats obtenus, puisqu'il s'agit de distinguer ceux qui doivent être imputés aux sensations proprement dites, soumises à la mesure, de ceux qui appartiennent aux perceptionsde temps. De nombreux facteurs psychologiques, tels que la concentration de l'esprit, la tension produite l'attente, l'excitation provoquée par la surprise, l'état physiologique ou pathologique des sujets soumis à l'expérience, et surtout leur sensibilité personnelle spéciale pour telles ou telles impressions sensitives, font que la comparaison des résultats obtenus par les essais de mesure se heurte quelquefois à des difficultés insurmontables.

Mais bien plus grande encore, au point de vue des recherches fécondes dans ce domaine, est l'importance des deux facteurs suivants : i° la conception plus ou moins juste de la nature des perceptions de temps et de leurs rapports avec les sensations fournies par les autres sens, conception qui sert de point de départ à l'investigateur dans ses expériences de mesure; 2" le choix plus ou moins heureux de l'organe sensoriel à utiliser pour la mesure des valeurs de temps. Ce fut donc, pour la théorie du sens du temps, une coïncidence particulièrement favorable, quand Karl X'ierordt, qui introduisit le premier dans la physiologie les expériences de mesure précise du temps, fit choix, dès le début, de deux procédés extraordinairement heureux. Par sa façon de concevoir la détermination pliysiologique du sens du temps, il se plasma entièrement sur le lerrain solide préparé par les études expérimentales classiques sur le sens de l'espace, que W'eber

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avait poursuivies pendant plus d'un c^uart de siècle. Cela lui permit en même temps, dans l'élaboration de ses procédés expérimentaux, d'imiter les méthodes modèles auxquelles W'eber devait ses plus beaux succès. Ainsi que nous le verrons tout à l'heure, son deuxième procédé, à savoir le choix de l'organe de l'ouïe pour la mesure des valeurs de temps des sensations, n'a pas été moins fécond en résultats.

\'u l'importance tout à fait extraordinaire que présente la théorie de Weber sur le sens de l'espace relativement aux recherches de Vierordt sur le sens du temps, il nous parait nécessaire de citer ici textuellement quelques-unes des propositions capitales de cette théorie, telles que Weber les a formulées, en i8s2, devant la Société des Sciences de Saxe, dans son dernier travail. Sur le' sens de l espace, etc.

'' Le sens Je l espace est un sens différencié : il n'est toutefois pas un sens spécial, mais un sens géiiéral. /, C'est par ces mots significatifs que Weber commence son mémoire qui renferme la formule la plus complète des résultats obtenus par ses études psycho-physiologiques de vingt-cinq ans sur les organes de sens périphériques. Voici comment se termine son introduction : 'r Les perceptions de l'espace et des rapports d'espace appartenant ainsi à la catégorie des perceptions générales, ce qui les distingue essentiellement des perceptions de couleurs, de températures, de sensations de pression, de sensations de sons et d'odeurs, lesquelles reposent sur les sensations d'une classe particulière de mouvements influençant nos nerfs, on peut avec raison qualifier le sens de l'espace de sens (fénéra/, afin de le distinguer des sens spéciaux que nous venons de nommer. // \Coniptes roidus de la Société saxonne' îles Sciences, p. S7.)

Les méthodes expérimentales, à l'aide desquelles Weber a examiné '^ la finesse et l'acuité // des perceptions d'espace des sens spéciaux, consistaient en mensurations exactes et comparées qui étaient exécutées exclusivement sur les sensations de pression et de température de la peau et sur les

LE SENS ARITHMETIQUE : NOMBRE ET TEMPS lO^

sensations visuelles de la rétine. Nous avons déjà exposé avec quelque détail (chap. i, .:^ 2) certains points des conceptions de Weber concernant l'espace ; nous reviendrons plus bas sur les autres points.

Karl Vierordt considérait le sens du temps comme étant lui aussi un sens général, dans l'acception que Weber avait donnée à cette désignation.

« A mesure que l'espace et le temps concrets augmentent de grandeur, écrit-il', on a la représentation d'un espace objectif plus vrjihL d un temps objectif plus lousf. (^'est simplement l'excitation à la sensation qui a augmenté, sans que le contenu même de la sensation ait changé, ou ait besoin de changer. Nos sensations d'espace et de temps sont loin d'avoir ce cachet entièrement subjectif qui caractérise les sensations des sens spéciaux. Le concret et le senti et par conséquent le perçu sont, dans la sphère des sens généraux, réellement et immédiatement comparables, parce que, dans certaines limites tout au moins, l'un et l'autre se superposent, sinon exactement, du moins de très près... Les sensations spécifiques nous procurent, en plus du contenu qualitatif de la sensation, la représentation de différents degrés d'intensité... >Lùs. quelque larges que puissent être les limites entre lesquelles oscille la force de ces sensations intenses, le sujet... n'en est pas moins incapable de les mesurer d'une façon plus ou moins exacte Cette kimière-ci nous parait bien plus intense que celle-là, mais non pas trois fois plus intense... Les sens spéciaux ne peuvent donc pas, ainsi que l'a fait ressortir avec raison Weber, déterminer dune façon générale les multiples des sensations, et ceci les distingue essentiellement de nos perceptions d'espace et de temps. Otte ligne-ci ne nous parait pas seulement plus longue que celle-là. in^^xs deux fois plus louiTue : telle impression juJitiie noits pjrait jvoir le tiers

i K.iil X'iororJl. Do /fttun», Tubiiigon. iSu>, p 13.

I"<' TKMIS \V KSrACR

./(• i/iifw (/(• /<•//(• jii/ri\ etc. LiS Si'/is (fi'/ii'riiux sont donc Ji's St'fis /;/ j///('/;/. ///(///<•>. . ; les valeurs quantitatives d'espace et de temps des excitations senscjrielles pénètrent pour ainsi dire inmiédiatement dans notre conscience. »

Karl X'ierordt prit ainsi pourpoint de départ de ses recherches expérimentales sur nos perceptions de temps la conception du sens de l'espace déterminée par K. H. Weber. Et, si je ne me trompe, c'est lui cjui le premier employa le mot >(V/> (/// li-mps, par analogie avec le sens de l'espace et le sens du lieu.

Vierordt adopta également cette conception de son illustre prédécesseur, d'après laquelle il n'y aurait pas âi'or<raiu-s de S(-ns particuliers permettant au sens de l'espace et à celui du temps d'exercer leurs fonctions physiologiques en tant que mensurateurs des sensations des cinq organes de sens spéciaux. Cette conception, qui é\2i[\. encore inévitable alors, fut pour les deux théories une cause de faiblesse. On sait qu'en ce qui concerne le sens de l'espace Weber avait adopté l'hypothèse des circuits de sensations : les dispositions anatomiques spéciales des fibres nerveuses partant des organes centraux et se distribuant dans les organes de tact périphériques seraient destinées à nous fournir des impressions relatives aux mesures d'espace des sensations tactiles ou visuelles.

Malgré les nombreuses lacunes que présente l'hypothèse de Weber et malgré les attaques qu'elTe a subies, au point de vue de son substratum anatomique, de la part de KuUiker, de Volkmann et d'autres, on nen doit pas moins, en tenant compte de l'état des connaissances à cette époque, la considérer comme ayant fravé la v(jie. lit cela d'autant plus que, pendant une trentaine d'années, E. H. Weber a fourni de nombreuses preuves expérimentales à l'appui de la justesse générale de sa conception du sens de l'espace. Le mérite tout particulier de Karl \'ierordt, c'est d'avoir choisi pour ses expériences le labyrinthe de l'oreille, sans se laisser

ébranler par ce fait que W'eber avait presque complctement exclu de ses recherches le sens de l'ouïe et celui de l'odorat. et cela sous prétexte qu'ils seraient complètement exempts de perceptions d'espace. » Il manque aux organes de l'ouïe et de l'odorat, croyait en effet W'eber, ces mécanismes que le sens de l'espace puisse utiliser, et c'est pourquoi nous ne percevons pas de formes à l'aide de sons et de bruits. // Ces 'r mécanismes >y, il les cherchait dans les circuits de sensations des différentes régions de la peau et de la rétine !

La théorie des circuits de sensations ne pouvait en aucune façon s'appliquer au sens du temps et, en commençant ses recherches, \'ierordt ne pouvait pas non plus songer à une autre explication physiologique de l'origine des perceptions de temps 11 se contenta donc de créer de nouvelles méthodes de mesures, et, suivant en cela l'exemple donné par W'eber, de réunir de nombreux matériaux à l'appui de sa conception générale relative à la détermination physiologique du sens du temps. Il faut reconnaître que, sous ce rapport, ses efforts personnels et ceux de ses élèves, Camerer, Hùring et autres, ont vraiment ouvert la voie. Les méthodes élaborées par Vierordt, ainsi que les considérations à l'aide desquelles il a justifié le choix des valeurs de temps qui devaient être mesurées par ces méthodes, ont pu dès lors servir de modèles à tous ses successeurs dans ce domaine. Ceux-ci employèrent dans leurs essais de mesure desappareils qui se distinguaient par une précision et une finesse plus grandes. Mais c'est seulement sous ce rapport qu'ils surpassèrent les recherches expérimentales de \'ierordt La plupart d'entre eux. en s'éloignant de la conception des sens généraux, telle que l'avaient formulée W'eber et \*ierordt. se heurtèrent souvent à des difficultés insurmontables lorsqu'il s'agit d'utiliser les résultats, d'ailleurs très importants, de leurs mesures. Notamment ils n'ont pa»^ toujours pu éviter la confusion entre les sensations sensorielles spéciales, dont ils cherchaient à mesurer les valeurs de temps, et les perceptions

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de temps elles mêmes. Aussi se sont-ils trouvés dans l'impossibilité absolue de présenter une hypothèse viable concernant l'origine et la détermination physiologique de ces perceptions ivoir §| 6 et 7 de ce chapitre 1.

Les considérations qui vont suivre ont un but trop précis pour quf je puisse m'étendre ici sur les résultats concrets des nombreuses recherches faites dans ce domaine, depuis V'ierordt. par W'undt, Exner, James et leurs disciples, ainsi que tout récemment par F. Schumann, Meumann et d'autres. Xous n'insisterons donc que sur les valeursde temps les plus importantes qui ont fait l'objet de leurs scrupuleux essais de mesure, et nous ne le ferons qu'en tant que ces valeurs peuvent entrer en considération pour la théorie de l'origine des représentations de temps.

§ 3. — La succession et la durée des temps.

De tous les éléments de la représentation de temps, la succession dans le temps est le plus immédiatement perceptible Quelle est donc l'origine physiologique de sa perception? Nous avons la sensation de la succession des phénomènes extérieurs et intérieurs comme se suivant dans un ordre ou dans une direction déterminés. Plus la succession de ces phénomènes est régulière, plus il est facile pour notre perception de les isoler et de les suivre les uns après les autres dans les intervalles qui les séparent; c'est pourquoi nous percevons les sensations auditives de la façon la ]>lus précise et la plus immédiate. Phvsiologistes et psychologues sont unanimes à reconnaître que la succession dans le temps ou l'arrangement dans le temps doivent être considérés comme une direction ou une étendue. " Le temps n'a qu une dimension ; différents temps ne sont pas coexistants mais successifs, tandis que différents espaces ne sont pas successifs, mais coexistants. >/ Ainsi parle Kant, et les adver-

saires les plus résolus de sa conception du temps sont ici d'accord avec lui. 'r Le temps, poursuit-il. n'est pas un concept empirique qui serait déduit d'une e.xpérience, car la simultanéité ou la succession elle-même ne pourraient être perçues, si la représentation de temps ne se trouvait c7 /)/7V^r/ à la base de cette perception. >/ La véritable difficulté consiste à savoir quelle direction pourrait bien avoir cette étendue de temps en longueur. A la suite d'une analyse minutieuse de la plupart des facteurs impliqués dans cette question, je suis arrivé, il y a des années de cela, à la conviction que la succession ou la suite des phénomènes ef des mouvements ne pouvait être exprimée que par la direction sagittale : clic correspond donc à la coordo/i/icc de nie nie nom du sens de rcspace.

Il est bien entendu que le point O de la coordonnée du temps doit coïncider parfaitement avec celui du svstème des coordonnées rectangulaires de l'espace, ce dernier correspondant à notre moi indivisible et conscient (Voir, entre autres, ch. I, § 2). D'après ma théorie du sens de lespace, la perception des sensations de direction prend une part importante à la formation de notre conscience et nous permet de considérer notre w>/ comme distinct du monde extérieur ou. ainsi que le dit Hensen c[ui a très bien rendu ma pensée, de '< nous considérer, par un sentiment originel, comme le point central autour duquel tournent tous les corps //

Le passé et lavenir, c\-sl-à-dire ce i/ni es/ silné derrière nous ci ce qui se trouve devant nous, correspondent à la direction postéro-antcrieure. " Derrière nous //<7 *k devant muis > sont les deux directions du tenif^s, les deux sifrnes de la mcmc coordonnée saj^n'ttale. V.n d'autres termes : les sensations Je tlirection, fournies par l'appareil iles canaux senti-circulairi-s et auxijuellcs nous devons la représentation de V espace à trois liinii'usions, nous servent éiralenient à former la représentation de l'étendue du temps à dimension unique.

la connaissance ainsi acquise de la direction réelle du

temps va nous l'aciliier la compréhension du rapport étroit qui existe entre les représentations d'espace et celles de temps Seulement ce rapport nous apparaît maintenant sous un autre jour qu'à Kant et aux partisans de sa théorie tj f^riori On ne doit plus, en etïet, considérer la succession des phénomènes et des mouvements dans le temps comme étant en opposition absolue avec leur cocxisioicc dans l'espace. Il existe un parallélisme des phénomènes dans le temps lia simultanéité) qui correspond parfaitement au parallélisme dans le sens géométrique du terme : l'un et l'autre reposent, nous le savons maintenant, sur une excitation simuliiitu'r de certains canaux semi-circulaires.

C'est Meumann qui, parmi les psychologues, a tout particulièrement attiré l'attention sur l'importance de la simultanéilé comme l'acteur constant et principal de nos perceptions de temps. Dans ses excellentes « Etudes », il a su mettre en relief la vraie valeur de la simultanéité. Aussi la découverte que nous exposons ici de l'origine physiologique de cette valeur de temps apporte-t-elle un appui à plus dune de ses propositions.

Ainsi qu'on l'a dit plus haut, la plupart des psychologues sont d'accord avec les physiologistes pour admettre que l'étendue de temps d'après Kant doit être comprise comme représentant la succession dans le temps. Mais la conception exposée ici, qui fait correspondre cette étendue à la flcc/ir de la iiircction j)', te ro- postérieure, sera probablement accueillie avec hésitation par plusieurs psychologues. Comme le font prévoir les ouvrages et les études qui existent de nos jours sur la nature des perceptions de temps, ma thèse soulèvera deux sortes d'objecti(jns. La première sera d'ordre dialectique et portera principalement sur la définition des mots '' présent // et « maintenant // ou sur les ditïérences entre *< longueur de temps >/ et « étendue de temps >y. Le fait de voir dans le '< présent >/ un point qui, étant en mouvement continuel, donne naissance à la ligne du temps.

pourrait, d'après F. Schumann, conduire à des conclusions erronées. On a, par exemple, conclu, écrit-il : '' Le temps se compose du passé et du futur, séparés par le point mobile « présent u Comme le passé n'existe plus et que le futur n'est pas encore, le temps serait quelque chose de réel, composé de deux moitiés dont aucune nest réelle. // Une pareille conclusion repose sur des prémisses qui ne sont plausibles qu'en apparence, mais sont en réalité de purs sophismes. La mobilité du point est une supposition superflue, cjui devient caduque par le fait de la conception du point O de la coordonnée du temps. Notre conscience du moi est immuable et indivisible; seuls les contenus de la conscience générale changent. Il n'y a de mobile que ce qui s'est produit avant nous et ce qui doit venir après nous : mais cette mobilité n'entame en rien la réalité de l'un et de lautre. Rien ne peut prétendre à la réalité avec plus de droit que les événements du passé. En se produisant progressivement, les événements futurs dcviouunit rccls et en plongeant dans le passé ils subissent, sur la coordonnée du temps, un déplacement et changent de signe '.

La seconde objection portera sur ce point de ma thèse que notre mi)i conscient correspond au point O de la coordonnée du temps. Schumann qui, dans ces dernières années, a fait de très belles recherches sur les perceptions de temps, et avec lui d'autres investigateurs qui se sont occupés de la même question considèrent le présent ou ^ Là présent > c(jmme une étendue de temps qui a une durée juste aussi longue qu'il en faut pour prononcer ou penser le mot C^elle idée parait d'autant moins admissible qu'en pareil cas limportance du moment présent dépendrait uniquement

i. Ccrt.iins psychologues considèrent la conscience, le moi conscient, comme idcntiiiiic îi 1.» conscience générale. C'est pourquoi iU ne peuvent admettre l'existence simultanée, dans notre conscience, de contenus différents. Ces difficultés dispar.iisscnt lorsqu'on sait faire la distinctiott entre les deux consciences, ce qui est bien plus r.itionnel. et cette distinction est rendue pos.siblc p.ir la considération de la simultanéité des contenus.

I 1 2 TEMl^S ET ESPACE

de la longueur de ce mot dans les différentes langues ^ 11 faut toujours avoir en l'esprit ce lait capital que les trois looriioiuiées Jcs direct ii)ns Je l espace, aussi bien que la seule cixtriionnée du temps, auxquelles nous sommes obligés de rapporter nos perceptions sensibles dans l'espace et dans le temps, se rapportent seule/Hcnt à uotre moi conscient . Q.uant à ce que peuvent être l'espace absolu ou le temps absolu, le naturaliste n'a pas plus à édifier des hvpothèses sur cette cjnestion que sur l'origine de 1 univers. Le domaine de ses recherches scientifiques comprend uniquement les phénomènes du monde physique accessibles à ses perceptions sensorielles portées au plus haut degré de leur puissance.

Ainsi que nous lavons rappelé plus haut (chap. i, § ^j;, quelques philosophes ramènent aussi à notre moi conscient l'origine du point mathématique ; raison de plus pour que les impressions de temps à un moment donné soient rapportées à ce point indivisible.

Ce n'est qu'après la publication de ma première étude surlesdeuxsens mathématiques {Revue générale des Sciences, 1907/, que mon attention fut appelée sur l'important travail de Karl Stumpf, Ucbcr den psychologischen Ursprung der Raumvorstellung, qui date de iS-y^j et qui m'avait échappé jusque-là. Disciple de Lotze, Stumpf a donné un exposé complet de son point de vue scientifique d'alors avec une pénétration desprit remarquable et une connaissance approfondie de toutes les théories physiologiques concernant le problème de l'espace. Ce fut pour moi une véritable satisfaction de trouver dans cet ouvrage, sur la signification

I. Dans le langage courant de tous les peuples, la durcc ac temps la plus courte n'est d'ailleurs pas désignée par les mots « à présent » ou « présentement » Déj.i K. E. von Baer a fait observer très justement que la durée la plus courte est exprimée, dans la plupart des langues, par le mouvement corporel qui nous parait avoir la plus courte durée, à savoir par le clignement des yeux : Au/rettblick en allemand, Mig en russe, clin ifftil en français, etc. Le mot momentum dérive de nioierc. Le piinctum tempnris des Romains désignerait peut-être, d'après von Uacr, le temps nécess.iire pour percevoir la sensation d'une piqûre.

exacte des représentations » droit // et » gauche //, '< haut u et '' bas //, fr avant » et '^ arrière », qui '< déterminent encore dune façon particulière toutesnosreprésentationsd espace//, des idées concordant d'une façon étonnante avec celles que j'ai développées plusieurs années après, ^r C'est un avantage très précieux pour une nouvelle théorie scientifique de rencontrer des points d'appui dans les recherches d'esprits éminents des périodes antérieures », écrivais-je en U)ou, à l'occasion de la découverte de l'écrit de Spallanzani sur l'existence d'un sens d'orientation dans l'oreille de la chauvesouris. C'est pourquoi je tiens à citer textuellement quelquesunes des propositions capitales de Stumpf. qui se rapportent, il est vrai, aux trois dimensions de l'espace, mais qui peuvent s'appliquer également à la dimension unique du temps.

« Si, d'après mes explications, tout ce qui se trouve dans l'espace est déjà représenté comme situé dans trois dimensions, il n'en résulte pas, bien entendu, que nous puissions distinguer les unes des autres ces dimensions comme telles, ni que nous soyons à même, lorsqu'un point dans l'espace attire tout particulièrement nos regards, de déterminer la situation de ce point par rapport à d'autres relativement aux trois dimensions. Si nous n avions pas la représentation de notre corps, nous ne serions probablement parvenus à cette distinction et à cette détermination que très tard, grâce à des réflexions scientifiques, et en outre les déterminations auxquelles nous serions arrivés ne seraient que celles de la géométrie analytique, c'est-à-dire que nous aurions construit un schéma de trois dimensions à l'aide de lignes perpendiculaires les unes aux autres et nous aurions ensuite distingué sur chacune de ces lignes deux côtés, -h et — , sans que ceci signifiât autre chose que l'opposition entre ces deux côtés. Mais en réalité nous opérons relativement vite certaines distinctions qui, au point de vue pratique, ne sont pas seulement équivalentes aux distinctions mathcmatique^i. mai^ ont une signification plus grande Haut, bas, etc., désignent De Cyon. 8

des distinctions tout à fait déterminées, et qui ne sont pas interchangeables à volonté, comme -h et — '. >/

Ces lignes étaient écrites avant que j'eusse achevé déditîer ma théorie do l'espace sur les bases qui m'avaient été fournies par la constatation des trois sensations spécifiques de direction dans les canaux semi-circulaires. Stumpf cherchait alors à expliquer la représentation des trois directions par les différences qui existent entre nos sensations cutanées; aussi ne vo^'ait-il dans son idée qu'une aide éventuelle. Aujourd'hui que nous connaissons l'origine réelle de notre faculté de distinguer les différences de directions des diverses parties du corps, on ne saurait assez admirer la pénétration avec laquelle Stumpf présentait l'état de choses réel, surtout quand on lit les lignes suivantes : « D'après ces axes de coordonnées naturels, nous déterminons aussi la position de l'objet extérieur, tout comme la géométrie analytique détermine la position d'un point d'après ses axes artificiels. Mais c'est le centre d'espace naturel qui forme le point initial des coordonnées. >/

Quoi qu'il en soit, les recherches expérimentales faites jusqu'à ce jour sur l'origine de nos sensations de direction nous autorisent dès maintenant à admettre que c'est aux excitations des canaux semi-circulaires sagittaux que nous devons la possibilité de percevoir la succession dans le temps ou, pour employer l'expression de certains psychologues, l'ordre dans le temps. Ces perceptions forment une des compoSiintes lie notre représentation de temps. Quant à la question spéciale et qui présente surtout un intérêt psvchologique. celle de savoir si le p(Mnt O des coordonnées de temps et d'espace coïncide ou non avec le moi conscient, nous aurons encore plus d'une occasion d'v revenir.

I. Cari Stumpf. Ueher den psychologischen Urspruttir Jer Raiimvorstrlluntr, Leipzig, 187V

LE SENS ARITHMETIQUE : NOMBRE ET TEMPS I l

^4. — Les mesures de la durée et des autres valeurs de temps. -

L'une des composantes de ce qu'on appelle le sens du temps, la succession, est donc formée à l'aide des perceptions d'un organe sensoriel périphérique. Quel est le cas des autres composantes : la durée et la vitesse ? Au fond, la vitesse n'est qu'une fonction de la durée, mais ces deux valeurs de temps peuvent aussi être mesurées séparément. Il faut donc. rechercher d'abord laquelle des deux est plus accessible aux perceptions sensorielles, et peut par conséquent être plus facilement soumise à lanalyse expérimentale.

Une pareille recherche est en outre essentiellement liée à la question de l'origine de nos représentations de temps. La conception la plus simple en apparence de l'origine des perceptions de vitesse serait de les rapporter à nos perceptions visuelles. La vitesse des processus extérieurs saute eflectivement aux yeux. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner que certains philosophes, et même des phvsiologistes comme Czermack dans ses Idccs sur Li thcorii' du sens du trnips, aient cherché dans les impressions visuelles la source d'où se seraient formées nos représentations de temps. L'ne * pareille conception paraissait d'autant plus séduisante qu'on espérait découvrir également le mécanisme des perceptions de vitesse dans la convergence des axes oculaires et dans l'accommodation. Aussi Cari Ludwig se montra-t-il disposé à considérer cete conception comme parfaitement fondée, '' parce que nous voyons etTectivement le degré de Li vitesse //.

(2ette conception soulève pourt.mt de nombreuses objections, et parce qu'elle néglige complètement les autres éléments constitutifs de la représentation de temps, et parce ijue. mènu' en la supposant fondée, il ne nous serait pas

I l6 TEMPS ET ESPACE

moins impossible de considérer les perceptions de temps comme avant leur origine principalement dans l'œil.

Depuis qu il a été établi, en iS-y^-uS-jO, que l'appareil oculo-moteur se trouve sous la dépendance continue et régulière des canaux semi-circulaires, '< la vision de la vitesse » comporte une interprétation toute différente. Les déplacements des axes oculaires, ainsi d'«illeurs que tous les mouvements des muscles de l'œil, étant en réalité produits par les excitations des nerfs des canaux semi-circulaires, la mesure de la vitesse de nos perceptions de temps s'effectue en effet principalement par le sens de 1 ouïe, non par celui de la vue.

W'undt néglige dans les mesures la vitesse en tant que valeur de temps, et cela pour la raison qu'une pareille mesure du mouvement visible doit nécessairement conduire à une mesure de Tétendue d'espace. La possibilité, et même la nécessité de mesurer simultanément dans les mouvements l'étendue d'espace et l'étendue de temps, loin de constituer une complication et une cause de trouble, ne peut, au contraire, à notre avis, que faciliter la tâche de l'expérimentateur.

Vierordt s'est fort bien rendu compte de cet avantage lorsqu'avec Camerer il a dirigé ses recherches de ce côté. '' Dans la perception d'un mouvement et l'appréciation de la vitesse avec laquelle ce mouvement s'accomplit, dit-il. le sens du temps et celui de l'espace interviennent simultanément. » Vierordt donna en même temps la formule

r simple ^= -^- permettant de caculer la vitesse ;/ et dans

laquelle /- exprime le rapport entre l'espace parcouru et l'unité de longueur, { le rapport entre le temps nécessaire à cet effet et l'unité de temps. Cependant, d'après nos connaissances actuelles, les valeurs obtenues dans les mesures de vitesse et de durée ne peuvent plus être attribuées uniquement au sens de la vue En utilisant les données four-

nies par mes recherches pour la théorie des perceptions de temps, on doit aussi tenir compte du mécanisme qui nous permet de mesurer la vitesse visible.

Les beaux résultats obtenus par Vierordt et ses élèves, au cours de leurs expériences, décidèrent tous ceux qui après lui se consacraient aux mêmes recherches à employer d'une façon générale les méthodes de mesure qu'il avait imaginées, et cela aii^si bien pour le choix des valeurs de temps à déterminer que pour le choix des perceptions sensorielles spéciales dont ils voulaient mesurer la durée. Malheureusement la plupart des successeurs de \'ierordt ont complètement banni du domaine de leurs considérations le point de Jépjrt qui seul l'avait guidé dans ses recherches, à savoir la conception des sens généraux, due à W'eber. Ils se sont ainsi mis dans F impossibilité de donner leur plein développement aux résultats qu'ils ont obtenus.

Comme nous l'avons fait ressortirau paragraphe 2, \'ierordt, dans ses mesures des valeurs de temps, avait eu l'heureuse idée dechoisirrorganedelouiede préférence à tous les autres organes sensoriels. Cet heureux choix lui permit aussi de déterminer avec plus de précision la plupart des valeurs qui entrent principalement en ligne de compte dans l'élude expérimentale des processus de temps. C^est ainsi qu'en choisissant les sensations auditives pour la mesure de la durée, il réussit à mettre en lumière la véritable signitication des différences de temps, du rythme, de la cadence et des intervalles de temps. Le choix fait par \'ierordt do ces valeurs et d'autres analogues a donc été heureux d'une façon générale. Ce qui l'a été moins, c'est d'avoir introduit le concept du seuil de temps et du vide dans le domaine des valeurs de temps à mesurer. \'ierordt a probalement été amené à commettre cette erreur par la seule raison qu'à [exemple de E. H. Weber il employait parfois l'expression perceptions de temps comme équivalente à celle de sensations de temps.

Mais les va/rurs de finips que X'ierordt a déterminées à l'aide de ses mesures se rapportaient en réalité non pas aux SiNSJ/ions iic temps, mais à la perception de la ihircc des sensations auditives. Il en est naturellement de même lorsqu'on mesure la durée des autres sensations sensorielles. Les seuils J'cxeitatioii eux aussi ne se rapportent iju\iux iwcitiJtiaus qui pnhiuisent les sensjtions sensorielles spe- Ltjles correspondantes et }niUenie)it aux ^oi disant sensations de temps. Beaucoup de successeurs de Vierordt ont également omis de faire cette simple réflexion en elïectuant des mensurations de ce genre. Suivant son habitude lorsqu'il sagit d'une erreur, Mach a pris les devants et donné le plus mauvais exemple; ainsi il a prêté aux mots sensations de temps une signification fausse et il a exécuté ses mesures en conséquence'. Un simple coup d'œil sur les valeurs des seuils de temps, obtenus en millièmes de seconde, aurait dû suffire à instruire Mach de son erreur.

II obtint notamment pour l'ouïe i6,o, pour le tact 27,7, pour la vue .17.0. Ces valeurs très discordantes prouvent assez qu'il s'agit des seuils d'excitation des sensations correspondant à ces sens et nullement de ceux des sensations de temps.

Wundt admet également que « le seuil de temps est déterminé avant tout par les propriétés physiologiques des organes sensoriels //. '^ Toutefois, ajoute-t-il, on sera obligé de considérer le seuil de temps, de même que le seuil d'espace, comme une grandeur psycho-physique, la conception des impressions, ainsi que celle d'une succession, impliquant à la f<jis un fait psychique. Cette manière de voir est confirmée par l'observation qu'une atienrion et

I. Il est à peine utile de relever toutes les autres erreurs des conceptions de Mach relatives au sens du temps, erreurs qu'il maintient dans son dernier ouvrage. 11 suffit de citer le titre de la section correspondante : « Le temps physiologique rw opposition avec le temps métrique », pour s'apercevoir à quelle distance se trouve Mach de la vraie conception du problème du temps.

une habitude plus grandes sont susceptibles de modifier ce seuil. » Rien de plusjuste en soi que cette dernière affirmation ; mais elle ne modifie pas l'origine véritable des seuils d'excitation. Dans la pensée de W'eber, les sens généraux sont destinés à fournir la mesure exacte des propriétés quantitatives des autres sens. Ils ne sont Joue ni plus ui uioius que des appareils de mesure de l espace et du temps. Cette idée se trouve pleinement daccord avec la vérité physiologique. Les recherches exposées dans les chapitres précédents l'ont suffisamment démontré en ce qui concerne le sens de l'espace. Mais elle est également valable pour le sens du temps, et la preuve en est fournie par le résultat des recherches que de nombreux investigateurs ont faites au cours de leurs mesures pendant plus de cinquante ans.

Dans mes communications sur les origines des perceptions d'espace (1907J, j'ai déjà relevé l'importance de ce fait, et j'y reviendrai avec plus de détails au paragraphe (>, Les seuils d'excitation qui produisentles sensations dessens spéciaux ne peuvent naturellement nous fournir aucun renseignement sur la précision de lappareil physiologique qui mesure le temps; et pourtant les expériences de Vierordt, aussi bien que celles de ses successeurs, n'avaient pas en réalité d'autre but que d'éprouver la précision de l'organe mesureur du temps. Pas plus que la valeur d'un télescope ne saurait être déterminée par les lois qui régissent les mouvements des planètes, les seuils d'excitation des sensations sensorielles spéciales ne peuvent exercer aucune intiuence sur le fonctionnement du sens du temps. Us peuvent seulement faire naître, lors de nos essais, des erreurs d'e.Kpérimentalion et d'observation, analogues à celles qui proviennent des fautes personnelles de l'observateur.

L'introduction ywv N'ierordtdu mot '^ vide » a ou des conséquences cnct)re plus fâcheuses relativement à l'interprétation des essais de mesure du tcm|"»s. Hn proposant ce mot,

Vierordt ne faisait encore que suivre l'exemple de Weber qui, dans ses circuits de sensations, avait prêté une attention toute particulière aux inti-rvallrs, dont il a pu d'ailleurs donner une explication assez satisfaisante. A/ j/5, eu rcalitc, il ne Si' proiiitit pas Je vide Jjus la sphère île nos sensations. Les discontinuités de temps n'interviennent pas plus dans nos sensations que dans tous lesautres processus vitaux, et il n'en existe pas plus dans ces derniers que dans les mouvements des planètes. Il y a seulement des oscillations dans l' intensité de notre activité nerveuse et dans la fixation de notre attention sur les différentes qualités des sensations. C'est la perception de telle ou telle sensation qui pénètre alternativement dans notre conscience. Toute excitation Je nos nerfs fi\'st au fond qu'une auo-nientation subite de leur état d excitabilité : ce fait a été établi par Pfluger, il y a une cinquantaine d'années. Seuls les nerfs paralysés ou morts sont complètement inexcitables. Encore moins peut-on parler de périodes vides ou caractérisées par F absence totale de toute excitation lorsqu'il s'agit de sensations auditives.

La confusion créée par cette conception d'intervalles soi-disant vides ou caractérisés par V absence totale d'excitation s'est manifestée tout particulièrement dans les réflexions sur notre représentation de temps, faites par des métaphysiciens et des méta-mathématiciens qui cherchèrent à utiliser ce prétendu vide en faveur de l'origine a priori de notre intuition du temps au sens kantien. C'est ainsi que M. Poincaré écrivait récemment encore {La valeur de la Science, p. 36) : « Nous classons nos souvenirs dans le temps, mais nous savons qu'il reste des cases vides. Comment cela se pourrait-il si le temps n'était une forme préexistant dans notre esprit? C>omment saurions-nous qu'il y a des cases vides, si ces cases ne nous étaient révélées que par leur contenu? // Mais, ainsi que nous venons de le dire, ces '' cases vides // n'existent que dans l'imagination des métaphvsiciens. Les souvenirsde perceptions de temps anté-

rieures accumulés dans le cerveau sont, volontairement ou involontairement, évoqués dans la conscience avec tout leur contenu quantitatif et qualitatif. La représentation de la succession continue des sensations et de leurs perceptions nous est donc déjà fournie, dès notre plus tendre jeunesse, par les expériences de tous nos sens. Herbart avait parfaitement raison lorsqu'il déclarait que la succession des représentations ne peut, en aucune façon, être identifiée avec la représentation d'une succession. Mais cela n'empêche nullement notre perception de la succession de se former grâce à la continuité des différentes sensations spéciales.

Plusieurs psycho-physiologistes ont vainement essayé de remplir avec un contenu quelconque ces intervalles soidisant vides; c'est ainsi, parexem'ple, que Miinsterberg cherchait à expliquer par la sensation de la tension continue de muscles notre aptitude à mesurer les intervalles du temps. 11 est parfaitement vrai que, même au repos, les muscles se trouvent dans un certain état de tension, le tonus, dont le mécanisme a été exposé ailleurs en détail (L'Oreille, qXc. ch. iii|. Nous devrions donc, d'après Miinsterberg, pouvoir mesurer la durée de cette excitation tonique dans l'intervalle entre deux contractions musculaires. Sous cette forme, l'idée de Miinsterberg serait admissible, mais au cas seulement où il nous serait possible, d'une façon générale, d'éprouver des sensations musculaires, ou des perceptions quelconques de contraction. Or, nous avons déjà insisté à plusieurs reprises sur l'impossibilité où nous sommes de connaître des sensations musculaires au sens courant du mot; ni le profane, ni le physiologiste ne peuvent, même avec l'attention la plus soutenue, recevoir une pareille perception à laide du sens musculaire problématique, (^est sans succès que l'on avait fait appel aux sensations musculaires pour expliquer nos représentations d'espace (^voir plus haut, ch. i, ï; 2 . (Test également faire fausse route que de vouloir les utiliser pour expliquer les perceptions de durée.

Nos cellules ganglionnaires mesurent, il est vrai, assez exactement la durée de l'innervation des muscles, comme on la prouve par de nombreuses expériences (VOrcillcy 111, y-u»). Mais ces mesures s'accomplissent J' nnr manicrc Kiutomatiqiit\parFi)itcrnu\IijirCiii'ccrfji)icspjrtics du Ijhvr//////<'(Otocystes), sans que nous en ayons jamais conscience. D'ailleurs, ainsi que nous l'avons dit, le fait de ne pas réussir à combler des intervalles vides de cette nature ne prouve rien, puisque ces intervalles vides n'existent pas. Pour la conscience pleine et entière, il n"\- a pas de véritable discontinuité dans les perceptions de temps. Quant à ce qui se passe pendant le sommeil, nous l'apprenons seulement par les fragments de rêves qui parviennent à notre conscience. Si la succession des souvenirs dans le temps nous parait s'y accomplir avec une rapidité vertigineuse, c'est vraisemblablement parce que les influences inhibitrices de l'attention tendue manquent pendant le sommeil.

^5. — Lk labyrinthe comme organe sensoriel

DES perceptions DE TEMPS.

Si nous nous sommes étendu un peu longuement ici sur ces deux valeurs de temps introduites par \'ierordt dans ses essais de mesures de la durée, c'est parce que plusieurs de ses successeurs, qui se sont occupés de la même question, leur ont attribué une importance tout à fait extraordinaire dans la formation de nos concepts de temps, (^es légères erreurs ne diminuent pas le grand service que ce physiologiste a rendu à la science en contribuant à résoudre le problème du temps par sa découverte que le labyrinthe de l'oreille est l'organe le plus important pour l'étude des perceptions de temps

Comme nous l'avons déjà dit, il a eu l'intuition que /\;/-,'///,- tdiir !,' n'ij.' prrJoni i fui n t Jjiis Ij formation (ic nos

représentations de temps. « Xous commençons par le sens dont la sensibilité pour les quantités de temps et pour les différences entre quantités de temps se manifeste le plus chez chacun d'entre nous, par le sens de l'ouïe // : c'est ainsi que \'ierordt justifie son choix; de cette manière il traçait aux chercheurs à venir la voie à suivre. Un petit nombre seulement de ses successeurs essayèrent de fournir les raisons précises qui les avaient déterminés à choisir l'organe auditif pour leurs mesures ^ La façon dont W'undt motive le choix de l'organe de l'ouïe pour l'explication des représentations de temps est particulièrement intéressante : '" Tandis que les représentations tactiles de temps restent constamment liées aux conditions mécaniques des organes moteurs et aux organes centraux correspondants, ayant pour fonction de régler les innervations, les représentations auditives de temps se meuvent dans des limites beaucoup plus larges. Tout changement possible des formes de sons et de bruits, dans la mesure où il est consécutif à des conditions objectives quelconques, et autant que l'ouïe est capable de le suivre dans les limites posées à la sensation auditive relativement à l'intensité, au nombre de vibrations et à la durée des impressions, peut parfaitement être considéré comme le substratum des représentations de temps variables à l'intini. // {GriinJ{iigc, etc., ^'" éd., vol. 111, p. 20.) Considérée en soi, la conclusion contenue dans la deuxième de ces propositions est à peu près exacte.

Par contre, l'hypothèse qui sert à W'undi de point de départ montre qu'il est peu au courant des recherches physiologiques dont le labyrinthe de l'oreille a été l'objet au cours de ces trente dernière^ années 11 nest pas exact que nos sensations tactiles '' restent liées aux conditions mécanitiues de nos organes moteurs et aux organes centraux

I . Mach se contenta Je répéter que le sens Je l'ouïe était le $cns de temps le f^ius iiistinniif ; cl cette fois il ne se trompait pas.

134 TEMl'S ET ESPACE

correspondants, ayant pour fonction de régler les innervations ï». Les sensations tactiles peuvent, à l'occasion, être produites aussi par nos mouvements. Mais leurs rapports avec les organes centraux réglant les innervations ne doivent être compris que dans le sens indiqué ailleurs par nous {L Oreille, etc., ch. ui, |§ 7-8). Ces mécanimesde régulation sont liés aux fonctions de notre organe de Touïe, auxquelles ils ne sont pas seulement subordonnés, mais dont ils siibis- Si'tii îa i/(>//iinjli()/i coiuplctc rclativcmoit au loups aussi bien qu'à l'espace. Toutefois, comme nous venons de le dire, la conclusion de Wundt et même certaines de ses déductions sont assez justes, à l'exception de tout ce qu'il allègue au soi-disant vide ou, comme il l'appelle, au trajet exempt d'irritation.

Nous avons fait ressortir en détail, au paragraphe 2 du chapitre précédent, les principaux avantages que l'oreille présente sur l'œil relativement à la formation de nos représentations d'espace. Nous nous proposons de montrer ici. avec tous les détails nécessaires, que, dans une certaine mesure, les avantages du labyrinthe de l'oreille ne sont pas moins importants pour la formation de nos représentations de temps.

Dans le chapitre sur les Bases physiologiques de la (réométrie S Euclide, nous avons spécialement relevé, parmi les avantages de l'oreille sur l'œil, relativement à la perception des directions, ceux qui jouent un rôle si décisif en géométrie. Quant aux avantages que présente l'oreille, comparativement à l'œil, en tant qu'appareil de mesure des grandeurs géométriques, nous n'avons fait que les mentionner, et cela seulement à propos de l'estimation des distances. Nous avons rappelé à cette occasion que l'appareil oculo-moteur, dont dépend la mesure des distances par l'œil, se trouve sous la dépendance complète des innervations des canaux semi-circulaires, considérés comme organe sensoriel des sensations de direction.

Toutefois, la destination physiologique du labyrinthe de loreille comme appareil de mesure ne repose qu'en seconde ligne sur le mécanisme des canaux semi-circulaires. L'élément essentiel, dans l'exécution des mesures d'espace aussi bien que de temps, est fourni par la connaissance des nombres, et cette connaissance, nous la devons exclusivement au limaçon de l'organe auditif. Les appareils de calcul automatique, commandés par le limaçon, jouent un rôle décisif dans la mesure de l'intensité et de la durée des innervations.

Aux avantages que l'oreille présente sur l'œil, en tant qu'organe sensoriel des trois sensations de direction, il faut donc encore ajouter ce fait qu'elle possède des appareils périphériques auxquels nous devons la connaissance des nombres. » La comparaison entre l'oreille et l'oeil est instructive sous ce rapport, écrit Helmholtz ; car les objets de l'un et de l'autre de ces organes, à savoir le son et la lumière, sont des mouvements vibratoires qui, selon la rapidité de leurs vibrations, provoquent des sensations différentes ; celles des différentes couleurs dans l'œil, celles des différentes hauteurs de son dans l'oreille. Si, pour plus de précision, nous désignons les rapports entre les vibrations lumineuses par le nom emprunté aux intervallesmusicaux. formés par les vibrations sonores correspondantes, nous obtenons ce résultat : l'oreille perçoit dix octaves environ de différents sons, l'œil une sixte seulement Au delà de ces limites, il existe desvibrationspour le son comme pour la lumière, que seules les méthodes phvsiques sont à même de nous révéler. L'œil, dans son échelle réduite, ne reçoit que trois sensations fondamentales ditïérentes qui sont le rouge, le vert, le bleu-violet Toutes les autres se formant par l'addition de celles-là ; ces trois couleurs se mélangent dans la sensation, sans se troubler mutuellement. L'oreille, au contraire, distingue un nombre extraordinaire de sonsde hauteurs différentes. Il n'v a pas d'accord qui ressemble à un autre accord composé d'autres sons.

tandis qu'en ce qui concerne l'œil les analogies présentent le cas ordinaire '. m

Vn autre avantage de l'organe auditit sur l'organe visuel mérite encore être relevé ; d'après Helmholtz le nerf acoustique est considérablement supérieur au nerf optique par son aptitude à suivre rapidement le changement d'intensité de l'excitation en plus ou en moins. Un pareil changement dans l'intensité de l'excitation se produit lorsque des sons de même hauteur approximative ajoutent alternativement leur action à celle de phases égales et à celle de phases opposées ; c'est là-dessus que repose le phénomène des flottements (Schwchuugc)i). Chacune des fibres du nerf acoustique n'est excitable que par les sons compris dans un intervalle très limité de l'échelle, tandis que chaque fibre du nerf optique est excitable par toute l'étendue du spectre.

Toutes ces causes de supériorité de l'oreille sur l'œil, offrent des avantages considérables pour les mesures artificielles de la durée des sensations. Mais la principale supériorité que possèdent les sensations auditives pour la perception de la durée et son estimation exacte est intimement liée au rvtJu)ic et à la cjdciicc des excitations sonores. La succession d'impressions auditives d'égale durée, séparées par des intervalles égaux, est de la plus haute importance même pour la perception immédiate de la durée. Dans la perception de la succession périodique de sensatiofis auditives, la supériorité de l'oreille sur la constatation visuelle de la vitesse consiste encore en ceci que, comme nous l'avons déjà dit, les sensations auditives, comme telles, ne comportent pas nécessairement de mesure d'espace, tandis que la vitesse appréciée par lœil forme un quotient dont le temps est le dividende et le trajet parcouru dans l'espace le diviseur.