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Ainsi : — Pour que le marché soit à l'état (Téquilihre général, il faut que le prix de deux marchandises quelconques l'une en Vautre soit ^égal au rapport des prix de l'une et l'autre en un ejroisième quelconque, autrement dit, au rapport inverse des prix d'une troisième quelconque en l'une et Vautre.

114. Généralement, ces équations de condition ne seront pas satisfaites par les racines des 2 m (rw — 1) équations de demande et d'échange de m marchandises entre elles, telles que nous les avons posées (105, 106); et, par conséquent, il y aura lieu à arbitrages sur le marché. Il convient de se rendre compte du résultat qui serait amené par ces opérations.

Dans le cas de l'échange d'un nombre quelconque de marchandises , comme dans le cas de l'échange de deux marchandises entre elles, les équations de demande effective partielle sont mathématiquement déterminées par la condition de satisfaction maximum des besoins. Quelle est d'ailleurs cette condition ? C'est toujours que le rapport des raretés de deux marchandises soit égal au prix de l'une en l'autre, faute de quoi il y a un échange avantageux à faire entre elles (80).

Soient le porteur (1) un porteur de (A), le porteur (2) un porteur de (B) , le porteur (3) un porteur de (C) ; soient r^^ ,

les raretés des marchandises (A), (B), (C), (D) ... pour ces trois porteurs ; et soient , pour un instant, ces raretés des raretés variables correspondant à des prix variables ; la condition dont il s'agit peut s'exprimer ainsi :

7} — ^'^^ rc,a )

« ''d.3 Pd,c-- "

115. Considérons seulement les trois marchandises (A), (B) et (C) entre toutes. On avait donc, avant les arbitrages, en vertu de la condition de satisfaction maximum :

Pb,a

Pa,b

Pc..

Pa,c

Pc^h

On a , de plus , après les arbitrages , en vertu de la condition d'équilibre général,

^a,3 rc,b 'a,3

Pc h *

On tire d'ailleurs aisément de la combinaison des deux dernières équations du système (1) avec la première équation du système (2 j :

Ainsi : — Lorsque le marché est à Vétat d* équilibre général , le rapport des raretés de deux marchandises quelconques, égal au prix de Vune en Vautre , est le même chez tous les porteurs de ces deux marchandises.

Tel a donc été le résultat des arbitrages, savoir que les équations (1) ont été complétées par les équations (2) et (3). Que si, maintenant, on voulait qu'il n'y eût pas lieu à arbitrages sur le marché , et que l'équilibre des prix des m marchandises deux à deux fût en même temps équilibre général , il faudrait alors introduire les équations exprimant cet état du marché dans le système des équations de demande et d'échange. C'est ce que nous allons faire en fournissant la formule générale de solution mathématique du problème de l'échange de plusieurs marchandises entre elles.

2f LEÇON

Formule générale de solution mathématique du problème de V échange de plusieurs marchandises entre elles.

Sommaire : — Cas général de porteurs de plusieurs marchandises. Equation d'équivalence des quantités demandées et des quantités offertes. Equations de satisfaction maximum. Condition de l'offre égale à la quantité possédée. Conséquences de l'offre égale à la quantité possédée. Equations de demande ou d'offre partielle. Système des (m — i) équations d'égalité de la demande totale et de l'offre totale. Système des (w— 1) {w — 1) équations d'équilibre général.

H 6. Nous avons supposé d'abord, dans le cas de l'échange de plusieurs marchandises, comme nous l'avions fait dans le cas de l'échange de deux marchandises entre elles , chaque échangeur porteur d'une seule marchandise. Mais, ici aussi, le cas général est celui où chaque échangeur est porteur de plusieurs marchandises ; et le théorème de la satisfaction maximum des besoins permettant toujours de traiter ce cas d'une manière aussi simple et facile, nous allons nous y placer pour fournir la formule générale de solution mathématique du problème de l'échange de plusieurs marchandises entre elles.

117. Soit donc l'échangeur (1) porteur de q^^ de (A), de y^ ^ de (B), de q^^^ de (C), de q^^^ de (D) ... Soient r. = (p^^ {q^ ),

ri = <PhA{9h)^ ^c = <Pc4 (?c)» ^d = ^d,i (Çd) ... les équalions d'utilité ou de besoin des marchandises (A), (B), (C), (D) ... pour cet échangeur. Soient /^^^ , ;>,,, , p^^ ... p^^ > Pc.hy

Pd.h ... P..C» Pb,cj Pd^c - -Pa;d» Ph^dy Pc,d ... les prix respectifs d'équilibre des marchandises (A), (B), (C), (D) ... les unes en les autres. Et soient a?| , ^^ , z^ , w^ ... les quantités respectives de ces marchandises que l'échangeur (1) ajoutera aux quantités ^a,< j ?b,< > 9cA > ?d,i ••• ^ont il est porteur aux prix d'équilibre. Ces quantités ar^ , y| , z^ , m^j ... peuvent être positives : elles représentent alors des quantités demandées; elles peuvent être négatives : elles représentent alors des quantités offertes. Et, comme notre échangeur n'aura pu demander de certaines mar-

chandises qu'à la condition d'offrir de certaines autres en quantité équivalente , il est certain que si , parmi les quantités x^ , Ui j ^19 ^^ '•' I^s unes sont positives, les autres seront négatives , et que , d'une façon générale , on aura entre elles toutes l'équation

118. Cette équation peut être mise sous la forme a?i +-^ + — L + — L + ... =0.

ra,b ra,c "a,d

Etant supposé, d'ailleurs, l'état de satisfaction maximum , on a, entre les mêmes quantités, le système d'équations

9.,i ( ?.,i + ^1 ) = P.,b <Pb,i [ ?b,i + ^i ) , Vu,i ( 9u,i -+^^1 ) = A,c <pc4 ( 9,>,i + ^i ) >

C'a,! ( ?.,i + ^1 ) = Pa,d VdA ( 9d,i +Wi) y

soit m — 1 équations formant avec la précédente un système de m équations entre lesquelles on peut éliminer m — 1 inconnues telles que y^ , Zj^ ^ w^ ... de manière à n'avoir plus qu'une équation donnant a?^ , c'est-à-dire la demande ou l'offre de (A) par l'échangeur (1), en fonction des prix de (A) en (B), (C), (D) ... On aurait de même les équations donnant y^ , z^ , ti\ ... c'està-dire la demande ou l'offre de (B), (C), (D) ... par l'échangeur (1), en fonction des prix de (B) en (A), (C), (D) ... de (C) en (A), (B), (D) ... de (D) en (A), (B), (C) ...

Enfin , l'on obtiendrait par la même méthode les équations donnant ajj , y, , Zj , w^ ... x^ , ^g , 2^3 , w^ ... c'est-à-dire les quantités demandées ou offertes de chaque marchandise par les échangeurs (2), (3) ... en fonction des prix de chacune de ces marchandises en toutes les autres. Maintenant, et avant de passer outre, il faut ici faire une observation très importante.