AVERTISSEMENT

Dans cette nouvelle Edition, I’Algèbre est divisée en deux sections qui forment neuf chapitres, et qui correspondent à l’ordre adopté dans les Collèges royaux pour l’étude des Mathématiques.

La r remi ère section , composée de cinq chapitres , renferme la partie de l’Algèbre qù’on enseigne dans la classe de Mathématiques élémentaires ; elle contient les connaissances algébriques exigées , pour l'admission directe dans la Marine en qualité d’élève de seconde classe , et pour la sortie de l’École de Marine cT Angouléme, de l’École spèciale militaire de Saint- Cyr, et de l’Ecole Forestière.

Nous allons indiquer les principaux articles qui distinguent cette édition des précédentes.

On admet ordinairement en Algèbre, que les propriétés qui conviennent aux quantités commensurabies, s’appliquent aux incommensurables; j’ai pensé que ce principe n’étant pas admis en Géométrie, il était nécessaire d’en donner une démonstration générale.

La manière dont on démontre ordinairement la règle des signes pour la multiplication des monomes me parait peu rigoureuse; je crois que les raisonnemens que j’emploie satisfont mieux l’esprit, parce qu’ils ne sont qu’une extension de la définition que j’ai donnée de la multiplication arithmétique.

La définition que j’ai adoptée pour les exposans me fournit le. moyen d’interpréter le sens qu’on doit attacher à l’exposant zéro, et aux exposans négatifs.

J’ai fait voir , à l’aide d’un artifice de calcul , dans quel cas. xm ±.am est divisible par xdza.

Pour faire apprécier les avantages de l’Algèbre , j’ai résolu par son moyen, une partie des problèmes qui se trouvent dans mon Arithmétique.

J’ai consacré un paragraphe à la Théorie des inégalités, que j’ai traitée d’une manière nouvelle.

J’ai cru convenable de faire connaître avec détail, les pro-y ’

vj ; AVERTISSEMENT.

j>r (étés des trinômes du second degré qui servent dans l’ application de l’Algèbre à la Géométrie,

La résolution de quelques problèmes du second degré m’a conduit à reconnaître , par un caractère général j si des formules peuvent convenir à d’autres équations que celles dont elles ont été déduites.

J’ai fait voir que les nombres qu’on a désignés en Arithmétique sous le nom de logarithmes > et qui résultent de la comparaison dfe deux progressions, peuvent être considérés comme les cxposans des puissances auxquelles il suffit d’élever une quantité constante pour obtenir les nombres dont on cherche les logarithmes. On trouvera dans les notes le moyen de calculer les limites des erreurs que l’on peut commettre en faisant usage d’une table de logarithmes.

La deuxième section , composée de quatre chapitres , renferme la partie de l’Algèbre qu’on voit dans la classe de Mathématiques spéciales.

J’ai complété la théorie du plus grand commun diviseur au moyen de deux théorèmes que j’ai extraits d’un mémoire qui vient d’être publié par mon collègue M. Lefébure de Fourçy.

Dans le septième chapitre , qui traite de la théorie générale des équations , je n’ai pas cru devoir considérer les valeurs infinies des inconnues, parce qu’elles ne servent que dans V Analyse appliquée ■ J’ai supposé que toute équation a une racine ; ce théorème important, qui sert de base à la résolution des équations numériques, a été démontré par M. Cauchy ; mais cette démonstration ne saurait trouver place dans un ouvrage élémentaire.

Les sept premiers chapitres composent la partie de F Algèbre qui est exigée pour l’admission à f École Polytechnique.

Le huitième chapitre renferme diverses questions qui sont propres à exercer l’esprit des élèves et à les disposer aux examens. Parmi ces questions, il enr est qui m’ont conduit à une méthode à l’aide de laquelle on peut souvent éviter les valeurs des inconnues qui ne conviennent pas au problème proposé.

Le neuvième et dernier chapitre contient diverses théories qui sont de nature à prépaivr aux cours de l’Ecole Polytechnique .

AVERTISSEMENT. vij

J’ai donné dans le n° 335, deux démonstrations de la formule du binôme de Newton pour un exposant quelconque.

La première de ces démonstrations, qui est celle d’ Euler un peu simplifiée, supposequel’on connaisse le développement dans le cas de l’exposant entier positif.

La deuxième démonstration , que j’ai publiée pour la première fois en 1800 , ne suppose pas, comme on le fait ordinairêment , que l’on connaisse d’avance la forme du développement; et elle convient immédiatement au cas 011 l’exposant est positif ou négatif, entier ou fractionnaire.

J’ai conservé dans cette édition, la Théorie des équations réciproques telle que je l’avais exposée pour la première fois dans l’édition de mon Algèbre publiée en 1800. On appelait équations réciproques , celles dont les coefficiens des termes également distans dès extrêmes étaient égaux et de mêmes signes. La nouvelle définition que j’ai proposée, et qui est aujourd’hui généralement adoptée , m’a fourni le moyen de résoudre nonseulement les équations de cette forme, mais encore celles dont les coefficiens des termes, également distans des extrêmes sont égaux et de signes contraires.

La Théorie des fonctions symétriques n’étant pas exigée pour l’admission à l’Ecole Polytechnique, n’a pu trouver sa place dans les sept premiers chapitres de ce Traité. J’ai donc été forcé de donner l 'élimination par le procédé du plus grand commun diviseur, afin d’en déduire le moyen de calculer l’équation aux différences qui est indispensable dans la recherche des racines incommensurables d’une équation numérique à une seule inconnue. Ce mode d’élimination , le plus simple dans la pratique, a l’inconvénient de conduire à une équation finale qui tournit quelquefois des valeurs étrangères de l’inconnue.

Les élèves qui étudieront la théorie des fonctions symétriques, feront bien de s’en' occuper avant de passer à la résolution des équations numériques ; ils en tireront l’avantage , indépendamment de l’importance que cette théorie présente par elle-même, de parvenir directement à l’équation aux quarrés des différences, et de pouvoir ainsi calculer les racines incommensurables d’une équation à une seule inconnue , sans avoir recours à aucune mé-

viij AVERTISSEMENT,

thode d’élimination. Ils auront en outre la facilité de traiter la théorie de l’élimination au moyen des fonctions symétriques, et d’éviter ainsi les discussions embarrassantes qu’offre cette théorie lorsqu’on la donne par le plus grand commun diviseur.

On doit cependant observer que lorsqu’on a recours à l’élimination pour résoudre deux équations à deux inconnues , la méthode du plus grand commun diviseur est la plus commode, parce qu’elle fait dépendre la résolution des équations propbsées, de la recherche des solutions de deux nouvelles équations dont l’une, qui ne renferme qu’une inconnue, fournit les valeurs de cette inconnue, et dont l’autre qui est généralement du premier degré par rapport à la seconde inconnue, détermine les valeurs correspondantes de cette inconnue. Il n’en est pas de même quand on obtient l’équation finale par les fonctions symétriques; cette équation ne renferme à la vérité que les bonnes valeurs d’une des inconnues, mais comme il faut substituer chaque fois la valeur exacte de cette inconnue dans les deux équations proposées, pour déterminer les valeurs correspondantes de l’autre inconnue, on ne saurait obtenir de cette manière que. les solutions qui correspondent aux racines de l’équation finale dont on connaît les valeurs exactes.

J’ose espérer que la comparaison de cette nouvelle édition avec les précédentes, fera voir que j’ai cherché à profiter des avis que j’ai reçus des personnes qui veulent bien enseigner mes ouvrages; je dois particulièrement des remerciemens à M. Mayer, ancien élève de l’École Polytechnique.

On pourra passer à la première lecture les articles dont les numéros sont précédés d’une étoile *, mais il sera utile d’y revenir ensuite.

Les numéros placés entre parenthèses indiquent des renvois aux articles correspondans de Y Algèbre de mon Arithmétique (4' édition). Ainsi, dans la page 177, le signe (n° 19) renvoie au principe de l’article 19 (page 24)» et dans la page 5o, le signe ( Arith . n° 5i) renvoie à l’article 5i de mon Arithmétique (page 47)-

TABLE DES MATIÈRES