P:Q:R::MN:MO:NO

c'est-à-dire que , la puissance étant représentée par la tête du coin, les deux forces qui en résultent perpendiculairement aux côtés seront représentées par ces côtés eux-mêmes.

l86 • ÉLÉMENTS

Si le triangle MNO est isocèle, les deux forces Q et ft son( égales, et la puissance P est à Tune d'elles comme la tête du coin est à Tun des côtés, que Ton peut dans ce cas nommer la longueur du coin.

On voit, par ce que nous venons de dire, qu'à puissances égales, l'effort exercé par le coin est d'autant plus grand, que la tête en est plus petite par rapport à la longueur.

De quelques Machines composées,

209. Jusqu'à présent nous n'avons considéré qu un seital corps solide, gêné dans ses mouvements par différents obstacles^ et c'est ce qui forme les diverses machines simples. Nom allons considérer actuellement un assemblagie de machine» simples qui réagissent les unes sur les autres en vertu de Leur liaison mutuelle; et c'est ce que Ton nomme une mctchme composée.

Si l'on ne suppose que deux forces appliquées à la machine composée, on voit que la machine simple, qui reçoit iiomédiatement l'action de l'ime d'elles, transmet cette action, d'après les lois de sou équilibre, à la machine simple avec laquelle elle est liée; que celle-ci la transmet de même à la miK chine suivante ; et ainsi de suite, jusqu'à la dernière qui communique l'action à la seconde force, ou à la résistance qu'il faut vaincre. Ainsi, il est toujours facile de déterminer le rapport de la puissance à la résistance par une suite de proportions données par les lois de l'équilibre des machines intermédiaires; et c'est ce qu'on va vérifier tout à l'heure sur quelques exemples très-simples.

Mais nous devons faire observer que les questions suivantes se rapportent naturellement au problème le plus général de la Statique, c'est-à-dire font partie de cette théorie étendue où l'on recherche les lois de l'équilibre dans les systèmes dont la figure est variable suivant des conditions quelconques données. Les deux axiognes qui servent de base à cette théorie sont :

DE STAI^IQUe. 187

i^ Que ii tm iffMme quelconque de points est en équilibre, charpe poini doU être en équilibre de lui-même, tant en vertu des forces ^hU sont immédiatement appliquées, qu'en vertu des rémttmcês ou réactions qu'il éprouve de la part des autres points du ifstime^

2® Que deux points ne peuvent agir Vun sur Vautre que dans la direction ^e la droite qui les joint, et que l'action est toujours égale et contraire à la réaction.

Au jacjen de ces deux axiomes et des conditions connues de Fépùlibre d'un corps libre, on peut trouver les conditions de l'équilibre d*un système quelconque de corps, pourvu qu'on sacbe évaluer les résistances qui naissent de leur liaison muûielle : car ces résistances étant une fois évaluées, il ne s'agit plda que de les combiner avec les forces données immédiatement par la question, et d'exprimer les conditions de Téquilibie de chaque corps comme s'il était parfaitement libre dans Vtt^f$fce.

. Qéoique nous ne puissions, sans passeï^ les bornes de cet Ouvrage^ traiter ici ce sujet avec toute la généralité dont il est siuoeptible, pous donnerons néanmoins les conditions de Téquilibre de quelques systèmes variables qu'on emploie souvent dans les arts, et que l'on a coutume de considérer dans les éléments de Statique, parce que les réactions des différents corps les uns sur les autres y sont très-faciles à évaluer, et ne supposent guère que la composition des forces et les deux axiomes précédents.

Des Cordes.

iiO. Considérons premièrement un polygone funiculaire, c'est-à-dire un assemblage de points liés entre eux par des cordons parfaitement flexibles et inextensibles.

On sait d* abord que si trois forces P, Q, R (fig. y 4) dirigées suivant les axes de trois cordons AP, AQ, AR, sont en équilibre autour d'un même point A , chacune de ces forces doit être égale et directement opposée à la résultante des deux autres.

l88 ÉLÉMENTS

Il fautdonC) t^ que les axes des trois cordons soient dans un même plan^ 2° que les rapports des forces soient tels, que chacune d'elles puisse être représentée par le sinus de Tangle formé par les directions des deux autres. Ainsi, Ton a pour Féquilibre cette suite de rapports :

P:Q:R :: sinQARrsinPAR : sîn'PAQ.

21 1 . Si l'on suppose que les extrémités des cordons AQ, AR soient fixes, les valeurs de Q et R, données par les rapports ci -dessus, exprimeront les efforts que supportent ces points fixes en vertu de la force P, ou les tensions des deux cordons AQ, AR.

On voit que ces tensions seront d'autant plus grandes, que l'angle QAR sera plus obtus, et qu'elles deviendront infinies si cet angle devient égal à deux angles droits.

Une corde tendue en ligne droite à deux points fixes sera donc nécessairement rompue par la plus petite force qui Im serait appliquée transversalement, si cette corde, n'étant pas susceptible de s'étendre, n'a pas d'ailleurs une résistance longitudinale infinie.

212. Les conditions précédentes pour l'équilibre des trois forces P, Q, R supposent que le point A soit invariablement attaché à chacun des cordons, ou que le nœud qui les rassem* ble soit fixe : mais si le point A pouvait couler le long du cor-: don RAQ (fig. 76 ), comme ferait un anneau infiniment petit, enfilé par ce cordon, alors il ne sufiirait plus que les forces P, Q, R eussent les relations données ci-dessus, il faudrait encore que la direction de la force P divisât en deux également l'angle formé par les dçux parties de la corde QAR.

En effet, si l'on suppose que l'équilibre ait lieu, et qu'on fixe invariablement deux points F et F' pris où Von voudra sur ces cordons, il est clair que le point A est dans le même ca$ que s'jl avait la liberté de se mouvoir dans une ellipse dont F et F' sont les deux foyers, et AF, AF' les rayons vecteurs. Or, pour qu'il soit en équilibre sur celle courbe eu vertu delà

TÏÉ STATIQUE. | 8^

force P, îl faut que cette force soît perpendiculaire k la tangeole à Téllipse en ce point (i90), et, par conséquent, divise en deux parties égales Tangle FAF', formé par les rayons vecteurs.

Ainsi, dans le cas d^un nœud coulant, les deux parties de

Ja corde le long de laquelle le nœud peut glisser doivent être

paiement tendues.

213, On voit en même temps que, si Ton suppose le point on Panneau A fixe, les deux forces Q et R, appliquées au cordon QAR qui passe dans cet anneau, doivent être égales entre elles pour l'équilibre, et que la pression exercée par les deux forces sur le point fixe A est dirigée suivant la ligne qui divise en deux parties égales Tangle formé par les deux parties du cordon.

Quant au rapport de cette pression P à la tension Q du cordon, on aura, en nommant a la moitié de l'angle QAR, P:Q :: sin na : sina^ ou bien, P : Q :: 2 cosa : i.

D'où l'on voit que la pression exercée sur le point A est ^le à la itension de la corde multipliée par le double cosinus delà moitié de l'angle QAR.

214. Actuellement, soient plusieurs points A, B, C, D [fig. 76), liés entre eux par des cordons AB, BC, CD, et tirés par des forces N, P, Q, R, S, T, suivant d'autres cordons, mais de manière que chacun des points ou nœuds A, B, C, D n'en assemble pas plus de trois en même temps.

Si tout le système est en équilibre, chaque point doit être en équilibre de lui-même, en vertu des forces qui lui sont applir* quées et des tensions des cordons adjacents. Le point A, par exemple, n'étant lié immédiatement qu'au seul point B, doit être en équilibre en vertu des deux forces N et P, et la tension du cordon AB5 car les autres points C et D ne peuvent réagit sur lui que par le cordon AB.

Il faut donc que les trois cordons AN, AP, AB soient dans un même plan ; et si l'on nomme X la tension du cordon AB,

I^O . ÉLiMSUTS

il faut qu'on ait les rapports suivants :

N:P ::sinPAB :sinNAB, P:X::sinNAB:sinNAP.

De même, le point B doit être en équilibre en vertu de la force Q et des tensions suivantes BA et BC, Or la tension du cordon AB est la même que tout à l'heure 5 car l'action du point A sur le point B est parfaitement égale et contraire à ^ Taction du point B sur le point A. Nous avons nommé X cette tension^ nommons Y celle du cordon BC 5 on aura