ELOGE DE JOSEPH BERTRAND. XXIII

qui, sous l'influence de Lagrange, étaient tombés dans un trop grand discrédit. Bertrand a toujours montré pour la géométrie une préférence toute particulière, qui s'explique par la nature de son esprit, désireux par-dessus tout de ne perdre de vue, à aucun moment, l'objet de sa recherche. Il n'appréciait pas outre mesure les méthodes générales et les comparait spirituellement à ces grandes routes que l'ingénieur a tracées d'un point à un autre, sans se préoccuper, ni de la beauté des sites, ni de la situation de la contrée qu'elles traversent. Il convenait qu'il fallait les connaître et les posséder; mais il recommandait de ne jamais les appliquer qu'en tenant compte des conditions spéciales du problème auquel on s'est attaché.

La même marche géométrique se trouve encore suivie dans un remarquable Mémoire sur la théorie des surfaces qu'il publia la même année, et où se trouve une proposition comparable par son élégance aux célèbres théorèmes d'Euler et de Monge relatifs à la courbure.

Bertrand y envisage d'une manière générale ces systèmes de rayons rectilignes qui dépendent de deux paramètres et auxquels, depuis les travaux de Pliicker, nous donnons le nom de conrjrueiices rectilignes; il fait connaître une propriété caractéristique de ceux d'entre eux qui sont formés de normales à une même surface. Cette propriété lui permet, en particulier, de retrouver les beaux théorèmes de Malus et de Dupin sur les surfaces normales à une série de rayons lumineux. Il montre ensuite que la loi de réfraction de Descartes est la seule pour laquelle ses théorèmes puissent être vérifiés. Avec toute autre loi, les rayons normaux à une surface pourraient perdre cette propriété après leur réfraction.

Le succès que Bertrand avait obtenu dans la recherche précédente l'engagea à étudier une question toute semblable qui se présente dans la théorie des courbes à double courbure. En essayant de caractériser les normales principales d'une courbe gauche, il a été conduit à définir une classe de courbes dont les normales principales sont aussi les normales principales d'une autre courbe. Elles resterant dans la science sous le nom de courbes de Bertrand, et leur étude est devenue aujourd'hui tout à fait classique.

A côté de ces travaux développés, Bertrand publiait des notes plus courtes, dont l'analyse ne saurait trouver place ici, et où l'on trouve pourtant bien des propositions originales; je me contenterai de citer les deux suivantes :

Cl Si une oourlie est toile que le lieu des milieux d'une série de cordes parallèles soit toujours une droite, cotte courbe est une conique. »

(( Si une surface est telle que les sections par des plans parallèles soient des courbes semblables, elle est toujours du second degré. »

La géométrie n'a ])as été le seul objet des premiers travaux de Bertrand ; la physique mathématique, la mécanique, l'analyse, ont été tour à tour l'objet de ses études.

Parmi ses travaux d'analyse, il en est un que Ton doit mettre hors de pair : c'est le Mémoire sur le nombre des valeurs que peut, prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme, publié en ISij dans le Journal de rÊcole Polytechnique.

Lagrange, dont on retrouve le nom à l'origine de toute grande théorie mathématique, avait remarqué le premier que le problème de la résolution générale des équations algébiiques est lié à l'étude de cette belle et difficile question :

« Étant donnée une fonction de plusieurs lettres, déterminer le nombre des valeurs distinctes qu'elle prend, lorsqu'on y permute, de toutes les manières possibles, les lettres qu'elle renferme. »

Et il a fait connaître, sur ce sujet, un théorème fondamental :

« Le nombre des valeurs distinctes d'une fonction de n lettres est toujours un diviseur du nombre total de permutations de ces lettres. »

Ruffmi, dans sa théorie des équations, avait considéré plus spécialement les fonctions de cinq lettres, et il était arrivé, par une méthode assez compliquée, à démontrer le théorème suivant :

<' Si une fonction de 5 lettres a moins de u valeurs distinctes, elle n'en saurait avoir plus de deux. »

Cauchy, qui, comme Lagrange, a laissé partout son empreinte, avait obtenu une proposition plus étendue, en montrant que, si une fonction de n lettres a moins de /) valeurs, p étant le plus grand nombre premier inférieur à n, elle en a au plus deux.

Bertrand, dans son Mémoire, généralise beaucoup ce théorème : il établit, entre autres résultats, que, si une fonction de n lettres a plus de deux valeurs, elle en a au moins n. Le cas où n = 4 est excepté. Sa démonstration est de la forme la