EXERCICES SUR LE LIVRE III

Théorèmes à démonirer,

Lignes Proportionnelles, — 1, D'un point O on mène quatre droites indé-

fiuies faisant entre clles des angles de 45 degrés; démontrer que toute droite qui traverse ce faisceau y est diviséo harmoniquement,

2. Par le milieu d’une droite et par ses extrémités, on mène des parallèles qui vont s'arrêter à une autre droite donnée ; démontrer que la parallèle menée par le milieu est égale à la demi-somme des deux autres,

3. La somme des distances des sommets d'un triangle à une droite quelconque égale la somme des distances de cette même droite aux milieux des trois côtés, Extension à un polygone quelconque,

4. La distance d'une droite Auelconque au point de concours des médianes

d'un triangle est la moyenne arithmétique des distances des trois sommets à cette même droite,

Polygones semblables, — 5. Dans un parallélogramme, les distances d’un point quelconque d’une diagonale aux deux côtés adjacents sont entre elles inversement comme ces côtés,

6. Étant donnés une circonférence et un diamètre MN que l'on prolonge, on prend sur cette circonférence un point C quelconque, et l'on mène la droite CM , puis CA et CB faisant avec CM des angles égaux, Démontrer que si le point C se meut sur la circonférence, le rapport des distances CA et CB est constant,

7. Étant donné un triangle rectangle Inscrit dans un cercle, on élève en un polut quelconque an diamètre une Perpendiculaire allant rencontrer les deux autres côtés du triangle, Démontrer que la partie de cette perpendiculaire comprise entre le diamètre ct la circonférence est moyenne proportionnelle entre la ligne entière et la partie de cette même ligne comprise à l’intérieur qu triangle,

8. Étant donnés en grandeur et en position deux cercles quelconques, si l’on conçoit deux rayons qui se meuvent en restant constamment parallèles l’un à

l'autre, les droites menées par leurs extrémités rencontrent la ligne des centres tn un même point,

9%, Toute parallèle à la base d'un triangle a son mi!

10, Dans un triangle quelconque la base, Démontrer que les di diane de ce triangle,

x sur la médiane, ; ON forme des t: ‘es par des paralléles à agonales dè ces trapèzes sc rencontrent sur la mé-

Relations numériques, — 11, Si trois droites indéfinies passent par un même point, et si un point se ment sur l'une d'elles, les distances de ce point aux ‘deux autres droites sont dans Un rapport constant,

12, Si deux circonférences quelconques sont Concentriques, la somme des carrés

des distances d'un Point quelconque de l’une aux deux extrémités d’un diamètre duelconque de l’autre est constante,