SIS
Si le nombre ■%. partager était
3plas5,OQ... 8, le 8* de 8, ou i, 35 fois Xy on 35^
La 1^* partie aérait
La 3* serait
le 8«de8, ou -»
io5
Ie8ttde5,oa g,
35 fois g, ou -g-, 35 fois g y ou -|-,
Le rapport lenût
io5 3
— = 9 on -s»
Les parties demandées sont donc ^ et ^ ; elles satkfont ..^ aux conditions du problème , car leur somme est -^ plot^^ ou ^^ ou 35 ; et leur rapport se réduit à | , puisque. . •
^:^ :: io5: 175 :: 3:5.
99. Partager 45 en trois parties proportionnelles aux nômr ires 3, 5^ 7. Cela signifie.. . .
que la somme des trois parties doit être 45 , que la ]'• doit être k Ja d* comme 3 est à 5^* I
qne la f doit être k la 3« comme 3 esc à 7, et qné la a* doit être à la 3* cotnme 5 est à 7. ;
Les parties doivent donc satisfaire à ces quatre conditions $ 4iais il est facile de prouver que la dernière condition nVst qu'une conséquence des deux précédentes , de sorte qu'il suffira d'exprimer que les trois pitiés demandées satisfont aux trois premières conditions. En effet,
' La !*• partie étant 2i la a* comme 3 esc à 5^ oa comme i est II «f
. et là i^^ partie ëtant à la 3« comme 3 est à 7 , ou comoM t est à ^|.'
ijsunfiuke
qofi la a« partie est les a de la !'•,
fteac cofio...
èl que U 3* partie est les ^ de la !'•. u a* pwtn «t i )• j* :: } ? I :: f : >
inii , pour partager 45 en trois parties proportionnelles aux tambres 3,5,7/ il suffiM* exprimer que la somme des parties Srt 45/ que la i^* est à la Si* comme 3 est à 5; et que la i^' tst à- ta 5* isomme 5 est à y.
' loo. D*après cela , tout ce qui a été éUt sur le rapport entre deax nombres, s'applique à une suite de rapports entre plutieurs jtombres , de sorte que si le nombre à partager devient un cèttûin nombre de fois plus grand ou plus petit , ses par-^ ies, pour conserver les mêmes rapports, doivent devenir le même nombre de fois plus grandes ou plus petites. Ces remarques conduisent au calcul suivant. . •
Si 1^ nomîire à partager ^tait
3pl. 5 pi. 7, ou i5, ki5*<lei5;oa i,
45 fois I y ou 45;
La i>^« partie serait
45 fois-^i ou 9,
La a* serait
le i5®(îe5,ou-=,
45 foî»-r, ou l5,
La 3* serait
le io«de7,ou-^i
45 fois-^, ou ai.
' Les parties demandées sont donc 9,i5 , ai. Elles satisfont à kmtes les conditions du problème , car leur somme est 45; et^ enles divisant par 3, ce qui ne change pas leurs rapports (n^ga)^ taretreiiye les nombres 3, 5, j% De sorte que. • .
La i'« partie : la a» : la 3« :: 3 : 5 : 7r
.101. Si l'on proposait de partager 45oo en pattiêS ptoporiomielles aux mêmes nombres 3, 5,7; comme le nombre à 'partager serait ibo fois plus grand , les parties seraient 100 fois. ^ g;rànâes; elles deviendraient donc 900, i5bo, et aïoo.
10a. Partager 78 en trais parties telles , que la i'* soit à la V, comme a est à'3; et que la 1^' soit d ta 3' comme 5 est à 7. Celte question se ramène facilemefat à la précédente , car il aaffit de chetcher quelles seraient les parties, si la !'• était rmiité. Or, d'après l'énoncé , la a* partie est les | de la 1" ,
la 3^ est les i de la i" ; conséquemment , si la 1" partie
5a INTRODUCTION
était 1 , la a* serait f , et la 3* serait ^ ; les parties demai doivent donc être proportionnelles au^ nombres i , f 9 1 • simplifier , on multipliera ces nombres par 16 ^ ce qui ne cl pas leurs rapports , et la question sera enfin réduite i par 78 en trois parties proportionnelles aux nombres 10, 1 5 Raisonnant comme dans le n^ 99 ^ on dira ; si le nombre à tager était 10 plus i5 plus 14, ou 39, les parties seralen' i5 et i4> sî 1<^ nombre à partager était 1 , les parties ser 7?> fl' il > °^^ ^® nombre à partager est 78 ^ les p. demandées sont doue égales aux précédentes multipliées pa Ainsi y la i"^* partie je5t.78 fois ^, ou 20; la a* est 78 foi ou 3a; et la 3* est 78 fois -jf , ou 28. Les parties ao, 3o satisfont à toutes les conditions du problème , car leuf so: est lé nombre 78 à partager ; et
la !'♦ partie : la a* :: 20 : 3o : : 3 : 3; la ir« ^rtie : la 3* :: ao : a8 :: 5 : 7.
io3.. Si y les parties conservant les mêmes rapports , le noi c partager devait être 100 fois 78 , ou 7800 ; les parties^ de ^tre 160 fois plus grandes^ seraient acx>o , 3ooo , aSoo.
io4* Ce qui précède donnant une idée exacte des rap| tSrects y et mettant â même de résoudre toutes, les quest relatives à ces rapports, il est naturel de cbercher kfain pendre la théorie des rapports inverses , de celle des rapf -directs. Poui: J .parvenir , nous résoudrons le problème sui\
io5. T^fiis hommes ont fait un ouvrage en J^ jours, d Jfienfaudrai^ild hommes pour faire le même ouvrage en^joi Sien 4 ]Oiirfc,rouvrage est fait par 3 hommes, en 1 jour F vrage sera fait par la hommes ; en 3 jours Touvrage sera par 4 honunes. Le même ouvrage sera donc fait. . •
eu 4 jonn ^ar 3 hommes »
'OU eh ^ ionn par 4 hoi9mes.
On voit donc que les temps employés à faire le même < ^age étant 4 jours et 3 jours , les nombres d'ouvriers con f ondans soixt 3 et 4 ; de sorte que les temps emplojrés i £1
AL* ALGÈBRE. 53
e oorrage étant comme 4 est à 3 , les nombres d*oa* rocTcspoadans sont comme 3 est à 4- Mais Us temps » dfitire le même ouvrage so¥U dans le rapport inverse ibres JP ouvriers (n"* 88). 0 est donc prouvé que. . •
â ni nppoit invene est comme 4^**^ 3»
le ifyutt diiect coneqpoodâat eit comme 3 cu à 4*
On en déduit cette règle générale : Pour passer d'un
inverse au rapport direct correspondant , il suffit de
r f ordre des termes du premier rapport , c'est-à-dire de
le i'^ ferme à la place du a' , et le ^* à la place du i^..
ipoTts rnicftcs ^tanC. . • •
comme 4 est à 3 , ob comme 5 est à 7 , xti dûedi eorrespoDdani sont. . . •
comme 3 est à 4} ou comme 7 est à 5*
mz quantités sont comme 7 est à g ; leur rapport direct leur rapport inverse sera celui de g i 7 , ou |. En général , si le rapport direct de deux quantités est éjHxr une fraction , le rapport inverse de ces quantités al à la fraction renversée.
Les sohitioQs des problèmes précédens se déduisent plus grande facilité de la théorie des rapports ; mais iter des répétitions inutiles, nous ne considérerons qu'un ne de chaque espèce.
Dans la question du n^ ig > où il s'agissait de trouver de 5 aunes .de drap; les 122 aunes coûtant 48^* On Merver que les prix étant proportionnels aux nombres ; comme 5 est les -^ de 12 , le prix des 5 aunes est !u prix 48* de 12 aunes, c'est-à-dire ao*.
Dans le n^ 22, il s'agissait de trouver combien on au^ unes de drap pour 20^ , les 12 aunes coûtant 48^. Less d'aunes de drap étant proportionnels aux prix \ commeles fl de 48 , pour 20* on aura les ^ de ce qu'on » J*> c'est^-dire les f| de 12 aunes ^ ou 5 aunei.
54 INTltODUCTION
i 1 1 . Dans le n"" 27 , où il s'agissait de trouver l'ouvrage ouvriers , lorsque 4 ouvriers font 20 toises. On dira" : les vrages sont proportionnels aux nombres d'ouvriers ; mais j les I de 4> louvrage des 9 ouvriers sera donc les | des âQ toi faites par 4 ouvriers , c'est-à-dire 45 toises.
Dans le n^a^ , où 3 hommes ayant fait un certain ouvragii Z jours, on demandait combien il faudrait employer d^hor/M pour faire le même ouvrage en 4jaurs ; comaie les temps e^ ployés à faire le même ouvrage , sont en raison inverse (^ 4 nombres d'ouvriers , les temps étant dans le rapport de 81^ les nombres d'ouvriers correspondans sont dans le rapporta verse ^ c'est-à-dire comme 4 est à 8. Mais 8 est le double dei le nombre d'ouvriers cherché sera donc le double de 3 > oui
Dans le n'' t»4 > ^^ demande combien il faut prendre d'aun de toile â | pour doubler 3o aunes de drap à |. La solutil de ce problème se déduit de la théorie des rapports inversés, t . effets pour couvrir une surface donnée^ il faut d 'autant pi d'aunes de toile que la toile est moins large ; conséqaemmei pour former la même surface , les nombres d'aunes doivent é en raison inverse de leurs largeurs; mais les largeurs de la'bc et du drap 'sont comme f est à |, ou comme 5 est à 6 ; pour couvrir la même surface , les nombres d'aunes de et de drap doivent être dans le rapport inverse de 5 â 6 ^ ,0^4 à-dire comme 6 est à 5 ; mais 6 est les | de 5 ; la quantkélf' toile demandée est donc les | de 3o aunes ^ ou 3S aunes. -
112. Dans la question du n^ 4^> ^^^ gains sont propoi nels aux mises ; on obtiendra donc ces gains en partage gain total 4^00^ , en parties proportionnelles aux mises! 5oo* , 700* ; mais ces mises sont entre elles comme leurs tièmes 3 , 5 , 7. Il suffit donc enfin de partager 45oo* en proportionnelles aux nombres 3,5, 7 ; ces parties sont ^^ir- 45oo*, et 2100* (jf 101); qlles expriment les gains chei
(■»} Le» e^pres^ioà» rapport inve/sç Qt raison inverse «ont synoniioer ^'
: ii3. TJn homme laisse, en mourant, jSoo^ à sa femme enceinte, \ à condition que , si elle a un fils , elle prendra 3i ao^ , et lejiû . U.reste 4680* ; et que , si elle a une fille, la mèreprendra 3a5o*, H-lafiile le reste 455o^. Elle accouche dunjils et d'une fille. Il s'agit de découvrir comment on peut satisfaire aux volontés du testateur. Puisque la somme 7800^^ qui devait n*être partagée qu'entre deux personnes , doit Tétre entre trois , les parlies ne 'peuvent plus être les mêmes. On doit donc chercher tctÔB parts qui conservent entre elles les rapports énoncés dans ^ le ' testament ^ et dont la sonune compose Théritage 7800^. ^ Mais. ...
Lft part de la mère : ceUe dn fils : : 3i7oif : 4680''^ : : 9. i56o : 3. i566 :: a : 5 f
LapuTtdelaiiièreicelledela Glle ::3j5o'^: 4S5o^::5.G5o .-7.650 ::5:7.
Conséqnemment , si Ton considère la part de la mère comme h 1'*, celles du fils et de la fille comme la a* et la 3* , la question sera réduite à partager 7800^ en trois parties telles , que la l^'soit à la a' comme 2 est à 3, et que la 1^* soit à la S' comme Sest à*^. Ces parties sont aooo*, 3ooo* et a8oc* (n* io3) ; elles expriment les parts respectives de la mère , du fils et de la fille. Elles satisfont à toutes les conditions requises , car leur somme compose Théritage 7800''^ ; la part de la mère est les | de celle , dn fils ^ comme 3iao^ est les § de 4680^ , et la part de la mère est les f de celle de la fille , comme 3a6o^ est les f de 455o^.
il 4* Dans quelle proportion doit-on mêler de la poudre à ^^ la livre avec de la poudre à \JI(^ la livre , pour que la livre du mékuige revienne à ao*^ ? On prendra arbitrafrement le ■ nombre des livres du mélange. Ajant choisi 10 livres, par : exemple , on trouvera , comme dans le n® 5^ , que le mélange de 10 livres doit être composé de^fitt à 24*^ et de 4^) à 14^; de sorte que le rapport demandé est celui de 6 à 4» ou de 3 ■' i s. Ce rapport étant déterminé , si on voulait former un mé* lange de aSfe; on diviserait aS en deux parties proportionnelles aux nombres 5 et 2; ce qui donnerait i5 et 10 ; on en conclu^ T^it que le mélange de a51b à ao^ la livre ^ doit être composa de ibh à a4*^ et de lotb à i/^.
1 15. Un courtier offre à un marchand^ des vins de 'Bordeaux^
Champagne , Bourgogne , et Malaga ^ dont les prix respectifs
sont 40-^ > i6^> lOr^ et 5o^ la bouteille. On suppose ^ que les quor*
lités des vins de Bordeaux et de Champagne sont comme 4 ^
à5; que les qualités des vins de Champagne et de Bourgogne iont
tomme 5 est à 2 ; que les qualités des vins de Bourgogne et de
Malaga sont comme q est àg ; et que le marchand vendra ces
vins en raison de leurs qualités. On demande quel est le vin dont
la vente procurera le plus de bénéfice au marchand. Puisque le
marchand vendra ses vins en raison de leurs qualités , les rap-»
ports des prix de vente sont les mêmes que ceux des qualités;
pous pourrons donc, en partant du prix de vente du vin de
Bordeaux , en déduire y à l'aide des rapports établis entre lee
qualités , les prix de vente des autres vins. Comparant alors ces
derniers prix avec les prix d*achats^ nous verrons quels sont le^
vins dont la vente procure le plus de' bénéfice au marchand ;
et par conséquent « la question sera résolue. Suivona cetto
marche.
Les prix de vente des vins de Bordeaux et de Champagne» sont comme leurs qualités , c'est-à-dire comme 4 est à 3 ; mais S est les I de 4 9 le prix de vente du vin de Champagne , est donc les J dé celui du vin de Bordeaux ; et par conséquent ^ si le prix de vente du vin de Bordeaux est 48^, celui du vin de Champagne sera les | de 48^9 ou 36^. Les prix de vente des vins de Champagne et de Bourgogne sont comme 3 est à a ; le prix de vente du vin de Bourgogne est donc les | de celui du vin de Champagne , c'est-à-dire les | de 36^, ou 24^* Les prix de vente ded vins de Bourgogne et de Malaga étant comme 9 est à 9 , le prix de vente du vin de Malaga sera les -| de 524*^» ou 108*^. Actuellement que nous connaissons les prix d'achat et de vente > nous pouvons en former le tableau comparatif suivant, ««
A L* ALGEBRE.
sr
ViOMS lïFS YIHS.
