Construire les projections d'un icosacdre régulier

L'icosaèdre régulier est formé par vingt triangles équilatéraux assemblés cinq à cinq autour de chaque sommet. Nous supposons la diagonale a'V (fig. 22, pl. IV) verticale. L'icosaèdre se compose, à la partie inférieure d'une pyramide ayant pour sommet a', et pour base le pentagone edefg, à la partie supérieure d'une pyramide égale ayant pour sommet b' et pour base le pentagone hilim t et enfin a\'un solide compris entre les plans parallèles des deux pentagones et limité latéralement par dix triangles inclinés alternativement dans un sens et en sens contraire sur ces bases parallèles.

La base de la pyramide inférieure se projette sur le plan horizontal suivant un pentagone régulier okfg, ayant pour centre le point a, et que Ton peut construire, puisqu'on connaît son côté qui est égal aux arêtes de l'icosaèdre. La base de la pyramide supérieure se projettera suivant un pentagone hiklm, inscrit dans le même cercle que le précédent, et de manière que les sommets des deux pentagones partagent la circonférence en dix parties égales. La hauteur de la pyramide inférieure sera donnée par le côté cG du triangle rectangle acC, dans lequel le côté ac est le rayon du cercle circonscrit au pentagone, et l'hypoténuse aC est égal au côté du pentagone, ou à l'arête du solide (ce triangle est le rabattement du plan projetant l'arête aC); sur une perpendiculaire à la ligne de terre, on prendra donc a'c' égale à cC, et Ton mènera, par le point c' } une parallèle d'g' à la ligne de terre.

Il s'agit maintenant de trouver la hauteur du solide intermédiaire. Faisons tourner l'une des faces latérales dem autour de de, jusqu'à ce qu'elle devienne horizontale; elle se projettera alors en vraie grandeur suivant'le triangle équilatéral dem^ la hauteur de ce triangle est *m A ; le côté mM du triangle rectangle awM, dans lequel l'hypoténuse aM égale «m,, donnera l'élévation du point M au-dessus de la base de la pyramide inférieure, ou l'épaisseur du solide intermédiaire; à une distance c'h! égale

à mM, on mènera donc une parallèle m'ï à d'g' , et Ton aura la base de la pyramide supérieure; on prendra ensuite h'b 1 égale à a'c' pour avoir le sommet V.

La figure 23 montre le développement de l'icosaèdre. Autour des points a et b t on voit les développements des surfaces latérales des deux pyramides; la bande ggkk provient de la portion intermédiaire.

99. Remarque. Il n'existe pas d'autre polyèdre régulier que les cinq dont nous avons parlé. Il est facile de s'en rendre compte. On sait en effet que la somme des faces d'un angle polyèdre quelconque est toujours moindre que quatre angles droits (Théorie, liv. V, th. 30). La somme des angles disposés autour d'un môme sommet doit donc être moindre que quatre angles droits. L'angle du triangle équilaléral vaut les § d'un angle droit; on pourra donc former des solides en assemblant des triangles équilatéraux, soit trois à trois, soit quatre à quatre, soit cinq à cinq, autour de chaque sommet; dans ce dernier cas, la somme des angles autour de chaque sommet est égale à ^ d'angle droit, et p'ar conséquent moindre que quatre angles droits; mais si l'on assemble les triangles six à six, la somme étant égale à quatre angles droits, l'angle polyèdre devient plan, et le solide n'existe plus. Il est tout à fait impossible d'assembler les triangles sept à sept, huit à huit, etc.; car alors la somme des angles autour de chaque sommet serait plus grande que quatre angles droits. Ces trois manières d'assembler les triangles donnent le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.

On ne peut assembler les carrés que d'une seule façon, trois à trois, ce qui donne le cube ou l'hexaèdre.

On ne peut assembler de môme les pentagones réguliers que d'une façon, trois à trois, ce qui donne le dodécaèdre.

Il est impossible de former un solide avec des hexagones réguliers; car l'angle de l'hexagone vaut les $ d'un angle droit; pour former un angle solide, il en faudrait mettre trois au moins, ce qui donnerait quatre angles droits. L'impossibilité est encore plus manifeste avec les heptagones, etc.

Ainsi, il n'existe que cinq polyèdres réguliers :

Le tétraèdre, qui a 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes,

V hexaèdre, qui a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes;

L'octaèdre, qui a 8 faces, 6 sommets et 12 arêtes;

Le dodécaèdre, qui a 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes;

Vicosaèdrc, qui a 20 faces, 12 sommets et 30 arêtes.

On aperçoit une corrélation très-remarquable enlre ces polyèdres. L'hexaèdre et l'octaèdre ont chacun 12 arêtes; le nombre des faces de l'un est égal à celui des sommets de l'autre, et réciproquement. Le dodécaèdre et l'icosaèdre ont chacun 30 arêtes ; le nombre des faces de l'un est encore égal à celui des sommets de l'autre. Le tétraèdre se correspond à lui-même.

;Plan, élévation, coupe.

100. Le mode de projection développé précédemment peut encore être appliqué à la représentation géométrique de la forme extérieure d'un bâtiment ou d'une machine. La projection horizontale se nomme alors plan, la projection verticale élévation. Pour que ces projections aient toute la netteté désirable, on est souvent obligé de ne représenter sur une même figure que la projection d'une partie du bâtiment ou de la machine ; de sorte que l'ensemble exige plusieurs plans et plusieurs élévations.

Mais les plans et les élévations ne font connaître ni la distribution intérieure du bâtiment, ni la disposition des différentes pièces de la machine. On en complète la représentation géométrique à l'aide de coupes ou sections faites par des plans horizontaux ou verticaux convenablement choisis.

101. Pour représenter un bâtiment et faire connaître tous les détails de sa distribution intérieure, on construit le plan de chaque étage, l'élévation de chaque face sur un plan parallèle au plan de cette face, et une coupe verticale perpendiculaire au plan de la façade principale.

Les figures 1, 2, 3, planche V, représentent le plan du rez-

de-chaussée d'une maison, l'élévation de sa face principale, et une coupe verticale suivant la ligne ab.

Tous ces plans sont levés par la méthode du levé au mètre ; par exemple, pour lever le plan du rez-de-chaussée, on choisit pour base la droite ab, qui passe par le milieu des portes des faces principales, traverse toute la maison et rencontre les traces horizontales des murs prolongés aux points d, f, k, dont on mesure les distances au point a, milieu de l'arête de la première marche de l'escalier. On détermine les points g et g', h et h', en mesurant leurs distances aux points d et les points l et /' en mesuraut leurs distances aux points fet k : on construit ces points et on trace les droites gdg' y hfli, Ikl' ghl, g'h'l' ; on mesure les épaisseurs des murs aux ouvertures, les distances gp, 9'p't tyi l'q''t on marque les points p, p\ q, q' et on achève le tracé des murs en admettant que les faces d'un même mur sont parallèles. On détermine les extrémités c et d de la première marche de l'escalier, en mesurant leurs dislances au point a et au point m, pris sur le prolongement de ba à une distance connue de a. Gomme vérification, on mesure les distances des points c' et e' aux coins voisins de la maison. Les arêtes des autres marches étant parallèles à cc' % il suffit pour les déterminer de mesurer les distances du point a aux points où elles sont rencontrées par la droite ab.

On lève le second escalier de la même manière; le levé des ouvertures et autres détails ne présente aucune difficulté.

On opère de même pour une élévation ou une coupe, en s'aidant, pour prendre les mesures nécessaires, d'une échelle et d'un fil ; on peut d'ailleurs simplifier ces opérations en admettant que les arêtes des murs , des portes et des fenêtres sont verticales, et les lignes d'assise horizontales.

102. Pour faire le levé d'une machine, il faut avant tout examiner, avec un grand soin, quels sont les plans suivant lesquels on obtient les élévations et les coupes qui permettent le mieux de mettre en évidence les pièces importantes de la machine. Quant aux mesures nécessaires à la construction d'un dessin, on

les obtient aisément à l'aide d'un fil, du compas ordinaire, d'un compas d'épaisseur et d'un mètre.

Les figures 4, 5, 6, Pl. V, représentent le plan, une élévation, et une coupe verticale d'une pompe à incendie.

La coupe verlicale (fig. 5) fait voir comment, sous l'action du balancier DD , les deux pompes B , B puisent l'eau dans la caisse A pour l'amener dans le réservoir à air C, d'où la pression de l'air la chasse dans le conduit E, par lequel elfe s'échappe en jet continu. Le plan (fig. 4) achève de faire comprendre la disposition des différentes parties de la machine par leur projection sur un plan horizontal. Enfin, l'élévation (fig. 0) montre la forme extérieure de tout l'appareil.

Nous engageons les élèves à exécuter ainsi le levé des principales machines qui se trouvent dans les cabinets de physique, et parmi lesquelles nous citerons la machine pneumatique, la machine d'Alwood, le calorimètre de Laplace et Lavoisier, et les roues hydrauliques.