SUR LA DIVISIBILITÉ DES NOMBRES

et l'unité, est appelé nombre premier absolu^ ou simplement nombre premier.

Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu'ils ; A'ont d'autre diviseur commun que l'unité' (qui est diviseur de tout nombre).

n résulte de là qu'un nombre /;rem/er qui ne divise pas exactement un autre nombre entier, est premier avec cet autre , puisque alors ils ne peuvent avoir de dinseur commun que Fiinité.

Ces définitions ont déjà été établies au numéro 5i. F 1517. Premier principe. — Tout nombre entier P qui dis^i^e t^aciement l'un des facteurs du produit A XB, dis^ise néces^ ^airement le produit; ou, ce qui revient au même, tout Hombre entier qui en divise exactement un autre , divise iie- ^essaîrement les multiples de cet autre nombre. ( Voyez

En effet, soit Q le quotient supposé exact, de la division de ^ par P;onaA = PxQ9 d'où , multipliant les deux membres ïe cette égalité par le même nombre B,

AXB=;PXQXB=PXQB (n^ae);

^n voit donc que P divise exactement le produit AB.

WB. Second principe. — Tout nombre entier P qui divise fBXactement un produit AB, et qui est premier avec Vun des mieux facteurs , divise nécessairement Vautre facteur. ^ Supposons , par exemple , que P , diviseur exact du produit JkB , soit premier avec A , je dis que P doit diviser B.

En effet , puisque A et P sont deux nombres premiers entre '^mix , il s'ensuit que, si on leur appliquait le procédé du ^^mmun diviseur (n®â2), on parviendrait, après un certain Nombre d'opérations , à un dernier reste égal à i . ■ Appelons R, R', R", R"'. . . . i, les restes successifs de cette Série d'opérations (R% R% R"'. . . . s'énoncent Rp""^% R««o«d*^

-f Cela posé , si , au lieu d'opérer sur A et P , on appliquait M procédé aux produits AxB, Px B, il est facile de voir qw

I f]/^ PRINCIPES

dans cette nouvelle série d'ope'rations , on obtiendrait les mêmes quotiens que dans la première ; mais les restes seraient respectivement R X B , R'x B, R'' X B . . . , i X B. Par conséquent y comme le plus grand commun diviseur entre A et P est I, celui des produits Â.xB et PxB, est nécessairement IX B, ouB.

D*un autre côté , il suit du troisième principe établi n^ SI | que tout nombre qui en divise deux autres , divisa leur pbu grand commun diviseur, puisqu'en vertu de ce principe, il doit diviser le reste de chacune des divisions auxquelles donne lieu le procédé du n® ^2. Or P divise A X B par hypothèse ; il divise aussi évidemment P X B ; donc il divise i X B ou B; ce qu^il fallait démontrer.

N. B, — Il est nécessaire de supposer que P est premier avec Tun des deux facteurs; car, par exemple , 56 X i5 ou 84^^! divisible par 40 et donne pour quotient 21, quoique aucun (kt nombres 56 et 1 5 ne soit divisible par 40. Cela tient à éé qœ, 40 étant égal à 8 X 5, le premier facteur 8 se trouve dansôf ou 7 X 8, et le second facteur 5 se trouve dans i5 ou 5 X Si donc 56 X i5 est égal à 7 X 8x5x3, ou 7X3x8x5, ou enfin, à 21X 4^*

129. Troisième PRINCIPE. — Tout nombre premier absolu? ^ qui divise exactement un produit A X B, doit diviser Vun ie$ deux /acteurs.

En effet , supposons que P ne divise pas A , il est nécessaii«-|^*ment^/Tcmicr avec A (n* 126) ; donc il doit diviser B (n*it8).

De là résultent les conséquences suivantes :

150. 1**. Tout nombre premier absolu qui divise A*, et en général une puissance quelconque A"* de A, doit diviser A.

En effet , A* est la même chose que A X A. Or, tout nombit premier qui divise co produit, doit (n® 129) diviser Ton des facteurs. De même A^ élant é(;al à A* X A , tout nombre premier qui divise A^ doit diviser A ou A'; et pour diviser cel^ dernier facteur, il doit diviser A ; ainsi de suite. fi'

151. a**. Tout nombre P, premier avec chacun des dbtf||ci facteurs dtun produit A X B , est aussi premier avec ceproèM ire

SUR LA DITISIBILlTé DE8 IfOnSES. É^S

En e£Eety un nombre premier absolu qui diviserait AB^ devrait diviser A ou B; ainsi P et A , ou bien P et B, ne seraient pas premiers entre eux ; ce cjui serait contre fai suppoaition.

152. 3"*. Lorsqu'un nombre N a été formé par la multipUea* tion de plusieurs autres. A, B, C| D. . • • , ce nombre ne peut €nH>ir d autres facteurs premieks que ceux qui entrent déjà dans A,B,G,D...

En effet ,,tout nombre premier qui divise le produit ABGD et ne divise pas D, doit diviser ABC (n"* iS9} ; de même , tout nombre premier qui divise ABC et ne divise pas G , doit diviser AB , et par conse'quent A ou B.

Ainsi y en d'autres termes , un nombre étaniformé parla mul"

■ tiplication de plusieurs autres, on ne peut l'obtenir de nou-»

veau en multipliant des nombres qui renfermeraient des fac^

teurs premiers différens de ceux qui entrent dans les nombres

déjà multipliés,

155. Quatrième et DERiriSR principe. — Tout nombre N, di-^ visible par deux ou plusieurs nombres, a^ by c, , j premiers entre eux, est divisible par leur produit.

En effet , puisque a divise N , on a l^=zaq , q étant un nombre entier ; mais par hypothèse, b divise aussi N ; donc b divise aqi et comme a^ b^ sont suppose's premiers entre eux, il faut (n** 128) que b divise exactement q,et l'on a ^ = bq'; d'où l'on déduit N= a X bq' z=zab^ q\ Ainsi N est divisible par ab.

Pareillement y c divisant I), doit diviser ab'X.q'; d'ailleurs, c est premier avec ay b j et par conséquent avec ab ( n^ i5i). Donc, c doit diviser q'y et l'on a j'' = cg^.; d'où l'on tire W =s tfé X cq^ssabc'X q" ; ce qui prouve que N est divisii^A par abc ; et ainsi de suite.

154. Conséquence. — Siayby c, ..y étant des nombres pf^ miers entre eux , chacun entre comme facteur dans N uq cer^ tain nombre de fois exprimé par /t^ /?, g. . . , le nombre N est divisible exactement par a^b^cfi . . . , et par tous les nombres qu'on peut obtenir en mtiltipliant deux à deux , trois ft trois , etc. . . I les diverses puiissances de a yfr^^c. .. , comprîtes dé^