ABC>ACB

Deux angles ABC, ACB d'huit triangle ABC (Jig* 19) étant inégaux y au plus grand angle ABC est opposé un plus grand côté AC.

Si l'on n'avait pas AC ]> AB, il faudrait que l'on eût ou AC= AB ou AC < AB.

Si AC = AB, on aurait [pr. 5] ABC = ACB;

Si AC < AB, on aurait [pr. 18] ABC < ACB.

Ces deux conclusions étant contraires à l'hypothèse ABC > ACB, il s'ensuit que l'on ne peut pas ne pas avoir AC = AB ou > AB.

Dans tout triangle ABC(ftg. 20), la somme de, deux côtés quelconques AB, AC est plus grande que le troisième BC.

Prolongeons AB vers D; faisons AD = AC [pr. 3, note], et menons CD.

Puisque AD = AC, on a ACD = ADC [pr. 4]. Or on a

BCD > ACD [ax. 9] ; par suite, BCD > ADC. Donc [pr. 19] BD > BC, c'est-à-dire BA + AC > BC.

Fig. 20.

On démontrerait de la même manière que l'on a . AB + BC>AC et BC + CA>AB.

Si des deux extrémités B, C de la base BC {/tg* ii)du triangle ABC on mène deux droites BD, CD à un point D intérieur au triangle f i° la somme de ces deux droites est moindre que celle

de deux autres côtés BA, CA du triangle; mais 2° V angle BDC qu'elles comprennent est plus grand que V angle BAC du triangle, opposé à la même base BC.

I® Prolongeons BD jusqu'à la rencontre de AC en E. Dans le triangle ABE, on a [pr. 20]

BA + AE>BE; par suite, en ajoutant CE de part et d'autre [ax. 4]? (i) BA + AC>BE4-EC.

DES ÉLÉMENTS d'EUGLIDE. 3i

On a maintenant, dans le triangle CDE [pr. 20],

DE + EC>DC, d'où, en ajoutant DB de part et d'autre, (2) BE + EC>DC + DB.

En comparant les inégalités (1) et (2), on en tire, à plus forte

raison,