Potentiel magnétique. — Maxwell désigne les compo
476 DIELECTRIQUES
santés d'aimantation par A, B, C et il obtient comme expression du potentiel magnétique,
^' i y' y ^' étant les coordonnées du point attiré, ;r, y, z les coordonnées du point attirant, /• la distance qui les sépare, rfr' un élément de volume, A' B' C les composantes d'aimantation au point (y y' z').
Intégrons par parties cette expression du potentiel ; il vient,
La première intégrale doit être étendue a tous les éléments rfco' de la surtace qui limite Taimant, et la seconde au volume tout entier de Taimant ; /', //i', ni désignent les cosinus directeurs de diù' de telle façon que
A7' + B'//i' + Cn
représente la composante normale d'aimantation.
Le potentiel de Taimant en question peut donc être considéré comme la somme de deux potentiels :
i' Le potentiel d'une surlace attirante dont la densité serait
V A' /', et
2" Le potentiel d'un volume attirant dont la densité serait
|{enîar(juons que ce résultat sul)siste non seulement avec la loi de l'inverse du carré de la distance mais aussi avec n'importe (juelle loi d'attraction.
Si par exemple le potentiel avait pour expression
FORCE MAGNETIQUE A LiyTERlEVR ET A L'EXTERIEUR D'UN AIMANT 477
on obtiendrait encore, en répétant le raisonnement précédent, lu même formule finale.
En particulier ce résultat reste encore vrai si je suppose que l'attraction au lieu de se propager instantanément, se propage avec la vitesse de la lumière ; ceci revient, comme nous le savons déjà, à introduire les potentiels retardés.
368. Force magnétique à V extérieur d'un aimant. — Les composantes delà force magnétique qui s'exerce sur Tunité de masse magnétique positive placée en un point extérieur à Taimant ont pour valeur, en les désignant avec Maxwell par a, jâ, y,
dQ ^ dû dQ
du^ ' ' dy ' dz
369. Force magnétique à V intérieur d'un aimant. — Pour connaître la force magnétique exercée sur Tunité de masse magnétique positive placée à Tintérieur de l'aimant, il faut creuser dans cet aimant une petite cavité où on pourra mettre un petit aimant d'èprein'e. Mais le potentiel se trouve modifié par la présence de cette cavité, c'est-à-dire que a, ^, y dépendront de la forme de la cavité.
Maxwell considère deux formes particulières de cavités :
1^ Cavité cylindrique de section infiniment petite : hauteur très grande par rapport à la section droite. Les génératrices de ce cylindre sont parallèles à la direction de l'aimantation. Dans ce cas le potentiel en un point intérieur de cette cavité sera la différence entre le potentiel primitif, quand la cavité n'existait pas, et le potentiel de la masse cylindrique qu'on a enlevée pour creuser la cavité. Ce dernier potentiel est, d'après ce que nous avons dit plus haut, la somme de ces deux autres potentiels :
a). Le potentiel provenant de la surface du petit cylindre considérée comme surface attirante. Je dis que ce potentiel est nul. Remarquons, en effet, que cette surface se compose de deux bases de section infiniment petite et de la surface latérale. Le terme provenant des deux bases est négligeable. Quant à celui provenant de la surface latérale, il est nul; car la normale à cette surface étant perpendiculaire à la direction de l'aimantation (les
•i 7 8 DIKLECTRIQ l ES
grnôrali'ices du cyliiulrc lui étant parallèles^,
Vat=o.
//'. Le potentiel provenant du volume de la petite cavité. Ce potentiel est nêjrli^eahle car le volume est un infiniment petit du troisième ordre.
Le potentiel en un point intérieur \\ cette cavité est donc le mt'^me (pie si c(*tte cavité n'existait pas.
'?f* Cavité cylindri([ue infiniment aplatie. Par des raisonnements tout il Tait analogues aux précédents, les potentiels provenant du volume et de la surface latérale de la cavité sont nuls. Il ne reste ([ue le potentiel <{ui provient des deux bases de la cavité; il a pour valeur.
chacuiM» des int<'^rales étant étendue à la surface de chaque base du cylindre en ([uestion.
Or ces diMix hases ayant une très grande surlace par rapport à leur distance, leur action sur un point intérieur est ^tz\. On a ilonc en app<*hint a la lorcc» en un point de la cavité en question.
' (la
il -— — ( 4-A ) = a -v- \tA,
(/«'^l ce ([uo Maxwell iippclh' eoinposiiiitts de Tinduction magnrli(|ih'.
i) l*oui' uiM' euvilé ^j^ln'M'i(^ue on trom»*,
(i -^^ 7. -f- -77-7:A, ete.
Tous c«*s r<''>ultats suhsisteront. comme nous Tavons déjà dit,
KLECTKOSTATiqVE 479
avec les potentiels retardés, car on peut regarder la densité comme constante pendant que la perturbation traverse la cavité len supposant bien entendu que les dimensions de la cavité soient très petites par rapport à la longueur d'onde employée).
370. — Indiquons maintenant pour finir avec ces préliminaires, les conditions d'équilibre d'un élément magnétique.
Prenons pour cela cet élément comme centre d'une sphère S. n doit être eu équilibre sous l'action des forces qui agissent sur lui.
Quelles sont ces forces ? -. — On a, ^
1° Les actions dues au volume extérieur à cette sphère S,
a — I :t-7tA.
u^ Les actions dues aux éléments intérieurs à la sphère. Ces actions sont nulles.
3"* La force (jui tend à amener la particule à sa position d'équilibre. Cette' force est proportionnelle à Técait si cet écart est petit, elle est donc proportionnelle à a et par conséquent à A.
\ oilà les préliminaires que je voulais établir pour faciliter l'étude des diélectriques d'après Lorentz.
Nous passerons maintenant à la théorie de Lorentz ellemême.
^1. — Electuosïatique
371. — Appliquons les principes de calcul que nous venons de rappeler aux diélectriques. Considérons une particule et cherchons les conditions d'équilibre de cette particule sous l'action lies forces qui agissent sur elle.
Décrivons autour de cette particule une sphère très petite d'une manière absolue, mais pourtiint assez grande pour ([u'elle contienne un assez grand nombre de particules, (^[uelles sont les forces qui agissent sur cette particule ? Ce sont :
i** Les forces extérieures à la sphère que nous venons de construire, l'évaluons ces forces. Introduisons pour cela un vecteur qui joue le même rôle que l'aimantation.
Fig. 57.
480 DIÉLECTRIQUES
Soient, a\ y^ z^ les coordonnées d'un point à Tétai d'équilibre
et .r, y^ z les coordonnées de ce même point à Tétat actuel. Le moment électrique aura pour composantes, en désignant par e la charge de la particule,
Soit Dt le volume de la sphère que nous avons décrite autour de la particule considérée et désignons par X, Y, Z la valeur moyenne de e (.r — .rj, etc.; on aura
\ e(.r — a\,) =XDt,
> e (^ — z^ = ZDt.
Le signe > s'étendant à toutes les particules qui se trouvent
à rintérieur de la sphère S^.
X, Y, Z joueront donc le même rôle que A, B, C.
Dans le cas du magnétisme, nous avons vu que la densité du
mairnélisinc à rinlérieur de réiément de volume dz était
ax
Dans le cas d'un diéleclricjue nous aurons d une manière analogue, on remphiçant le vecteur iA,B,Cr' par le vecteur (X, Y, Z)
Donc,
\\=-lh\
^ (Lr '
le signe > du premier membre indicjuant que la sommation doit s'étendre à toutes les particules contenues dans le volume Dt, et
ÉLECTROSTATIQUE 481
le signe N du second membre indiquant une permutation circulaire entre les lettres X, Y, Z ; .r, y^ z.
Dans le cas du magnétisme, la relation de Poisson s'écrivait,
Aû= 47tV
rfA
dx '
nous aurons maintenant,
4?^ VI d\
\» __ 4^ V ^A • ~ Ko Zj d,v '
en désignant par J; le potentiel électrostatique et en divisant le second membre de cette relation par K^,, car, comme nousTavons déjà dit, nous emploierons les unités électromagnétiques.
Si la cavité a la forme d'un cvlindre infiniment délié et si elle est orientée comme le vecteur (X, Y, Z), la force électrique fiura pour valeur
dx
Si la cavité est cylindrique, mais infiniment applatie, la force électrique sera,
dx Ko Dans le cas d'une sphère on aura,
^'^ ~dx-^T'"K:^
et c'est ce dernier cas qui nous intéresse pour le moment. L'expression (i) représente la force électrique due à la partie extérieure à la sphère S.
Or nous savons que
p-i!L/__ii iL
Ko ' dx dt '
dV mais dans le cas actuel (état d'équilibre) -7— = o : le potentiel
vecteur est nul.
PoiNCAHÉ, Éleclricilê et Optique. 3i
4 8 i DIÉLECTRIQUES
Il reste donc
V = ^f= — ^, Kq ' dx '
I/expression (i) devient alors
Ko '^ Ko 3 ' ou encore si la charge de la particule est e,
'2^ Action des particules intérieures à la surface S'. Coiiiine dans le cas des aimants cette action est nulle.
y La force qui ramène la particule à sa position d*équi libre. Cotle force est proportionnelle à l'écart si cet écart est petit. On a donc pour cette force.
372. — T.a somme des deux projections ^2) et (3) doit être nulle ; ceci sccril
(1011 eu multipliant par c les deux membres de cette relation,
Pour avoir X, faisons la somnn» des relations pareilles pour toutes les particules qui sont l\ rinlérieur du volume Dt et divisons par Dt ; il vient ainsi,
ÉLECTROSTATIQUE 4^3
Posons maintenant,
La relation (4) devient,
d'où
f=Hx-T)-
Cette relation nous montre qu'il y a proportionnalité entre /et X; explicitons le facteur de proportionnalité. D'abord nous savons que Maxwell, dans un diélectrique autre que Tair, considère le déplacement en bloc, qui correspond dans la théorie de Lorentz à celui du à Téther, /', et à celui du à la particule, X. Do sorte que
d'autre part
4~ f (lif K„ ' dx '
f K„ d'I ' &,- dx'
donc,
d'où
K Kq K — Kq
Le Facteur de proportionnalité a donc pour valeur p — ^
484 DIÉLECTRIQUES
B. Elecïrodynamique des coups en hepos.
373. — II convient de remarquer que nos sens grossiers ne peuvent atteindre que la valeur moyenne des phénomènes ; on aura besoin par conséquent, dans la suite, de considérer la valeur moyenne de nos lonctlons ; il s'agit alors de voir si les formules ({ue nous avons trouvées précédemment subsisteront dans ce cas.
D'abord, la valeur moyenne d'une fonction // au point (x, y, z) c'est
l'intégrale étant étendue a une petite sphère de rayon s ayant pour centre le point (.r, //, z).
11 résulte de là que
du du
dx dx
