CO
ut
En donnant à ut une valeur quelconque, on calcule facilement tous les degrés de la gamme qui lui appartiennent en multipliant le premier terme par la raison qui nous a servi à calculer le tableau précédent.
L'inspection des rapports de la gamme tempérée nous démontre que le dièse et le bémol se confondent enharmoniquement ; — que le rapport de la tierce majeure est légèrement augmenté; — que le rapport de la tierce mineure est diminué^ de même que celui de la quinte.
Tous les instruments à sons fixes doivent s'accorder suivant le principe du tempérament égal, car il serait d'une difficulté insurmontable de construire des instruments qui permissent de donner à chaque intervalle l'exactitude des rapports exigés
pour chacune des tonalités où ils sont employés. On appelle instruments à sons fixeSj l'orgue, le piano, l'harmonium, la harpe, etc., parce que ces instruments ont les sons fixes pour chacune des notes qui composent leur étendue. ^ Les trous latéraux, les tons de rechange des instruments à vent et les tubes additionnels appliqués aux instruments à pistons, doivent se calculer d'après la gamme du tempérament égal, afin d'obtenir des rapports semblables pour les tonalités diverses dans lesquelles on les emploie.
L'accord de l'orgue, du piano, de l'harmonium est basé sur la succession de douze quintes qui correspondent à la succession de sept octaves; seulement, au lieu de prendre le rapport exact de quinte juste 1.500000, on prend le rapport de quinte tempérée 1.49831, c'est-à-dire que l'on tient toutes les quintes tin peu basses, afin d'arriver exactement à ce que la douzième se confonde avec l'étendue de sept octaves.
L'accord sur une étendue aussi grande serait incommode, c'est pourquoi, au moyen d'une formule que l'on appelle partie tion de Vaccordeur, on ramène constamment les quintes au moyen de l'octave, dont le rapport doit toujours être conservé içxactement, dans une étendue qui ne dépasse pas une octave et demie.
Voici une partition semblable : la note noire s'accorde sur la blanche. Généralement, on se sert du la comme point de départ; ce la se règle sur le diapason qui doit servir du type à l'accord général :
Pour que Fopération soit juste, il faut qu^elle se termine en donnant les deux derniers sons, Za et ^ double hémol, exactement à Toctave.
On se rend facilement compte de Ténorme difficulté qu^il y a à accorder un instrument dans des conditions semblables Cependant cet obstacle est moins grand pour Torgue parce que les sons soutenus de cet instrument permettent de compter exactement les battements que chacune des quintes doit donner pour être tempérée avec toute la précision requise. Notons, en passant, que beaucoup d'accordeurs donnent à chaque quinte tempérée un nombre égal de battements. Eien de plus mauvais que cet accord, car le nombre de vibrations variant pour chaque quinte, il est évident que les battements changent dans un rapport semblable.
Le piano ne peut pas être accordé à Taide de la méthode des battements parce que ces derniers ne s^entendent que difficilement à cause du peu de durée des sons de oet instrument; aussi rien n'est plus commun qu'un piano mal accordé; et que de fois ne met-on pas sur le compte de Taccord par le tempérame&t égal, des défaizts de justesse qui n^xistent précisément qitte parce que cet accord n'a pas été pratiqué assez exactement.
L'accord des notes qui composent la partition étant obtenu, on accorde tous les autres sons à l'octave.
Maintenant que le diapason normal est généralement admis pour Taccard des pianos, il y. aurait avantage pour l'accordeur de se servir de toute la série de diapasons donnant une gamme ehromatique tempérée, mathématiquement juste. Un appareil semblkble n'est guère coûteux, il écarterait tout doute, épargnerait des ennuis, parce que l'accord juste du piano n'exigerait plus, pour être parfait, qu'une oreille apte à reconnaître Pèxactitude de l'unisson et de l'octave.
Les rapports de la gamme ne sont pas toujours également interprétés, et leur détermination a donné lieu à bien des discussions. Nous avons donné la raison pour laquelle les musiciens n'admettaient pas la gamme des géomètres.
Bien avant que les rapports de cette dernière gamme âissent calcolés, Pythagore, philosophe grec, qui vivait en Tan 590 avant Tère chrétienne, avait formulé une gamme dont les rapports se rapprochent sensiblement de la gamme tempérée, et dont les notes accidentées se trouvent dans Tordre établi par la pratique, c'est-à-dire que le dièse y est plus élevé que le bémol. Cette gamme, appelée phythagoricienne^ est basée sur la succession des quintes.
Voici comment on calcule les rapports de cette gamme. Si nous partons, comme dans les calculs précédents, àeut ^= 1 , nous trouvons :
octave primitive I t
f ut ==
1er octave. . .
l ré =
I la ==
2»e octave. .
5me octave. . .
m% si
3me octave. . • fa dièse =
4»» octave. . .
6«»« octave. . .
ut dièse =
sol dièse =
ré dièse =
la dièse =
mi dièse
7"»e octave. . . si dièse =-
Pour obtenir le fa et les notes bèmolisées qui nous manquent, nous partirons également diUt »» 1 ; mais en allant de quinte en quinte descendante :
octaye primitiTe ut
Ire octaye. . .
fa
2™e octaye . •
si bémol =
mi bémol =
3me octaye . .
la bémol = rébémol =
4 me octaye .
5»e octave . .
fabémol
il s/ ?
6me octaye . .
;bb
mi
thb — .
7me octaye . .
Comme il a été dit plus haut, pour ramener les rapports ascendants à la gamme primitive, il faut diviser par 2 pouiune octave, par 4 pour 2 octaves, par 8 pour 3 octaves, et ainsi de suite. Cette règle est facile à comprendre si Ton se
laMfciiH ' •>!! "1
ÉB^^adh^i*
rappelle que les nombres de vibrations doublent pour une même note d'une octave à l'autre.
Pour ramener les rapports descendants, il faudra donc multiplier par 2 pour une octave, par 4 pour 2, etc.
Prenons maintenant notre gamme diatonique majeure.
Nous avons ut^ point de départ, = 1 :
ré == 7 II se trouve dans la première octave ascen-
mi
fa
sot
la
dante de la gamme primitive; nous avons danc à diviser sa valeur par 2, et nous obtenons , - X g = §
Il se trouve dans la deuxième octave ascen-
dante, et nous avons donc rsX";^'^
lo 4 d4
Il se trouve dans la première octave
descendante, et nous avons donc à multî-
plier sa valeur par 2 et nous obtenons . . 5X2=^-
n se trouve dans Toctave primitive ; ce
rapport exprime donc sa valeur réelle . .
Use trouve dans la première octave ascen-
27 , 1 27 dante ; nous avons donc "7rXô=TF
si = -—- H se trouve dans la deuxième octave
243 , 1 243 ascendante ; nous avons donc -^ X 7 = tkz
Toutes ces valeurs placées dans l'ordre de la gamme, nous donnent
ut ré mi fa sol la si do
En comparant le rapport de ces întenralles, au moyen de la division, nous trouvons :
entre ré et ut - : 1 = -
entrera? et m - : - = -Xg^-g^-g
entre ,m et /« g = êJ = 243
entre fa et «oZ - : - = -
entre sol et la --^ : - = -
entre la et s% -rr- : — - = -
entre si et ut 2 :
Cette gamme ne nous donne plus que deux sortes d'intervalles, le ton I et le demi-ton |||, ce qui est plus conforme à la pratique que les tons majeurs et mineurs de la gamme des géomètres et dont Toreille la mieux organisée ne pourrait saisir la différence.
Les explications qui précèdent nous permettent d'établir la gamme de Pythagore en réduisant en valeurs décimales les rapports fractionnaires que nous avons obtenus précédemment.
DÉSIGNATION DES NOTES
If OMBRE
VIBRATIONS
ut . .
ré bémol , ut dièse .
ré . . .
mi bémol, ré dièse .
mi . . .
fa. . .
sol bémol, fa dièse .
sol. . .
la bémol .
sol dièse .
te . . .
si bémol .
te dièse .
si . . .
ut , , .
1.0000 4.0835 1.-1230 i.i852 i.20l4 i.2656 1.3;^ i.4047 1.4238 I.IMKM) 1.5802 1.6018 1.687S 1.7778 1.8020 1.8984 2.0000
LONGUEURS DES
CORDES
La gamme de Pythagore est^Ue la vraie gamme de la musique? Cette question a été si souvent soulevée et discutée sans résultat que vous laisserons à d^autres le soin de la résoudre. Disons seulement que le point vulnérable de la doctrine pythagoiiciemie est cel«i-ci«
Si le cycle ou la succession des quintes engendrait réellement le rapport de chacun des intervalles de la ganuue,^ il faudrait évidemment que le résultat obtenu par la succession
des quintes, fût le même que celui obtenu par la succession des octaves arrivant au même but. Nous avons vu qu^en partant de u^ = 1, ilous arrivons pour si dièse — qui devrait correspondre exactement à -î^, rapport d un intervalle de 7 octavjes en nous servant de la succession de 12 quintes — au rapport ^^^*** V^^^ 4096 •
Si nous réduisons le rapport de 7 octaves ^^ et le rapport de 12 quintes ^1^* au même dénominateur, nous obtenons
pour le rapport des octaves, et
pour le rapport des quintes.
Si nous divisons ces deux rapports, nous obtenons pour Texcêdant de la succession des quintes sur celles des octaves, la fraction ll\\\l ^ qne Ton appelle le comma pythagoricien.
Les partisans de la doctrine pythagoricienne s^appuient sur la petite valeur de cette fraction pour combattre les attaques dirigées contre leur gamme.
Nous devons à M. Barbereau une très-remarquable théorie de la tonalité basée sur la progression triple. Cette progression donne les mêmes résultats que la doctrine pythagoricienne; avec cette restriction cependant, que les rapports qu'elle exprime sont en nombres entiers. (*)
Voici comment cette progression s'explique :
Nous partons â!ut = 1 vibration, produit par une longueur de corde supposée 1.
Nous savons que si nous réduisons cette corde au tiers de
(*) Études sur Vorigine du système musical — Paris, Gauthier Villars, 1864.
sa longueur, nous obtenons un son sol faisant 3 fois plus de vibrations.
Prenant le tiers de la longueur de corde obtenue pour sol^ nous aurons un ré produit par une longueur de corde de j X i = ^» Gt comme ce nombre de vibrations est en raison inverse de la longueur des cordes, ré fera 9 vibrations.
Diminuons encore la corde \ d'un tiers, nous aurons un la produit par |- X i = ^ d© la corde exécutant conséquemmeat 27 vibrations.
En continuant ainsi, nous obtiendrons la valeur en nombres entiers pour toutes les notes de la gamme.
Pour ramener ces valeurs à la gamme primitive, nous opérons comme nous l'avons fait dans les exemples précédents.
Le premier son sol se trouve une octave au-dessus de la gamme primitive; nous divisons donc sa valeur par 2, et nous avons |.
Le son suivant ré= 9 vibrations, se trouve à trois octaves de la gamme primitive, nous avons donc pour ré |.
La = 27 vibrations, se trouve à quatre octaves de la gamme primitive, nous avons donc à diviser sa valeur par 16 pour la ramener dans la gamme primitive; donc la ^= \\.
En poursuivant de la même façon, nous obtiendrons, pour les autres sons de la gamme produite par la progression triple, des valeurs exactement semblables à celles qui sont le produit de la succession des quintes.
M. Barbereau n'attache aucune importance au comma pythagoricien, et ne redoute pas les attaques qu'il permet de soulever contre son système; pour lui, la tolérance de l'organe auditif dans Tappréciation des sons et de leurs rapports est incontestable. « Cette appréciation n'est point absolue, mais approximative, dit-il, et l'oreille rapporte à une complète identité de fonctioûs dans la mélodie et l'harmonie les sons qui ne divergent point entre eux au delà d'une certaine limite, »
Tableau comparatif des lon^menra de oordes pemettaaty à Taide du sonomètre, de se jreBdre oenpti de tiiu IM aeu de la ffu^
DESIGNATION DES NOTES
Ut, . .
Ut dièse .
ré bémol, ré. . .
ré dièse .
mi bémol
mi . .
ta. . .
fa dièse .
sol bémol sol . .
sol dièse .
la bémol .
la. . .
la dièse .
si bémol .
