Le coin étant frappé sur sa tète, recevra une impul

sion qui représentera la puissance; nous supposerons que cette impulsion soit perpendiculaire à la tête du coin ; car si elle ne l’était pas , elle pourrait se décomposer en deux forces l’une perpendiculaire à la tète du coin, et l’autre dirigée dans son plan. Cette dernière force ne tendant qu a faire glisser la puissance sur la tète du coin , nous ne la considérerons pas. - *

•i;. iàu. Cela posé, soit ABC (fig. i3a) le coin vu de profil , AC et BC' en représenteront les côtés ; alors la tête du coin sera la droite AB, sur laquelle la fôrcc P agira perpendiculairement.

Cette force tendant à écarter les côtes AC et BC , ne peut être contrebalancée que par l’adhérence mutuelle des particules du corps : or, cette adhérence n’etant pas la même dans toutes les substances, nous 11e pouvons évaluer le rapport île la puissance à la résistance dans cette machine. Ainsi nous chercherons seulement le rapport de la puissance aux pressions exercées sur les côtés AC et JBC. • >

Pour cet effet, ayant représenté la force F par la droite arbitraire DE, on mènera sifr les côtés AC et BC, les perpendiculaires DM et DN ; et ayant construit le parallélogramme DI F, K , les composantes DI et DK seront les pressions exercées

DES MACHINES

sur les côtés AC et BC. Nommons X et Y ces pressions, les triangles perpendiculaires >ABC , IDE nous donneront

DE : DI : IE :: AB : ac : BC,

ou , à^cause que IE peut être remplacé par DK , cette proportion deviendra i •

F : x : Y :: ab : ac :BC,

ou (fig. 1 33 ) Fig. i33,

F : x : Y :: ab x GH : ACx oh : BC x gh.

Les produits AB X GH , AC X GH et BC = GH représentant la tête et les côtés du coin, concluons que, dans cette machine ,’ la puissance F et les efforts X et Y qui-agissent sur les côtés du coin, sont proportionnels à sa tête et à scs côtés.

Le coin sera d’autant plus avantageux, que sa tête aura moins de surface, du que ses côtés en auront plus-; car alors les pressions latérales deviendront plus grandes à l’égard de la puissance- ' f . ’*

Du Frottement.

' al n'H '»r<4î'AJ>l* 9**'» .7. ’t>i 1 i?. 1

^'55. Lorsqu’un -corps' Tepose sur un plan horizontal', la résistance de ce plan détruisant l’effet de la pesanteur, la moindre impulsion lui donnerait du mouvement, s’il n’était retenu par des causes physiques qui s’oppo&nt ,à ce mouvement. La plus influente de ces causes est le frottement; on appelle ainsi cette force qui empêche un corps de glisser sur un plan , ét qui est due aux petites aspérités des particules matérielles qui engrènent les unes dans les autres, et qui occasionent une force passive qui augmente ou diminue la résistance, suivant que la puissance tend à pousser le corps ou A le retenir.

On a reconnu que le 'frottement était sensiblement propor-

14a STATIQUE.

tionnel à la pression, mais que cette loi cessait d’avoir lieu lorsque la pression devenait trop grande. Ainsi en représentant par / le frottement exercé par un corps homogène AB Fig. i34- (%• ï34), animé de l’unité de poids, si AB' est double de AB , le frottement sera a f ; si AB" est triple de AB , le frottement sera 3/; ainsi de suite : de sorte qu’en .représentant par F le frottement exercé par le corps AM qui renferme un nombre N d’unités de poids, nous aurons

a56. Voici comment on peutmesurer le frottement.

Fig «35 Soit AB (fig. i35)-le corps qui exerce l’unrité de pression Sur le plan horizontal LK. Ce corps étant sollicité par un fil CDE qui , passant par une poulie de renvoi, soutient le poids M; si l’on augmente successivement ce poids , l’intensité qu’il aura lorsqu’il sera prêt à vaincre la résistance, mesurera le frottement f exercé par l’unité de pression.

a57. Il existe une autre manière de mesurer le frottement, et cpii nous est donnée par le théorème suivant : Si l’on place Fig. i3G. un corps MN sur un plan incliné AC (fig. i36), et que l’on augmente l’angle A que le plan incliné fait avec l’horizon^ jusqu’à ce que le corps soit sur le point de glisser, l’unité de frottement / sera égale à tang A.

Pour le démontrer , menons pâr le centre de gravité G du corps les perpendiculaires GD et CK , l’une au plan horizontal , et l’autre au plan incliné. Représentons par GD le poids du corps, et décomposons GD en deux forces GH et GK, la première parallèle au plan incliné, et la seconde perpendiculaire à > ce plan , nous aurons *

GH = DK rp: GD sin DGK,

, GK = GDcosDGK;

or, les angles DGK et CAB sont égaux comme complémens

OF.S MACHINES

des angles aigus dont le sommet est en 1. Mous pourrons donc, Fig- i3Tk dans les équations précédentes, remplacer DGK par A, ce qui nous donnera

GH = GD sin A,

. , GK ~ GD cos A, 1

ou plutôt . ,

GH — N sin A,

GK. = N cos A.

La pression que supporte le plan incline étant exprimée par GK = MTcosA, l’intensité du frottement sera mesurée par NcosA.jf; mais le frottement étant la force qui empêche le corps de glisser, devra faire équilibre à la composante GH = N sin A qui agit dans le sens de la longueur du plan incliné , d’où il suit qu’on aura

N cos A .f N sin A.

On tire de cette équation

/=tangA... (i3a);

a58. Cet angle est ce qu’on appelle l’angle du frottement.

Il n’est constant, que dans l'hypothèse, où la loi qu’il suit est d’être proportionnel à la pression. En effet, nous n’avons obtenu l’équation (1 3a) qu’en employant celle du n" (i3i) qui renferme cette loi; mais, comme nous l’avons déjà fait rc-. marquer , on a reconnu qu’elle cessait d’exister lorsque la pression est fort grande. j Y-

a5<). Les différentes substances ayant les pores plus ou moins resserres , le frottement n’est pas le même pour toutes les matières; c’est pourquoi on a cherché à constater par des .expériences celui qui est propre à chacune.

Par exemple, voici quelques résultats que Coulomb a ob-

STATIQCE.

Fig. i36, tenus en cherchant le rapport du frottement à la pression: .

Fér contre fer /=o,a8.

Fer contre cuivre jaune.. . . /— 0,26,

Chêne contre chêne... /= o , 4^,

Chêne contre sapin f—o ,65.

Ces dernières valeurs ont été trouvées en mesurant le frottement suivant le fil du bois ; mais on sent qu’elles seraient bien différentes si ce fil était dirigé dans un autre sens que celui selon lequel agit le frottement ; car les aspérités du corps présentant moins de prise à l’engrenage , le frottement devrait être plus faible.

259- Le poli des surfaces et les substances onctueuses qtvon répand sur les corps , contribuent aussi à diminuer le frottement. •

C’est en ayant égard à toutes ces circonstance» qu’on pourra en perfectionner les tables. En attendant, , on peut consulter avec avantage celles de Brisson.

a6o. L’adhérence des corps eÿ encore üne des causés physiques qui s’opposent à leur mouvement. On ne peut l’évaluer d’une manière fort exacte, parce qu’elle est susceptible de s’accroître beaucoup avec le temps, dans les machines qui ne sont point en action, et, au contraire, de s’altérer quelquefois dans cellès qui sont en m<fU veulent.

La loi qu’elle suit est d’èfre sensiblement proportionnelle aux surfaces adhérentes. Ainsi , en représentant par d l’adherenée relative à l’unité de surface, celle qui a lieu sur la surface a aSra pour expression ad-

Théorie, du frottement dans quelques machines.

Fig. i3j. 261. Soient (fig. 1 $7 ) P le moteur et S la résistance appliqués à un point m d’un corps, et qui, le tenant en équilibre

DU FROTTEMENT DANS LES MACHINES. I/jÜ

sur un plan incliné, forment des angles a et a', avec la Ion- Fig. 137. gueur de ce plan. S’il n’y avait ni frottement ni adhérence , les conditions de cet équilibre se réduiraient à

Pcosa = Scos a'. . . (i33);

mais si l’on a égard au frottement et à l’adhérence , comme ces deux forces Sont contraires au moteur lorsque celui-ci tend à pousser m vers B , il faut qu’elles soient ajoutées à la résistance S cos et'. Pour les déterminer, nous remarquerons d’abord que la pression exercée sur le plan incliné provient nonseulement de la composante de P , perpendiculaire en m , mais encore de la composante de S, perpendiculaire au même point. La première a pour expression Psinet, et la seconde Ssin et'. La totalité de ces deux pressions sera donc la quantité que nous avons représentée par N dans l’équation, (1 3 1) , de sorte que la force due au frottement sera exprimée par ( P sin et -f- S si si1)/. Quant à celle qui est due à l’adhérence , nous avons vu qu’en supposant que a soit la surface sur laquelle elle agit, cette adhérence avait pour valeur a\ J». Ajoutant donc ces deux forces au second membre de l’équation (i33), nous aurons pour condition d’équilibre ,

P cos et ~ S côs a' + S sin et' ./ + P sin a ./ + a ;

on tire de cette équation

S cos a' -f- S/sin et' -+- fl ,,,,

cos ce — 1 sin ce

162. Si, au contraire, la puissance ne fait que retenir le point m , et que la résistance tende à l’entraîher vers B , ce sera cette dernière qui aura à vaincre le frottement et l’adhérence ; par conséquent ces deux "forces agiront en faveur du moteur, et devront changer de signe. 'Représentons donc par P' le moteur qui convient à cette hypothèse , nous

Èlém. de Mécanique. j q

aurons .

cos et -f- / sin a ' 7

263. Occupons-nous maintenant de l’équilibre du levier et de celui de la poulie , en ayant égard au frottement.

Supposons donc qu’un cylindre droit et vertical traverse tin levier : comme les circonstances sont les mêmes, soit que le cylindre tourne autour du levier, soit que le levier tourne autour du cylindre , nous adopterons cette dernière hypothèse , et nous considérerons un point m du levier qui ,38 (fig. i38), étant en contact avec le cylindre, est soumis à l’action du frottement. Si ce cylindre fixe est coupé au point m par un plan horizontal , nous pourrons prendre ce plan pour celui des x, y, et y ramener toutes les forces; car en les décomposant en deux groupes, les unes horizontales et les autres verticales , ces dernières seront détruites par le cylindre qu’on suppose fixe. Les sections du cylindre et du levier, pour le plan des x , y, seront respectivement représentées par le cercle »;BK' et par la courbe plane GIL. Cela posé , il résulte de l’immobilité du cylindre, que lepoint m ne pourra éprouver qu’un mouvement circulaire autour du point C où l’axe de ce cylindre est coupé par le plan des x, y. Le point m serait effectivement emporté suivant la circonférence de ce cercle, s’il n’était mis en équilibre par le frottement combiné avec la résultante R des forces du système , et avec la résistance qu’oppose l’axe fixe. Cette résistance étant une force normale qui agit suivant la droite mC, nous pouvons substituer cette force au cylindre fixe, et regarder le point m comme un point libre qui serait mis en équilibre par les trois forces suivantes : i° la force normale dirigée de m en C ; i° le frottement qui agit suivant la tangente mD; 3° la résultante R de toutes les forces du système. . .

26/,. Remarquons que quoique deux de ces trois forces

DU FROTTF.MEXT 1>AXS I.F.S SIAC1HXF.S. * 1 47

soient appliquées en m, il ne s’ensuit pas que la force R Fie i38. i

aboutisse aussi au même point m ; car bien qu’en général l’équilibre ne puisse subsister entre trois forces que lorsqu’elles concourent en un même point , les deux forces dirigées suivant les droites mJ) et m C peuvent être seules appliquées au point m , parce que la troisième force , en se rattachant 4 un autre point A, peut tendre également à entraîner m à l’aide des points du corps qui sont tous liés entre eux. î

D’après cette observation, il suffit qu’on ignore en quel endroit est situé le point d'application A de la force R , pour qu’on puisse le supposer différent de m. ‘

Ainsi les conditions d’équilibre de nos trois forces rentrent dans celles que nous avons prescrites art. ioi. ■ V

a65. Pour satisfaire à ces conditions , nous placeroiîs l’origine des coordonnées au point C , et nous représenterons par N la force normale qui forme des angles a. et C avec les axes ; par F le frottement qui forme des angles a! et C avec les mêmes axes, et enfin par h le rayon du cylindre, qui est censé être à peu près le même que celui du trou dans lequel on adapte le levier. A l’égard de R, qui est la troisième force , nous désignerons par X et par Y ses composantes dans le sens des x et dans celui des y , et par r la perpendiculaire abaissée du point C«6ur la direction de cette force.

Cela posé, la condition de l’art, ioi , qui exige que la somme des composantes dans le sens des x soit égale à zéro , revient à dire que l’une des composantes de ces forces est égale JHa somme algébrique- des autres; par conséquent, en prenant N cos x pour cette composante, nous devrons avoir

N cos « = X + F cos a'. . . (x 36).

Par la même raison , les composantes dans le sens des y nous fourniront l’équation

N cos C = Y -+- F cos C' . '. . '■ (i 37) ;

enfin la troisième équation d'équilibre, qui est celle qui dérive du principe des momens , rious donnera

fy- = FA... (i38), .

et dépendra , en mettant pour F sa valeur donnée par l’équa- •tién (i3i),

Rr=zHfh... (i3g).

266. Avant que de faire usage des équations (1 36) et (1 37), remarquons qu’une seule des quatre quantités angulaires sin a, cos a, sin a', cos a', qui entrent dans ces équations, suffit pour déterminer toutes les autres. En effet , l’aDgle rO Fig. i38. (fig. i38) des coordonnées étant droit, nous avons

cosC = sina;

Fig. 139. d’un autre côté, si l’on mène une parallèle FK à CB (fig. 13g), nous aurons

ou

pat conséquent

BFH = BFK + KFH ,

a! = 1 oo° a ;

cos a.'.— cos 100 cosV. — sin 100. sin a. = — sin a, cos C ou sin a / = sin 100 cos a -f- sin a cos 100 = cos a.

Au moyen de, ces valeurs de cosC, de cos et! et de cosC', les équations (i36) et (137) deviennent

N cos H3X — F sin a N sin a. — Y + F cos a

267 . Ces équations subissent encore une autre modification si l’on fait attention que le frottement exercé sur le point m est proportionnel à la force normale N , qui presse ce point contre le cylindire, ce que nous avons exprimé par l’équa-

UU FROTTEMENT DANS I.ES MACHINES. 1 4g

tion (i3i); par conséquent, nous pourrons remplacer F par N / dans les équations (140), qui nous donneront pour les valeurs de X et de Y ,

X rrr'NcOS* + N/shl a. \

Y = N sin a. — N/ cos st T"

mais X et Y étant les .composantes d’une force R , on a entre ces forces la relation

Mettant, dans cette équation, les valeurs de X et de Y, que nous venons de trouver, nous obtiendrons

R* r= N* ( sin* <* -f- cos* u} + N1/1 ( sin* st + cos* a),

équation qui , parce que la somme des carrés des sinus et des cosinus est égale à l’unité , se réduit à

Substituant dans l’équatibn (i3g) la valeur de R tirée de cette dernière, nous obtiendrons

Jh

Cette valeur de r est toujours moindre que h , parce que le „ dénominateur de la fraction — — — surpasse évidemment

son numérateur ; mais h étant le rayon du cylindre , il suit de là que l’équilibre n’est possible que lorsque la distance r du point C à la résultante , est au-dessous de ce rayon. Dans ce cas , on voit que la direction de cette résultante coupe nécessairement le cylindre. Cette condition, sans laquelle L’équilibre du levier , par le frottement , est impraticable , ne suffit pas encore ; car il faut en outre que R n’ait point d’autre valeur que celle qui est déterminée par l’équation (142) ; autrement

l50 STATIQUE.

l’ équation des momens, sur laquelle cette dernière repose, n’aurait pas lieu. ,

a68. Nous ferons remarquer ici que cette équation des momens exprime implicitement la condition que le frottement doit faire équilibre à la résultante de toutes les forces. En Fig. 140. effet, décomposons la force R représentée par AB (fig. 140) en deux autres, l’une AC dirigée au point C, et l’autre .dans le sens de la tangente AF. Il est évident que la première serait détruite par le point fixe C , et qu’il ne resterait que la composante AD , qui devrait par conséquent faire équilibre à la force F, qui agit suivant la même tangente, ce qui exigerait que AD fût égal à la force F, et agît en sens contraire. Or, c’est ce que nous dit notre équation des momens ; car en menant les perpendiculaires CI — r et AL = h , les triangles rectangles ABL, BCI, qui ont un angle commun, sont semblables , et donnent la proportion

donc

al : AB : : Cl : BC , h : R I : r ; AD ; Rr — AD. h.

Substituant cette valeur dans l'équation (i38), et divisant par h , ori trouve