LIVRE VI

raniicle triangulaire une section^A , située à la même hauteur au-dessus du plan commun des hases : d’où il résulte que la section est à la section abd comme la base FGH est à la hase ABD * ; et puisque les bases * itl. sont équivalentes, les sections le seront aussi. Les pyramides S>abcde, sont donc équivalentes, puis,

qu’elles ont même hauteur et des hases équivalentes.

Les pyramides entières SABCDE, TFGH , sont équivalentes par la même raison; donc les troncs ABD^/zA, FGHA^, sont équivalents , et par conséquent il suffira de démontrer la proposition énoncée , pour le seul cas du tronc de pyramide triangulaire.

Soit FGH/^ un tronc de pyramide triangulaire (ig. à bases parallèles : par les trois points F, g. H, conduisez le plan F^H , qui retranchera du tronc la py. ramide triangulaire /»FGH. Cette pyramide a pour base la hase inférieure FGII du tronc , elle a aussi pour hauteur la hauteur du tronc , puisque le sommet g est dans le plan de la base supérieure fgh.

Après avoir retranché cette pyramide, il restera la pyram'ule quadrangubire ^AHF, dont le sommet est g et la hase /AH F. Par les trois points /■tg. H, conduisez le plan^H, qui partagera la pyramide quadrangidaire en deux triangulaires ^F/H , gfhW. Cette dernière a pour hase la base supérieure ^A du tronc, et pour hauteur la haatenr du tronc, puisque son sommet H appartient à la base inférieure ; ainsi nous avons déjà deux des trois pyramides qui doivent composer le tronc.

Il reste il considérer la troisième gF/H : or, si on mène parallèle à /"F, et qu'bu imagine une nou- •. velle pyramide /FHR, dont le sommet est K et la base h/H , ces deux pyramides auront même base V/H't elles auront aussi même hauteur, puisque les sommets ÿ et K. sont situés sur une ligne parailèle à ¥J\ et par conséquent parallèle au plan de la base ; donc ce

pyramides sont ëquiralentes. Mais La pyramide /PKH . peut être considérée comme ayant son sommet en f\ et ainsi elle aura même hauteur que le tronc ; quant « sa base FKH , ]e dis qu’elle est moyenne proportion» nelle entre les bases FGH En efïet les triangles FHK, /çA, ont un angle égal F=/, et un côté égal FK.==/^; on a donc* FHK:/^A:: FH : /A. On a aussi FHG : FHK. r: FG : FK’ou fg. Mais les triangles sem» blables FGH, fgh, donnent FG:/^: :FH:/A; donc FGH : FHK.: : FHK : fgh \ et ainsi' la base FHK est moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH, tgh. Donc un tronc de pyramide triangulaire, à bases parallèles, équivaut à trois pyramides qui ont pour hauteur commune la hauteur du tronc, et dont'lea^ bases sont la base inférieure du tronc , sa base supé^ rieure , et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases. '"'c - • ' . .

TBBOK BM B. ■ ’ C

■ Si on coupe un prisme triangulaire dont ABC est la hase, par un plan DES incliné à cette base, le solide ABC DES, qui résulte de cette section, sera égal à la somme de trois pyramides dont les sommets sont D, E, S, /a base commune AhC. ' ■ . *• •

Par les troi.s points S, A, C, faites passer le. plan SAC, qui retranchera du prisme tronqué ABCUES la pyramide triangulaire SABC : cette pyramide a pour base ABC et pour sommet le point S.

Après avoir retranché cette pyramide, il restera 1a pyramide quadrangulaire SACHE, dont S est le som-' met, et ÀCDE la l>ase. Par les trois points S, E, C,

Ll V K B V I. igl

ihi^nez encore un plan SEC, qui divisera la pyra> mide quadrangulaire en deux pyramides triangiilaires SACE, SCDE.

La pyramide SAEC, qui a pour base le triangle AE(> et pour soniinei le point S, est équivalente à une pyramide EARC, qui aurait pour base AEC et pour sommet le point B. Car ces deux pyramides ont même base; elles ont aussi même hauteur, puisque la ligne BS, étant parallèle à chacune des lignes AË, CD, est parallèle à leur plan ACE; donc la pyramide SAEC est équivalente à la pyramide EABC, laquelle peirt être considérée comme ayant pour base ABC et pour sommet le point E.

La troisième pyramide SCDE peut être changée d’abord en ASCD; car ces deux pyramides ont la même base SCD ; elles ont aussi la même hauteur j puisque AE est parallèle au plan SCD; donc la pyramide SCDE est équivalente à ASCD. Ensuite la pyramide ASCD peut être changée en AliCD , car ces deux pyramides ont la base commune ACD; elles ont aussi la même hauteur, puisque leurs sommets S et B sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc la pyramide SCDE, équivalente à ASCD, est aussi équivalente à ABCD ; or , celle-ci peut être reganiée comme ayant pour base ABC et pour* sommet le point D. • . ■

Donc enfin le prisme tronqué ABCDES est égal à la somme de trois pyramides qui ont pour base commune ABC, et dont les sommets sont respectivement les points D, E, S.

Corollaire. Si les arêtes AE,-BS, CD, sont perpendiculaires au plan de la base, elles seront en même temps les hauteurs des uois pyramides qui composent le prisme tronqué ; de sorte que la solidité du prisme tronqué sera exprimée parÿABCx AE-+- jABCxBS

l^a . CÉOHBTBIE.

H- 1 ABC X CD , quantité qui se réduit à 7 ABC X (AE-f- ■BS+CD). . .. .

THÉORBME.

Deux pyramides triangulaires semblables ont les faces homologues semblables, et les arêtes solides homologues' égaux.

Suivant la dëfînition, les deux' pyramides triangulaires S ABC, T DEF, sont semblables, si les deux triaoî. angles SAB , ABC , sont semblables aux deux TDE > DEF, et semblablement placés, c’est-à-dire, si l’on a l’angle ABS = DET, BAS = EDT, ABC=DEF, BAG = EDF, et si en outre l’inclinaison des plans SAB, ABC, est égale à celle des plans TDE, DEF : cela posé, je dis que ces pyramides ont toutes les faces • semblables chacune à chacune, et les angles solides homologues égaux.

Prenez BG — ED, B11=:EF, BI=ET, et joignez GH, Gl, IH. La pyramide TDEF est égale à la pyramide IGBH; car ayant pris les cAtés GB, BH, égaux aux côtés DE, EF, et l’angle GBH étant, par hypothèse, égal à l’angle DEF, le triangle GBH est égal à DEF; donc, pour opérer la superposition des deux pyramides, on peut d’abord placer la base DEF sur son égale GBH; ensuite, puisque le plan DTE est incliné sur DEF autant que le plan SAB sur ABC, il est clair que le plan DET tombera indéliniment sur le plan ABS. Mais, par hypothèse, l’angle DET =:GBI, donc E'r tombera sur son égale B1 ; et puisque les quatre points D, £, F, T, coïncident avec les quatre G, B, H, I, il s’ensuit* que la pyramide TDEF coïncide avec la pyramide IGBH.

Or, à caus« des triangles égaux DEF, GBH, on a l’angle B6H = EDF = BAC ; donc GH est parallèle à AC. Par une raison semblable GI est parallèle à AS ; donc le plan IGH est parallèle à SAC*. De là il suit que le triangle IGIl, ou son égal TDF, est semblable à SAC*, et que le triangle IBH, ou son égal TEF, est semblable à SBC; donc les deux pyramides triangulaires semblables SABC, TDEF, ont les quatre faces semblables chacune à chacune : de plus elles ont les angles solides homologues égaux.

Car on a déjà placé l'angle solide E sur son homologue B, et on pourrait faire de même pour deux autres angles solides homologues; mais on voit immédiatement que deux angles solides homologues sont égaux, par exemple, les angles T et S, parce qu’ils sont formés par trois angles plans égaux chacun à chacun ^ et semblablement placés.

Donc, deux pyramides triangulaires semblables ont. les faces homologues semblables et les angles solides homologues égaux.

Corollaire 1. Les triangles semblables dans les deux pyramides fournissent les proportions AB:DE;:BC: EF AC : DF " AS : DT :: SB : TE ; : SC ;TF; donc, dans les pyramides trianf'ulaires semblables, les côtés homologues sont proportionnels.

II. Et puisque les angles solides homologues sont égaux, il s’ensuit que Finclinaison de deux fajces quelconques d'une pyramide est égale à Finclinaison des deux faces homologues de la pyramide semblable.

III. Si on coupe la pyramide triangulaire SABC par un plan GIH parallèle à l’une des faces SAC, la pyramide partielle BGIH sera semblable à la pyramide entière BASC : car les triangles BGI, BGH, sont semblablés'aux triangles BAS, BAC, chacun à chacun, et semblablement placés ; l’inclinaison de leurs plans

est la mêiTie de part et 'd’autre ; donc les deux pt^a* * mides sont semblables.

-6*. «U. IV. En général; « on coupe une pyramide quel- ' conque SABCDE par un plan ab'cde parallèle à la hase, la pyramide partielle Sabale sera semblable a la pyramide entière SABCDE. Car les bases ABCDEj , abcde, sont semblables, et en joignant AC, âc, on vient de prouver que la pyramide triangulaire SABC est semblable à la pyramide SoAc; donc le point S est déterminé par rapport à la base ABC cottimé le point / •Jff i8 ^ I*®®* P®’’ rapport à la base a^c*} donc les deux pyramides SABCDE, hahcde, sont semblables.

Scholie. -Au lieu des cinq données requises par la définition pour que deux pyramides triangulaires soient ... semblables, on pourrait en substituer cihq autres , suivant différentes combinaisons ,'et il ert résulterait autant de théorèmes , parmi lesquels on peut distin» guer celui-ci : Deux pyramides triangulaires sont semblables lorsqu'elles ont les côtés homologues propor^

• tinnnels. . . ,

«If ao3. •* °° ■ proportions AB: DE :: BC:EF :: AC *

: DF: : AS : DT .: SB: TE:; SG : TF, ce qui renferme onq conditions, les triangles ABS, ABC ,-seront semblables aux triangles DET, DEF, et semblablement placés. On aura aussi le triangle SBC semblable ^- TEF J donc les trois angles plans qui forment l’angle solide B , seront égaux aux angles plans qm forment l’angle solide E , chacun à chacun ; d’où il suit que l’inclinaison des plans SAB, ABC, est égale à celle de leurs homologues TDE , DEF , et qu’ainsi les deux pyramides sont semblables.

THÉOaâuB.

Deux polyèdres semblables ont les JaçeS ho- . mologues semblables, et les angles solides homologues égaux.

LtvKb VI. . 1^5

Soit ABCDE la base d’un polyèdre j soient M et N ’iy • les sommets de deux angles solides, hors de cette base, déterminés par les pyramides triangulaires MAllC,

NABC^ dont la base commune est ABC; 'soient dans J’autre polyèdre, abcde la base homologue ou semblable à ABCDE, m ex n les sommets homologues à M et N , déterminés par les pyramides mabc , nahc > semblables aux pyramides MABC, NABCj je dis d'aliord que les distances MN, m/i, sont propoHionnelles aux côtés homologues AB, ah.

En effet, les pyramides MABC, niahcy étant sem- . blables, l'inclinaison des plans MAC, BAC, est égale à celle des plans mac , bac ; pareillement les pyramides NABC, nahc, étant semblables, l'inclinaison des plans NAC, BAC, est égale à celle des plans nac, baâ : donc, si on retranche les premières inclinaisons des deinicres, il restera l’inclinaison des plans NAC, MAC, égale à celle des plans /t/ic, mac. Mais, à cause île la simditude îles mêmes pyramides, le triangle M.AC est ' - < semblable à tnac et le triangle NAC est semblable ànac \ donc les deux pyramides triangulaires MNAC, » mnac , ont deux faces semblables ch.icune à chacune, semblablement placées et également inclinées entre elles; donc ces pyramides sont semblables*, et leurs • ,,, côtés homologues donnent la proportion MN nui ::

AM:aw. D'ailleurs AM:o/ni: AB:«i ; donc MN:w<«' ::AB:a. . * : /

Soient P et deux autres sommets homologues de mêmes polyèdres, et on aura semblablement PN^/»« '

:: AB:aô, PM:/>/« :: AB: ab. Donc MN : mn.\ PN :pn :: PM : pm. Donc U triangle PNM qui joint trois sont- »

mets quelconques d'un polyèdre est semblable au triangle pniii qui ioint les trois sommets homçlogues de '■

l'autre polyèdre.

Soient encore Q et ^ deux sommets homolugues, et ie triangle PQN sera semblable à pqn. Je dis de plus

bigilized t; Googli

~ lÿÿ OÊOMBTHIB.

. . que l'in clinaiâOD ‘ des plans PQN, PMN, est égale ^

. celle des plans p^n, pmn^ . . . ,

4' Car si on joint QM et y/», on aura toujours le tri- • angle QNM semblable a qnm, et par conséquent l’angle QNM égal à qnm. Concevez en N un angle solide for^. mé par les trois angles plans QNM, QNP, PNM, et «n n un angle solide formé par les trois angles plans y/tm, qnp,pntfi : puisque ces angles plans sont égaux chacun à chacun , il s’ensuit que les angles sobdes son égaux. Donc l’inclinaison des deux plans PNQ, PNM , est égale à celle de leurs homologues pnq , pnm ; donc, .si. les deux ■ triangles PNQ, PNM, étaient dans un même plan, auquel cas on aurait l’angle QNM = QNP -H PNM, ou aurait aussi l’angle qnm.=qnp pnm , et ' les deux triangles qnp , pnm , seraient aussi dans un •. même plan. - .1

Tout ce qui vient d’être démontré a lieU, quels que soient les angles M, N, P, Q, comparés à leurs homologues m, n, p, y. , . •

Supposons maintenant que la surface de l'un des . polyèdres soit partagée en triangles ABC, ACD , MNP, NPQ, etc.j on voit que la surface dé l'autre polyèdre contiendra un pareil nombre de triangles aùc, acd , uinp, npq^ etc., semblables et semblablement placés J et si plusieurs triangles, comme MPN, NPQ, etc., appartiennent à une même face ét sont . dans un même plan , leurs homologues inpn , npq , etc. ,

■ seront pareillement dans un même plan. Donc toute face polygone dans un polyèdre répondra à une face polygone semblable dans l'autre polyèdre ; donc les deux polyèdres seront compris sous un même nombre de plans semblables et semblablement placés. Je dis de . plus que les angles solides homologues seront égaux. - Car, si l'angle solide N, par exemple, est formé par les angles plans QNP, PNM, MNR, QNll, l’an-, gle solide homologue n sera formé par les angles

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LIVMBVl. , 197

plans qnp, pnm^ mnr^ qnr. Or, ces angles plans sont égaux chacun à chacun , et l’inclinaison de deux plan$ adjacents est égale à celle de leurs homologues ; donc les deux angles solides sont égaux , comme pouvant être superposés.

Donc enfin deux polyèdres semblables ont les faces homologues semblables et les angles solides homologues égaux.

Corollaire. Il suit de la démonstration précédente que si, avec quatre sommets d’un polyèdre, on forme une pyramide triangulaire , et qu’on en forme une seconde avec les quatre sommets homologues d’un polyèdre semblable, ces deux pyramides seront semblables; car elles auront les côtés homologues proportionnels *. *ai,icb.'

On voit en même temps que deux diagonales homologues*, par exemple, AN, on, sont entre elles comme deux côtés homologues AB, ab. ,

- THKOaélIB.

Deux polyèdres semblables peuvent se partager en un même nombre de pyramides triangulaires semblables chacune à chacune, et sem- ' blablement placées.

Car on a déjà vu que les surfaces de deux polyèdres peuvent se partager en un même nombre du triangles semblables chacun à chacun , et semblablement placés. Considérez tous les triangles d'un polyèdre, excepté ceux qui forment l'angle solide A, comme 1^ ba.ses d'autant de pyramides triangulaires dont le sommet est en A; ces pyramides prises en. semble composeront le polyèdre : partagez .de même l’autre polyèdre en pyrarmides qui aient pour sommet

1(^8 GéoMBTRlE.

oommun celui de l’angle n homologue à A^il est dair que la pyramide qui joint quatre sommets dun polyèdre sera semblable à la pyramide qui joint les quatre sommets homologues de l'autre polyèdre. Donc . . deux polyèdres semblables, etc.

THÉOHBHIi.

• • • ^ • - Deux pyramides semblablés sont. entre elles comme les cubes des côtés Homologues.

rig. îii 4 -Car deux pyramides étant semblables, la plus petite pourra être placée dans la plus grande, de manière qu’elles aient l’angle solide S commun. Alors les bases AHCDE, al/cdey seront parallèles; car, puisque les faces homologues sont semblables*, l’angle ^ah est •égal à SAB, ainsi que S/^c à SBC; donc le plan ahc *«3.4. est parallèle au plan ABC*. Cela posé, soit SO la. - . perpendiculaire abaissée du sommet S sur le plan ABC , et soit U le point où .cette perpendiculaire rencontre le plan abc\ on aUra, suivant ce qui a été déjà ***•• démontré*, SO:So SA :Sa :: AB:ué ; et par copsé- , quent, ‘ .

iSO.-iSn :: AB: «A « .

Mais les bases ABCDE, ahcde., étant des figures sem- ■ blàbles, on a , ' ’ " ,

. - ABCDE : abcde :: Âb‘: âbl

Multipliant ces deux proportions terme à terme, il en réiidtera la proportion , - '

ABCDE x^SO.rtéci/ex-jSu :: AB : flé ;

or, ABCDE X -^SO est la solidité de la pyramide • i8. SÀBCDE*, et aitdey.^So est celle de la pyramide Sabcde ; donc deux pyramides semblables sont entre, elles comme les cubes de leurs côtés homologues.

Digitizeo oy tinoglc

tiyaB VI.

THBOMBIiB.

'D^iX polyèdres semblables' sont entre eas conwne les eubes-des côtés homologues.

Car deux polyèdres semblables peuvent être partagés en un même nombre de pyramides triangulaires semblables chacune à chacune*. Or, les deux pyramides, semblables APNM, apnttif sont entre elles comme les cubes d^ cotés homologues ÀM, tun, ou -comme les cubes des côtés homologues AB, ab. Le même rapport aura' lieu entre deux autres pyramides homologues quelconques j donc la somme de toutes les pyramides qui composent un polyèdre, ou le polyèdre lui-même , est à l’autre polyèdre , comme le cube d’un côté quelconque du premier est au cube

du c^é homologue du second.

■ Schplie général.

On ppul présenter en termes algâ>riques, c’est^dire, dè la manière la pluajsuccincte , la récapitulation des principales propositions de ce livre concernant les solidités des polyèdres.

■ , Soit B la base d’un prisme, H sa hauteur^ la solidité du prisme sera B X H ou RH.

Soit' B la base d’une pyramide, H sa hauteur^ la solidité de la pyramide seraRx-iH, ou H xi B , ou

ïBH. ' . '

Soit H la hauteur d’un tronc de pyrami^ i bases

^allèles, soient A et 'B ses bases; i/AB ^a la nioyenne proportion ncAje entre elles , et la solidité ily

tronc sera iHx(À-l-B-l-V'XBr) ^ . .

fig. ai9‘ * « 3 .

«00 CBOHiTBIB.

Soit B la base d'un tronc de prisme triangulaire H, H', H', les' hauteurs de ses trois sommets supé» rieurs, la solidité du prisme tronqué sera x (H + H'-»- H*).

Soient enfin P et les solidités de deux polyèdres semblables, A et a deux côtés ou deux diagonales homologues de ces polyèdres, on aura P A’ : a.