AB:OB.:AK:FO

ia:(*a- *)::d:FO Tirant de ces proportions les valeurs de OE et de FO,

OE=^.FO=rfi^ 4a Sa

et les substituant dans celle de OH ou de y, m l'équation de ïellipsc rapportée à l'axe AB, l e

Il suit de celte équation plusieurs particularités que nous allons d'abord examiner. — En prenant la carrée des deux membres de cette égalité, on a

y=±-v/rrf2ax-*'j

ce qui nous apprend d'abord qu'à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales el de signes contraires; d'où il suit que l'axe Ail partage l'ellipse en deux parties égales. — La grandeur de y dépendant de celle du facteur variable 'lax -x', examinons ce qui arrive à ce facteur lorsqu'on (ait croilre x, en partant de x=o. Ce facteur étant la même chose que

tia—x).x on voit qu'il s'évanouit en faisant

celle valeur de * il devient négatif, ce qui ginaire et indique par conséquent que la o

idf le radical iroacourbe se termine au point x=ia, y=i> comme elfe commettre au point x=0, y=0. Ainsi en parlant de x=0, les valeurs de y commencent a croître cl après avoir atteint une certaine limite elles commencent a décrniirc |>our revenir à n lorsque Jt— 2a. La grandeur maximum de y correspond donc au cas où la valeur de x est telle que le factrur ('2a — x)x est lui-même le plus grand possible , ce qui arrive évidemment quand on fait x=a, car il devient alors a' ; tandis qu'en donnant à x une valeur quelconque plus grande ou plus petite que a, o±m, par exemple, il devient

quantité plus petite que a'. Ainsi l'ordonnée qui passe par le milieu de l'axe esi la plus grande de toutes. Sa valeur est

bJ-Vcd, ou 6'=^

Substituant celle valeur dans l'équation de l'ellipse , nous la dégagerons des quantités auxiliaires r el d, el die deviendra (t)

b étant plus petit que a ,- - est une fraction : ainsi y est plot

petit que le produit (Sa — x r, c'est-à-dire que dans l'ellipse le carré de l'ordonnée est toujours plus petit que le rectangle formé entre les deux parties correspondantes du grand axe. C'est cette propriété qui a fait donner le nom d'ellipse 1 cette courbe

d'fcu<;i;. défaut, parce que dans le cercle le carré de l'ordonnée est précisément égal au rectangle Tonné entre le» parties du diamètre.— Si, auïicu de prendre l'une des extremitèsdugraud axe pour origine de» abscisses, on prend le point de rencontre des deux axes, point que l'on .nomme aussi le centre de la courte, la relation entre ces nouvelles abscisses, désignées par x',el les précédentes sera évidemment a, d'où x=x-M;

en substituant cette valeur dans l'équation {l) elle deviendra

ou en changeant * en * 3\

Telle est l'équation de I ellipse rapportée 4 ses deux axes. — En comparant les équations (l et (2, avec les équations du

y—irx—x'

dont la première est rapportée a l'extrémité du diamètre et la Seconde au centre (F. APPLICATION n"<W), on voit qu'il existe une grande analogie enlrc l'ellipse et le cercle, ou que le cercle n'est qu'une ellipse don! les deux axes sonl égaux , puisque, lorsque b=a, les deux équations (I) et (2; se réduisent à t et 2. — Cette circonstance, qui fait du cercle un cas particulier dans l'ellipse doit nous Caire rechercher si les propriétés connues du cercle existent pour l'ellipse, ou du moins comment elles

> en passant de l'une à l'autre figure. Or, dans un cercle toutes les cordes qui passent par le centre sont partagées au centre en deux parties égales et de plus sont toutes égales entre elles; voyons d'aliord ce qui a lieu dans l'ellipse pour les droites qui passent par le centre et se lermineut de part et

d'autre au périmètre — Soit donc MX ane telle droite, en prenant O pour origine des coordonnées, son éqnalion sera (F. Application, tt, n°9),

s» étant la tangente trigonométrique de l'angle XOD. Les points M et N appartenant a l'ellipse, on aura aussi pour les de ces points la relation

et [tar conséquent, d'où

cette valeur substituée dans y—mx, donne

les valeurs positives de « et de y seront lescordonnèes On el «N du point N, el les valeurs négatives, celle du point M. savoir

Om et mM ; et comme ces valeurs sont égales, indépendamment du signe, on a

KLLii>se.

Oni=On el mM=»N.

Ainsi les triangles rectangles MmO et XnO sont égaux et l'on a MO— ON. Donc toute droite menée par le centre se trouve partagée a ce point en deux parties égales; ce qui est exactement la propriété du cercle. — Le triangle ON» nous donne

OX'=Ôn">ï-XV

ON'=j-'

substituant à la place de y' sa valeur prise dans r équation de l'ellipse, celle dernière égalité devient

ce que l'on peut mettre sous la forme

ôx-a4-'

Il résulte de celte égalité que la valeur de ON et conséquent ment celle de MX est variable et dépend de la grandeur de x. On aura donc la valeur de la plus petite ligne qui passe par le centre en faisant x=o et la valeur de la plus grande en faisant x— a,' puisque telles sonl les deux limites de l'abscisse. Or, lorsque ar=0, on trouve

ÔV-6:

el lorsque x=a

ÔN'=o»

c'est-à-dire que le petit axe est la plus courte de toutes les droites qui passent par le centre de l'ellipse et que le grand axe est la plus longue. — On nomme diamètre toute droite qui, passant au centre d'une ellipse, se termine de part et d'autre i son périmètre. — Si de l'extrémité du petit axe CD avec un rayon égal a la moitié du grand axe on décrit deux arcs de cercle qui coupent le grand axe en deux points f et F, ces points, ainsi déterminés, présenteront une des propriétés les plus remarquables de l'ellipsci c'est que la somme de leurs distances à un point quelconque de la courbe est une quantité

constante , égale an grand axe. En effet , soit un point quelconque m dont l'abscisse tt— On el l'ordonnée y=mn , ces distances a F el f seront les droites m F et mf dont les valeurs, comme hypoténuses des triangles rectangles fmn et mmf, • <<*)

«F1 Fît7-- mn"

mais

F»=OF— On=OF— x;

de plus par construction , /0=0F, el l'on a dans le triangle rectangle fCO