LIVRE VIII, — LES COURBES USUELLES
2 Les solutions donnée m'exigent point que | les foyers el 2u.
S pour les divers a Courbe soit tracée
Proposition VIII, — Théorème,
003, Les langentes menées à l'ellipse des angles égaux avec les nt du méme foyers, el la droite qui va du point ectérieur à lu bissectrice de l'angle formé par les »
loyer aux deux points de contact.
Soient les deux langentes PM ot PM'; et soient les Points E et E' symétriques des foyers, La droite IE Passe au point M,et FE’ passe au point M' {ne 495),
Les triangles EP: et FPE sont égaux comme ayant les trois côtés égaux; car PE— PE, PF. PE, et FE —2a=pFE ; donc l'angle EPF'= FPE": et si l’on retranche de Caacun d'eux Ja partie commune FPE", il reste angle EPF=E'PF", d'où angle FPM = F'PM':
2° Les triangles égaux déjà considérés donnent : angle PEF"' = PFE'; mais l'angle PEF'= MFP:
; donc angle MFP = PEM'; donc PF es la bissectrice de l'angle MFM..
droites qui vo Point aux deu
AYONS vecteurs qui vont de à
Proposition IX
504. La Projection d'un cerete SUP un plan est une ellip tralion due à M, Courcelle,
Prenons un plan qui passe par le centre; soit le diamètre AA l'in.
lersection des deux plans. Par Je centre et par un point quelconque N du cercle menons des pl pendiculaires à AA", et dans ces plans, les Pérpendiculaires DB et NM au plan de Projection, Les points B et M apparliennent à Ja courbe : DO, BO, NP, MP, sont Perpendiculaires à l'intersection AA’, puisque ce diamètre est per bendiculaire aux plans DOB, NPM.
Portons la grandeur DB de O en [° el en F”, joignons M, projection d'un point quelconque de Ja circonférence, aux points EF et FH suffit de prouver que MF + ME" est une Somme constante.
Du point F, abaissons la Pérpendiculaire FG sur Je diamètre NN, el menons NF, La ligne NM est Pérpendiculaire aux droites MP, MF,
+ — Théorème,
se, (Démons-
ans per-
problèmes des langentes : il suflil que l’on Connaisse
Per un point eælérieur, font “) n des foyers est
ME", Les triangles rectangles DBO et NMP sont semblables, car leurs DB __ DO NM NP°'
côtés sont respectivement parallèles; on a donc
| Les triangles rectangles NPO et FGO, ayant un angle aigu com- | mun, sont semblables, et l'on a : Pa = Er DO, les deux pro- | portions ont un rapport commun:
f | PEL Oo DB=OF;donc NM=FG
k donc NN —“ iG? =0OF ; donc NM—FG.
| Les triangles rectangles NMF et NGF avant l'hypoténuse com- | mune et un autre côté égal, NM = FG, sont égaux; donc MF = NG. | Dans le parallélogramme NEFN'F", le côté F'N — FN’; les triangles ,
rectangles NME" et FGN’ sont égaux, car NM=FG, et l’hypoténuse j EN =EN'; donc ME'—GN'.
l{ Ainsi MF+MIF'=NG+GN'-= AA, quantilé constante.
L{ La courbe est donc une ellipse ayant F et F' pour foyers, AA ,
pour grand axe, et pour petit axe BB', projection du diamètre DD’ perpendiculaire à l'intersection des plans.
Proposition X. — Théorème.
PEAR. ee pire HlaEN draten Me
90, Les ordonnées de l’ellipse sont aux ordonnées correspondantes du cercle principal dans un rapport constant.
Dans le théorème précédent, si l'on rabat le cercle sur le plan de l'ellipse, les ordonnées correspondantes PM et PN étant perpendicu-
laires au diamètre AA’, prennent la même direction, et on a tou- à
jours : à
a» rapport constant.C.Q.F.D. cle
PS : b k rate le lil 506, Scolie. 1° Le rapport a Peut varier de zéro à l'unité, Le pre -
on
mier cas a lieu quand le cercle est perpendiculaire au plan de pro-
L- jections l'ellipse se réduit alors à une droite, Le second cas se présente K4 quand le cercle est parallèle au plan.
2 Si l’on décrit un cercle ayant le petit axe pour diamètre, les
it semblables, car leurs DB DO
