DEUXIÈME ADDITION AU TOME PREMIER

Il me semble nécessaire d'appeler au moins lattention de mes lectem*s sur les belles expéiiences de M. Foucault qui ont pour objet de démontrer la rotation de la terre par des phénomènes purement terrestres. Cette question touche à la fois à la physique et aux principes les plus délicats de la mécanique rationnelle ; sous ce double rapport j'en donnerai, je crois, une idée assez complète en me bornant à rapporter ici textuellement la communication qui a été faite à TAcadémie des sciences , par Tun des géomètres de cette académie, peu de jours après la présentation des expériences de M. F ouc^uh (Comptes rendus de l'Académie des sciences, t. XXXII, p. 157, 10 janvier 1851). Dans cette note succincte, M. Binet me semble avoir indiqué d'une manière simple et rigoureuse tous les éléments théoriques de ces phénomènes remarquables.

Note sur le mouvement du pendule simple en ayant égard à V influence de la rotation diurne de la terre , par M. Binet.

« L'Académie a entendu, avec beaucoup d'intérêt, la communication que lui a faite M. Arago d'une belle expérience exécutée par M. Foucault : son objet est de montrer qu'un pendule simple et libre ^ mis en oscillation dans un plan déterminé, ne conserve pas l'orientation de ce plan, et que, par l'effet de la rotation diurne du globe terrestre , l'azimut du plan oscillatoire s'accroît continuellement dans le sens du nord vers l'est, ou de Test vers le sud , ou du sud vers l'ouest , ou de l'ouest vers le nord, c'est-à-dire en sens contraire de la rotation du globe.

« L'expérience de M. Foucault réalise aussi un vœu que Laplace énonce dans ces termes : « Quoique la rotation de la terre « soit maintenant établie avec toute la certitude que les sciences « physiques comportent, cependant une preuve directe de ce « phénomène doit intéresser les géomètres et les astronomes. »

'8i0 ilDDITIOK AU TOME PRElOEft.

a Ce résultat inattendu, qui confirme en quelque sorte physiquement les théories de Gahlée, a été dignement accueilli et apprécié par les éloges que M. Arago et M. Pouillet ont exprimés dans la dernière séance de TAcadémie. I>ep«iîs cpielques jours plusieurs de nos confrères en avaient connaissance ; M. Foucault m'avait exposé une partie des inductions dynamiques et des considérations qui avaient formé sa conviction : de premières expériences afvaîent justifié ses conjectures et se» vues. En me consultant , Fauteur désirait savoir à quel point le résultat mécanique auquel il arrivait s'accordait avec les Aéories mathématiques et avec les déductions obtenues paar les géomètres. Dans le chapitre v du FV* volume de la Mécanique céleste^ Laplace a considéré l'effet de la rotation diurne de la terre sur lé mouvement des projectiles dans le vide; il a en égsrdy en outre, à la résistance de Tair sur la chute des corps qui tombent d'une grande hauteur : toutefois, il ne s^est pas occupé du pendule à ce point de vue du mouvement an globe terrestre. Poisson a traité ce sujet, en 1837, dans le Jommal fie F École polytechnique^ cependant ce n'était pas Tobjet spécial de ce grand géomètre, et il ne s'en occupe qu'inôdemment. H trouve* les oscillations indépendantes du mouvement dimme dans tous les azimuts , quand le pendule est assujetti à suivre une courbe donnée ; à Tégard du pendule qui peut se mouvoir librement dans tous les sens, il dit que la force perpendiculaire au plan (les oscillations eft trop petite pour écarter sensiblement le pendule de son plan et avoir une influence appréciable swar son mouvement. Cette conclusion paraît contraire aux expériences de M. Foucault; mais le passage que je viens de citer permet un doute : Poisson ne rapporte pas le calcul de la force dont il parle, et d'ailleurs il n'est pas suffisant d* avoir reconnu qu'une force perturbatrice est très-petite pour conclure qu'elle ne produira qu'un cfTet insensible après un grand nombre d'oscillations.

« Celte question méritait d'être approfondie ; voici les résultats foiunis par une discussion attentive des formules do mouvement relatif, à laquelle je me suis appliqué. J'ai supposé que le pendule ne fait que de très-petites digressions voisines de sa position d'équilibre; quand elles sont planes, une combinaisoii fort simple et analogue à celle qui donne les équations des mo-

ROTATION DE Là TERRE DÉMONTRÉE PAR LE PENDULE. 911^

ments, montre que le plan osciUaUwre tourne graduellement autour de la TertiGale du point de suspension , ayec une vitesse angulaire constante; Vazimut du plan^ mesuré du nord vers Test, de Test yers le sud, etc., s'accroît unifonnément; la yitesse constante est exprimée par la rotation angulaire de la terre, multipliée par le sinus de la latitude y du lieu de Tobservation. Ce^^mouvement angulaire est donc 15' an y, pour une seccMide de temps sidéral, la rotation uniforme de la terre étant de 15* en une heure sidérale. Cette expression de la TÎtesse mmnitale étant obtenue , m'a porté i faire une remarque , fondée sur un théorème d'Euler , que Lagrange a déreloppé dans sa Mécanique^ et sur lequel la Théorie des couples^ de M. Poinsot, a répandu beaucoup de clarté. Le théorème d'Eular , appliqué au cas actuel, autorise à regarder la vitesse de rotation de la terre comme la résultante de deux vitesses angulaires qui auraient heu, l'une autour de la verticale du pendule, et l'autre autour de la méridienne dirigée vers le n<^d, parce que ces deux lignes et une parallèle à Taxe de la terre passant par la suspension, se trouvent dans un même plan. La composante de la vitesse angulaire , relative à l'axe vertical , a pour expression Ji sinv, selon ce théorème, c'est-à-dire la rotation de la terre nniltipliée par le cosinus de l'angle que forme son axe avec la verticale. Cette vitesse angulaire composante est donc la me^ sure de ceUe que prend le plan azimutal oscillatoire et en sens contraire. Â cette couMdération , l'on pourrait rattacher quelques inductions et considéra lions synthétiques pour établir le résultat de M. Foucault; néanmoins il m'a paru qu'une preuve complète et plus satisfaisante résulte des équations du mouvement relatif. Le théorème d'Euler pourrait servir à former les équations différentielles du mouvement ; mais elles ne fournissent toutes les circonstances calculables du mouvement que par leur intégration plus ou moins avancée ou par des propositions qui en tiennent heu. Toutefois, je dois dire qu'au moment où j'énonçai à M. Foucault l'expression de la vitesse, il me montra une formule qui exprimait la même loi ; ainsi il a su découvrir non-seulement le phénomène de la déviation du plan, mais aussi la mesure de sa vitesse angulaire autour de la verticale.

« Les oscillations planes du pendule simple sont un cas particulier des oscillations coniques considérées autrefois par Clai-

*8i2 ADDITION AU TOME PREMIER.

raut, et c'est le problème plus général que j'ai effectivement traité, mais en ayant égard à la rotation diurne de la terre. Quand on fait abstraction de ce dernier mouvement et que le pendule ne s'écarte que très-peu de la verticale, notre confirère M. Pouillet a remarqué, il y a longtemps, que la pi*ojection horizontale du point mobile décrit une orbite elliptique dont le centre répond à la verticale, et, en se bornant au premier degré d'approximation, l'ellipse est invariable. En faisant intervenir le mouvement diurne de la terre, je trouve que , quel que soit le sens du mouvement du pendule dans son orbite sphérique, cette projection horizontale est encore une ellipse dont les deux axes sont constants; c'est le plan azimutal du grand axe de l'ellipse qui se déplace , dans un sens rétrograde , avec une vitesse dont la partie uniforme est n sin y, c'est-à-dire la rotation angulaire de la terre estimée parallèlement à l'horizon, ainsi que je l'ai expliqué d-dessus. Tous ces résultats supposent que l'on n^lige la résistance de l'air dont l'effet principal se manifeste sur l'amphtude et sur la durée des oscillations , que cette résistance finit par éteindre; mais cet effet est très-faible sur la déviation da plan : ce ne sera que dans une seconde approximation que j'essayerai d'y avoir égard, n'ayant pour objet dans cette note que de montrer comment l'expérience importante de M. Foucault aurait pu être indiquée par les équations de la dynamique interprétées sans inadvertance, parce qu'elles ne sont autre chose que l'expression exacte des lois du mouvement de la matière. •