CHAPITRE V

De l Hydrostatique.

5g. L’objet de 1 hydrostatique est de déterminerles conditions d’équilibre des liquides, et les pressions qu’ils exercent sur les parois des vases qui les contiennent,

Les propriétés des liquides dépendent de deux forces : de la pesanteur qui agit sur eux comme sur tous les corps , et de l’attraction moléculaire qui agit sur eux d’une manière déterminée pour les constituer à l’état liquide. Nous pouvons distinguer par la pensée ce qui appartient à chacune de ces forces ; car nous pouvons imaginer une masse d’eau qui cesse un moment d’être pesante, sans pour cela cesser d’être liquide; une telle masse ne pourrait plus ni tomber quand on l’abandonne , ni couler quand on la verse, et il est évident qu’elle n’aurait plus besoin pour être en repos, ni d’être soutenue sur le sol , ni d’être contenue dans un vase. Dans cet état , elle aurait encore un grand nombre de propriétés particulières qu’il serait curieux d’étudier , et parmi lesquelles la plus importante est celle qui est connue sous le nom de Principe d'égalité de pression .

60. Pi'incipe d'égalité de pression. Les liquides sont soumis au principe d’égalité de pression , c’est-à-dire qu’ils ont la propriété de transmettre dans tous les sens et également les pressions qu’on exerce à leur surface.

Ce principe est un axiome de physique; mais s’il n’est pas nécessaire de le démontrer , il est au moins nécessaire de le faire comprendre. ABC D (Fig. 72) est un vase qui contient un liquide supposé sans pesanteur , P P' est un

piston solide qui en couvre exactement toute la surface. Si le piston est aussi sans pesanteur, et s’il n’est chargé d’aucun poids , il est clair que le liquide n’éprouve aucune pression , et que l’on pourrait percer le vase sans qu’il s’écoulât ; mais dès qu’on pose sur le piston un poids de 100 kilogrammes , par exemple , à l’instant il fait effort pour descendre , et descendrait en effet , si le liquide ne s’y opposait pas. Que le liquide soit compressible ou qu’il ne le soit pas du tout, le résultat est le même : il faut de toute nécessité qu’il s’anéantisse ou qu’il porte les 100 kilogrammes. La couche supérieure aa' qui touche au piston et qui le soutient, en supporte donc tout le poids; et, pressée comme elle est , elle tomberait nécessairement si elle n’était pas soutenue par la couche bb' qui est au dessous d’elle ; elle presse sur cette couche autant qu’elle est ellemême pressée par le piston. De même la couche bb' presse sur la suivante cc1 , et ainsi de suite , la pression se communiquant de proche en proche jusqu’au fond du vase , qui est lui-même pressé comme si le piston reposait immédiatement sur lui. Puisque c’est toute la surface du fond qui porte cette pression de 100 kilogrammes , il est visible que la moitié de la surface ne porte pour sa part que 5o kilogrammes , et que la centième partie de sa surface ne porte que la centième partie de la pression totale , c’est-à-dire un seul kilogramme. Ainsi :

i°. La pression se transmet de haut en Las sur les surfaces horizontales sans rien perdre de sa force.

2°. Elle est égale en chaque point.

3°. Elle est proportionnelle à l’étendue de la surface que l’on considère.

Sur les faces latérales le même phénomène a lieu : car , si en un point quelconque on faisait une ouverture, le liquide jaillirait, et si l’on découpait une partie de la surface elle serait poussée dehors ; enfin , si la portion que l’on découpe était égale à toute la lageur du piston , il ne faudrait

pas moins de 100 kilogrammes pour la tenir en place, et si elle n’avait qu’une étendue cent fois moindre , il ne faudrait qu’un effort d’un kilogramme. Si le piston luimême était percé d’un Irou , le liquide jaillirait de Las en haut, ce qui prouve que sa paroi est elle-même pressée comme le sont toutes les autres ; ainsi les liquides transmettent dans tous les sens et également les pressions qu’on exerce h leur surface.

Après avoir compris ce principe pour des liquides sans pesanteur , il est facile de voir qu’il s’applique sans réserve aux liquides pesans , mais qu’ alors il y a des pressions qui s’exercent sur chaque molécule, et qui résultent de la pesanteur qui leur est propre.

61. De L’équilibre des liquides pesans. Il y a deux conditions pour l’équilibre des liquides : il faut premièrement que les molécules supérieures et libres forment une surface perpendiculaire à la force qui les sollicite: et secondement qu’une molécule quelconque de la masse éprouve dans tous les sens des pressions égales et contraires.

Première conditio?i d’équilibre. Supposons que la surface ne soit pas perpendiculaire h la force qui sollicite les meléculcs liquides , qu’elle soit par exemple dans la direction abede, tandis que la force est dirigée suivant les verticales vu ( Fig. 70). Alors une petite couche horizontale, telle que bd, serait pressée de tout le poids des molécules qui sont au dessus d’elle; cette pression, comme nous venons de le voir , se transmettrait latéralement , et la molécule b, poussée par cette pression latérale, serait poussée dehors, puisqu’il n’y a rien qui la retienne; elle sortirait donc: une autre viendrait, qui prendrait sa place , et qui serait poussée à son tour; et ainsi de suite, jusqu’à ce que la courbure bed se fût affaissée , et fût devenue toutà-fait horizontale. Il en arriverait de même de toute portion de liquide qui serait au dessus d’un autre point quelconque de la surface , et l’équilibre ne peut avoir lieu que

quand les molécules libres ne peuvent plus tomber, c’està -dire quand elles sont toutes rangées sur une même surface perpendiculaire à la force.

En appliquant ce principe à la surface de la mer , supposée parfaitement calme , il nous sera facile de prendre une idée de sa courbure et des causes qui la déterminent. Si toutes les directions de la pesanteur concouraient exactement au centre de la terre , et si cette- force était la seule qui sollicitât les molécules liquides , il faudrait que dans tous les bassins de toutes les mers la surface libre des eaux prît la forme sphérique ; car il n’y a que cette surface qui soit perpendiculaire à tous les rayons qui concourent en un point. Il faudrait de plus que toutes les plages fussent à la même distance du centre de la terre , car sans cela elles ne seraient pas au même niveau, et l’eau des plus élevées tom' berait sur les plus bases.

C’est cette condition nécessaire de Péquilibe des masses fluides qui explique ce que nous avons annoncé dans le chapitre premier , sur la direction de la pesanteur; il faut bien que cette force soit perpendiculaire à la surface des eaux tranquilles, puisque c’est elle-même qui oblige les eaux à se ranger dans cette direction.

Quand les molécules liquides sont sollicitées par quelque autre force que par la pesanteur terrestre, on conçoit que pour l’équilibre elles ne doivent plus former une surface perpendiculaire à la pesanteur seulement , mais une surface perpendiculaire à la résultante de la pesanteur et de toutes les autres forces qui agissent avec elle. Ainsi, la force centrifuge , qui résulte du mouvement de rotation de la terre, se combinant sans cesse avec la pesanteur pour solliciter tous les corps , il faut que la surface des eaux s’arrange pour être perpendiculaire à la résultante de ces deux forces , et voilà pourquoi la surface de la mer est aplatie vers ses pôles. Au pied des grandes montagnes , dont la masse est capable de dévier le fil à plomb , la sur-

DE LA PESANTEUR. — ■ CHAP. V, ta5

face des eaux est aussi déviée de sa forme régulière ; elle se soulève et s’incline sur la véritable verticale , pour se mettre perpendiculaire h la résultante des actions de la terre et de la montagne. De même encore , quand la lune passe au dessus ou au dessous de l’horizon de la mer , la force attractive qu’elle exerce sur les eaux se combine avec la pesanteur pour produire une résultante qui n’est plus verticale; et c’est ainsi que la surface mobile de l’Océan , cherchant un équilibre qu’elle ne saurait trouver, à cause du mouvement de rotation de la lune , se soulève et se déprime tour à tour, et accomplit enfin les oscillations périodiques du flux et du reflux.

Il se présente dans la nature beaucoup d’autres phénomènes qui semblent n’avoir aucun rapport avec les marées , et qui dépendent cependant d’un principe analogue : on sait , par exemple , que dans un verre ordinaire la surface de l’eau n’est pas plane dans toute son étendue , mais qu’elle se relève près des bords , comme le représente la figure 74; au contraire , la surface du mercure se déprime au contact des parois et semble craindre de les toucher ( Fig. 75). C’est que la pesanteur n’est pas alors la seule force qui agisse sur les liquides; avec elle il y a deux autres forces : la force attractive que leurs molécules propres exercent l’une sur l’autre , et la force attractive qu’elles exercent sur la matière du vase. C’est à la résultante de ces trois forces que la surface liquide doit être perpendiculaire , et c’est surtout du rapport d’énergie qui existe entre les deux dernières , que dépend l’inflexion qu’elle éprouve au dessus ou au dessous de la ligne de niveau. Nous verrons sortir de ce principe toute cette classe de phénomènes qui sont connus sous le nom de phénomènes capillaires , et dont nous devons traiter dans un des livres suivans.

62. Pression sur les fonds des vases et sur leurs parois latérales. Du principe de l’égalité de pression , et de la première condition d’équilibre , dont nous venons de par-

1er, résultent plusieurs conséquences très- importantes.

i°. La pression qui s’exerce sur le fond d’un vase est égale au poids d’une colonne liquide, qui aurait pour base le fond lui-même, et pour hauteur, la hauteur du niveau; celte vérité est frappante quand le vase est cylindrique {Fig. 77). Les parois latérales n’éprouvant que des pressions perpendiculaires , ne sont alors poussées ni en haut ni en bas; elles ne peuvent donc ni décharger le fond ni le surcharger, et il faut qu’à lui seul il porte toute la charge, c’est-à-dire tout le poids du liquide contenu dans le vase. Au reste, on peut le prouver aussi par l’expérience : au fond du vase cylindrique ABCD {Fig. 76) est un piston mobile pp', qui peut être tiré de bas en haut par un fil assez fort; au sortir du vase ce fil passe sur des poulies , retombe verticalement , et porte à son extrémité un bassin de balance dans lequel on peut mettre des poids. D’abord on établit l’équilibre en chargeant le bassin jusqu’à ce que le piston commence à monter : cette charge est la mesure du frottement. Ensuite, ayant fixé le fil , on le charge des deux côtés; d’une part, en versant de l’eau dans le vase ; de l’autre , en mettant dans le bassin un poids équivalent. Alors , laissant le fil à luimême , on reconnaît que l’équilibre est établi , ctqu’ainsi le piston est pressé ou poussé en bas par le poids de l’eau, autant qu’il est tiré en haut par le poids du bassin , qui est justement égal à celui de l’eau. Il ne faut qu’une goutte de liquide de plus pour le faire descendre , et un poids de plus pour le faire monter.

Il est évident que chaque portion du fond, que chaque centimètre carré , par exemple , porte pour sa partie poids de la colonne liquide , dont il est la base; et que la proposition dont il s’agit n’est pas seulement vraie pour le fond pris dans sa totalité, mais qu’elle est encore vraie pour une quelconque de ses parties.

On peut faire la même expérience avec un vase qui s’élargit ( Fig. 78 ) , ou avec un vase qui se rétrécit ( Fig. 79) :

on trouve toujours que la pression sur le fond est égale au poids de la colonne cylindrique , qui a pour base ce fond luhmême , et pour hauteur sa profondeur au dessous du niveau. Ainsi, dans le premier cas , la pression du fond est moindre que le poids total du liquide contenu dans le vase , et au contraire elle est plus grande dans le second cas. Ce dernier résultat a toujours quelque chose qui étonne au premier ahord; on ne croit pas facilement que le liquide ABCD {Fig. 79) presse le fond du vase autant que le presserait ABRV. Mais, en y réfléchissant, on voit que le liquide qui serait contenu dans les parties latérales CAR et DBV ne pourrait contribuer en rien à presser sur le fond , pas plus que n’y contribuent les parties latérales CAR et DBV dans la Fig. 78.

Il en est de même , quelle que soit la forme du vase : pour avoir la pression sur une partie quelconque du fond ; il faut toujours considérer la colonne cylindrique verticale, qui aurait pour base cette partie elle-même , et pour hauteur la hauteur du niveau. On a souvent besoin d’exprimer celte pression d’une manière générale : soit S la portion de surface horizontale que l’on considère , H , la hauteur de niveau au dessus de cette surface, D , la densité du liquide; la pression sera exprimée par SUD : car SH est le volume de la colonne liquide , et , pour avoir le poids , il faut multiplier le volume par la densité.

Ainsi , avec un litre d’eau qui pèse un kilogramme, on peut exercer sur le fond d’un vase une pression très-petite, et l’on peut exercer aussi une pression infiniment grande. Pour que la pression soit d’un kilogramme , par exemple , il suffit de prendre un vase cylindrique de base quelconque , la pression totale sera toujours égale au poids du liquide, et par conséquent toujours un kilogramme; seulement la pression sur chaque centimètre carré du fond sera plus petite ou plus grande, suivant que le vase sera plus large ou plus étroit.

Pour que la pression soit de ~ de kilogrammes, il suffit de prendre un vase dont la base soit par exemple un décimètre carré , et qui soit tellement évasé , que le litre d’eau n’y prenne que A de décimètre , ou un centimètre de hauteur.

Pour que la pression soit de 10 kilogrammes , il suffit de prendre un vase dont la base soit par exemple d’un décimètre carré , mais tellement rétréci , que le litre d’eau y prenne une hauteur de 10 décimètres , ou d’un mètre.

Avec le même poids de 1 kilogramme , il serait tout aussi facile d’exercer une pression de ’^.etc. de kilogramme, ou une pression de 100 , 1000, etc. , kilogrammes.

Voici un autre appareil au moyen duquel on peut beaucoup plus facilement démontrer cette propriété fondamentale des liquides : il se compose d’un tube horizontal de fer ou de cuivre ( Fig. 80) , relevé perpendiculairement h ses deux extrémités. D’une part, il se termine par un réservoir de quelques pouces de largeur, sur lequel on peut visser des vases de toutes formes , ayant le même fond; de l’autre part , il se termine par un tube en verre de quelques lignes de diamètre , et sur lequel on peut faire glisser un index. On y verse du mercure , et le point où il s’arrête dans la petite branche est la première position de l’index; ensuite , après avoir vissé sur le réservoir un des vases que l’on veut soumettre à l’expérience , on le remplit d’eau jusqu’à une hauteur connue; la pression qui en résulte fait monter le mercure dans la petite branche , et on note le point où il s’arrête. Un second vase d’une toute autre forme est substitué au premier; on fait sur lui la même expérience, en y versant de l’eau jusqu’à la même hauteur, et l’on voit toujours que dans la petite branche le sommet de la colonne de mercure vient s’arrêter au même point. Donc , quelle que soit la forme des vases , les liquides qu’ils contiennent exercent la même pression sur leurs fonds, quand le niveau est le même. Cet ingénieux appareil est de l’invention de

DF. LA. rESANTFUtt. — C1IAP. V. 1 1Ç)

M. de Ualdat, professeur de physique et de médecine ïi Nancy; M. Legrand, élève distingué de l’École normale, avait eu aussi la même idée.

Ce n’est pas seulement sur les fonds des vases que>’exerccnt les pressions verticales des liquides; elb^s’exercent encore sur tous les points de l’intérieur ékfîa masse, et se communiquent de toutes jparts en vertu du principe de l’égalité de pression; il en résulte un phénomène fondamental qu’il importe de faire comprendre. Concevons , dans l’intérieur de la masse liquide, une couche mm' (Fig. 81 ) , qui soit parallèle à la surface de niveau nn : toutes les molécules qui composent cette couche sont évidemment pressées par tout ce qui est au dessus d’elles; elles sont comme si elles supportaient un piston d’un poids égal au poids du cylindre liquide nn mm'. Seulement, celte pression qu’elle éprouve de haut en bas, se transmet de bas en haut par le principe d’égalité de pression , et chacune de scs molécules n’est en équilibre que par la simultanéité de ces pressions contraires. Ainsi, en ne considérant qu’une portion a b de celte couche, il faut bien comprendre que la surface a b est h la fois pressée de haut en bas par la colonne liquide dabc, et de bas en haut par une force exactement égale; tellement que, si un cylindre solide était plongé dans l’eau , et que sa base vînt s’appuyer sur la surface a b, cette pression de bas en haut agirait sur le cylindre et tendrait à le pousser dehors.

Cette conséquence se vérifie par l’expérience suivante : vv rr (Fig. 82 ) est un tube de verre un peu épais, qui est bien dressé h son extrémité inférieure ; tt' est un disque de verre dépoli, qui est pareillement plan, et qu’on ap pelle un obturateur ; il est attaché par un fil qui passe dans le tube , en sorte qu’en tirant le fil l’obturateur vient fermer le tube; on le ferme ainsi et on le plonge dans l’eau. Alors il n’est plus nécessaire de tirer le fil pour empê-

cher que l’obturateur ne tombe, parce qu’il est repoussé en haut par toute la pression (le bas en haut qui s’exerce sur sa surface; et cette pression est égale à celle qu’il supporterait de haut en bas s’il était seul plongé dans l’eau à la même profondeur. Pour en donner la preuve , on verse de l’eau dans le tube : dès que le niveau intérieur approche du niveau extérieur nnf , l’obturateur est poussé de haut en bas , autant qu’il était repoussé de bas en haut, et l’on voit en effet qu’il tombe par son propre poids.

Ainsi , au fond d’un bateau , si l’on faisait une ouverture , l’eau jaillirait à l’instant, et pour l’empêcher d’entrer il faudrait exercer une pression qui fut égale au poids d’une colonne d’eau, ayant pour base l’ouverture, et pour hauteur la profondeur du bateau au dessous du niveau. C’est pour cela que, dans les grands vaisseaux, la quille doit avoir une grande force pour résister aux pressions de bas en haut qui s’exercent sur le fond du bâtiment. Si ce fond était horizontal, et qu’il eût par exemple 100 mètres carrés de superficie , la pression ne serait pas moindre que cent mille kilogrammes , quand le tirant serait d’un mètre , et que trois cent mille kilogrammes , quand il serait de trois mètres.

Nous pouvons juger par là des énormes pressions qui s’exercent dans les lacs et dans les mers , et de celles qui sont supportées par tous les élémens chimiques qui s’y trouvent, et par tous les corps vivans qui en peuplent les proftédeurs. Nous reviendrons sur ce sujet dans le chapitre suivant.

2°. La pression que supporte une paroi latérale est égale au poids d’une colonne liquide qui aurait pour hauteur verticale la profondeur du centre de gravité de la paroi au dessous du niveau , et pour base horizontale une surface égale à la paroi elle-même.

Les pressions latérales sc déduisent des pressions hori-

zontales correspondantes an moyen du principe «l’égaillé «le pression : le point m ( Fig. 8 1) faisant partie de la couche horizontale mm', celte couche lui transmet la pression qu’elle supporte elle-même; elle la transmet dans tous les sens , et par conséquent le point in la reçoit dans la direction perpendiculaire h la paroi dont il fait partie. Ainsi, chaque étendue d’une paroi latérale éprouve la même pression qu’une égale étendue de la couche horizontale qui lui correspond , c’est-à-dire que SHD représente aussi les pressions latérales : seulement la surface S doit toujours être assez étroite en hauteur pour que la pression soit sensiblement la même dans toute son étendue. Dans une cuve d’eau de 10 mètres de hauteur, la pression sur un centimètre carré, de la paroi latérale est donc i oo grammes à î mètre de profondeur; elle est de 200 grammes à 2 mètres, et d’un kilogramme à 10 mètres, c’est-à-dire tout-à-fait au fond.

Pour avoir la somme des pressions latérales supportées par une paroi plane, qu’elle soit triangulaire, polygonale , ou de forme quelconque, on voit qu’il suffît de trouver la résultante «l’un système de forces qui sont toutes parallèles, mais qui croissent proportionnellement à la profondeur, et aussi proportionnellement à l’étendue horizontale de la portion de paroi que l’on considère. C’est par cette composition de forces qu’on arrive , pour les pressions latérales , au théorème général que nous venons d’énoncer.

G5. Centre de pression. — Le point d’application de la résultante de toutes les pressions élémentaires est ce qu’on appelle le centre de pression ; il est toujours placé plus bas que le centre de gravité , puisqu’il coïnciderait avec lui , si les forces n’allaient pas en croissant à mesure que l’on descend. Dans une paroi qui a la forme d’un parallélogramme , le centre de pression est sur la ligne qui divise en deux parties égales les côtés horizontaux, et à ~ de sa hauteur en parlant du fond. Dans une paroi triangulaire dont la hase

est au fond , il est au quart d’une ligne analogue , et au contraire, quand la base est h fleur d’eau, il est à moitié.

G4- Deuxième condition d’èc/ailibrc. — La seconde condition d’équilibre est qu’une molécule quelconque de la masse éprouve dans tous les sens deux pressions égales et contraires. Il est évident que cette condition est nécessaire , et il n’est pas moins évident qu’elle est suffisante pour l’équilibre de l’intérieur, comme la première est suffisante pour l’équilibre de la surface. Essayons de donner un exemple qui en fasse mieux comprendre la nécessité. Supposons que dans le vase ÀBCD (Fig. 83), on eût arrangé , pour un moment, de l’eau et du mercure de telle sorte que les surfaces Dm et mC fussent bien nivelées , et que la surface de jonction des deux liquides fût Lm. La première condition d’équilibre serait remplie , et cependant l’équilibre n’aurait pas lieu; car au point 0 , par exemple, les pressions latérales et opposées ne seraient pas égales; celle du mercure étant la plus forte , les molécules de ce liquide tomberaient au fond et s’y mettraient de niveau. En général , divers liquides étant mêlés dans le même vase , ils s’arrangeront nécessairement de telle sorte , que chacun d’eux ait sa surface horizontale; c’est le seul arrangement qui puisse remplir la seconde condition d’équilibre. Ensuite il y aura stabilité , si les plus lourds sont en bas , suivant l’ordre de leur densité; mais s’ils n’y sont pas , on n’aura qu’un équilibre instable; au moindre choc les surfaces de jonction cesseront d’être planes, elles deviendront ondulées; les pressions ne seront plus égales dans tous les sens , et les liquides plus légers seront poussés en haut , tandis que les plus lourds viendront prendre la place qui convient à leur densité. C’est pour cela que de l’huile, battue avec de l’eau , s’en sépare avec le temps , et vient à la surface oii l’appelle sa densité; et le même phénomène se reproduit dans tous les mélanges de liquides différons , lorsqu’il n’y a pas une

aiïïmité chimique qui combine entre eux tous les élémens , et qui leur donne une densité commune.

65. V ases communiquans. — Lorsque plusieurs vases communiquent entre eux , quels que soient leur nombre et leur forme, les liquides qu’ils contiennent sont, pour l’équilibre , soumis aux deux conditions que nous venons d’établir. Ainsi, quand c’est le meme liquide qui remplit tous les vases, il faut , par la première condition , que toutes les surfaces soient de niveau, et par la seconde , qa’ellcs soient de meme niveau ; car sans cela les couches de niveau de l’intérieur de la masse ne seraient pas également pressées dans toute leur étendue. En effet, dans le vase (Fig. 84),, si le niveau de la grande branche était par exemple en ab , au lieu d’ètrc en NN', sur la même ligne que nn‘, la couche de niveau CG' ce- ne serait pas également pressée en CG' et en ce' , et l’équilibre n’aurait pas lieu , puisqu’une couche de niveau quelconque doit toujours être également pressée dans toute son étendue.

Quand les liquides sont difîérens , il faut que les surfaces aient des niveaux différons.

Dans le vase représenté figure 85 , il y a de l’eau dans la grande branche et du mercure dans la petite; lesliquides se touchent en g-, et on mène l’horizontale g h. Si les sections g et li n’avaient rien au dessus d’elles , l’équilibre aurait lieu; ainsi , pour l’équilibre , il faut que sur chaque point de leur étendue elles soient également pressées , l’une par l’eau , et l’autre par le mercure. Or une portion S de la section hg supporte une pression S HD , en désignant par H la hauteur de l’eau au dessus de g , et par D sa densité ; de même , une égale portion de la section li supporte S D' H' , H' étant la hauteur du mercure au dessus de h, et D' sa dansilé. II

faut donc que l’on ait SxHD = SxH'D',