a{0)=P.,c<PcA {9c,i + h)j

Et, en éliminant p^^ ?;>,«> Pa,d ••• entre ces équations et l'équation

on obtient l'équation

Vi î^b,i(?b,i + yi) + ^i 9cA{qcA + ^i) + ^i9A,i{9àA + ^i) + -'

Cette équation est une équation de condition qui peut être traduite en ces termes : — Pour que l'offre d'une d'entre les marchandises puisse être égale à la quantité possédée de cette marchandise ^ il faut qu'on puisse inscrire, dans la portion d'aire des courbes de besoin des marchandises à demander supérieure à la portion représentant les besoins satisfaits par la quantité possédée, des rectangles dont la somme soit égale en surface au rectangle fait sur la quantité possédée de la marchandise à offrir pour hauteur et sur l'intensité du besoin maximum de cette marchandise pour base, ' *

Cette condition sera ou ne sera pas remplie. Si elle l'est, l'offre de (A) par l'échangeur (1 ) pourra, dans certains cas, être égale à la quantité ^.^ dont il est porteur. D'ailleurs elle ne pourra jamais être supérieure à cette quantité. 11 est donc essen-

tiel de remarquer que , pour toutes les valeurs de /), ^ , p^^ , A,d ••• qui rendraient x^ négatif plus grand que ç, i , dans l'équation de demande ou d'offre de (A), cette équation devrait être remplacée par l'équation rr^ = — q^^ .

120. Mais ce n'est pas tout. D'abord la même remarque est applicable aux équations de demande ou d'offre de (B), (C), (D) ... pour les valeurs de /j^., /j^,, 7)^,^, ...;?e..> Pc,by PIa -" Pd^i Pé,b > Pd,c > qui rendraient y^ , 2| , w^ ... négatifs plus grands V^^ ?b,i j ^c,i » ?d.i ••• Puis, et précisément dans le cas où ces équations devraient être remplacées par les équations yj^ = — q^^^ , 2;^ = — y^ | > w^i = — 9d,i ••• l'équation de demande ou d'offre de (A) devrait être modifiée en conséquence.

Ainsi, dans le cas de 2^4 = — q^^j^ , par exemple, le système d'équations devant fournir la demande ou Toffre de (A) par réchangeur (1) serait le suivant :

^4 f^4 ffh I

%,i ( ^.,1 + a?i ) = P,^c <Pc4 ( 9oA + «1 ) >

soit en tout m — 1 équations entre lesquelles on pourrait éliminer m — 2 inconnues telles que z^ , Wj^ ,.. de manière à n'avoir plus qu'une équation donnant Xj^ en fonction de p^^j Pb,c ) Ptk.d • • . De même dans le cas de z^ = — ^f^ | , de w^ = — q^i ... De même, enfin, on le comprendra sans qu'il faille insister davantage, si Toffre non-seulement d'une seule des marchandises (B) , (C) , (D) . . . mais de deux , trois , quatre ... et généralement de plusieurs quelconques d'entre elles, Siaii égale à la quantité possédée.

121. L'équation de demande ou d'offre de (A) par l'échangeur (1), résolue par rapport k x^ , et convenablement disposée pour satisfaire aux restrictions qui précèdent, prendrait la forme

Les équations de demande ou d'offre de (B), (C), (D) ... par le ménoie échangeur prendraient la forme

^i = /c,i (/'c j /'c.b » /'cd ••• ) »

Et l'on aurait de même les équations de demande ou d'offre de (A), (B), (C), (D) ... par les échangeurs (2), (3) ...

^2 = /à.î {P»,b y Pv.,c> PbA '" ) y Vl ^^ Ab.î ( Pb,a » /'b.c ) Ph^d ••• ) y ^J = /c.2 ( Pc,a » /^c.b 9 /'cd ••• ) y ^î=fd,t (/'d.. » f'd.b y Pd,c '") y

2^3 =^ A),3 (f'b.a > /'b.c ) Ph,d ••• ) ?

^3 = /c,3 (/'c.. » /'c.b y Pc,d ••• ) »

«^3=/d.3 (Pd.. > /'d.b > Pd,c ••• ) ,

122. C'est ainsi que les dispositions à l'enchère de tous les échangeurs se déduiraient de Futilité des diverses marchandises pour chacun d'eux et de la quantité de ces marchandises possédée par chacun d'eux. Maintenant, en désignant par X, Y, Z, W ... les sommes a?i + a?j -+- a?3 + . . . ^1 + ^1 + ^3+...

^1 + ^f + ^3 + • • • w^ + w^ + w^ + ... par F, , F^ , F, , Fd ... les sommes des fonctions /", ^ , Z,^, , f^^^ ... /b,i , /b,i , /t^s ...

/c.i' /c.î> /c.3 - /d.i» /d,î» /d.3 --et remarquant que la condition d'égalité de l'offre et de la demandé effectives de chaque marchandise s'exprime, dans le cas général dont nous nous occupons, par les équations X = 0,Y = 0, Z = 0,W = 0... on aurait, en vue de la détermination des prix courants d'équilibre, les équations

Fb (/'^a» Ph.cJ Ph^d ...)=0, Fc (/'c.a » /^c.b» Pc.d ...) = 0,

Fd(Pd.a> T'd.b» i'd.c ...) = 0,

soit m équations. Mais ces m équations se réduisent km — 1, par la raison que, comme il est facile de le reconnaître,

Xt? .+ Yt?, + Zv^ + Wt?j -t- ... = ;

d'où il suit que si m — 1 des équations ci-dessus sont satisfaites, la m'^''n« l'est par cela même.

123. On aurait, d'autre part, en vue de la détermination des mêmes prix courants , en vertu du théorème de l'équilibre général (143), les équations

Pl.tt

Pc,h > -Pb.a

Ph.c — > rc.a

?d.c rc.a

soit (m — l)(m — l) = m* — 2m + i équations qui, réunies aux m — 1 ci-dessus, font un total de w* —m=zm {m — 1) équations servant à déterminer les i» (w — 1 ) prix des m marchandises les unes en les autres.

On voit que, dans le cas général où chaque échangeur est porteur de plusieurs marchandises, le système des équations exprimant l'état d'équilibre général est nécessaire à la détermination des prix. Si on voulait introduire la, même condition d'équilibre général dans le cas particulier où chaque échangeur n'est porteur que d'une seule marchandise, il faudrait :

i^ Substituer aux m (m — 1) équations d'échange ou d'égalité de l'offre et de la demande des m marchandises deux à deux

(contenant implicitement les — ^— ^ équations de réciprocité des prix) m équations, se réduisant à w — 1 , d'égalité de l'offre et de la demande totales de. chacune des m marchandises contre toutes les autres ensemble. On retrancherait ainsi (m — 1) (m — 4) équations ;

2*> Remplacer les (m — 4)(w» — 1) équations ainsi retranchées par les (m — 1 ) (wi — 1 ) équations d'équilibre général

(contenant implicitement, elles aussi, les — <r- — équations de réciprocité des prix).

22* LEÇON Loi d'établissement des prix d'équilibre.

Sommaire : — De l'échange de plusieurs marchandises entre elles sur le marché. Prix à crier : prix d'équilibre général. Détermination sans calcul des demandes ou offres partielles conformément à la condition de satisfaction maximum. Inégalité de la demande et de l'ofiFre totales. Variations de la demande et de l'offre totales suivant la variation proportionnelle des prix entre zéro et l'infini. Il faut augmenter proportionnellement les prix quand la demande est supérieure à l'offre, et les diminuer proportionnellement quand l'ofTre est supérieure à la demande.

124. Ainsi se détermineraient mathématiquement les m(«i — 1) prix de m marchandises les unes en les autres par la triple condition : 4" que chaque échangeur obtînt la satisfaction maximum de ses besoins , les rapports des raretés étant égaux aux prix ; 2<» que chacun dût recevoir en proportion de ce qu'il donne ou donner en proportion de ce qu'il reçoit, n'y ayant qu'un seul prix pour chaque marchandise en chacune des autres : celui pour lequel la demande totale effective serait égale à l'offre totale effective ; 3» qu'il n'y eût pas lieu à arbitrages, le prix d'équilibre de deux marchandises l'une en Tautre étant égal au rapport des prix d'équilibre de l'une et l'autre en une troisième quelconque, soit au rapport inverse des prix d'équilibre d'une troisième quelconque en l'une et l'autre. Voyons à présent comment ce même problème de l'échange de plusieurs marchandises entre elles, dont nous venons de trouver la solution scientifique, est aussi celui qui se résout empiriquement sur le marché par le mécanisme de la concurrence.

125. Nous avons, relativement à la première condition, le système des équations exprimant l'équivalence des quantités demandées et offertes par chaque échangeur, ainsi que la proportionnalité des raretés aux valeurs d'échange (118), et d'où Ton tire les a?, y, z, w? ... en y joignant, comme nous l'avons dit, la restriction que les quantités offertes n'excèdent en aucun cas les quantités possédées (119, 120, 121).

Nous avons , relativement à la seconde condition , le système d'équations :

X = F, (/?,,, , /?.,. , /?, d ... ) = , Y = Fk (/^b , , /?fc ^ , /?b d ... ) = ,

Z = Fe (/>c,. » />c,b> /'m ... ) = ,

exprimant l'égalité de l'offre et de la demande totales de chaque marchandise (12^).

Nous avons enfin , relativement à la troisième condition , le système des équations exprimant Télat d'équilibre général du marché (423).

126. Cela posé, venons sur le marché, et supposons qu'on y crie m (m — 1) prix des m marchandises les unes en les autres. Ces prix peuvent être criés au hasard ; pour mieux dire, ils ne peuvent être criés qu'au hasard. Et toutefois il est certain qu'on peut faire en sorte qu'il y en ait parmi eux (m — l)(m — 1) z=:z m (m — 1) — (w — 1) qui soient liés aux m — 1 autres par la condition d'équilibre général. Â ces prix, ainsi criés, chaque échangeur détermine sa demande ou offre de (A), (B), (C), (D) ... Cela se fait après réflexion, sans calcul, mais exactement comme cela se ferait par le calcul en vertu du système des équations d'équivalence des quantités demandées et offertes et de satisfaction maximum complété par la restriction convenue. Il s'agit de fonder sur le fait de cette détermination sans calcul une méthode de résolution par tâtonnement des équations d'égalité de l'offre et de la demande totales. Voici comment cela peut se faire :

127. a?^ , rr, , x^ ... yi , y» , y^ ... ^i > ^j > h ••• *^i > *^« > w^ ... positifs ou négatifs, étant déterminés, X, Y, Z, W ... le sont par cela même. Si on avait immédiatement X = , Y = , Z = 0, W = ... le problème serait résolu; mais générale-

ment on aura X^O,Y^O,Z^O,W^O... Rappe- Ions ici qu'on a Téquation

Xv. + Yr, + Iv, 4- Wr, + . . . = ,

qui, en appelant D^ , D|, , D^ , D^j ... la somme des a?, y^z^ w ... positifs, et 0^ , 0^ , 0^ , Oj ... la somme des x^ y, z, u; ... négatifs pris positivement, peut être mise sous la forme

( Da - J .. + ( D, - J r, + ( D, - O; ) r,

et remarquons que t\ , r,, , v^ ^ v^ ... étant essentiellement positifs, si, parmi les quantités D^ — 0^ , D^ — 0^ , D^ — 0^ , Dj — Oj ... certaines sont positives, les autres sont nécessairement négatives, et réciproquement.