Trouver la dislance de deux points

Considérons d'abord un cas particulier très-simple, celui où Fig 3i. la droite qui joint les deux points don-

nés (a, a'), (6, b') est parallèle à l'un des plans de projection, par exemple au plan vertical (fig. 31). Dans ce cas la projection horizontale ab est parallèle ~f à la ligne de terre, et la droite AB dans l'espace est parallèle à sa projection r ^ b verticale a'b'; elle se projette donc en

vraie grandeur suivant a'b'.

Supposons maintenant que la droite AB occupe une position quelconque dans l'espace (fig. 32). Considérons le plan vertical élevé par la projection horizontale ab\ ce plan contient la droite AB; c'est le plan qui In projette sur le plan horizontal. Faisons tourner ce plan autour de la ligne ab pour le rabattre sur le plan horizontal (voyez la figure 33). Le point A est sur la verticale élevée en a, à une hauteur égale à «a'; dans le ra-

battement, cette droite se place en a Ai, perpendiculairement à ab, dans le plan horizontal; si Ton prend aAi égale à aa', on a

Fig 32 Fig. 33.

le point Aj, rabattement du point A. De môme, le point B est sur la verticale élevée en b à une hauteur égale à pi/ ; cette verticale se rabat en b% perpendiculairement à ab. Si l'on joint A,B,, on a le rabattement de la droite AB. Telle est la distance des deux points donnés.

Problème II.

22. Trouver sur une droite un point dont la distance à un point donné de la droite soit égale à une longueur donnée.

Soient (ab t a'b') les projections de la droite, (a, a') les projections du point donné ((ig. 32), prenons un second point quelconque (6, b') sur la droite, et faisons encore tourner le plan qui projette la droite sur le plan horizontal autour de sa trace horizontale ab, pour le rabattre sur le plan horizontal. Les points A et B viennent se placer en A x et B, cl la droite AB s'applique sur la droite AiB t . Prenons sur A,B X à partir du point Aj une longueur AjCi égale à la longueur donnée, et imaginons que le plan rabattu tourne autour de ab pour reprendre sa première position; dans ce mouvement la droite cC t reste perpendiculaire à

ab, et quand le plan a repris sa position verticale, cette droite devient elle-même verticale, de sorte que c est la projection horizontale du point G. Une perpendiculaire à la ligne de terre menée par le point c détermine la projection verticale c'.

25. Remarque. Dans la figure précédente, les deux points don- Fig- 34. nés sont situés d'un même côté

du plan horizontal. Supposons que le point (a, a') soit au-dessus du plan horizontal, le point (6, V) au-dessous (fig. 34). Si nous rabattons le plan vertical projetant, en le faisant tourner autour de ab, de manière que la partie supérieure de ce plan s'applique sur le plan horizontal en avant de la ligne ab, la verticale ak se rabattra suivant ak x \ mais la verticale 6B, qui est égale à $b\ étant située au-dessous du plan horizontal, se rabattra en sens inverse suivant &B t . En joignant AA, on a la distance cherchée.

Il est bon de remarquer ici que la droite AB, après son rabattement, passe toujours par sa trace horizontale c. Car cette droite, dans son mouvement autour de ab, décrit un cône dont le point c est le sommet; cette remarque servira de vérification.

Problème III.