DIVISION DINE D1VOITE ES MOYENNE ET EXTREME RAISON
171. Diviser une droite en moyenne et extrême raison , c’est-àdire la partager en dett.r parties telles, i/uc l'une -d’elles soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et l’autre partie. Soient a la ligne entière et a- la plus grande partie. On doit , avoir
et • .V
La racine positive répond seule à l’énoncé. Pour interpréter -lasolution négative, on change ren — x dans l’équation primitive ; la transformée V-
, répond évidemment au problème suivant : Trouver sur la ligne A R prolongée un point X’ tel, r/tte la distance AX’ soft moyenne proportionnelle entre X'B et AB; l’équation (i) résout donc le problème général : Trouver sur la droite indéfinie AB, un point tel, que sa distance au point A soit moy enne proportionnelle- entre sa distance au point B et la longueur AB.
Fig. ,o. Pour 'construire les va*
n; leurs de a;, élevons an point ( 1 B la [lerpendiculairç^ .
BC = - a ;
t il en résulte
AC — - -y- -f- a 7 , .r — i
Kn décrivant alors île C comme centre avec. BC pour rayon la demicirconférence DBD', puis en rabattant au moyen de deux arcs tic cercle D en X, D' en X', on obtient
«'=AI>= AX f -AX't
i by tipoole
PI\0HLEMF.S nu SEC0N11 llFOCt. IO 7
X ét X' sont donc les points cherches, et l’on retrouve la construction donnée en géométrie élémentaire.
172 . Dans le problème précédent, l’équation admet plus de solutions réelles (pie l’énoncé, et nous avons pu modifier cet énoncé rie façon que chaque solution de l’équation répondit à un cas du problème; cette généralisation n’est pas toujours possible.
Exemple : .
Couper une sphcrc par un plan , tic façon que le volume du segment soit égal au volume du cône qui aurait pour base la base du segment et pour sommet le centre de la sphère.
Soit x la distance du centre au plan sécant; le volume du segment est
celui, du cône
et l’on a
-rx (r 1 — .c’),
(x — r) [x 1 4 - ce — r 1 ) = O.
En faisant abstraction de la racine x — . r, qui donne un segment et un cône nuis, on n’a plus ;i' considérer que l’équation dn- second degré
x‘ - 4 - rx — r 3 — o ;
et si l’on remarque que cette équation est celle qu’on trouve quand on se propose de partager le rayon en moyenne et extrême raisoh de façon que le plus grand segment parle du.centre, on voit qu’il V a deux solutions : l’une positive et inférieure à r, qui convient à la question , et l’autre négative et supérieure à r en valeur absolue, qui doit être rejetée j puisqu’elle indique un plan sécant qui ' ne coupe pas la sphère. ~
. PROBLÈME DF. PAPPBSi
173. Parut i point M pris sur ta bissectrice d'un angle droit , mener nue droite telle, que la partie interceptée entre cet angle ait nue '.longueur donnée 1t.
CHAPITIW TlIKI/.IEJUf.
Le point M est déterminé quand on donne sa distance a aux . ' * côtés de l’angle droit. " * ■' - >■ -
Soient OP = .r-, OQ = y les inconnues.- L'aire \lu triangle rectangle POQ est égal à la Somme des aires des triangles OM P , OMQ ; ' • ;
’’ de là l’équation *'. *' » ‘ ‘ / ’ •* '
on a (i!ai!leniV . * .• / “
.r'+/ — (» '-h y)* — ttæy == {-x + v )' 1 — ira (* -f-/) ;
a ou • "
(j-hy) 5 — a a (x -p-J") — l- == o- ' •' "
. et . • . • r
{*) }■ • x ~t~y = a ±Ja \*-J ■ v ..
x et/ sont donc les racines de deux équations du second degré.
Nous laissons au lecteur le soin de voir qu’il y a quatre solutions, dont deux sont toujours réelles, et dont les dt-ux autres n’existent qu’autant que \ ,- . ♦“ ‘ v ' ✓
. l est 2« 2 MO..- • .» -V.
I.es racines négatives eorrespondent d’ailleurs à des segments
comptés sur les prolongements des côtés de l’angle droit, à partir
( 1 m. sommet. Nous nous contenterons de montrer comment oit
construite et y d’après les équations (i) et (2), sans les résoudre; -
v. Fig ,',, Prolongeons MC d’une lon-
. gucur ME = /, et du point D
