BC = EF, AB = DE, ABC = DEF
on a [pr. 4]
AC = DF, et BAC=:ËDF.
Si deux droites AB, CD (/ig» 28), coupées par une troisième EFyfont avec elle des angles alternes-internes (*) égaux AEFf EFD, elles sont parallèles.
(') Nous introduisons, pour plus de simplicité, dans les énoncés d'Euclide, les dénominations appliquées par les géomètres modernes aux divers couples d'angles formés par deux droites qui en rencontrent une troisième. Nous ne reproduisons pas ici les définitions de ces angles, qui se trouvent dans tous les Traités de Géométrie*
Car, si les droites AB, CD n'étaient pas parallèles, alors, en les prolongeant suffisamment dans un sens ou dans l'autre, elles finiraient par se rencontrer. Supposons, s'il est possible, que cette ^'encontre ait lieu en G. Dans le triangle EFG, on aurait
Fig. 28.
alors AEF>>EFD [pr. 16], ce qui est contraire à l'hypothèse admise AEF = EFD. Donc AB et CD ne peuvent se rencontrer de ce côté. Par la même raison, ces lignes ne peuvent se rencontrer de l'autre côté. Donc [déf. 33] AB et CD sont parallèles.
Si deux droites AB, CD (Jig* 2g), coupées par une troisième ¥F, font avec elle : i" ou deux angles correspondants égaux EGB, GHD, 2® ou deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires BGH, GHD, elles sont parallèles.
Fig. 29.
1° Puisque EGB = GHD et que EGB = AGH[pr. lo], il en résulte AGH = GHD. Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles.
DES ÉLÉMENTS d'eUCLIDE. 87
2" Puisque l'on a
BGH -h GHD = 2 dr. [hypothèse] et
AGH 4- BGH = 2 dr. [pr. 13],
il en résulte [ax. l et 10]
AGH + BGH == BGH 4- GHD.
En retranchant BGH de part et d'autre, il reste [ax. 3]
AGH = GHD.
Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles («),
Si deux droites parallèles AB, CD {fig. 29) sont rencontrées par une troisième droite EF, elles feront avec celle-ci : 1° des angles alternes-internes égaux AGH, GHD; 2° des angles dirigés dansée même sens (correspondants) égaux EGB, GHD; 3° des angles intérieurs d\in même côté supplémentaires BGH, GHD.
I*» Si les angles AGH, GHD étaient inégaux, soit AGH > GHD. On aurait alors, en ajoutant de part et d'autre BGH [ax. i],
AGH + BGH > BGH + GHD.
Or
AGH -+- BGH = 2 dr. [pr. 13],
el par suite
BGH + GHD < 2 dr.
(•) Toutes les propositions établies jusqu'ici se démontrent sans le secours de raxiomc 11. On pourrait encore joindre à ces propositions le théorème démontré par Legendre, que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne ne peut surpasser deux angles droits {voir Note VF, p. 80). Les théorèmes qui suivent s'appuient sur l'axiome 11. 11 est aisé, d'après cela, de se rendre compte de l'ordre dans lequel Euclide a rangé ses propositions. lia voulu séparer nettement toutes celles qui sont indépendantes de l'axiome 11, et celles qui lui sont subordonnées, afin sans doute que les objections qui pourraient s'élever contre ce nouveau principe n'atteignissent que les théorèmes qui en dépendent nécessairement, les vingt -huit premières propositions restant hors de cause.
Il s'ensuivrait donc [ax. 11] que AB et CD, prolongées, se rencontreraient et ne seraient pas parallèles [déf. 3S] , ce qui est contraire à rhypo thèse. Par conséquent, AGH et GHD ne peuvent être inégaux. Donc AGH = GHD.
2° Puisque Ton a
AGH + GHD et AGH = EGB [pr. 15],
il en résulte
EGB == GHD.
3** Puisque EGB = GHD, on a, en ajoutant BGH de part et d'autre [ax. 2] ,
Or
Donc aussi
EGB 4- BGH = BGH + GHD.
EGB + BGH = 2 dr. [pr. 13].
BGH-i-GHD = 2dr. (<).
Deux droites AB, CD {fig- 3o), parallèles à une troisième EF, sont parallèles entre elles.
Fig. 3o.
Coupons ces trois droites par la droite GI. Puisque AB et EF sont parallèles, on a AGI = GIF [pr. 29] . De même, puisque CD et EF sont parallèles, on a GIF = GHD. Donc AGI = GHD, et par suite AB et CD sont parallèles [pr. 27] .
(') Il eût été peut-être plus naturel de commencer par établir ce troisième cas, qui n'est qu'un autre énoncé de Taxiome 11, pour en déduire ensuite les deux autres.
DES ÉLÉMENTS d'eUCLIDE. 3g
Par un point donné A {Jig' 3i) mener une droite parallèle à une droite donnée BC.
Fig. 3i.
Sur BC prenons un point quelconque D, et menons AD. Construisons l'angle DAE = ADC [pr. 23], et prolongeons EA vers F. La ligne EF sera parallèle à BC [pr. 27] (^).
Si l'on prolonge un côté BC (Jig' Sa) d^un triangle ABC, I** l'angle extérieur ainsi formé ACD est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents CAB, ABC ; i^ la somme des trois angles ABC, BCA, CAB du triangle est égale à deux angles droits,
Fig. 32.
1° Par le point C, menons CE parallèle à AB [pr. 31]. Les parallèles AB, CE élant coupées par AC, on a [pr. 29, i**] BAC = ACE. Ces mêmes parallèles étant coupées par BD, on a [pr. 29, 2*»] ABC = ECD. Donc [ax. 2]
