LIVRE 11, — LA CIRCONFÉRENCE (n
circonférence, et rirconscrit, lorsque tous ses côtés sont tangents à une même circonférence,
Une circonférence est cireonserile à un polygone lorsqu'elle passe par tous les sommets; elle est inscrite lorsqu'elle est langente à Lous les côlés,
Proposition XIX, — Théorème.
147, Lorsqu'une circonférence est divisée en un nombre quelconque de parties égales, les cordes qui joignent consécutivement les points de division forment un polygone régulier inscrit,
Soit, par exemple, une circonférence divisée en ÿ parties égales; aux points À, B, C, D, E.
Les arcs AB, BC, CD... élant égaux, les cordes AB, BC, CD.., qui les sous-tendent, sont B égales (n° 107), D'ailleurs, chacun des angles Î A, B, C.. est inserit, et comprend entre ses côtés les 3/; de la circonférence ; ainsi tous ces angles sont égaux, et le polygone inscrit est régulier,
Donc, lorsqu'une circonférenve est divisée
Proposition XX, — Théorème.
118. Lorsqu'une circonférence est divisée en un nombre quelconque de parties égales, les tangentes menées par les points de division forment un polygone régulier circonsesit
Soit, par exemple, une ci rence divisée en 5 parties égales, aux points A, B, C, D,E, et soit FGHIK le polvgone circonscrit for par les langentes menées aux points d in. Menons les cordes AB, BC, CD...; ces cordes sont égales comme sous-tentl des arcs égaux. Dans les triangles ABF, BCG, CDH..., les angles en À,B, C..., sol égaux comme angles du segment comprenant des arcs égaux (n° 140) ;
ainsi ces triangles sont égaux (n° 47), et cha- A cun d'eux est isocèle (n° 53), H De là résulte l'égalité des angles F, G, H, I, K,et celle de tés AF,
FB, BG, GC, CH... On a donc aussi FO —GH—HM IR —KF. Ainsi le polygone FGHIK est régulier, puisqu'il a tous ses côlés égaux el lous ses angles égaux,
Donc, lorsqu'une circonférence est divisée.
Scolie, Le problème de la construction des polygones réguhers se confond avec le probième de la division de la circonlérence en parties égales; et l'on peut circonscrire à la circonférence autant de polygones réguliers que l’on peut en inscrire.
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Proposition XXI. — Théorème.
149, À tout polygone régulier, on prul circonserire une circonfé--
rence.
Soit ABCDE un polygone régulier, Faisons passer une circonfé-
rence par les trois sommets À, B, GC; nous allons prouver que celle circonférence passe aussi par les autres sommets.
Menons OA et OD, puis ON perpendiculaire à la corde BC, ct supposons que le quadrilatère OHBA Lourne autour de OI pour s’appliquer sur le quadrilatère OHCD, Les angles droits en H coïncident; et comme le point H est le milieu de la corde BC {n° 110), le point B tombe en C:les angles égaux B et G coïnci-
dent, et le côté BA se confond avec son égal CD (n° 146).
La coïncidence des deux quadrilalères élant complète, la droite OD égale le rayon OA; et ainsi la circonférence qui passe déjà par les trois sommets À, B, C, passe aussi par le sommet D, On démontrerait de même que cette circonférence passe aussi en E,
Donc, à tout polygone régulier, on peut...
Proposition XXII. — Théorème.
150. Dans tout polygone régulier, on peul inscrire une circonfé-
rence,
Soit ABCDE un polygone régulier. Décrivons la circonférence cir-
conscrite (n° 149), et menons, du centre 0, les perpendiculaires OF, OG, OH...
Les côtés AB, BG, CD..., sont des cordes égales, et par suite également élaïgaces au centre {n° 115); donc les perpenaiculaires OF, OG, OH..., sont égales, la circonférence décrile avec OF comme rayon passe par les points G, I, 1... el les côtés AB, BC, CD... sont tangents à celte circonférence, comme étant perpendiculaires à l'extrémité des rayons OF, OG, OI...
Donc, dans tout polygone régulier, on peut inscrire...
Définitions.
151. On appelle centre d’un polygone régulier le centre commun des circonférences inscrite el circonscrile,
Ce n’est toutefois que dans le cas où le nombre des côtés du polygone est pair, que ce point est un vrai centre de figure, servant de milieu à Loutes les droiles menées dans la figure par ce point.
On nomme rayon d’un polygone régulier le ravon de la circonfé-
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la droite OD déjà par les démontrerait
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