P : Q BC : A C

■Mais, si l'on forme le parallélogramme mp üq. l’angle

^OTl•..

Cp A, supplément de mpC, sera égal à l’angle CqB, supplément demgfC : les deux triangles rectangles C A p, C B q seront semblables , ce qui donnera

BC ;AC :: Cq ■ Cp :: tnp mq , d’où P : Q mp : mq.

Donc , si l’on prend sur les directions des forces P, Q des droites mp, m q proportionnelles aux intensités de ces forces, la direction de la résultante sera la diagonale du parallélogramme construit sur ces droites.

Il faut prouver en outre que l’intensité de la résultante est proportionnelle à la longueur de la diagonale , ou qu’on a la proportion

P:Q:R::mp : mq : mC.

Or, supposons qu’on ail pris sur le prolongement de mB la longueur mq' égale à mq , et achevons le parallélogramme mpq'r', dont mq' est la diagonale. Puisque les trois forces P, Q , R' se font équilibre, la résultante des forces P, R' est dirigée suivant la ligne mq' et de même intensité que Q. Elle doit par conséquent être représentée par mq', si P est représentée par mp. Il faut, de plus, que la force R' soit représentée en intensité par la droite mr', sans quoi, d’après ce qui vient d’étre démontré, la résultante des forces P, R' ne serait pas dirigée suivant la diagonale du parallélogramme mpq'r'. Mais , dans ce parallélogramme , les côtés opposés mr', pq' sont égaux, et dans le parallélogramme mq'pC, les côtés opposés pq',mC sont aussi égaux : donc m r' égale m C. Donc la résultante de deux forces appliquées en un même point est représentée , tant en grandeur qu’en direction , par la diagonale du parallélogramme dont deux côtés adjacents représentent , en, grandeur et en direction , les deux forces composantes.