FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES — HOMOGÉNÉITÉ

200. Une grandeur dépend souvent de plusieurs autres; ainsi le poids d’un corps est une fonction de quatre variables, ses trois dimensions et sa densité. Outre les variables, il entre quelquefois dans la détermination d’une fonction des quantités qui restent constantes dans la question que l’on traite; aussi, pour un lieu donné, l’intensité g de la pesanteur ne varie pas, et la durée des oscillations du pendule dépend de sa longueur variable et de la constante g. Pour exprimer qu’une quantité u est une fonction de plusieurs variables x, y,z,..., on emploie la notation

et l’on écrit

pour montrer que la fonction contient en outre des constantes ou paramètres a , 6,7 ,....

Les fonctions mathématiques se subdivisent en algébriques et transcendantes : les premières sont celles où les seules opérations indiquées sont des additions, soustractions, multiplications, divisions, élévations à des puissances entières ou fractionnaires, mais de degrés connus; les autres sont celles qui renferment d’autres opérations indiquées sur les variables; tels sont, par exemple, les quantités exponentielles a ’, les logarithmes, les lignes trigonométriques, ....

261 . On dit en général qu’une fonction f(a, b , c, . . . ) est homogène par rapport aux lettres a, b, c, . . ., lorsqu’on a

/{/ta, kb, kc, ... = k m /{a, b, c, . . .),

où k désigne un nombre indéterminé quelconque; l’exposant m est dit le degré d’homogénéité.

Exemples. — La fonction

est homogène et de degré

— 2, car on a

(ifc) + (À) + = * ’(? + p)'

3 a -f- \/ab

De même, la fonction

est homogène et de degré o ;

car on a

3( ka \ -t- \j ka . kb __ 3 « -1- \Jab ^3 a •+■ \j ab

2 ka -H 5 kc ia-±-5b 2«-t-56

Dans le cas d’un polynôme entier, tous les termes doivent avoir meme degré, et l’on retrouve la définition du n" 29.

Théorème. — Lorsqu'on traite par l'algèbre une question quelconque de géométrie en laissant indéterminée l'unité de longueur,

toutes les relations telles que /'( « , b, c ,...) = o, auxquelles on parvient entre les nombres a, b, c, . . qui mesurent les diverses lignes A, B, C,... de la figure , ont leur premier membre f(a, b, c, .. .) homogène.

En effet, les raisonnements et les calculs qui ont conduit à la relation

sont indépendants de l’unité de longueur adoptée; si donc on avait choisi la ligne A pour unité de longueur, on eût trouvé entre les nombres 1 , b', dp... qui auraient mesuré les diverses lignes de la figure, la relation de même forme

( 2 ) /(i, b',c',.. .) — o; or on a

puisque le rapport des nombres qui mesurent deux grandeurs est indépendant de l'unité choisie. I.’équation (2 J devient donc

et comme cette nouvelle relation est homogène et de degré zéro, l’équation ( 1 ) qu’on obtient en multipliant (3) par la plus haute puissance a’" de a qui entre au dénominateur, est homogène et de degré m.

202. La démonstration ne suppose pas que la fonction f[a , b, c ,. . .) soit algébrique. Elle indique, en outre, le moyen de rétablir l’homogénéité dans une équation qui provient d’un problème où l’on a pris pour unité l’une des lignes de la figure. Il faut, en désignant l’unité par», diviser par i chaque lettre qui représente une ligne, puis chasser les dénominateurs. Ajoutons que les lettres qui désignent des surfaces ou des volumes doivent, conformément aux règles de la géométrie, être traitées comme des produits de deux ou de trois lignes; enfin les lettres qui repré-

sentent des angles ou des fonctions circulaires n’exprimant que des rapports de deux lignes, sont des facteurs du degré zéro, et l’on doit en faire abstraction dans l’application du théorème précédent.

Ainsi entendu , le principe de l’homogénéité offre un moyen très-précieux de vérification. Dans toute recherche géométrique où l’unité est restée indéterminée, si l’on rencontre dans le cours du calcul une équation non homogène, il faut s’arrêter et conconclure que les raisonnements ou les calculs sont fautifs.

Ce principe fournit meme les démonstrations les plus simples et les plus directes de certaines propositions fondamentales de la géométrie et de la mécanique ( voir la Note II de la Géométrie de Legendre, et le n° 26 de la Mécanique de Poisson, 2' édition). Nous ne citerons qu’un exemple :

La surface d’un triangle est évidemment une fonction de ses côtés a, b , c et de ses angles A, B, C; d’ailleurs cette fonction ?(«, b, c , A, B, C) étant homogène et du second degré, on doit avoir

f ( /a , Ab , Ac, A , B, C) = A 3 y [a, b , c, A, B, C).

Or le premier membre représente la surface de tous les triangles semblables au triangle proposé, puisque les angles sont les mêmes, et que les côtés sont proportionnels ; la relation précédente ex prime donc que les aires de deux triangles semblables ont un rapport égal à A’, c’est-à-dire au rapport des carrés de deux côtés homologues quelconques.

EXERCICES

I. Soit V une fonction homogène et du second degré de n quantités <r, , . . . , a„ ; démontrer qu’on a

V,, V,,. . ., V„ étant des fonctions linéaires qui renferment respectivement n , n — i,...,i quantités.

II. Trouver sur une courbe donnée un point M tel , qu<? le tri-

l3i CHAH. DIX-SEPTIÈME. — GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS.

angle formé par la tangente et les deux axes de coordonnées soit maximum ou minimum. — Même question en substituant au triangle le rectangle construit sur l’abscisse et l’ordonnée du point M .

III. Trouver sur une courbe donnée un point H tel , que la somme de ses distances à deux points fixes A et B placés dans le plan de la courbe soit maximum ou minimum.

IV. On donne une courbe et une corde fixe AB, trouver sur cette corde un point M tel, que la corde AB soit maximum ou minimum parmi toutes celles qui passent en M. — Même question en substituant le produit des segments MA et MB à la longueur de la corde.

V. Parmi toutes les cordes de même longueur inscrites dans une courbe donnée, trouver celle qui retranche le plus grand ou le plus petit segment.