QUATRIÈME CAS

LU. Étant donné un côté b de f angle droit, avec l'un des angles aigus, trouver l'hypoténuse et l'autre côté,

Gonnaissant Tun des angles aigus on connaîtra l'autre , ainsi on peut supposer connus le côté b, et l'angle opposé B. Ensuite , pour déterminer a et c, on aura les proportions «/n B : R : : 3 : 0y 1^,: cotB izbie.

BECmiGRE. 317

Résolution des triangles rectiligne» en général.

Soient A , B , C , les trois angles d'un triangle rectiligne proposé, et soient a,b, c,\es côtés qui leur sont respectivement opposés : les différents problèmes qui peuvent avoir Heu pour déterminer trois de ces quantités par le moyen des trois autres , se réduiront toujours aux quatre cas suivants.

PBEHIEA CAS.

LUI. Étant donnés le côte a et deux des angles du triangle, trouver les deux autres côtés h et c.

Les deux angles connus feront connaître le troisième, ensuite on trouvera les deux côtés b et c par les proportions*, " XLIV.

*in A : 9tn B : : a:d.

êin A : sin Qiiiaic.

DEUXIÈIIE CAS.

LIV. Étant d^nés les deux côtés a b, avec l'angle A, opposé à l'un de ces côtés , trouver le troisième côté c et les deux autres angles B et C.

On trouvera d'abord Fangle B par la proportion a : h :i sin A : «m B.

Soîtid Tangle aigu dont le sinus =^-^^-^,on pourra, d'après

la valeur de sin B , prendre ou B = M ou B =; 200** — M. Mais ces d«ux solutions n'auront lieu qu'autant qu'on aura à la fois l'angle A aigu et 3]>a. Si l'angle A est obtus, B ne saurait l'être, ainsi il n'y aura qu'une solution ; et si A étant aigu on a i il n'y aura non plus qu'une solution , parce qu'alors on a M < A, et qu'en faisant B = 200° — M, on aurait A+B > 200**, ce qui ne peut avoir lieu»

Connaissant les angles A et B, on en conclura le troisième C. Ensuite on aura le troisième côte c par la proportion

sin A : sin G : : aie»

dl8 « TBTGonosAra»

On peut aussi déduire c directement de l'équation

-ir= 2tc .'P"''''°°e^=-R-±»^(°' p-J-

Mais cette yaleur ne peut se calculer par logarithmes qu'au moyen d'un angle auxiliaire M ou B, ce qui rentre dans la solution précédente.

TB0T8IÈKB CAS.

Lv. Étant donnés deux côtés a e^b avec l'angle compris G, trouver les deux autres angles h. et et le troisième côté c.

Connaissant l'angle G, on connaîtra la somme des deax autres angles A + B = 200»— C et leur demi-somme^ (A +B) = 100° — -jC. Ensuite on oalculera la demi-différence de * xLTii. ces mêmes angles par la proportion'*'

a'\'b:a — b:: tang 7 ( A + B) ou cot^ G : tang ^ ( A — B) où l'on suppose a > 3 et par conséquent A > B.

Ayant trouvé la demi'^différence 7 (A — B), si on Tajoute à la demi-somme 7 (A + B), oti aura le plus grand angle A; si au contraire on retranche la demi-différence de la demisomme, on aura le plus petit angle B. Gar, AetB étant deux quantités quelconques , on a toujours A=i(A+B)-hi(A-B) B = i(A + B)-4(A^B) Les angles A et B étant connus, pour avoir le troisième côté c , on fera la proportion

ain A : sin C : : a : ff.

Lvi. Il arrive souvent dans les calculs trigonométriques que deux côtés a et ( sont connus par leurs logarithmes f alors pour ne pas être obligé de chercher les deux nombres correspondans , t>n cherchera seulement l'angle f par la proportion 6 : a :: R : tang f. L'angle f sera iplus grand que 50®, puisqu'on suppose a^&,- retranchant donc 50*^ de 9 on fera la proportion R : tang (y — 50® ) :: cot^C: tang ^ ( A — B) , d'où l'on déterminera comme ci-dessus la valeur de|(A — B), et ensuite celles des deux angles A et B.

Cette solution est fondée sur ce que

tang (,-500) = '^'f ^^^-^^^ ^ / K^ + tangftang5QP '

or tang f = ^ et fang 50« = R ; donc tang {f — 60® ) = ^ ^^fe^^ '

RECTILIGRE. Si 9

donc a + 6 : a —6 ::R : (ang — 50o) :: cof ^ C : iang^ (A — B). Quant au troisième côté c, il peut se trouver directement par l'équa-

tion-^=: — — , qui donne c=Y/ f o' + 6» j.

Mais cette valeur n'est pas commode à calculer par logarithmes , à moins que lés nombres qui représentent a, b, et co« G, ne soient très simples.

11 est à remarquer que la Taleur de c peut aussi se mettre sous ces deux formes : c =

ce qui se vérifie aisément au moyen des formules «m^ X C = J — ^ R cos C , co8^ ^C=:JR^+^R cofi C. Ces valeurs seront particulièrement utiles y lorsque l'angle étant très petit, ainsi que b, on voudra calculer c avec beauconp de précisi^on. La dernière fait voir que c serait l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé sur les côtés

( a 6) — ^ — et \o — o) — ~— ; et c est ce qu on peut aussi trouver

par une construction fort simple.

Soit GAB le triangle proposé dans lequel on connaît les deux côtés iîg- 6. GB = a> GA et Tangle compris C. Du point G comme centre et du rayon GB égal au plus grand des deux côtés donnés, décrivez une circonférence qui rencontre en D et £ le côté GA prolongé ; joignez BD, B£, et menez AF perpendiculaire à BD. L'angle DB£ inscrit dans la demi-circonférence sera un angle droit, ainsi les lignes AF, B£, seront parallèles, et on aura la proportion BF : A£ :: DF : AD : : coa D : R. On aura aussi dans le triangle rectangle DAF, AF : DA : : sin D : R. Substituant donc les valeurs DA=DC+GA=a-j-6, AE=CE — GA=o— &, D =:iG, on aura

AF= , BF g .

Donc en effet le troisième côté AB du triangle proposé est l'hypoténuse du triangle rectangle ABF, dont les côtés sont (o+&)-^-^-et (a — h) ^^^^ ^. Si dans ce même triangle on cherche l'angle ABF

opposé au côté AF, et qu'on en retranche l'angle GBD = ^ G, on aura l'angle B du triangle ABG. De là on voit que la résolution du triangle ABG , dans lequel on connaît les deux côtés a et b et l'angle compris G, se réduit immédiatement à celle du triangle rectangle ABF, dans lequel on connaît les deux côtés de l'angle droit, savoir :

. AF=(a+6)^etBF = (a-6)ffiiii.

Ainsi, par cette construction, on pourrait se passer de la proposition du n» 47.

320 TBIGOKOltTBTB

QUATBIÈME CAS.

Lvii. Étant donnés les trois côtés a , b , c, trouver les trois angles A, B, C.

L'angio A opposé au côté a y se trouve par la formule

^0«AnR. } et on déterminera semblablement

2 oc

les deux autres angles. Mais on peut résoudre ce même cas par une formule plus commode pour le calcul logarithmique.

Si on se rappelle la formule R' — R<?<?*A = 2*/V 7 A , et qu'on y substitue la valeur de cos A , on aura

= R..(îi±^lJzii±£):Donc

Soit, pour abréger, {{a'^b+c)=p, ou a + ^+c=2/i, on aura a + b — c=2j» — 2c, a — ^ + c=2/? — 25; donc

,A KV/(MI£^).

Formule qui donne aussi la proportion

bc:{p — b) (p — c):: R»:*m^^A et qui est facile à calculer par logarithmes. Connaissant le logarithme de sin-^k^ on connaîtra 7 A dont le double sera Tangle cherché A. On pourra faire de même par rapport à chacun des deux autres angles B et G.

Il y a d'autres formules également propres à résoudre la question. £t d'abord la formule R2 + R cos A — 2 cos* ^ A donne coa^ J- A=R'. fe'+c-+2fec-a' ^^^ (hJfcy-a- (fe+e^p) (6+c+a) ^^^^^

Abc ' Abc ' Abc

faisant toujours 0+6 -fc=2p, on a 6+c — a =2/? — 2o; donc

Celte valeur étnnt eatsuite combiQ^ft avec celle de ain ^ A donnera une

autre farmuLe, car ayant taitfft A = 2 q„ ^-^^

cos ^ A

RBCTIUGHB.

Exemples de la résolution des triangles rectilignes.

Lviii. Exemple!. Supposons qu'on veuille avoir la hauteur d'un édifice AB , dont le pied est accessible. '^s* 7*

Ayant mesuré sur le terrain, supposé à-peu-près de niveau , une base AD qui ne soit ni très-grande ni très-petite par rapport à la hauteur AB , on placera en D le pied du cercle ou de l'instrument quelconque avec lequd on doit mesurer l'angle BG£ formé par là ligne horizontale CE parallèle à AD, et par le rayon visuel GB dirigé au sommet de l'édifice. Supposons qu'on ait trouvé AD ou CE =67 .84 mètres et l'angle BGE= 45» 64' ; pour avoir BE, il faudra résoudre le triangle rectangle BGE dans 'lequel on connaît l'angle G et le côté adjacent EG. Ainsi, d'après le cas iv, on fera la proportion R : tang 45° 64' : : 67 .84 : BË.