NAISSANCES. MARIAGES. DÉCÈS

110,512 garçons. 46,057 105,659 hommes.

105,287 filles. 99,445 femmes.

Le rapport de la population aux naissances annuelles est donc 28 -^^^ : il est plus grand qu'on ne l'avait estimé jusqu'ici. En multipliant par

ce rapport le nombre des naissances annuelles en France, on aura la population de ce royaume. Mais quelle est laprobabilité que la population ainsi déterminée ne s'écartera pas de la véritable au delà d'une limite donnée? En résolvant ce problème » et appliquant à sa solution les données précédentes, j'ai trouvé que le nombre de naissances annuelles en France, étant supposé d'un million, ce qui porte sa population à 28,352,845 habitants, il y a près de trois cent mille à parier contre un que l'erreur de ce résultat n'est pas d'un demi-million.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, qu'offre le relevé précédent, est celui de 22 à 21 ; et les mariages sont aux naissances comme trois est à quatorze.

A Paris, les baptêmes des enfants des deux sexes s'écartent un peu du rapport de 22 à 21 « Depuis 1 745, époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu'à la fin de 1784, on a baptisé, dans cette capitale, 393,386 garçons et 377,555 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24 ; il paraît donc qu'à Paris une cause particulière rapproche de l'égalité les baptêmes des deux sexes. Si l'on applique à cet objet le calcul des probabi* lités, on trouve qu'il y a 238 à parier contre un en faveur de l'existence de cette cause, ce qui suiBt

SUR LES PROBABILITËS. 7»

pour en autoriser la recherche. En y réfléchissant, il m'a paru que la différence observée tient à ce que les parents de la campagne et des provinces, trouvant quelque avantage à retenir près d'eux les garçons, en avaient envoyé à Thospice des enfants trouvés de Paris moins, relativement aux filles, que suivant le rapport des naissances des deux sexes. C'est ce que le relevé des registres de cet hospice m*a prouvé. Depuis le commencement de 1745 jusqu'à la fin de 4809, il y est entré i65,499 garçons et 159,405 filles. Le premier de ces nombres n'excède que d'un trente-huitième le second qu'il aurait dû surpasser au moins d'un vingt-quatrième. Ce qui confirme l'existence de la cause assignée, c'est qu'en n'ayant point égard aux en&nts trouvés, Je raf^rt des naissances des garçons à celles des filles est, à Paris, celui de âS à SI.

Les résultats précédents supposent que l'on peut assimiler les naissances aux tirages des boules d'une urne qui renferme une infinité de boules blanches et de boules noires mêlées de manière qu'à chaqne tirage les chances de sortie soient les mêmes pour chaque boule; mais il est possible que les variations des mêmes saisons dans les diverses années, aient quelque iniuence sur le rapport annuel des naissances des garçons à celles des filles. Le bureau des Longitudes de France publie chaque

année, dans son Annuaire* le tableau du mouvement annuel de la population du royaume. Les tableaux déjà publiés commencent à 1817 : dans cette année et dans les cinq suivantes, il est né 2,963,361 garçons et 2^781 ,097 filles ; ce qui donne à fort peu près ff^ pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles. Les rapports de chaque année s'éloignent peu de ce résultat moyen : le plus petit rapport est celui de 1823, où il n'a été que ji ; le plus grand est de Tannée 1817, où il a égalé H* Ces rapports s*écartent sensiblement du rapport ff trouvé ci-dessus. En appliquant à cet écart l'analyse des probabilités, dans l'hypothèse de l'assimilation des naissances aux tirages des boules d'une urne, on trouve qu'il serait très-peu probable. Il parait donc indiquer que cette hypothèse , quoique fort approchée, n'est pas rigoureusement exacte. Dans le nombre des naissances que nous venons d'énoncer, il y a en enfants naturels 200,494 garçons et 190,698 filles. Le rapport des naissances mascu- I Unes et féminines a donc été à leur égard \j , plus I petit que le rapport moyen \j. Ce résultat est dans le même sens que celui des naissances des enfants ^'^ : * V trouvés; et il semble prouver que dans la classe

des enfants naturels, les naissances des deux sexes approchent plus d'être égales que dans la classe des enfants légitimes. La différence des climats du

SUR LES PROBABILITÉS. 8i

nord au midi de la France ne parait pas influer sensiblement sur le rapport des naissances des garçons et des filles. Les trente départements les plus méridionaux ont donné tf pour ce rapport, comme pour la France entière.

La constance delà supériorité des naissances des garçons sur celles des filles, à Paris et à Londres, depuis qu'on les observe, a paru à quelques savants être une preuve de la providence, sans laquelle ils ont pensé que les causes irrégulières, qui troublen sans cesse la marche des événements , auraient dû plusieurs fois rendre les naissances annuelles des filles supérieures à celles des garçons.

Mais cette preuve est un nouvel exemple de Fabus que Ton a fait si souvent des causes finales, qui disparaissent toujours par un examen approfondi des questions, lorsqu'on a les données nécessaires pour les résoudre. La constance dont il s'agit est un résultat des causes régulières qui donnent la supériorité aux naissances des garçons, et qui l'emportent sur les anomalies dues au hasard, lorsque le nombre des naissances annuelles est considérable. La recherche de la probabilité que cette constance se maintiendra pendant un long espace de temps, appartient à cette branche de l'analyse des hasards qui remonte des événements passés à la probabilité des événements futurs; et il en résulte qu'en

parlant des naissances observées depuis i745 jusqu'en i 784 , il y a près de quatre à parier contre un f qu'à Paris les naissances annuelles des garçons surpasseront constamment, pendant un siècle, les naissances des filles ; il n'y a donc aucune raison de s'étonner que cela ait eu lieu pendant un demisiècle.

Donnons encore un exemple du développement

des rapports constants que les événements présentent à mesure qu'ils se multiplient. Concevons une série d'urnes disposées circulairement , et renfermant , chacune , un très-grand nombre de boules blanches et de boules noires : les rapports des boules blanches aux noires , dans ces urnes, pouvant être très-différents à l'origine , et tels, par exemple , que l'une de ces urnes ne renferme que des boules blanches, tandis qu'une autre ne con* tient que des boules noires. Si Ton tire une boule de la première urne , pour la mettre dans la seconde; qu'après avoir agité celte seconde urne, afin de bien mêler la boule ajoutée avec les autres, on en tire une boule pour la mettre dans la troisième urne, et ainsi de suite jusqu'à la dernière urne dont on extrait une boule pour la mettre dans la première ; et que l'on recommence indéfiniment cette série de tirages, l'analyse des probabilités nous montre que les rapports des boules blanches aux

noires y dans ces urnes, (iniront par être les mêmes et égaux au rapport de la somme de toutes les boules blanches à la somme de toutes les boules noires contenues dans les urnes. Ainsi» par ce mode régulier de changement, l'irrégularité primitive de ces rapports disparaît à la longue pour faire place à Tordre le plus simple. Maintenant si entre ces urnes on en intercale de nouvelles dans lesquelles le rapport de la somme des boules blanches à la somme des boules noires qu'elles contiennent, diffère du précédent; en continuant indéfiniment, sur Tensemble de ces urnes, les extractions que nous venons d'indiquer, l'ordre simple établi dans les anciennes urnes sera d'abord troublé, et les rapports des boules blanches aux boules noires deviendront irréguliers ; mais peu à peu cette irrégularité disparaîtra pour faire place à un nouvel ordre qui sera enfin celui de l'égalité des rapports des boules blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons de la nature, dans lesquelles les forces constantes , dont leurs éléments sont animés, établissent des modes réguliers d'action, propres à faire éclore du sein même du chaos , des systèmes régis par des lois admirables.

Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard présentent donc , en se multipliant, une

tendance à se rapprocher sans cesse de rapports fixes ; de manière que si l'on conçoit , de part et d'autre de chacun de ces rapports, un intervalle aussi petit que l'on voudra, la probabilité que le résultat moyen des observations tombe dans cet intervalle, finira par ne différer de la certitude que d'une quantité au-dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi par le calcul des probabilités, appliqué à un grand nombre d'observations, reconnaître Texistence de ces rapports. Mais avant que d'en rechercher les causes, il est nécessaire, pour ne point s'égarer dans de vaines spéculations, de s'assurer qu'ils sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de les regarder comme des anomalies dues au hasard . La théorie des fonctions génératrices donne une expression très-simple de cette probabilité, que l'on obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat déduit d'un grand nombre d'observations s'écarte de la vérité, par une constante moindre que l'unité, dépendante de la nature du problème, et élevée à une puissance dont l'exposant est le rapport du carré de cet écart au nombre des observations. L'intégrale prise entre des limites données et divisée par la même intégrale étendue à l'infini positif et négatif, exprimera la probabilité que l'écart de la vérité est compris entre ces limites. Telle

SUR LES PROBABILITËS. 85

est la loi générale de la probabilité des résultats indiqués par un grand nombre d'observations.

ÀppUeation du cafeti/ de» probabiKtés à la phUonO'

phie naturelle.

Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de taat de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence, quil est très-fdifficile de les recour naître. On ne peut y parv^nir qu'en multipliant les observations ou les expériepces, afin que les efiéts étrangers venant à se détruire réciproquement, les résultats moyens mettent en évidence ces phénOfmènes et leurs éléments divers. Plus les observa^ tions sont nombreuses, et moins elles s'écartent entre elles; plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes d'observation , par la préci* sioi^ des instruments, et par le soin que l'on met à bien observer: ensuite, on détermine par la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux, ou ceux qui donnent le moins de prise à l'erreur. Mais cçla ne snflSt pas; il est de plus nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela , on n'a qu'une connaissance imparfaite du

degré d'exactitude obtenu. Des formules propres à ces objets sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités : c'est un des principaux objets de Fouvrage que^ jai publié sur cette théorie, et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre , qui ont Tavantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilité des erreurs, et de ne renfermer que des quantités données par les observations mêmes et par leurs expressions.

Chaque observation a pour expression analytique , une fonction des éléments que Ton veut déterminer; et si ces éléments sont à peu près connus, cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l'égalant à l'observation même, on forme ce que l'on nomme équation de condition. Si l'on a un grand nombre d'équations semblables, on les combine de manière à obtenir autant d'équations finales quil y a d'éléments dont on détermine ensuite les corrections en résolvant ces équations. Hais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition, pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi de probabilité des erreurs dont les éléments que l'on en tire sont encore susceptibles? G*est ce que la théorie des

probabiiilés fait conDattre. La formation d'une équation finale, au moyen des équations de condition , revient à multiplier chacune de celles-ci par un facteur indéterminé et à réunir ces produits; il faut donc choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que si l'on multiplie les erreurs possibles d'un élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un mini" mum; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits, la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu'il convient d'adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficients des éléments dans chaque équation de condition; en sorte que l'on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même les coefficients du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les éléments et les lois des phénomènes, renfermés dans le recueil dun grand nombre d'observations, se développent avec le plus d'évidence.

La probabilité des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre, est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité, élevé à une puissance égale au carré de Terreur, pris en moins, et multiplié pai^ un coeflBcient constant qui peut être considéré comme le module de la probabilité des erreurs, parce que l'erreur restant la même, sa probabilité décroit avec rapidité quand il augmente ; en sorte qnte F élément obtenu pèse, si je puis ainsi dire, vers la vérité, d'autant plus que ce module est plus grand. Je nommerai, par cette raison , ce module , poids de l'élément on du fééitltat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteurs, le plus avantageux; c'est ce qui donne à ce système la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que si un niéme élément est donné par divers systèmes composés chacun d'un grand nombre d'observations, le résultat moyen* le plus avantageux de leur ensemble est la somme des prodiuts de chaque résultat partiel, par son poids, cette somme étant divisée par celle de tous les poids. De plus, le poids total du résultat des divers systèmes est la somme de leurs poids partiels , .en sorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble est

est proportionnelle au nombre qui a l'unité pour logarithme hyperbolique élevé à une puissance égale an carré de Terreur, pris en moins, et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend, à la vérité, de la loi de probabilité des erreurs de chaque système, et presque toujours cette loi est inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système de leur résultat moyen. Il serait donc à désirer , pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, qu'on écrivît à côté de chaque résultat le poids qui lui correspond : l'analyse fournit pour cet objet des méthodes générales et simples. Quand on a ainsi obtenu Texponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant dans ces limites l'intégrale du produit de cette exponentielle par la différentielle de l'erreur, et en la multipliant par la racine carrée du poids du résultat, divisé par la circonférence dont le diamètre est l'unité. De là il suit que pour une même probabilité, les erreurs des résultats sont réciproques aux racines carrées de leurs poids; ce qui peut servir à comparer leurs précisions respectives.

DE LAPLACE. It

GO ESSAI PHIU)$OPHIQUE

Pour appliquer cette méthode avec succès, U faut

varier les circonstances des observations ou des

expériences de manière à éviter les causes con*

stantes d'erreur. Il faut que les observations soient

nombreuses, et qu'elles le soient d'autant plus qu'il

y a plus d'éléments à déterminer; car le poids du

résultat moyen croit comme le nombre des obser*

valions, divisé par le nombre des éléments. Il est

encore nécessaire que les éléments suivent, dans ces

observations, une marche différente ; car si la marche

de deux élémepis était rigoureusement la niôme , ce

qui rendrait leurs coefficients proportionnels daiis

Içs équations de conditi^u» ees éléments ne formeraient qu'uue seule inconnue, et il serait impossible

de les distinguer par ces observations. Enfin, il faut

que les observations soient précises : cette condition,

la première de toutes, augmente beaucoup le poid9

du résultat, dont l'expression a pour diviseur la

somme des carrés des écarts des observation^ de oe

résultat. Avec ces précautions, on pourra iaira

usage de la iqéthode précédente , et inesurer le de»

gré de confiance que méritent les résultat^ dédi^its

d'un grand nombre d'observations.

La règle que nous vepops de donner pour oou^

clurfe des équations de condition, le^ équations

finales , revient à reivdre un minitmim h somme dea

carrés des erreurs des observations; car chaque

SUR LES PROBABILITËS. 91

équation de condition devient rigoureuse, en y sub* stituant l'observation plus son erreur; et si Ton en tire l'expression de celte erreur , il est facile de voir que la condition du miniimm de la somiûe des carrés de ces expressions > donne la règle dont il s'agita Cette règle est d'autant plus précise » que les observaiioûs sont plus nosibrenses ; mais dans le cas même où leur nombre est petit , il parait iia* tttrel d'employer la mâme règle qui, dans tons les cas, offre un moyen simple d'obtenir sans tâtoiine^ ment les corrections que l'on cherche à déterminer. Elle petit servii' encore à comparer la précision de diverses tablés astronomiques d'fnoi même astre. Ces tdbles peuvent toujours être «opposées réduites à la même forme, et alors elles ne diffèrent que par le^ époques, les moyens mouvements et les coefficients des arguments ; car si l'une d'elles contient un argument qni ne se trouve point dans les antres, il esi clair que cela retient à supposer nul dans cetle^'ci le coefficient de cet argumeiH. Si maintenant on rectifiait ces tables par ta totalité des bannes observations, elles satisferaient à la côndilion cfie la somme des carrés des erreurs soit un minimum; tes tables qui , comparées à cm nombre conridérable d'observations, approchent le plus de cette condi'^ tîon, méritent donc la préférence.

Cest principalement dains l'astronomie que la

méthode exposée ci-dessus peut être employée avec avantage. Les tables astronomiques doivent l'exactitude vraiment étonnante qu'elles ont atteinte, à la précision des observations et des théories , et à Tusage des équations de condition , qui font concourir un grand nombre d'excellentes observations à la correction d'un même élément. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à craindre : c'est ce que la méthode que je viens d'exposer fait connaître. Pour en donner quelques applications intéressantes , j'ai profité de Timmense travail que M. Bouvard vient de terminer sur les mouvements de Jupiter et de Saturne , dont il a construit des tables très-précises. Il a discuté avec le plus grand soin les oppositions et les quadratures de ces deux planètes , observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi jusqu'à ces dernières années; il en a conclu les corrections des éléments de leur mouvement et leurs masses comparées à celle du soleil » prise pour unité. Ses calculs lui donnent la masse de Saturne égale à la 3512® partie de celle dii soleil. En leur appliquant mes formules de probabilité , je trouve qu'il y a onze mille à parier contre un , que l'er" reur de ce résultat n'est pas un centième de sa valeur, ou, ce qui revient à très-peu près au même, qu'après un siècle de nouvelles observations ajoutées

aux précédentes, et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas d'un centième de celui de M. Bouvard. Ce savant astronome trouve encore la masse de Jupiter égale à la 1071* partie du soleil; et ma méthode de probabilité donne un million à parier contre un que ce résultat n'est pas d'un centième en erreur.

Cette méthode peut être encore appliquée avec succès aux opérations géodésiques. On détermine la longueur d'un grand arc à la surface de la terre, par une chaine de triangles qui s'appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais quelque précision que l'on apporte dans la mesure des angles , les erreurs inévitables peuvent, en s'accumulant, écarter sensiblement de la vérité la valeur de l'arc que l'on a conclu d'un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu'imparfaitement cette valeur, si Ton ne peut pas assigner la probabilité que son erreur est comprise dans des limites données. L'erreur d'un résultat géodésique est une fonction des erreurs des angles de chaque triangle . J'ai donné, dans l'ouvrage cité, des formules générales pour avoir la probabilité des valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires d'un grand nombre d'erreurs partielles dont on connaît la loi de probabilité; on peut donc, au moyen de ces formules, déterminer la probabilité que Terreur d'un résultat géodésique

est contenue dans des limites assignées^ quelle qne soit la loi de probabilité des erreurs partielles* Il esi d'autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi, que les lois même les plus simples sont toujours infiniment peu probables » ru le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue des erreurs partielles introduit dans les formules une indéterminée qm ne permettrait point de les réduire en nombres , si Tofi n^ parrenaît pas à réiiminer. On a vn que dans le» questions astronomiques oà chaque obserration fournit une équation de condition pour avoir leil éléments, on élimine cette indéterminée au moyen de la somme des carrés des restes, lorsqu'on a substitué dans chaque équation les valeurs les plu» probables des éléments. Les questions géodésiqnes n'offrant pomt de semblables équations, il faut chercher un autre moyen d'élimination. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observé surpasse deux angles droits plus l'excès sphériqne, fournit ce moyen. Ainsi Ton remplace par la somme des carrés de ces quantités , la somme des carrés des restes des équations de condition ; et l'on peut assigner en nombres, la probabilité que l'erreur du résultat final d'une snhe d'opérations géodésîques n'excède pas une quantité donnée. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de répar-

tir enlre le$ trois angles de chaque triangle » la somme observée de leurs erreurs ? L'analyse des probabilités fait voir que chaque angle doit être diminué du tiers de cette somme, pour que le poids d un résultat géodésique soit le plus grand qu'il est possible ; ce qui rend une même erreur moins pro* bable. U y a donc beaucoup d'avantage à observer les trois angles de diaque triangle, et à les corriger comme on vient de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage ; mais le calcul des proba-* bilités peut seul l'apprécier et faire voir que par cette correction il devient le plus grand qu'il est possible.

Pour s'assurer de Texaclitude de la valeur d'un grand arc qui s'appuie sur une base mesurée à Tune de ses extrémités» on mesure une seconde base vers l'autre extrémité; et l'on conclut de l'une de ces bases là longueur de l'autre. Si cette longueur s'é* carte très-peu de l'observation, il y a tout lieu de croire que la chaîne de triangles qui unit ces bases est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur en modifiant les angles des triangles, de manière que les bases calculées s'accordent avee les bases mesurées» Mais cela peut se faire d'une infinité de manières, parmi lesquelles on doit pré^ férer celle dont le résnkat géodésique a le plus

grand poids, puisque la même erreur devient moins probable. L'analyse des probabilités donne des formules ' pour avoir directement la correction la plus avantageuse qui résulte des mesures de plusieurs bases et les lois de probabilité que fait nattre la multiplicité des bases , lois qui deviennent plus rapidement décroissantes par cette multiplicité.

Généralement , les erreurs des résultats déduits d'un grand nombre d'observations sont des fonctions linéaires des erreurs partielles de chaque observation. Les coefiScients de ces fonctions dépendent de la nature du problème et du procédé suivi pour obtenir les résultats. Le procédé le plus avantageux est évîdemmeat celui dans lequel une même erreur dans les résultats, est moins probable que suivant tout autre procédé. L'application du calcul des probabilités à la philosophie naturelle » consiste donc à déterminer analytiquement la pro« babilité des valeurs de ces fonctions, et à choisir leurs coefficients indéterminés, de manière que la loi dé cette probabilité soit le plus rapidement décroissante. En éliminant ensuite des formules, par les données de la question, le facteur qu'introduit la loi presque toujours inconnue de la probabilité des erreurs partielles, on pourra évaluer numériquement la probabilité que les erreurs des résultats n'excèdent pas une quantité donnée. On

aura ainsi tout ce que Ton peut désirer touchant les résuiats déduits d'un grand nombre d'observations.

On peut encore obtenir des résultats fort approcbés, par d'autres con'sidérations. Supposons, par exemple, que Ton ait mille et une observations d'une même grandeur : la moyenne arithmétique de toutes ces observations est le résultat donné par la méthode la plus avantageuse. Mais on pourrait choisir le résultat d'après la condition que la somme de ses écarts de chaque valeur partielle, pris tous positivement, soit un minimum. Il parait, en effet, naturel de regarder comme très-approché 1ère-* sttltat qui satisfait à cette condition. Il est facile de voir que si Ton dispose les valeurs données par les observations^ suivant l'ordre de grandeur, la valeur qui occupera le milieu remplira la condition précédente, et le calcul fait voir que dans le cas d'un nombre infini d'observations, elle coïnciderait avec la vérité ; mais le résultat donné par la méthode la plus avantageuse est encore préférable.

On voit, par ce qui précède, que la théorie des probabilités ne laisse rien d'arbitraire dans la manière de répartir les erreurs des observations; elle donne, pour cette répartition, les formules les plus avantageuses, ou qui diminuent le plus qu'il est possible les erreurs à craindre sur les résultats.

DR LAPLÂCE. 13

La considération des probabilités peut servir à démêler les petites inégalités des mouvements célestes enveloppées dans les erreurs des observations , et à remonter à la cause des anomalies observées dans ces mouvements. Ce fut en compararan t entre elles toutes ses observations» que Ticho-Brabé reconnut la nécessité d'appliquer à la lune une équation du temps différente de celle que Ton appliquait au soleil et aux planètes. Ce fut pareillement l'ensemble d'un grand nombre d'observations, qui fit connaître à Mayer que le coefficient de l'inégalité de la précession doit être un peu diminué pour la lune. Mais comme cette diminution » quoique confirmée et même augmentée parMason, ne paraissait pas résulter de la gravitation universelle , la plupart des astronomes la négligèrent dans leurs calculs. Ayant soumis au calcul des probabilités un nombre considérable d'observations lunaires, choisies dans cette vue, et que M. Bouvard voulut bien discuter à ma prière , elle me parut indiquée avec une probabilité si forte , que je crus devoir en rechercher la cause. Je vis bientôt qu'elle ne pouvait être que l'ellipticité du sphéroïde terrestre, négligée jusqu'alors dans la théorie du mouvement lunaire , comme ne devant y produire que des termes insensibles. J'en conclus que ces termes deviennent sensibles par les intégrations successives

des équalions différentielles. Je déterminai donc ces termes par une analyse particulière , et je découvris d'abord l'inégalité du mouvement lunaire en latitude, qui est proportionnelle au sinus de la longitude de la lune, et qu'aucun astronome n'avait encore soupçonnée. Je reconnus ensuite» au moyen de cette inégalité , qu'il en existe une autre dans le mouvement lunaire en longitude, qui produit la diminution observée par Mayer dans l'équation de la précession applicable à la lune. I^ quantité de cette diminution, le coefficient de l'inégalité précédente en latitude sont très-propres à fixer l'aplatissement de la terre. Ayant fait part de mes recherches à M. Burg, qui s'occupait alors à perfectionner les tables de la lune, par la comparaison de toutes les bonnes observations, je le priai de déterminer avec un soin particulier ces deux quantités. Par un accord très-remarquable, les valeurs qu'il a trouvées donnent à la terre le même aplatissement X0T9 aplatissement qui diffère peu du milieu conclu des mesures des degrés du méridien et du pendule; mais qui, vu l'influence des erreurs des observations et des causes perturbatrices sur ces mesures, me paraît plus exactement déterminé par ces inégalités lunaires.

Ce fut encore par la considération des probabilités que je reconnus la cause de l'équation séculaire de

la luoe. Les observations modernes de cet astre , comparées aux anciennes éclipses, avaient indiqué aux astronomes une accélération dans le mouvement lunaire, mais les géomètres , i^t particulièrement Lagrange , ayant inutilement cherché dans les perturbaiions que ce mouvement éprouve, les termes dont cette accélération dépend, ils la rejetèrent Un examen attentif des observations anciennes et modernes, et des éclipses intermédiaires observées par les Arabes, me fit voir qu'elle était indiquée avec une grande probabilité. Je repris alors sous ce point de vue la théorie lunaire, et je reconnus que l'équation séculaire de la lune est due à l'action du soleil sur ce satellite, combinée avec la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre ; . ce qui me fit découvrir les équations séculaires des mouvements des nœuds et du périgée de l'orbite lunaire, équations qui n'avaient pas même été soupçonnées parles astronomes. L'accord très-remarquable de cette théorie avec toutes les observations anciennes et modernes , l'a portée au plus haut degré d'évidence.

Le calcul des probabilités m'a conduit pareillement à la cause des grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne. En comparant les observations modernes aux anciennes, Halley trouva une accélération dans le mouvement de Jupiter, et un ralentissement

dans celui de Saturne. Pour concilier les observations, il assujettit ces mouvements à deux équations séculaires de signes contraires, et croissantes comme les carréa des temps écoulés depuis 1700. Euler et Lagrange soumirent à l'analyse les altérations que devait produire dans ces mouvements Fattraction mutuelle des deux planètes. Ils y trouvèrent des équations séculaires; mais leurs résultats étaient si difiërents, que Tun d'eux , au moins, devait être erroné. Je me déterminai donc à reprendre ce problème important de la mécanique céleste, et je reconnus Finvariabilité des moyens mouvements planétaires; ce qui fit disparaître les équations séculaires introduites par Halley dans les tables de Jupiter et de Saturne. Il ne restait ainsi , pour expliquer les grandes irrégularités de ces planètes, que les attractions des comètes auxquelles plusieurs astronomes eurent effectivement recours, ou l'existence d'une inégalité à longue période, produite dans les mouvements des deux planètes par leur action réciproque , et affectée de signes contraires pour chacune d elles. Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre, me rendit, cette inégalité très-vraisemblable. Suivant ce théorème, si le mouvement de Jupiter s'accélère, celui de Saturne se ralentit, ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué : de plus , l'accélération de

Jupiter, résultante du même théorème , est au ralentissement de Saturne à très-peu près dans le rapport des équations séculaires proposées par Halley. En considérant les moyens mouvements de Jupiter et de Saturne, il me fut aisé de reconnaître que deux fois celui de Jupiter ne diffère que d'une très-petite quantité de cinq fois celui de Saturne. La période d'une inégalité qui aurait pour argument cette différence, serait d'environ neuf siècles. A la vérité, son coefficient serait de Tordre des cubes des excentricités des orbites; mais je savais qu'en vertu des intégrations successives, il acquiert pour diviseur le carré du très-petit multiplicateur du temps dans l'argument de cette inégalité , ce qiii peut lui donner une grande valeur: l'existence de cette inégalité me parut donc très-probable. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En supposant son argument nul , vers Fépoque des observations de Ticho-Brahé, je vis que Halley avait dû trouver, par la comparaison des observations modernes aux anciennes, les altérations qu'il avait indiquées; tandis que la comparaison des observations modernes entre elles devait offrir des altérations contraires et pareilles à celles que Lam bert avait conclues de cette comparaison. Je n'hésitai donc point à entreprendre le calcul long et pénible, nécessaire pour m'assurer de l'existence

SUR LES PROBABILITËS. 103

de celte inégalité. Elle fut entièrement confirmée par le résultat de ce calcul qui, de plus, me fie connaître un grand nombre d'autres inégalités dont l'ensemble a porté les tables de Jupiter et de Saturne à la précision des observations mêmes.

Ce fut encore au moyen du calcul des probabilités que je reconnus la loi remarquable des mou<vements moyens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant laquelle la longitude moyenne du premier, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est rigoureusement égale à la demi-circonférence. L'approximation avec laquelle les moyens mouvements de ces astres satisfont à cette loi depuis leur découverte, indiquait son existence avec une vraisemblance extrême; j'en cherchai donc la cause dans leur action mutuelle. L'examen approfondi de cette action me fit voir qu'il a suflS qu'à l'origine les rapports de leurs moyens mouvements aient approché de cette loi, dans certaines limites, pour que leur action mutuelle l'ait établie et la maintienne en rigueur. Ainsi ces trois eorps se balanceront éternellement dans l'espace, suivant la loi précédente, à moins que des causes étrangères, tellesque les comètes, ne viennent chan« ger brusquement leurs mouvements autour de Jupiter.

On voit, par là, combien il faut être attentif aux

indications de la nature , lorsqu'elles sont le résultat d'un grand nombre d'observations , quoique d'ail* leurs elles soient inexplicables par les moyens connus. L'extrême diflGculté des problèmes relatifs au système du monde a forcé les géomètres de recourir à des approximations qui laissent toujours à craindre que les quantités négligées n'aient une influence sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence par les observations, ils sont revenus sur leur analyse: en la rectifiant, ils ont toujours re« trouvé la cause des anomalies observées; ils en ont déterminé les lois, et souvent ils ont devancé robservationen découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indiquées. Ainsi l'on peut dire que la nature elle-même a concouru à la perfection analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur universelle; et c'ecit, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.

Dans les cas que je viens de considérer, la solution analytique des questions a converti la probabilité des causes en certitude. Mais le plus souvent cette solution est impossible, et il ne reste qu'à augmenter de plus en plus cette probabilité. Au milieu des nombreuses et incalculables modifications que Tac* tion des causes reçoit alors des circonstances étrangères, ces causes conservent toujours, avec les

effets observés 9 des rapports propres à les faire recoonaitre et à vérifier leur existence. Eq déterminant ces rapports et en les comparant avec un grand nombre d'observations, si l'on trouve qu'ils y satisfont constamment, la probabilité des causes pourra s'en accroître au point d'égaler celle des faits sur lesquels on ne se permet aucun doute. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets n'est pas moins utile dans la philosophie naturelle que la solution directe des problèmes, soit pour vérifier la réalité de ces causes, soit pour déter* miner les lois de leurs effets : pouvant être employée dans un grand nombre de questions dont la solution directe n'est pas possible , elle la remplace de la manière la plus avantageuse. Je vais exposer ici l'application que j'en, ai faite à l'un des plus intéressants phénomènes dh la nature, au flux et au reflux de la mer.

Pline le naturaliste a donné de ce phénomène une description remarquable par son exactitude, et dans laquelle on voit que les anciens avaient observé que les marées de chaque mois sont les plus grandes vers les syzygies, et les plus petites vers les quadratures; qu'elles sont plus hautes dans le périgée que dans l'apogée de la Lune, et dans les équinoxes que dans les solstices. Us en avaient conclu que ce phénomène est dû à l'action du Soleil et de la Lune

DE LAPLAGE. 44

sur la mer. Dans la préface de son ouvrage D$ Stella Martis , Kepler admit une teodance des eaux de la mer vers la Lune; mais, ignorant la loi de cette tendance 9 il ne pnt donner sur cet objet qu'un aperçu vraisemblable. Newton convertit en certitude la probabilité de cet aperçu » en le rattachant à son grand principe de la pesanteur universelle. Il donna l'expression exacte des forces attractives qui produisent le flux et le reflux de la mer; et pour en déterminer les effets, il supposa que la mer prend à chaque instant la figure d'équilii)re qui con^ vient à ces forces. II expliqua de cette manière les principaux phénomènes des marées; mais il suivait de cette théorie que dans nos ports les deux marées du même jour seraient fort inégales lorsque le So* leil et la Lune auraient une grande déclinaison. A Brest, par exemple, la marée du soir serait dans les syzygies des solstices environ huit fois pins grande qoe la marée du matin; ce qui est entièrement ciMitraire aux observations qui prouvent que ces deux marées sont à fort peu près égales. Ce résultat de la théorie nevf tonienne pouvait tenir à la supposition que la mer parvient à chaque instant à la figure d'équil*bre^ supposition qui n'est pas ad^ missible. Mais la recherche de la vraie figure delà mer présentait de grandes difficultés* Aidé par les découvertes que les géomètres venaient de faire>

SUR LES PROBÀBILITËS. i07

sur la théorie du mouvement des fluides et sur le calcul aux différences partielles, j'entrepris cette recherche , et je donnai les équations différentielles du mouvement do la mer, en supposant qu'elle re* couvre la terre entière. En me rapprochant ainsi de la nature, j'eus la satisfaction de voir que mes résultats se rapprochaient des observations, surtout à l'égard du peu de différence qui existe dans nos ports, entre les deux marées syzygies solsticiales d'un même jour. Je trouvai qu'elles seraient égales, si In mer avait partout la même profondeur; je trouvai encore qu'en donnant à cette profondeur des valeurs convenables, on pouvait augmenter la hauteur des marées dans un port conformément aux obsei*vations. Hais ces recherches, malgré leur généralité, ne satisfaisaient point aux grandes différences que présentent, à cet égard , des ports même très- voisins, et qui prouvent Finfluence des circonstances locales. L'impossibilité de connaître ces circonstances et Tirrégularité du bassin des mers , et celle d'intégrer les équations aux différences partielles qui y sont relatives, m'a forcé d'y suppléer par la méthode que j'ai ci-dessus indiquée. J ai donc cherché à déterminer le plus de rapports qu'il est possible entre les forces qui sollicitent toutes

les molécules de la mer et leurs effets observables dans nos ports. Pour cela, j'ai fait usage du prin-

cipe suivant , qui peut s'appliquer à beaucoup d'autres phéttomènes.

c L'étal d'un système de corps, dans lequel les c conditions primitives du mouvement ont disparu € par les résistances que ce mouvement éprouve, c est périodique comme les forces qui i'anic ment. »

En combinant ce principe avec celui de la coexistencedes oscillations très-petites, je suis parvenu à une expression de la hauteur des marées, dont les arbitraires comprennent l'effet des circonstances locales de chaque port , et sont réduites au plus petit nombre possible : il ne s'agissait plus que de la comparer à un grand nombre d'observations.

Sur l'invitation de l'Académie des Sciences, on fit à Brest, au commencement du dernier siècle, des observations des marées, qui furent continuées pendant les six années consécutives. La situation de ce port est très-favorable à ce genre d'observations: il communique avec la mer, par un canal qui aboutit à une rade fort vaste, au fond dé laquelle le port a été construit. Les irrégularités de la mer parviennent ainsi dans ce port très-affaiblîes, à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'un vaisseau produit dans le baromètre, sont atténuées par un étranglement fait au tube de cet instrument. D'ailleurs, les marées étant considérables à Brest,

les variations accidentelles causées par les vents n'en sont qu'une faible partie : aussi Ton remarque dans les observations de ces marées, pour peu qu'on les multiplie, une grande régularité qui me fit proposer au gouvernement d'ordonner, dans ce port, une nouvelle suite d'observations des marées, continuée pendant une période du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire. C'est ce que l'on a entrepris. €es observations datent du i^^ juin de l'année 1806 ; et depuis cette époque elles ont été faites, chaque jour, sans interruption. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard, pour tout ce qui intéresse l'astronomie , les calculs immenses que la comparaison de mon analyse avec les observations a exigés. Il y a employé près de six mille observations faites pendant Tannée 1807 et les quinze années suivantes. Il résulte de cette comparaison, que mes formules représentent avec une précision remarquable toutes les variétés des marées relatives à l'éloDgation de la Lune au Soleil , aux déclinaisons de ces astres, à leurs distances à la Terre et aux lois de variation près du maximum et du minimum de chacun de ces éléments. Il résulte de cet accord une probabilité que le flux et le reflux de la mer est dû à l'attraction du Soleil et de la Lune , si approchante de la certitude, qu'elle ne doit laisser lieu à aucun doute raisonnable. Elle se change en

liO ESSAI PHILOSOPHIQUE

certitude quand on considère qne cette attraction dérive de ia loi de la pesanteur universelle démon* trée par tous les phénomènes célestes.

L'action de la Lune sur la mer est plus que douUe de celle du Soleil. Newton et ses succès* seurs n'avaient eu égard , dans le développement de cette action, qu'aux termes divisés par le cube de la distance de la Lune à la Terre ^ jugeant que les effets dus aux termes suivants devaient être insensibles. Mais le calcul des probabilités fait voir qne les plus petits effets des causes régulières peuvent se manifester dans les résultats d'un trèsgrand nombre d'observations disposées dans Tordre le plus propre à les indiquer. Ce calcul détermine encore leur probabilité, et jusqu'à quel point il faut multiplier les observations pour la rendre fort grande. En l'appliquant aux nombreuses observations discutées par VL Bouvard , j'ai reconnu qu'à Brest l'action de la Lune sur la mer est plus grande dans les pleines lunes que dans les nouvelles lunes, et lorsque la Lune est australe , que lorsqu'elle est boréale , phénomènes qui ne peuvent résulter que des termes de l'action lunaire, divisés par la quatrième puissance de la distance de la Lune à la Terre.

Pour arriver à l'Océan , l'action du Soleil et de la Lune traverse l'atmosphère qui doit par consé-

SUR LES PROBÂBILITËS. 1 1 1

quent en éprouver l'influence » et être assujettie à des mouvements semblables à ceux de la mer* Ces mouvements produisent daas le baromètre des oscii* lations périodiques. L'analyse m'a fait voir qu'dles sont iftsen^bles dans nos climats. Mais comme les circonstances locales accroissent considérablement les marées dans nos ports, j'ai recherché si des circonstances pareilles ont rendu sensibles ces oscillations du baromètre. Pour cela, j'ai fait usage des observations météorologiques que l'on fait, chaque jour, depuis plusieurs années, à l'Observatoire royal. Les hauteurs du baromètre et du ther* momètre y sont observées à neuf heures du matto, à midi , à trois heures et à. onze heures du soir. H. Bouvard a bien voulu relever sur ses registres les observations des huit années écoulées depuis le l^"* octobre 1815 jusqu'au 1*' octobre 1835. En disposant ces observations de la manière la plus propre à indiquer le flux lunaire atmosphérique à Paris, je ne trouve qu'un dix*huitième demillinàètre pour l'étendue de l'oscillation correspondante du baromètre. Cest ici, surtout, que se fait sentir la nécessité d'une méthode pour déterminer la proba^ bilité d'un résultat, méthode sans laquelle on est exposé à présenter comme lois de la nature les effets des causes irrégulières ; ce qui est arrivé souvent en Météorologie. Cette méthode appliquée au

iU ESSAI PHILOSOPHIQUE

évidence , que sa valeur moyenne de chaque mois a été constamment positive pour chacun des 72 mois écoulés depuis le 1'' janvier 1817 jusqu'au 1^' janvier 1823 : sa valeur moyenne dans ces 72 mois a été, à fort peu près, huit dixièmes de millimètre, un peu plus petite qu'à Glermont, et beaucoup moindre qu'à l'équateur. J'ai reconnu que le résultat moyen des variations diurnes du baromètre, de neuf heures du matin à trois heures du soir, n'a été que de 0°',5428 dans les trois mois de novembre, décembre et janvier, et qu'il s'est élevé à 1"*,0563 dans les trois mois suivants ; ce qui coïncide avec les observations de M. Ramond. Les autres mois ne m'ont offert rien de semblable.

Pour appliquer à ce phénomène le calcul des probabilités, j'ai commencé par déterminer la loi de probabilité des anomalies de la variation diurne, dues au hasard. En l'appliquant ensuite aux observations de ,ce phénomène, j'ai trouvé qu'il y a plus de trois cent mille à parier contre un , qu'une cause régulière le produit. Je ne cherche point à déterminer cette cause : je me borne à constater son existence. La période de la variation diurne, réglée sur le jour solaire, indique évidemment que cette variation est due à l'action du soleil. L'extrême petitesse de l'action attractive du soleil sur l'atmosphère , est prouvée par la petitesse des effets dus aux attractions

SUR LES PROBABIUTËS. 119

réunies du soleil et de la lune. C'est donc par l'action de sa chaleur que le soleil produit la variation diurne du baromètre; mais il est impossible de soumettre au calcul les effets de cette action sur la hauteur du baromètre et sur les vents.

La variation diurne de Taiguille aimantée est cer* tainement un effet de Taction du soleil. Mais cet astre agit*il ici comme dans la variation diurne du baromètre, par sa chaleur ou par influence sur rëlectricité et sur le magnétisme, ou enfin par la réunion de ces influences? C'est ce qu'une longue suite d'observations faites dans divers pays pourra nous apprendre.

L'un des phénomènes les plus remarquables du système du monde est celui de tous les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites , dans le sens de la rotation du soleil , et à peu près dans le plan de son équateur. Un phénomène aussi remarquable n'est point l'effet du hasard : il indique une cause générale qui a déterminé tous ses mouvements. Pour avoir la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée, nous observerons que le système planétaire, tel que nous le connaissons aujourd'hui, est composé de onze planètes et de dix-huit satellites , du moins si l'on attribue avec Herschel six satellites à la planète Uranus. On a reconnu les mouvements de rotation

Ii6 BSSAI PHILOSOPHIQUE

du soleil, de six planètes, de la lune, des satellites de Jupiter, de Tanneau de Saturne et d'un de ses satellites. Ces mouvements forment , avec ceux de révolution, un ensemble de quarante-trois mouve« menis dirigés dans le même sens; or on trouve, par ianalyse des probabilités , qu'il y a plus de quatre mille milliards à parier contre un, que cette disposition n'est pas l'effet du hasard ; ce qui forme une probabilité bien supérieure à celle des événements historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute. Nous devons donc croire, au moins avec la même confiance, qu'une cause primitive a dirigé les mouvements planétaires, surtout si nous considérons que l'inclinaison du plus grand nombre de ces mouvements à l'équateur solaire est fort petite.

Un autre phénomène également reinarquable du système solaire est le peu d'excentricité des orbes des planètes et des satellites , tandis que ceux des comètes sont très -allongés, les orbes de ce système n'offrant point de nuances intermédiaires entre une grande et une petite excentricité. Nous sommés encore forcés de reconnaître ici l'effet d'une cause régulière ; le hasard n'eût point donné une forme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de leurs satellites; il est donc nécessaire que la cause qui a déterminé les mouvements de ces corps, lésait rendus presque circulaires. Il faut encore que

SUR LES PROBABILITÉS. il7

les grandes exceotricités des orbes des comètes résultent de l'existence de cette cause, sans qu'elle ait influé sur les directions de leurs mouvements; car on trouve qu'il y a presque autant de comètes rétrogrades, que de comètes directes, et que l'inclinaison moyenne de tous leurs orbes à l'écliptique , approche très-près d'un demi angle droit, comme cela doit être, si ces corps ont été lancés au hasard.

Quelle que soit la nature de la cause dont il s'agit, puisqu'elle a produit ou dirigé les mouvements des planètes, il faut qu'elle ait embrassé tous ces corps; et vu les distances qui les séparent, elle ne peut avoir été qu'un fluide d'une immense étendue : pour leur avoir donné dans le même sens un mouvement presque circulaire autour du soleil , il faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosphère. La considération des mouvements planétaires nous conduit donc à penser qu'en vertu d'une chaleur excessive l'atmosphère du soleil s'est primitivement étendue au delà des orbes de toutes les planètes, et qu'elle s'est resserréesuccessivement jusqu'à ses limites actuelles.

Dans l'état primitif où nous supposons le soleil , il ressemblait aux nébuleuses que le télescopé nous montre composées d'un noyau plus ou moins brillant, entouré d'une nébulosité qui , en se condensant à la surface du noyau , doit le transformer un

Ii8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

jour en étoile. Si l'on conçoit par analogie toutes les étoiles formées de cette manière » on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité, précédé lui-même par d'autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus diffuse » le noyau étant de moins en moins lumineux et dense. On arrive ainsi , en remontant aussi loin qu'il est pos^ sible, k une nébulosité tellement diffuse , que Ton pourrait à peine en soupçonner Texistence.

Tel est, en effet, le premier état des nébuleuses que Herschel a observées avec un soin particulier, au moyen de ses puissants télescopes , et dans lesquelles il a suivi les progrès de la condensation, non sur une seule , ces progrès ne pouvant devenir sensibles pour nous qu'après des siècles , mais sur leur ensemble , à peu près comme on peut , dans une vaste forêt, suivre Taccroissement des arbres, sur les individus de divers âges qu'elle renferme. Il a d'abord observé la matière nébuleuse répandue

en amas divers dans les différentes parties du ciel dont elle occupe une grande étendue. Il a vu dans quelques-uns de ces amas, 'cette matière faiblement condensée autour d'un ou de plusieurs noyaux peu brillants. Dans d'autres nébuleuses, ces noyaux brillent davantage relativement à la nébulosité qui les environne. Les atmosphères de chaque noyau venant à se séparer par une condensation ultérieure ,

il en résulte des nëboleuses multiples foriuées de noyaux brillants très-voisins et environnés chacun d*une atmosphère : quelquefois, la matière nébuleuse, en se condensant d'une manière uniforme, a produit les nébuleuses que l'on nomme planétaires. Enfin , un plus grand degré de condensation transforme toutes ces nébuleuses en étoiles. Les nébuleuses classées d'après cette vue philosophique, indiquent avec une extrême vraisemblance leur transformation future en écoiles , et l'état antérieur de nébulosité des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent à l'appui des preuves tirées de ces analogies.

Depuis longtemps, la disposition particulière de quelques étoiles visibles à la vue simple a frappé des observateurs philosophes.Mitchel a déjà remarqué combien il est peu probable que les étoiles des Pléiades , par exemple, aient été resserrées dans l'espace étroit qui les renferme, par les seules chances du hasard ; et il en a conclu que ce groupe d'étoiles et les groupes semblables que le ciel nous présente , sont les effets d'une cause primitive ou d*une loi générale de la nature. Ces groupes sont un résultat nécessaire de la condensation des nébuleuses à plusieurs noyaux ; car il est visible que la matière nébuleuse étant sans cesse attirée par ces noyaux divers, ils doivent former à la longue un

i90 ESSAI PHILOSOPHIQUE

groupe d'étoiles pareil à celai. des Pléiades. La condensation des nébuleuses à deux noyaux forme semblablement des étoiles très-rapprocbées, tournant Tune autour de Tautre, pareilles à celles dont Herschel a déjà considéré les mouvements respectifs. Telles sont encore la soixante et unième du Cygne et sa suivante, dans lesquelles Bessel vient de reconnaître des mouvements propres; si considérables et si peu différents, que la proximité de ces astres entre eux, et leur mouvement autour de leur centre commun de gravité, ne doivent laisser aucun doute. Ainsi , Ion descend par les progrès de condensation de la matière nébuleuse à la considération du soleil environné autrefois d'une vaste atmosphère , considération à laquelle on remonte , comme on Ta vu , par Texamen des phénomènes du système solaire. Une rencontre aussi remarquable donne à l'existence de cet état antérieur du soleil une probabilité fort approchante de la certitude. Hais comment l'atmosphère solaire a-t-elle déterminé les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère , sa résistance les aurait fait tomber sur le soleil ; on est donc conduit à croire avec beaucoup de vraisemblance que les planètes ont été formées aux limites successives de l'atmosphère solaire qui,

en se resserrant par le refroidissemenl, à dà abandonner dans le plan de son ëqoateur des zones de vapeurs que Tattraction mutuelle de leurs moléenlesa changées en divers sphéroïdes. Les satellitei ont été pareillement formés par les atmosphères de leurs planètes respectives.

Tai développé avec étendue , dans mon Exposi* twn du système du monde ^ cette hypothèse qui me parait satisfaire à tous les phénomènes que ce système nous présente. Je me bornerai ici à considérer que la vitesse angulaire de rotation du soleil et des planètes s'étant accélérée par la condensation successive de leurs atmosphères à leurs surfaces , elle doit surpasser la vitesse angulaire de révolution des corps les plus \oisins qui circulent autour d'eux. C'est, en effet, ce que l'observation confirme à regard des planètes et dés satellites, et même par rapport à l'anneau de Saturne dont la durée de révolution est o^,458, tandis que la durée de rotation de Saturne est o^,427.

Dans cette hypothèse, les comètes sont étrangères au système planétaire* En attachant leur formation à celle des nébuleuses , on peut les regarder comme de petites nébuleuses à noyaux, errantes de systèmes en systèmes solaires, et formées par la condensation de' la matière nébuleuse répandue avec tant de profusion dans l'univers. Lès comètes

DE LAPLÀCE. 16

in ESSAI PHILOSOPHIQUE

seraieDt ainsi» par rapport à notre système , ce que les aéroliihes sont relativement à la terre, à laquelle ils paraissent étrangers. Lorsque ces astres devien* nent visibles pour nous, ils offrent une ressemblance si parfaite avec les nébuleuses , qu'on les confond souvent avec elles; et ce n'est que par leur mouve* ment, ou par la connaissance de toutes les nébuleuses renfermées dans la partie du ciel où ils se montrent , qu'on parvient à les en distinguer* Cette supposition explique d'uae manière heureuse la grande extension que prennent les têtes et les queues des comètes à mesure qu'elles approchent du soleil I et l'extrême rareté de ces queues qui ^ malgré leur immense profondeur, n'affaiblissent

point sensiblement l'éclat des étoiles que l'on voit à travers.

Lorsque de petites nébuleuses parviennent dans la partie de l'espace où l'attraction du soleil est prédominante , et que nous nommerons sphère due* tmté de cet astre, il les force à décrire des orbes

elliptiques ou hyperboliques. Mais leur vitesse étant également possible suivant toutes les directions, elles doivent se mouvoir indifféremment dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons à l'écUptique ; ce qui est conforme à ce que l'on observe. La grands excentricité des orbes cométaires résulte encore de l'hypothèse précédente. En effets

si ces orbes sont elliptiques, ils soot irès*aUongés, puisque leurs grands axes sont au moins égaux au rayon de la sphère d'activité dv soleil. Mais ces orbes peuvent être hyperboliques; et si les axes de ces hyperboles ne sont pas très^grands par rapport à la moyenne dislance du soleil à la terre, le mou* vement des comètes qui les décrivent paraîtra sensiblement hyperbolique. Cependant snr cent comètes dont on a déjà les éléments, aucune n'a paru certainement se mouvoir dans une hyperbole; il faut donc que les chances qui donnent une hyperbole sensible , soient extrépiement rares par rapport aux chances contraires.

Les comètes sont si petites , que , pour devenir visibles, leur distance périhélie doit être peu cxmstdérable. Jusqu'à présent cette distance n'a surpassé que deux fois le diamètre de l'orbe terrestre, et le pins souvent elle a été aunlessous du rayon de cet orbe. On conçoit que pour appi*ocber si près du soleil, leur vitesse, au moment de leur entrée dans sa sphère d'activité, doit avoir une grandeur et Que direction comprises dans d'étroites limites En déterminant par l'analyse des probabilités le rapport des chances qui , dans ces limites , donnent une hyperbole sensible aux chances qui donnent im orbe que l'on puisse confondre avec une parabole , j'ai trouvé qu'il y a six mille au moins à parier

contre luniié, qu'une nébuleuse qui pénètre dans la sphère d'activité du soleil , de manière à pouvoir être observée, décrira ou une ellipse très-allongée, ou une hyperbole qui , par la grandeur de son axe, se confondra sensiblement avec une parabole dans la partie que Ton observe; il n'est donc pas surprenant que jusqu'ici l'on n'ait point reconnu de mouvements hyperboliques.

L'attraction des planètes, et peut-être encore la résistance des milieux étbérés, a dû changer plusieurs orbes cométaires dans des ellipses dont le grand axe est .moindre que le rayon de la sphère d'activité du soleil ; ce qui augmente les chances des orbes elliptiques. On peut croire que ce changement a eu lieu pour la comète de .1759, et pour la comète dont la période n'est que de douze cents jours, et qui reparaîtra sans cesse dans ce court intervalle, à moins que l'évaporation qu'elle éprouve à diacun de ses retours au périhélie ne finisse par la rendre invisible.

On peut encore, par l'analyse des probabilités, vérifier l'existence ou l'influence de certaines causes dont on a cru remarquer l'action sur les êtres organisés. De. tous les instruinents que nous pouvons, employer pour connaître les agents imperceptibles de la nature , les plus sensibles sont les nerfs , surtout lorsque des causes particulières exaltent leur

sensibilité. C'est par leur moyen qu'on a découvert la faible électricité qiiè développe le contact de deux métaux hétérogènes ; ce qui a ouvert un champ vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. Les phénomènes singuliers qui résultent de Fextréme sensibilité des nerfs dans quelques individus, ont donné naissance à diverses opinions sur Texistence- d'un nouvel agent que l'on a nommé magnéiisme animal, sur l'action du magnétisme ominaire, et sur l'influence du soleil et de la lune dans quelques affections nerveuses; enfin sur les impressions que peut faire éprouver la proximité des métaux ou d'une eau courante. Il est naturel de penser que l'action de ces causes est très-faible, et qu'elle peut être facilement troublée par des circonstances accidentelles; ainsi, parce que dans quelques cas elle ne s'est point manifestée , on ne doit pas rejeter son existence. Nous sommes si loin de connaître tous les agents de la nature et leurs divers modes d'action , qu'il serait peu philosophique de nier les phénomènes, uniquement parce qu'ils sont inexplicables dans l'état actuel de nos connaissances. Seulement , nous devons les examiner avec une attention d'autant plus scrupuleuse, qu'il parait plus difficile de les admettre ; et c'est ici que le calcul des probabilités devient indispensable, pour déterminer jusqu'à quel point il faut multiplier les

Isa ESSAI PHILOSOPHIQUE

observations ou les expériences , afin d'obtenir en faveur des agents qu'elles indiquent , une probabî* litë snpërieure aux raisons que l'on peut avoir d'ail^ leurs de ne pas les admettre.

Le calenl des probabilités peut faire apprécier^ les avantages et les inconvénients des méthodes employées dans les sciences conjecturales. Ainsi » pour^ reconndtre le meillemr des traitements en usage dans la guérisoo dune maladie, il suffit d'éprouver chacun d'eux sur un même nombre de malades , en rendant toutes les circonstances parfaitement semblables : la supériorité du traitement le plus avantageux se manifestera de plus en plus à mesuré que ce nombre s'acorottra ; et le calcul fera connaître la probabilité correspondante de son avantage» et du rapport suivant lequel il est supérieur aux autres.

iippâcolto» du caleud des probabilités aux sdenees

morales.

Qfl vient de voir les avantages de l'analyse des probabilités dans la recherche des lois des phénomènes naturels dont les causes sont inconnues ou trop ûompliquées pour que leurs effets puissent être soumis au calcul. C'est le cas de presque tous les objets des sdenees morales. Tant de causes impré-

SUR LES PRaBABILITËS. 127

vues» OU cachées» ou inapprëctables » influent sur les institutions humaines » qu'il est impossible d'en juger à priori les résuhats. La série des événements que le temps amène développe ces résultats, et indi^ que les moyens de remédier à ceux qui sont nuisibles. On a souvent fait à cet égard des lois sages; mais» parce que Ton avait négligé d'en conserver les motifs» plusieurs ont été abrogées comme inutiles» et il a fallu» pour les rétablir» que dé fâcheuses expériences en aient fait de nouveau sentir le besoin. Il est donc bien important de tenir» dans chaque branche de l'administration publique» un registre exact des effets qu'ont prodoits les divers moyens dont on a fait usage» et qui sont autant d'expériences faites en grand par les gouverneméats. Appliquons aux sciences poliiiqueset morales la méthode fondée sur Tobservation et sur le calcul» méthode qui nous a si bien servis dans les sciences naturelles. N'opposons point une résistance inutile et souvent dangereuse aux effets inévitables du progrès des lumières; mais ne changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et les osages auxquels nous sommes depuis longtemps pliéSé Nous connaissons bien» par l'expérience do passé» les inconvénients qu'ils présentent; mais nous ignorons qoelle est l'étendue des maux que leur changement peut produire. Dans cette ignorance, la

théorie des probabilités prescrit d'éviter tout changemenl : surtout il faut éviter les changements brusques qui, dans l'ordre moral comme dans l'ordre physique, ne s'opèrent jamais sans une grande perte de force vive.

Déjà le calcul des probabilités a été appliqué avec succès à plusieurs objets des sciences morales. Je vais en présenter ici les principaux résultats.

De la probabilité des témoignages.

La plupart de nos jugements étant fondés sur la probabilité des témoignages , il est bien important de la soumettre au calcul. La chose, il est vrai, devient souvent impossible , par la difficulté d'apprécier la véracité des témoins, et par le grand nombre de circonstances dont les faits qu'ils attestent sont accompagnés; mais on peut, dans plusieurs cas, résoudre des problèmes qui ont beaucoup d'analogie avec les questions qu'on se propose , et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et à nous garantir des erreurs et des dangers auxquels de mauvais raisonnements nous exposent. Une approximation de ce genre , lorsqu'elle est bien conduite , est toujours préférable aux raisonnements les plus

SUR LES PROBABILITËS. 129

spécieux. Essayons donc de donner quelques règles

générales pour y parvenir.

On a extrait un seul numéro d'une urne qui en

renferme mille. Un témoin de ce tirage annonce

que le n» 79 est sorti ; on demande la probabilité

de cette sortie. Supposons que Texpérience ait fait connaître que ce témoin trompe une fois sur dix, en

sorte que la probabilité de son témoignage soit -nr- Ici , l'événement observé est le témoin attestant que le n^ 79 est sorti. Cet événement peut résulter des deux hypothèses suivantes , savoir : que le témoin énonce la vérité , ou qu'il trompe* Suivant le principe que nous avons exposé sur la probabilité des causes, tirée des événements observés, il faut d'abord déterminer à priori la probabilité de Févénement dans chaque hypothèse. Dans la première, la probabilité que le témoin annoncera le n^ 79, est la probabilité même de la sortie de ce numéro, c'està-dire -nnr^ . Il faut la multiplier par la probabilité -Yô- de la véracité du témoin; on aura donc 17700 p^tir la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Si le témoin trompe , le n^ 79 n'est pas sorti, et la probabilité de ce cas esti^. Mais pour annoncer la sortie de ce numéro, le témoin doit le choisir parmi les 999 numéros non sortis; et comme il est supposé n'avoir aucun motif de préférence pour les uns plutôt que pour les autres , la proba-

DE LAPLACE. il

bilité qail choisira le n^ 79 est j^ ; en moUipUant donc cette probabilité par la précédente » on aura 7^ pour la probabilité que le témoin annoncera le n® 79 dans la seconde hypothèse. Il faut encore multiplier celte probabilité rs de Thypothèse ellemême; ce qui donne tôoôô P<>ur la probabilité de révénement relative à celte hypothèse. Présentement, si Ton forme une fraction dont le numérateur soit la probabilité relative à la première hypothèse, et dont le dénominateur soit la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses, on aura , par le sixième principe , la probabilité de la première hypothèse, et celte probabilité sera ^ , c'est-à-dire la véracité même du témoin. C'est aussi la probabilité de la sortie du n* 79. La probabilité du mensonge du témoin et de la non sortie de ce numéro

estiV-

Si le témoin, voulant tromper, avait quelque intérêt à choisir le n*^ 79 parmi les numéros non sortis; s'il jugeait, par exemple, qu'ayant placé sur ce numéro une mise considérable, l'annonce de sa sortie augmentera son crédit; la probabilité qu'il choisira ce numéro ne sera plus, conune auparavant, m; elle pourra êire alors -p» -r, etc., suivant l'inlérét qu'il aura d'amioncer sa sortie. En la supposant-r» il faudra multiplier par cette fraction la probabilité UM& > pour avrâ* dans l'hypothèse du mensonge la

probabilité de Fëvéïieaieiii obs^vé, qu'il faut eiicore multiplier par 70 ; ce qui donné rmô pour 1^ probabilité de révénemeiit dans la seconde bypo^ thèse. Alors la probabilité de la première hypothèse» on de la sortie du n® 79, se réduit , par la règle précédente y à-nr. Elle est donc très-affaiblie par la considération de l'intérêt que le témoin peut avoir à annoncer la sortie du n? 79. A la vérité » ce même intérêt augmente la probabilité rë que le témoiq dira la vérité, si le n^ 79 sort. Mais cette probabilité ne peut excéder l'unité ou f§; ainsi la probabi* iité de la sortie du n^ 79 ne surpassera pas iVV* Le bon sens nous dicte que cet intérêt doit inspirer de la défiance ; mais le calcul en apprécie l'influence. La probabilité à priori du numéro énoncé par le témoin est l'unité divisée par le nombre des numéros de l'urne ; elle se transforme en vertu du témoi- * gnage dans la véracité même du témoin ; elle peut

donc être affaiblie par ce témoignage. Si, par. exemple, l'urne ne renferme que deux numéros, ce qui donne -r pour la probabilité à priori de la sortie du n® 4, et si la véracité d'ua témoin qui Tannonce est TSy cette sortie en devient moins probable. En effet, il est visible que le témoin ayant alors plus de pente vers le mensonge que vers la vérité, son témoignage doit diminuer la pr<^bilité du fait attesté^ toutes les fois que cette probabilité égale ou

surpasse -i*. Mais s'il y a trois naméros dans l'urne , la probabilité à priori de la sortie du n<* 1 est accrue par l'affirmation d'un témoin dont la véracité surpasse -j-.

Supposons maintenant que l'urne renferme 999 boules noires et une boule blanche, et qu'une boule en ayant été extraite , un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de révénement observé, déterminée à priori dans la première hypothèse , sera ici , comme dans la question précédente , égale à tôoôô- Mais dans l'hypothèse où le témoin trompe, la boule blanche n'est pas sortie, et la probabilité de ce cas est -nroV* U faut la multiplier par la probabilité ^ du mensonge , ce qui donne t^tJ^ pour la probabilité de l'événement observé relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n'était que jzoôô dans la question précédente : cette grande différence tient à ce qu'une boule noire étant sortie, le témoin qui veut tromper n'a point de choix à faire parmi les 999 boules non sorties , pour annoncer la sortie d'une boule blanche. Maintenant, si l'on forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives à chaque hypothèse, et dont le déno* minateur commun soit la somme de ces probabilités, on aura -^i^ pour la probabilité de la première hypothèse et de la sortie d'une boule blanche, et

SUR LES PROBABILITÉS. i53

riii pour la probabilité de la seconde hypothèse et de la sortie d'une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait beaucoup plus encore , et deviendrait ToidTêwf si l'urne renfermait un million de boules dont une seule serait blanche, la sortie d'une boule blanche devenant alors beaucoup plus

extraordinaire. On voit ainsi comment la probabilité du mensonge croit à mesure que le fait devient

plus extraordinaire.

Nous avons supposé jusqu'ici que le témoin ne se trompait point; mais si Ton admet encore la chance de son erreur, le fait extraordinaire devient plus invraisemblable. Alors, au lieu de deux hypothèses, on aura les quatre suivantes, savoir : celle du témoin ne trompant point et ne se trompant point ; celle du témoin ne trompant pojnt et se trompant; l'hypothèse du témoin trompant et ne se trompant point; enfin celle du témoin trompant et se trompant. En déterminant à priori, dans chacune de ces hypothèses, la probabilité de l'événement observé, on trouve , par le sixième principe , la probabilité que le fait attesté est faux , égale à une fraction dont le numérateur est le nombre des boules noires de l'urne, multiplié par la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et se trompe, ou qu'il trompe et ne se trompe point , et dont le dénomina*

teur est ce numératear augmenté de la somme des

probabilités qae le témoin ne trompe point et ne

se trompe point , on qu'il trompe et se trompe à la

fois* On voit par là que si le nombre des boules

noires de l'urne est très-grand , ce qui rend extraordinaire la sortie de la boule blanche , la

probabilité qile le fait attesté n'est pas , approche

extrêmement de la certitude.

En étendant cette conséquence à tous les faits extraordinaires, il en résulte que la probabilité de l'erreur ou du mensonge du témoin devient d'autant plus grande y que le fait attesté est plus extraordi-* natre. Quelques auteurs ont avancé le contraire , en se fondant sur ce que la vue d'un fait extraordinaire étant parfaitement semblable à celle d'un fait ordi* naire» les mêmes motifs doivent nous porter à croire également le témoin , quand il afiSrme l'un ou l'autre de ces faits* Le simple bon sens repousse une aussi étrange assertion; mais le calcul des probabilités , en confirmant l'indication du sens commun, apprécie de plus l'invraisemblance des témoignages sur les faits extraordinaires.

Ces auteurs insistent et supposent deux témoins également dignes de foi , dont le premier atteste qu'il a vu mort, il y a quinze jours , un individu que le seccmd témoin affirme avoir vu hier plein de vie. L'un ou l'autre de ces faits n'offre rien d'invraisem-

SUR L£S PROBABIUTÉS. 139

blable. La résurreelioQ de riodlvidù esi une coqséquence de leur ensemble; mais les témoignages ne portant point directement sur elle, ce qu'elle a d'extraordinaire ne doit point affaiblir la croyance qui leur est due. ( Encyclopédie, art, CertiUide.)

Cependant, si la conséqueuce qui résulte de l'ensemble des témoignages était impossible, l'un «feux serait nécessairement faux; or, une conséquence impossible esi la limite des conséquences extraordinaires, comme Terreur est la limite des invraisemblances; la valeur des témoignages, qui devient nulle dans le cas d'une conséquence impossible , doit donc être très-affaiblie dans celui d'une conséquence extraordinaire. Cesl, en effet, ce que le calcul des probabilités confirme.

Pour le faire voir, considérons deux urnes A et B, dont la première contienne un million de boules blancfaeSy et la seconde un million de boules noires. On tire de l'une de ces urnes une boule que l'on remet dans l'autre urne dont on extrait ensuite une boule. Deux témoins, l'un du premier tirage, l'autne du second, attestent que la boule qu'ils ont vu extraire est blanche , sans indiquer l'urne dont elle a été extraite. Chaque témoignage pris isolément n'a rien d'iavraisemblable ; et il est facile de voir que la probabilité du £ait attesté est la véracité même du témoin. Mais il suit de ^ensembl^ des

témoignages , qu'une boule blanche a été extraite de l'urne A au premier tirage, et qu'ensuite, mise dans l'urne B, elle a reparu au second tirage, ce qui est fort extraordinaire; car cette seconde urne renfermant alors une boule blanche sur un million de boules noires, la probabilité d'en extraire la boule blanche est j-ôoToFf Pour déterminer l'affaiblissement qui en résulte dans la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins, nous remarquerons que révénement observé est ici l'affirmation, par chacun d'eux, que la boule qu'il a vu extraire est blanche* Représentons par jô la probabilité qu'il énonce la vérité , ce qui peut avoir lieu dans le cas présent, lorsque le témoin ne trompe point et ne se trompe point , et lorsqu'il trompe et se trompe h la fois. On peut former les quatre hypothèses suivantes :

i° Le premier et le second témoin disent la vérité. Alors une boule blanche a d'abord été extraite de l'urne A, et la probabilité de cet événement est { , puisque la boule extraite au premier tirage à pu sortir également de l'une ou de l'autre urne. Ensuite, la boule extraite mise dans l'urne B a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement est t^^^ôtî '^ probabilité du fait énoncé est donc ^o-ôiôôr '^^ '^ multipliant par le produit des probabilités ys et ^ que les témoins disent la

vérité, on aura ^ oooVoaoo P^**** '^ probabilité de Tévéiiement observé, dans cette première hypothèse.

2^ Le premier témoin dit la vérité, et le second ne. la dit point, soit qu'il trompe et ne se trompe point, soit qu'il ne trompe point et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de Turne A au premier tirage, et la probabilité de cet événement est ^. Ensuite cette boule ayant été mise dans Turne B, une boule noire en a été extraite: la probabilité de cette extraction est |^f^ ; on a donc if^jfjf pour la probabilité de Tévénement composé. En la multipliant par le produit des deux probabilités 7^ et ^ que le premier témoin dit la vérité et que le second ne la dit point, on aura aoôooo? oo P^'*'* '^ probabilité de l'événement observé dans la seconde hypothèse.

S"" Le premier témoin ne dit pas la vérité , et le second 1 énonce. Alors une boule noire est sortie de l'urne B au premier tirage, et après avoir été mise dans l'urnç A , une boule blanche a été extraite de cette urne. La probabilité du premier de ces événements est ^, et celle du second est t^J^; la probabilité de l'événement composé est donc ^pôÔÔôî * En la multipliant par le produit des probabilités ^ et -j*^, que le premier témoin ne dit pas la vérité, et que le second l'énonce, on aura aÔôoooa ^P^"^ '^ probabilité de l'événement observé relative à celte hypothèse.

i58 ESSAI PHILOSOPHIQUE

A^ Enfin, aucun des témoins ne dit la vérité. Alors une boule noire a été extraite de Turne B au premier tirage; ensuite ayant élé mise dans l'urne A, elle a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement composé est j^^^. En la multipliant parle produit des probabilités^ et 75 que chaque

témoin ne dit pas la vérité, on aura ^000002 00 P^""* '^ probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse.

Maintenant, pour avoir la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins , savoir, qu'une boule blanche a été extraite à chacun des tirages, il faut

diviser la probabilité correspondante à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses; et alors on a pour celte probabilité tttïïsôït» frî^dîon extrémementpetite.

Si les deux témoins affirmaient, le premier, qu'une boule blanche a été extraite de l'une des deux urnes A et B, le second, qu'une boule blanche a élé pareillement extraite de l'une des deux urnes A et B' , en tout semblables aux premières, la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins serait le produit des probabilités de leurs témoignages ou -j— ; elle serait donc cent quatre-vingt mille fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien, dans le premier cas, la réapparition au second tirage de la boule blanche

extraite au premier, conséquence extraordinaire des deux témoignages » en affaiblit la valeur.

Nous n'ajouterions point foi au témoignage d'un homme qui nous attesterait qu'en projetant cent dés en l'air , ils sont tous retombés sur la même face. Si nous avions été nous-mêmes spectateurs de cet événement, nous n'en croirions nos propres yeux qu'après en avoir scrupuleusement examiné toutes les circonstances, et après en avoir rendu d'autres yeux témoins , pour être bien sûrs qu'il n'y a eu ni hallucination ni prestige. Mais après cet examen, nous ne balancerions point à l'admettre^ malgré son extrême invraisemblance; et personne ne serait tenté, pour l'expliquer, de recourir à un renversement des lois de la vision. Nous devons en conclure que la probabilité de la constance des lois de la nature est pour nous supérieure à celle que l'événement dont il s'agit ne doit point avoir lieu , probabilité supérieure elle-même à celle de la plupart des faits historiques que nous regardons comme incontestables. On peutjugerpar làdu poidsimmense de témoignages nécessaire pour admettre une suspension des lois naturelles, et combien il serait abusif d'appliquer à ce cas les règles ordinaires de la critique. Tous ceux qui, sans offrir cette immensité de témoignages, étayent ce qu'ils avancent de récits d'événements contraires à ces lois, affaiblissent

plulél qu'ils n'augmentent la croyance qu'ils cherchent à inspirer ; car alors ces récits rendent trèsprobable Terreur ou le mensonge de leurs auteurs. Mais ce qui diminue la croyance des hommes éclairés, accroît souvent celle du vulgaire, toujours avide du merveilleux.

11 y a des choses tellement extraordinaires , que rien ne peut en balancer Tinvraisemblance. Mais celle-ci, par l'effet d'une opinion dominante, peut être affaiblie au point de paraître inférieure à la probabilité des témoignages; et quand cette opinion vient à changer, un récit absurde admis unanimement dans le siècle qui lui a donné naissance, n'offire aux siècles suivants qu'une nouvelle preuve de l'extrême influence de l'opinion générale sur les meilleurs esprits. Deux grands hommes du siècle de Louis XIV, Racine et Pascal, en sont des exemples frappants. Il est affligeant de voir avec quelle complaisance Racine, ce peintre admirable du cœur humain et le poêle le plus parfait qui fut jamais, rapporte comme miraculeuse la guérison de la jeune Perrier , nièce de Pascal et pensionnaire à l'abbaye de Port-Royal : il est pénible de lire les raisonnements par lesquels Pascal cherche à prouver que ce miracle devenait nécessaire à la religion , pour justifier la doctrine des religieuses de celte abbaye, alors persécutées par les Jésuites. La jeune

SUR LES PROBABILITÉS. i41

Perrier était, depuis trois ans et demi^ affligée duoe fistule lacrymale : elle toucha de son œil malade une relique que Ton prétendait être une des épines de la couronne du Sauveur , ei elle se crut à l'instant guérie. Quelques jours après, les médecins et les chirurgiens constatèrent la guérison , et ils jugèrent que la nature et les remèdes n'y avaient eu aucune part. Cet événement, arrivé en 1656, ayaqt fait grand bruit, < tout Paris se porta, dit « Racine, à Port-Royal. La foule croissait de

< jour en jour, et Dieu même semblait prendre « plaisir à autoriser la dévotion des peuples, par

< la quantité de miracles qui se firent en cette « église. » A celte époque, les miracles et les sor« tilégesnè paraissaient pas encore invraisemblables, et Ton n'hésitait point à leur attribuer les singularités de la nature , que Ton ne pouvait autrement expliquer.

Cette manière d'envisager les effets extraordinaires, se retrouve dans les ouvrages les plus remarquables du siècle de Louis XIV, dans VEssat même sur Tentendement humain du sage Locke, •qui dit, en parlant des degrés d'assentiment: < Quoique la commune expérience et le cours c ordinaire des choses aient avec raison une grande c influence sur l'esprit des hommes, pour les porc 1er à donner ou à refuser leur consentement à

une chose qui leur est proposée à croire , il y a pourtant un cas ou ce qu'il y a d'étrange dans un fait, n'affaiblit point l'assentiment que nous devons donner au témoignage sincère sur lequel il est fondé. Lorsque des événements surnaturels sont conformes aux 6ns que se propose celui qui a le pouvoir de changer le cours de la nature , dans un tel temps et dans de telles circonstances, ils peuvent être d'autant plus propres à trouver créance dans nos esprits, qu'ils sont plus au-dessus des observations ordinaires, ou même qu'ils y sont plus opposés. > Les vrais principes de la probabilité des témoignages ayant été ainsi méconnus des philosophes auxquels la raison est principalement redevable de ses progrès, j'ai cru devoir exposer avec étendue les résultats du calcul sur cet important objet. Ici se présente naturellement la discussion d'un argument fameux de Pascal, que Graig, mathématicien anglais » a reproduit sous une forme géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Divinité même , qu'en se conformant à telle chose , on jouira , non pas d'une ou de deux , mais d'une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu'elle ne soit pas infiniment petite, il est clair que l'avantage de ceux qui se conforment à la chose prescrite est infini, puisqu'il est le produit de celte probabilité

par un bien infini ; on ne doit donc point balancer à se procarer cet avantage.

Cet argument est fondé sur le nombre infini des yies heureuses promises au nom de la Divinité par les témoins; il faudrait donc faire ce qu'ils prescrivent » précisément parce qu'ils exagèrent leurs pro* messes au delà de toutes limites, conséquence qui répugne au bon sens. Aussi le calcul nous foit-il voir que celte exagération même affaiblit la probabilité de leur témoignage, au point de la rendre infiniment petite ou nulle. En effet, ce cas revient à celui d'un témoin qui annoncerait la sortie du numéro le plus élevé d'une urne remplie d'un grand nombre de numéros dont un seul a été extrait , et qui aurait un grand intérêt à annoncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment combien cet intérêt affaiblit son témoignage. En n'évaluant qu'à I la probabilité que si le témoin trompe il choisira le plus grand numéro , le calcul donne la probabilité de son annonce plus petite qu'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est l'unité plus la moitié du produit du nombre des numéros, par la probabilité du mensonge considérée à priori ou indépendamment de l'annonce. Pour assimiler ce cas à celui de l'argument de Pascal , il suffit de représenter par les numéros de l'urne tous les nombres possibles de vies heu-

reuses 9 ce qui rend le nombre de ces numéros infini: et d'observer que si les témoins trompent, ils ont le plus grand intérêt, pour accréditer leur mensonge , à promettre une éternité de bonheur. L'expression de la probabilité de leur témoignage devient alors infiniment petite. En la multipliant par le nombre infini de vies heureuses promises» Tinfini disparaît du produit qui exprime l'avantage résultant de cette promesse, ce qui détruit l'argument de Pascal.

Considérons présentement la probabilité de l'ensemble de plusieurs témoignages sur un fait déterminé. Pour fixer les idées , supposons que ce fait soit la sortie d'un numéro d'une urne qui en renferme cent et dont on a extrait un seul numéro. Deux témoins de ce tirage annoncent que le n® 3 est sorti» et l'on demande la probabilité résultante de l'ensemble de ces témoignages. On peut former ces deux hypothèses : les témoins disent la vérité; les témoins trompent. Dans la première hypothèse, le n^ 2 est sorti, et la probabilité de cet événement est 7^. Il faut la multiplier par le produit des véracités des témoins, véracités que nous supposerons être ^ et 75 : on aura donc tjtj^ pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Dans la seconde , le n® â n'est pas sorti, et la probabilité de cet événement est ~^. Mais l'accord des témoins exige alors qu'en cherchant à tromper, ils

choisissent taus deux le numéro 2 sur les 99 numéros non sortis : la probabilité de ce choix » si les témoins ne s'entendent point, est le produit de la fraction -^ par elle-même ; il faut ensuite multi* plier ces deux probabilités ensemble , et par le produit des probabilités -'^ et yô que les témoins trompent ; on aura ainsi ,yôVôr P^^** ^^ probabilité de révénement observé dans la seconde hypothèse. Maintenant on aura la probabilité du fait attesté ou de la sortie du n^ 2, en divisant la probabilité relative à la première hypothèse pour la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses; cette probabilité sera donc f^ , et la probabilité de la non-sortie de ce numéro et du mensonge des témoins sera ji^.

Si Turne ne renfermait que les numéros 1 et 3, on trouverait de la même manière || pour la probabilité de la sortie du n^ 2 » et par conséquent ^ pour la probabilité du mensonge des témoins , probabilité quatre-vingt-quatorze fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien la probabilité du mensonge des témoins diminue ^ quand le fait qu'ils attestent est moins probable en lui-même. En effet, on conçoit qu'alors raccord des témoins , lorsqu'ils trompent , devient plus difficile y à moins qu'ils ne s'entendent, ce que nous ne supposons pas ici.

DE LAPLACE. Il»

Dans le cas précédent où fume ne renfermant que deux numéros» la probabilité à priori du fait attesté est f , la probabilité résultante des témoignages est le produit des véracités des témoins, divisé par ce produit ajouté à celui des probabilités respectives de leur mensonge.

Il nous reste à considérer l'induence dd temps sur la probabilité des faits transmis par une chaioê traditionnelle de témoins. Il est clair que cettâ probabilité doit diminuer h mesure que la cliaiae se prolonge. Si le fait n a aucune probabilité par lui-même, tel que la sortie d'un numéro d'une urne qui en renferme une infinité, celle qu'il acquiert par les témoignages décroît suivant le produit continu de la véracité des témoins. Si le fait a par lui-même une probabilité ; si, par exemple, ce fait est la sortie du n^ 3 d'une urne qui en renferme ud nombre fini , et dont il est certain qu'on a extrait un seul numéro; ce que la chaîne traditionnelle ajoute à cette probabilité décroît suivant un produit continu, dont le premier facteur est le rapport du nombre des numéros de Furne moins un à ce même nombre , et dont chaque aulre facteur est la véracité de chaque témoin, diminuée du rapport de la probabilité de son mensonge au nombre des numéros de l'urne moins un; en sorte que la limite de la probabilité du fait est celle de ce fait oonsi-

dérée à priori oq iDdépendamment des témob gnages » probabililé égale à l'unité divisée par le sombre des numéros de Turne.

L'action du temps affaiblit donc sans cesse la probabilité des faits historiques, comme elle altère les monuments les plus durables. On peut, à la vérité, la ralentir en multipliant et conservant les témoignages et les monuments qui les étayent. L'imprimerie offre pour cet objet un grand moyen malheureusement inconnu des anciens. Malgré les avantages infinis qu'elle procure, les révolutions physiques et morales dont la surface de ce globe sera toujours agitée, finiront, en se joignant à l'effet inévitable du temps , par rendre douteux , après des milliers d'années , les faits historiques aujour* d'hui les plus certains.

Craig a essayé de soumettre au calcul Taffaiblisaement graduel des preuves de la religion chrétienne : en supposant que le monde doit finir à l'époque où elle cessera d'être probable, il trouve que cela doit arriver 1454 ans après le moment où il écrit. Mais son analyse est aussi fautive que son hypothèse sur la durée du monde est bi^rre,

Des choix et des décisions des assemblées.

La probabilité des décision^ d'une assemblée

dépend de'la pluralité des voix, des lumières et de rinipartialilé des membres qui la composent. Tant de passions et d'intérêts particuliers y mêlent si souvent leur influence, qu'il est impossible de soumettre au calcul cette probabilité. Il y a cependant quelques résultats généraux dictés par le simple bon sens, et que le calcul confirme. Si, par exemple, rassemblée est très -peu éclairée sur l'objet soumis à sa décision ; si cet objet exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce point est contraire à des préjugés reçus , en sorte qu'il y ait plus d'un contre un à parier que chaque votant s'en écartera; alors la décision de la majorité sera probablement mauvaise, et la crainte à cet égard sera d'autant plus fondée , que l'assemblée sera plus nombreuse. Il importe donc à la chose pu« blique que les assemblées n'aient à prononcer que sur des objets à la portée du plus grand nombre : il lui importe que l'instruction soit généralement répandue , et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur l'expérience éclairent ceux qui sont appelés à décider du soi't de leurs semblables ou à les gouverner, et les prémunissent d'avance contre les faux aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savants ont de fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.

11 est difficile de connaître et même de définir le vœu d'ane assemblée, au milieu de la variété des opinions de ses membres. Essayons de donner sur cela quelques règles, en considérant les deux cas les plus ordinaires, l'élection entre plusieurs candidats, et celle entre plusieurs propositions relatives au même objet.

Loi*squ'une assemblée doit choisir entre plusieurs candidats qui se présentent pour une ou plusieurs places du même genre, ce qui parait le plus simple est de faire écrire à chaque votant, sur un billet, les noms de tous les candidats, suivant l'ordre du mérite qu'il leur attribue. En supposant qu'il les classe de bonne foi , l'inspection de ces billets fera connaître les résultats des élections, de quelque manière que les candidats soient comparés entre eux; en sorte que de nouvelles élections ne peuvent apprendre rien de plus à cet égard. Il s'agit présentement d'en conclure l'ordre de préférence, que les billets établissent entre les candidats. Imaginons que l'on donne à chaque électeur une urne qui contienne une infinité de boules, au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de mérite des candidats : concevons encore qu'il tire de son urne un nombre de boules proportionnel au mérite de chaque candidat, et supposons ce nombre écrit sur un billet, à côté du nom du candidat. Il est clair

m ESSAI PHILOSOPHIQUE

qu'en faisant une somme de tous les nombres reiatifs à chaque candidat sur chaque billet, celui de tous les candidats qui aura la plus grande somme sera le candidat que rassemblée préfère; et qu'en général Tordre de préférence des candidats sera celui des sommes relatives à chacun d'eux. Mais les billets ne marquent point le nombre des boules que chaque électeur donne aux candidats ; ils indiquent seulement que le premier en a plus que le second $ le second plus que le troisième , et ainsi de suite. En supposant donc au premier, sur un billet donné, un nombre quelconque de boules, toutes les combinaisons des nombres inférieurs qai remplissent les conditions précédentes, sont égale** ment admissibles; et l'on aura le nombre de boul^ relatif à chaque candidat, en faisant uoe somme de tous les nombres que chaque combinaison lui donne , et en la divisant par le nombre entier des combinaisons. Une analyse fort simple fait voir que les nombres qu'il faut écrire sur chaque billet à côté du dernier nom, de ravant^dernier, etc., sont proportionnels aux termes de la progression arithmétique 1 , 2,5, etc. En écrivant donc ainsi sur chaque billet les termes de cette progression , et ajoutant les termes relatifs à chaque candidat sur ces billets, les diverses sommes indiqueront par leur grandeur l'ordre de préférence qui doit être

SUR LES PRÔ13ABIL1ÎËS. m

établi eâtre les candidats. Tel est le mode d*ë* léGtiôQ qu'indique la Théorie des Probabilités. Satis doute il serait le meilleur si chaque électeur inscrivait sur son billet les noms des candidats dans Tordre du mérité qu'il leur attribue. Mais les inté-^ réis particuliers et beaucoup de considérations étrangères au mérite doivent troubler cet ordre » ^t faire placer quelquefois au dernier rang le candidat le plus redoutable à celui que l'on préfère ; ce qui donne trop d'avantage aux candidats d'un médiocre mérite. Aussi l'expérience a-^t-elle fait abandonner ce mode d'élection dans les établissements qui l'avaient adopté.

L'élection à la majorité absolue des suffrages réunit à la certitude de n'admettre aucun des candidats que cette majorité rejette, l'avantage d'exprimer le plus souvent le vœu de l'assemblée. Elle coïncide totijours avec le mode précédent lorsqu'il n'y a que deux candidats. A la vérité, elle expose à l'inconvénient de rendre les élections interminables. Mais l'expérience a fait voir que cet inconvénient est nul, et que le désir général de mettre fin aux élections réunit bientôt la majorité des suffrages sur un des candidats.

hù choix entre plusieurs propositions relatives au même objet, semble devoir être assujetti aux mêmes règles que l'élection entre plusieurs can-

ISJ ESSAI PHILOSOPHIQUE

didats. Mais il existe entre ces deux cas celle diffé-^ rence, savoir : que le mérite d'un candidat n'exclut point celui de ses concurrents; au lieu que si les propositions entre lesquelles il faut choisir sont contraires , la vérité de Tune exclut la vérité des autres. Voici comme on doit alors envisager la question.

Donnons à chaque votant une urne qui renferme un nombre infini de boules » et supposons qu'il les distribue sur les diverses propositions, en raison des probabilités respectives qu'il leur attribue. II est clair que le nombre total des boules exprimant la certitude, et le votant étant , par Thypothèse, assuré que l'une des propositions doit être vraie, il répartira ce nombre en entier sur les propositions. Le problème se réduit donc à déterminer I es combinaisons dans lesquelles les boules seront réparties de manière qu'il y en ait plus sur la première proposition du billet que sur la seconde, plus sur la seconde que sur la troisième , etc. ; à faire les sommes de tous les nombres de boules relatifs a chaque proposition dans ces diverses combinaisons, et à diviser cette somme par le nombre des combinaisons : les quotients seront les nombres de boules que Ton doit attribuer aux propositions sur un billet quelconque. On trouve par l'analyse, qu'en parlant de la dernière proposition pour remonier à la première ,

ces quolients sont entre eux comme les quantités suivantes : 1® l'unité divisée par le nombre des propositions ; 2^ la quantité précédente augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins une ; 5^ cette seconde quantité augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins deux, et ainsi du reste. On écrira donc sur chaque billet ces quantités à c6té des propositions correspondantes ; et en ajoutantlesquantités relatives à chaque proposition sur les divers billets, les sommes indiqueront par leur grandeur l'ordre de préférence que l'assemblée donne à ces propositions.

Disons un mot de la manière de renouveler les assemblées qui doivent changer en totalité, dans un nombre d*années déterminé. Le renouvellement doit-il se faire à la fois, ou convient-il de le partager entre ces années? D'après ce dernier mode, l'assemblée serait formée sous TinQuence des diverses opinions dominantes pendant la durée de son renouvellement; l'opinion qui y régnerait alors serait donc très-probablement la moyenne de toutes ces opinions. L'assemblée recevrait ainsi du temps le même avantage que lui donne l'extension des élections de ses membres à toutes les parties du territoire qu'elle représente. Maintenant , si l'on considère ce que l'expérience n'a que trop fait connaître, savoir : que les élections sont toujours dirigées dans

DE LAPLAGE. 90

le sens le plus exagéré des opinions dominantes ; on sentira combien il est utile de tempérer ces opinions les unes par les autres, au moyen d*ua renouvellement partiel.

De la probabilité des jugements des tribunaux.

L'analyse confirme ce que le simple bon sens nous dicte, savoir: que la bonté des jugements est d'autant plus probable, que les juges sont plus nombreux et plus éclairés. Il importe donc que les tribunaux d'appel remplissent ces deux conditions. Les tribunaux de première instance , plus rapprochés des justiciables, leur offrent Tavantage dun premier jugement déjà probable , et dont ils se contentent souvent, soit en transigeant, soit en se désistant de leurs prétentions. Mais si l'incertitude de l'objet en litige et son importance déterminent un plaideur à recourir au tribunal d'appel, il doit trouver dans une plus grande probabilité d'obtenir un jugement équitable, plus de sûreté pour sa fortune, et la compensation des embarras et des frais qu'une nouvelle procédure entraîne. C'est ce qui n'avait point lieu dans l'institution de l'appel réciproque des tribunaux de département, institution par là trèspréjudiciable aux intérêts des citoyens. II serait peut-être convenable et conforme au calcul des pro-

SUR LES PROBABILITÉS. ISfô

habilités, d'exiger une majorité de deux voix au moins, dans un tribunal d'appel , pour infirmer la sentence du tribunal inférieur. On obtiendrait ce résultat si le tribunal d'appel, étant composé d'un nombre pair de juges, la sentence subsistait dans le cas de l'égalité des voix.

Je vais considérer particulièrement les jugements en matière criminelle.

H faut sans doute aux juges, pour condamner un accusé, les plus fortes preuves de son délit. Mais une preuve morale n'est jamais qu'une probabilité ; et l'expérience n'a que trop fait connaître les erreurs dont les jugements criminels, ceux mêmes qui paraissent être les plus justes ,. sont encore susceptibles.. L'impossibilité de réparer ces. erreurs est le plus, solide argument des philosophes qui ont voulu pros?. crire la peine de mort. Nous devrions donc nous abstenir déjuger , s'il nous fallait attendre l'évidence mathématique. Hais le jugement est commandé par. le danger qui résulterait de l'impunité -du crime. Ce jugement se réduit , si je ne me trompe , à la solution de la question suivante. La preuve du déUt de l'accusé a-t-elle le haut degré de probabilité nécessaire pour que les citoyens aient moins à redouter les erreurs des tribunaux , s'il est innocent et condamné , que ses nouveaux attentats et ceux des malheureux qu'enhardirait l'exemple de son impunité s'il était

coapable et absous? La solution de celte question dépend de plusieurs éléments très-difficiles à connaître. Telle est rimminence du danger qui menacerait la société si l'accusé criminel restait impuni. Quelquefois ce danger est si grand , que le magistrat se voit contraint de renoncer aux formes sagement établies pour la sâreté de Tinnocence. Kais ce qui rend presque toujours la question dont il s'agit insoluble, est l'impossibilité d'apprécier exactement la probabilité du délit et de fixer celle qui est nécessaire pour la condamnation de l'accusé. Chaque juge , à cet égard , est forcé de s'en rapporter h son propre tact. Il forme son opinion , en comparant les divers témoignages et les circonstances dont le délit est accompagné , aux résultats de ses réflexions et de son expérience; et sous ce rapport, une longue habitude d'interroger et déjuger les accusés, donne beaucoup d'avantages pour saisir la vérité au milieu d'indices Souvent contradictoires.

La question précédente dépend encore de la grandeur de la peine appliquée au délit ; car on exige naturellement pour prononcer la mort , des preuves beaucoup plus fortes que pour infliger une détention de quelques mois. C'est une raison de proportionner la peine au délit, une peine grave appliquée à un léger délit devant inévitablement faire absoudre beaucoup de coupables. Une loi qui

donne aux juges la faculté de modérer la peine dans le cas de circonstances atténuantes , est donc conforme à la fois aux principes d'humanité envers le coupable, et à l'intérêt de la société. Le produit de la probabilité du délit par sa gravité étant la mesure du danger que l'absolution de l'accusé peut faire éprouver à la société, on pourrait penser que la peine doit dépendre de cette probabilité. C'est ce que l'on fait indirectement dans les tribunaux ou l'on retient pendant quelque temps l'accusé contre lequel s'élèvent des preuves très-fortes, mais insuffisantes pour le condamner : dans la vue d'acquérir de nouvelles lumières, on ne le remet point sur-le* champ au milieu de ses concitoyens qui ne le rêver* raient pas sans de vives alarmes. Mais l'arbitraire de cette mesure et l'abus qu'on peut en faire l'ont fait rejeter dans les pays où l'on attache le plus grand prix à la liberté individuelle.

Maintenant, quelle est la probabilité que la déci* sion d'un tribunal qui ne peut condamner qu'à une majorité donnée, sera juste, c'est-à-dire conforme à la vraie solution de la question posée ci-dessus? Ce problème important bien résolu, donnera le moyen de comparer entre eux les tribunaux divers. La majorité d'une seule voix dans un nombreux tri* bunal, indique que l'alfaire dont il s'agit est à fort peu près douteuse; la condamnation de l'accusé

it» ESSAI PHILOSOPHIQUE

serait donc alors coniraire aux principes d'humanité, protecteurs de l'innocence. L'unanimité des juges donnerait une très-grande probabilité d'une décision juste ; mais en s'y astreignant, trop de coupables seraient absous. Il faut donc, ou limiter le nombre des juges si l'on veut qu'ils soient unanimes , ou accroître la majorité nécessairepour condamner, lorsque le tribunal devient plus nombreux. Je vais essayer d'appliquer le calcul à cet objet, persuadé qu'il est toujours le meilleur guide lorsqu'on l'appuie sur les données que le bon sens nous suggère. La probabilité que l'opinion de chaque juge est juste, entre comme élément principal dans ce calcul. Cette probabilité est évidemment relative à chaque affaire. Si dans un tribunal de mille et un juges , cinq cent et un sont d'une opinion, et cinq cents sont de l'opinion contraire, il est visible que la probabilité de l'opinion de chaque juge surpasse bien peu j; car en la supposant sensiblement plus grande , une seule voix de différence serait un événement invraisemblable. Mais si les juges sont unanimes, cela indique dans les preuves ce degré de force qui entraîne la conviction; la probabilité de l'opinion de chaque juge est donc alors très-près de l'unité ou de la certitude, à moins que des passions ou des préjugés communs n'égarent à la fois tous les juges. Hors de ces cas , le rapport des voix pour

OU contre Taccusé doit seul déterminer cette probabilité. Je suppose ainsi qu'elle peut varier depuis { jusqu'à l'unité, mais qu'elle ne peut être an-dessous de i. Si cela n'était pas, la décision du tribunal serait insignifiante comme le sort : elle n'a de valeur qu'autant que l'opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu'à l'erreur. C'est ensuite par le rapport des nombres de voix favorables et contraires à l'accusé , que je détermine la probabilité de celte opinion.

Ces données suflBsent pour avoir l'expression générale de la probabilité que la décision d'un tribunal jugeant à une majorité connue, est juste. Dans les tribunaux où, sur huit juges, cinq voix seraient nécessaires pour la condamnation d'un accusé, la probabilité de l'erreur à craindre sur la justesse de la décision , surpasserait ^. Si le tribunal était réduit à six membres qui ne pourraient condamner qu'à la pluralité de quatre voix , la probabilité de Terreur à craindre serait au-dessous de i ; il y aurait donc pour l'accusé un avantage à cette réduction du tribunal. Dans l'un et l'autre cas, la majorité exigée est la même et égale à deux. Ainsi cette majorité demeurant constante, la probabilité de l'erreur augmente avec le nombre des juges : cela est général, quelle que soit la majorité requise, pourvu qu'elle reste la même. En prenant donc pour

règle le rapport arithmétique, raccusé se trouve dans Une position de moins en moins avantageuse, à mesure que le tribunal devient plus nombreux. On pourrait croire que dans un tribunal où l'on exigerait une majorité de douze voix , quel que fât le nombre des juges, les voix de la minorité, neutralisant un pareil nombre des voix de la majorité , les douze voix restantes représenteraient l'unanimité d'un jury de douze membres, requise en Angleterre pour la condamnation d'un accusé; mais on serait dans une grande erreur. Le bon sens fait voir qu'il y a différence entre la décision d'un tribunal de deux cent et douze juges dont cent et douze condamnent l'accusé, tandis que cent l'absolvent ^ et celle d'un tribunal de douze juges unanimes pour la condamnation. Dans le premier cas, les cent voix favorables à l'accusé autorisent à penser que les preuves Jioni loin d'atteindre le degré de force qui entraîne la conviction; dans le second cas, l'unanimité des juges porte à croire qu'elles ont atteint ce degré. Biais le simple bon sens ne suflSt point pour apprécier l'extrême différence de la probabilité de l'erreur dans ces deux cas. Il faut alors recourir au calcul, et Ton trouve un cinquième à peu près pour la probabilité de Terreur dans le premier cas , et seulement ^ pour cette probabilité dans le second cas, probabilité qui n'est pas un millième de la première.

SUR LES PROBABILITÉS. i6l

C'est une confirmation du principe que le rapport arithmétique e&t défavorable à l'accusé quand le nombre des juges augmente. Au contraire , si Ton prend pour règle le rapport géométrique, la pro* biibilité de Terreur de la décision diminue quand le; nombre des juges s'accroit. Par exemple, dans les tribunaux qui ne peuvent condamner qu'à la pluralité des deux tiers des voix , la probabilité de Terreur à craindre est à peu près un quart, si le nombre des juges est six : elle est au-dessous dé I , si ce nombre s'élève à douze. Ainsi , l'on ne doit se régler, ni sur le rapport ariihmétique, ni $ur le rapport géométrique , si l'on veut que la pro* babîlité de l'erreur ne soit jamais au-dessus ni audessous d'une fraction déterminée.

Mais à quelle fraction doit-on se fixer? c'est ici que l'arbitraire commence, et les tribunaux offrent à cet égard de grandes variétés. Dans les tribunaux spéciaux où cinq voix sur huit sufiisenr pour la condamnation de l'accusé, la probabilité de l'erreur à cjcailidre sur la bonté du jugement est nV ou au^ dessus de \* La grandeur de cette fraction est effrayante; mais ce qui doit rassurer un peu , est la considération que le plus souvent le juge qui absout un accusé ne le regarde pas comme innocent : il prononce seulement qu'il n'est pas atteint par des preuves suffisantes pour qu'il soit condamné. On

DE LAPLAGE. 2L

iet ESSAI PHILOSOPHIQUE

esl surtom rdssuré par b pitié que la nature a mise dans le oœnr de Thomme, et qui dispose Tesprit à voir diflficileinent un coupable dans l'accusé soumis à son jugepient. Ce sentiioeoty plus vif dans ceui qui n'ont point Thabitude des jugements criminels, compense les inconvénients attachés à Tinexpérience des jurés. Dans un jury de douze membres, si la pluralité exigée pour la condamnation est de huit voix sur douze, la probabilité de Terreur à cnaindre est ^^, ou un peu plus grande qu'un huitième; elle est h peu près rï , s> cette pluralité est de neuf voix. Daps le cas de l'unaniinité, la probabilité de Terreur à craittdre est rirr » c'est-à«dire plus de mille fois moindre que dans nos jurys. Cela suppose que Tunanimité résulte uniquement des preuves favorables ou contraires à Taccusé; mais des motifs ^Qrtièrement étrangers doivent souvent concourir à la produire, lorsqu'elle est imposée au jury comme une condition nécessaire de son jugement. Alors ses décisions dépendant du tempérament, du caractère, des habitudes des jurés, et des circonstances où ils se trouvent, elles sont quelquefois contraires aux décisions que la majorité du jury aurait prises s'il n'eût écouté que les preuves; ce qui me parait être un grand défaut, de cette manière de juger.

La probabilité des décisioi)s est trop faible daii9 nos jurys, et je pense que pour donner une garantie

SUR LBS PROBABIUTËS. 163

suISsanie à l'i&BOceDCe, on doit exigtsr au moias la plnralité de neqf voix qur douze,

D$s tables de mortalité ^ et des durées moyennes de la vie, des mariages el des associations quelconques.

La maBière de former les ubles de mortalitd est fort simple. On prend dans les registres civils un (prand nombre d'individus dont la naissance et la mort soient indiquées. On détermine combien de ces-individus sont morts dans la première année de leur âge, combien dans la seconde année , et ainsi de suite. On en conclut le nombre d'individus vivants au commencement de chaque année , et Ton écrit ce nombre dans la table à côté de celui qui indique Tannée. Ainsi Ton écrit à côté de zéro le nombre des naissances ; à côté de Tannée 1 » le nombre des enfants qui ont atteint une année ; à côté de Tannée % le nombre des enfants qui ont atteint deux années, et ainsi du reste. Biais comme dans les deux premières années de la vie la mortalité est très-rapide, il faut, pour plus d'exactitude, indiquer dans ce premier âge le nombre des survivants à la fin de chaque demi-année.

Si Ton divise la somme des années de la vie de tous les individus inscrits dans une table de morta-

i64 ESSAI PHILOSOPHIQUE

litë par le nombre de ces individus, on aura la durée moyenne de la vie qui correspond à cette table. Pour cela y on multipliera par une demi-année le nombre des morts dans la première année, nombre égal à la différence des nombres d'individus inscrits à côté des années eti. Leur mortalité devant être répartie sur Tannée entière, la durée moyenne de leur vie n'est qu'une demi-année. On multipliera par une année et demie le nombre des morts dans la seconde année ; par deux années et demie, le nombre des morts dans la troisième année, et ainsi de suite. La somme de ces produits, divisée par le nombre des naissances, sera la durée moyenne de la vie. Il est facile d'en conclure que Ton aura cette durée, en formant la somme des nombres inscrits dans la table à côté de chaque année , en la divisant parle nombre des naissances, et en retranchant nn demi da quotient, l'année étant prise pour unité. La durée moyenne de ce qui reste à vivre, en par* tant d'un âge quelconque, se détermine de la même manière , en opérant sur le nombre des individus qui sont parvenus à cet âge, comme on vient de le faire sur le nombre des naissances. Ce n'est point an moment de la naissance que la durée moyenne de la vie est la plus grande ; c'est lorsqu'on a échappé aux dangers de la première enfance , et alors elle est d'environ quarante-trois ans. La probabilité d'ar-

$UR LES PROBÀBIUTES. i6â

river à un âge quelconque en partant d'un âge ctonnë, est égale au rapport des deux nombres d'individus indiqués dans la table à ces deux âges.

La précision de ces résultats exige que^ pour la formation des tables, on emploie un très-grand nombre de naissances. L'analyse donne alors des formules très-simples pour apprécier la probabilité que les nombres indiqués dans ces tables ne s'écarteront de la vérité que dans d'étroites limites. On voit, par ces formules, que l'intervalle des limites diminue et que la probabilité augmente à mesure que Ion considère plus de naissances; en sorte que les tables représenteraient exactement la vraie loi de la mortalité si le nombre des naissances employées devenait infini.

Une table de mortalité est donc une table des probabilités de la vie humaine. Le rapport des individus inscrits à côté de chaque année, au nombre des naissaûces, est la probabilité qn'un nouveau-né atteindra celte année. Comme on estime la valeur, de l'espérance, en faisant une somme des produits de chaque bien espéré par la probabilité de l'obtenir^ on peut également évaluer la durée moyenne de la vie, en ajoutant les produits de chaque année, par la demi-somme des probabilités d'en atteindre le commencement et la fin; ce qui conduit au résultat trouvé ci-dessus. Mais cette manière d'envisager

166 ESSAI PHILOSOraïQW

la durée moyeDiie de la vie a ravautàge dé foire voir que , dans une population statiomiaire, c^est^àdire telle que le nombre des naissances égale celni des morts, la durée moyenne de la vie est le rap« port même de la population aux naissances annuelles ; car la population étant supposée station* naire, le nombre des individus d'un Age compris entre deux années consécutives de la table est égal au nombre des naissances annuelle, multiplié par la demi-somme des probabilités d'atteindre ces an« nées; la somme de tous ces produits sera donc la population entière : or il est aisé de voir que cette somsie, divisée par le nombre des naissances annuellesy coïncide avec la durée moyenne de la vie» telle que nous venons de la définir.

Il est facile» au moyen d'une table de mortalité » de former la table correspondante de la population supposée stationnaire. Pour cela, on prend des moyennes arithmétiques entre les nombres de la table de mortalité correspondants aux âges zéro et an an, un et deux ans, deux et trois ans, etc. La somme de toutes cfs moyennes est la population entière: on Técritàcôté de Tâge zéro. On reti*anclie de cette somme la première moyenne, et le reste est le nombre des individus d'un an et au-dessus : on récrit à côté de l'année 1. On retranche de ce premier reste la seconde moyenne ; ce second reste

SUR LES PROBABIUTÊS. 4«7

esi le nombre des iiidmdiis de deux aanëet et ai^ dessus : on reprit à tèié de Vannée 3, et ainsi de suite.

Tant de causes variables influent sur la roontalité^ que les tables qui la représentent doivent changer suivant les lieux et les temps. Les divers états de la vie offrent, à cet égard, des différences seiisibles relatives anx fatigues et air|^ dangers inséparables de obaque état, et dont il est indispensable dé tenir compte dans les calonis fondés sur la durée de la vie. Mais ces différehces nont pas été suffisamment observées. Elles le seront un jour : alors on saura quel sacrifice de la vie chaque profession exige, et l'on profitera des connaissances pour en diminuer les daogers.

La salubrité plus ou moins grande du sol, son élév^ion, sa température, les mosurs des habitants, et le^ q>ératian& des gouvernements ont sur la morlaUlié une isHnence considérable. Mais il faut toujours hive précéder la recherche de la cause des différences observées par celle de la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée. Ainsi le rap« port de la population aux naissances annuelles, que Ton a vu s'élever en France à vingt-huit et un tiers, n'est pas égal à vingt-cinq dans l'aqcien duché de Milan.. Ces rapports, établis l'un et l'autre sur un grand nombre de naissances, ne permettent pas de

révoquer en donte l'existence, dans le Milanais, d'une cause spéciale de mortalité, qu'il importe au gouvernement de ce pays de rechercher et de faire disparaître.

Le rapport de la population aux naissances s'accroîtrait encore si Ton parvenait à diminuer où i éteindre quelques maladies dangereuses et trèsrépandues. C'est ce que Ton a fait henreusemént pour la petite vérole, d'abord par l'inoculation de cette maladie, ensuite, d'une manière beaucoup plus avantageuse, par l'inoculation de la vaccine, découverte inestimable de Jenner, qui par là s'est rendu l'un des plus grands bienfaiteurs de l'humanité.

La petite vérole a cela de particulier, savoir : que le même individu n'en est pas deux fois atteint, ou du moins, ce cas est si rare, que l'on peut en faire abstraction dans le calcul. Cette maladie, à laquelle peu de mondé échappait avant la découverte de la vaccine, est souvent mortelle et foit périr un septième environ de ceux qu'elle attaque. Quelquefoiis elle est bénigne, et l'expérience a faii connaître qu*on lui donnait ce dernier caractère en l'inoculant sur des personnes saines, préparées pat* un bon régime, et dans une saison favorable. Alors le rapport des individus qu'elle fait périr, aux inoculés, n'est pas un trois-centième. Ce grand avan-

SUR LES PROBABIUTËS. 109

tage de rinocuiatîon, joint à ceux de ne point altérer la beauté, et de préserver des suites fâcheuses que la petite vérole mtturelle entraîne souvent après elle, la fit adopter par un grand nondire de per* sonnes. Sa pratique fut vivement recounuandée ; mais, ce qui arrive presque toujours dans les choses sujettes à des inconvénients, elle fut vivement combattue. Au milieu de cette dispute, Daniel BernoutUi se proposa de soumettre au calcul des probabilités rinfluence de ('inoculation sur la durée moyenne de la vie. Manquant de données précises sur la morta* ïi%é produite par la petite vérole a«}^ divers âges de la vie, il supposa que le danger d'avoir cette maladie et celui d'en périr sont les mêmes à tout âge. Au moyen de ces suppositions, il parvint par une analyse délicate à convertir une table ordinaire de mortalité dans celles qui auraient lieu si la petite vérole n'existait pas, on si elle ne faisait périr qu'un très-petit nombre de malades, et il en conclut que l'inoculation augmenterait de trois ans au moins la durée moyenne de la vie; ce qui lui parut mettre hors de doute l'avantage de cette opération. D'Alembert attaqua l'analyse de Bernouilli ; d'abord sur riaoertitude de ses deux hypmhèses, ensuite sur son îAsuftsance, en ce que l'on n'y faisait point entrer la comparaison d'un danger prochain, quoique très-petit, de périr par l'inoculation, au danger

no ESSAI PHILOSOPHIQUE

beaucoup plus graud, mais plus éloigoé, de succomber à la petite vérole naturelle. Cette considéralion, qui disparait lorsqu'on considère un grand nombre d'individus, est par là indifférente aux gouvernements, et laisse subsister pour eux les avantages de l'inoculation; mais elle est d'un grand poids pour un père de famille qui doit craindre, en faisant inoculer ses enfants, de voir périr ce qu*il a de plus cher au monde, et d'en être la cause. Beaucoup de parents étaient retenus par cette crainte que la découverte de la vaccine a heureusement dissipée. Par un de ces mystères que la nature nous offre si fréquemment , le vaccin est -un préservatif de la petite vérole, aussi sûr que le virus variolique, et il n'a aucun danger : il n'expose à aucune maladie et ne demande que très-peu de soins. Aussi sa pratique s'esl-elle promplement répandue ; et pour la rendre universelle il ne reste plus à vaincre que l'inertie naturelle du peuple, contre laquelle il faut lutter sans cesse, même lorsqu'il s'agit de ses plus chers intérêts.

Le moyen le plus simple de calculer l'avantage que produirait l'extinction d'une maladie , consiste à déterminer par l'observation le nombre d'individus d'un âge donné qu'elle fait périr chaque années et à le retrancher du nombre des morts au même âge. Le rapport de la différence au nombre total d'indi-

vidos de l'âge donné, serait la probabilité de périr dans Tannée à cet âge, si la maladie n existait pas. En faisant donc une somme de ces probabilités depuis la naissance jusqu'à un âge quelconque, et retranchant cette somme de l'unité, le reste sera la probabilité de vivre jusqu'à cet âge, correspondante à Textinction de la maladie. La série de ces probabilités sera la table de mortalité relative à cette hypothèse, et l'on en conclura , par ce qui précède, la durée moyenne de la vie. C'est ainsi que Duvilard a trouvé que Taccroîssement de la durée moyenne de la vie , du à Tinoculation de la vaccine, est de trois ans au moins. Un accroissement aussi considérable en produirait un fort grand dans la population, si d'ailleurs elle n'était pas restreinte par la diminution relative des subsistances.

G est principalement par le défaut des subsistances , que la marche progressive de la population est arrêtée. Dans toutes les espèces d'animaux et de végétaux, la nature tend sans cesse à augmenter le nombre des individus, jusqu'à ce qu'ils soient au niveau des moyens de subsister. Dans l'espèce humaine , les causes morales ont une grande influence sur la population. Si le sol , par de faciles défrichements , peut fournir une nourriture abondante à des générations nouvelles , la certitude de faire vivre une nombreuse famille encourage les mariages et

les rend plus précoces et plus féconds. Sur un sol pareil » la population et . les naissances doivent croître à la fois en progression géométrique. Mais quand les défrichements deviennent plus difficiles et plus rares^ alors Taccroissemenl de la population diminue : elle se rapproche continuellement de Tétat variable des subsistances, en faisant autour de lui des oscillations à peu près comme un peu* dule dont on promène, d'un mouvement retardé, le point de suspension» oscille autour de ce point par sa pesanteur II est difficile d'évaluer le maximum d'accroissement de la population; il parait, d'après quelques observations, que dans de favorables circonstances la population de l'espèce humaine pourrait doubler tous les quinze ans. On estime que dans l'Amérique septentrionale la période de ce double* ment est de vingt-deux années. Dans cet état de choses, la population, les naissances, les mariages, la mortalité, tout croit suivant la même progression géométrique dont on a le rapport constant des termes consécutifs, par l'observation des naissances annuelles à deux époques.

Une table de mortalité représentant les probabilités de la vie humaine, on peut déterminer à son moyen la durée des mariages. Supposons, pour simplifier, que la mortalité soit la même pour les deux sexes, on aura la probabilité que le mariage siibsis-

SUH LES PROBABIUTËS. ilZ

fera un an, ou deux, au trois, etc., en formant une suite de fractions dont le dénominateur commun soit le produit des deux nombres de la table corres* pondants aux âges des conjoints, et dont les numérateurs soient les produits successifs des nombres correspondants à ces âges augmentés d'une, de deux, de trois, etc., années. La somme de ces fractions , augmentée d un demi , sera la durée moyenne du mariage , l'année étant prise pour unité. Il est facile d'étendre la même règle à la durée moyenne d'une association formée de trois ou d'un plus grand nombre d'individus.

Des bénéfices des élahUssements qui dépendent de la probàbiKté des événements.

Rappelons ici ce que nous avons dit en parlant de l'espérance. On a vu que pour obtenir l'avantage qui résulte de plusieurs événements simples dont les uns produisent un bien et les autres une perte, il faut ajouter les produits de la probabilité de chaque événement favorable par le bien qu'il pror cure, et retrancher de leur somme celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable, par la perte qui y est attachée. Hais quel que soit l'avantage exprimé par la différence de ces sommes, un seul événement composé de ces événe-

ments simples ne garanlit point de la crainte d*éprouver une perte. On conçoit que cette crainte iloit diminuer lorsque Ton multiplie révënement composé. L'analyse des probabilités conduit à ce iliéorème général.

Par la répétition d'un événement avantageux»

simple ou composé , le bénéfice réel devient de plus en plus probable et s'accroît sans cesse : il devient certain dans l'hypothèse d'un nombre infini de répétitions ; et en le divisant par ce nombre, le quotient ou le bénéfice moyen de chaque événement est l'espérance mathématique elle-même, ou l'avantage relatif à l'événement. 11 en est de même de la perte qui devient certaine à la longue » pour peu que l'événement soit désavantageux.

Ce théorème, sur les bénéfices et les pertes, est analogue à ceux que nous avons donnés précédemment sur les rapports qu'indique la répétition indéfinie des événements simples ou composés ; et, comme eux, il prouve que la régularité finit par s'établir dans les choses mêmes les plus subordonnées à ce que nous nommons hasard.

Lorsque les événements sont en grand nombre, l'analyse donne encore une expression fort simple de la probabilité que le bénéfice sera compris dans des limites déterminées, expression qui rentre dans la loi générale de la probabilité, que nous avons

SUR LES PROBABILITÉS. i75

donnée ci-dessus, en parlant des probabilités qui résultent de la multiplication indéfinie des événe« ments.

C'est de la vérité du théorème précédent que dépend la stabilité des établissements fondés sur les probabilités. Mais pour qu'il puisse leur être appliqué, il faut que ces établissements, par de nombreuses affaires, multiplient les événements avantageux.

On a fondé sur les probabilités de la vie humaine divers établissements, tels que les rentes viagères et les tontines. La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices et les charges

de ces établissements , consiste à les réduire en capitaux actuels. L'intérêt annuel de l'unité est ce que l'on nomme taux de VintiriL A la fin de chaque année, un capital acquiert pour facteur l'unité, plus le taux de l'intérêt ; il croît donc suivant une progression géométrique dont ce facteur est la rai> son. ÂinM, par l'effet du temps, il devient immense. Si, par exemple, le taux de l'intérêt est -^ ou de cinq pour cent , le capital double à fort peu près en quatorze ans, quadruple en vingt-neuf ans, et dans moins de trois siècles, il devient deux millions de fois plus considérable.

Un accroissement aussi prodigieux a fait naître l'idée de s'en servir pour amortir la dette publique.

i76 ESSAI PHILOSOraïQUË

On forme pour cela une caisse d'amortissement à laquelle on consacre un fonds annuel employé au rachat des effets publics, et sans cesse accru de rîntérét des effets rachetés. Il est clair qu'à la longue 9 cette cuisse absorbera une grande partie de la dette naticoale* Si , lorsque les besoins de TËiat obligent k faire un emprunt , on consacre une paitie de cet emprunt à raccroîssement du fonds annuel d'amoriissement « les variations des effets publics seront moindres; la confiance des préteurs, et la probabilité de retirer sans perte le capital prêté, quand on le désire, en seront augmentées, et rendront les conditions de Temprunt moins onéreuses. D'heureuses expériences ont pleinement confirmé ces avantages. Mais la fidélité dans les engagements et la stabilité, si nécessaires au succès de pareils établissements, ne peuvent être bien garanties que par un gouvernement dans lequel la puissance législative est divisée en plusieurs pouvoirs iHd^[>«idants. La confiance qu'inspire le concours nécessaire de ces pouvoirs, double la force de l'État; et le souverain lui-même gagne alors en puissance légale beaucoup plus qu'il ne perd en puissance arbitraire.

Il résulte de ce qui précède, que le capital actuel équivalant à une somme qui ne doit être payée qu'après un certain nombre d'années, est égal à

SUft LES PROBABILITÉS. 177

cette somme multipliée par la probabilité qu'elle sera payée à cette époque et divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt et élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.

Il est facile d'appliquer ce principe aux rentes viagères sur une ou sur plusieurs têtes, et aux caisses d'épargne et d'assurance d'une nature quelconque. Supposons que l'on se propose de former une table de rentes viagères, d'après une table donnée de mortalité. Une rente viagère, payable au bout de cinq ans, par exemple, et réduite en capital actuel, est, par ce principe, égale au produit des deux quantités suivantes, savoir: la rente divisée par la cinquième puissance de l'unité augmentée du taux de l'iniérêl, et la probabilité de la payer. Cette probabilité est le rapport inverse du nombre des individus inscrits dans la table, vis-à-vis de lage de celui qui constitue la rente, au nombre inscrit vis^à-vis de cet âge augmenté de cinq années. En formant donc une suite de fractions dont les dénominateurs soient les produits du nombre de personnes indiquées dans la table de mortalité, comme vivantes à l'âge de celui qui constitue la rente, par les puissances successives de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et dont les numérateurs soient les produits de la rente, par le nombre des personnes vivantes au même âge augmenté

DE LAPLACC. SS

successivement d'une année, de deux années, etc., la somme de ces fractions sera le capital requis pour la rente viagère à cet âge«

Supposons maintenant qu'une personne veuille , au moyen d'une rente viagère, assurer à ses héritiers un capital payable à la fin de l'année de sa mort. Pour déterminer la valeur de cette rente, on peut imaginer que la personne emprunte en viager à une caisse ce capital , et qu'elle le place à intérêt perpétuel à la même caisse* Il est clair que ce capital sera dû par la caisse, ù ses héritiers, à la fin de l'année de sa mort; mais elle n'aura payé, chaque année, que l'excès de l'intérêt viager sur l'intérêt perpétuel. La table des rentes viagères fera donc connaître ce que la personne doit payer annuellement à la caisse , pour assurer ce capital après sa mort.

Les assurances maritimes, celles contre les incendies et les orages , et généralement tous les établis^ sements de ce genre, se calculent par les mêmes principes. Un négociant a des vaisseaux en mer, il veut assurer leur valeur et celle de leur cargaison contre les dangers qu'ils peuvent courir; pour cela» il donne une somme à une coxopagnie qui lui répond de la valeur estimée de ses cargaisons et de ses vaisseaux. Le rapport de cette valeur à la somme qui doit être donnée pour prix de l'assurance ,

dépend des dangers auxquels les vaisseaux soni exposés, et ne peut être apprécié que par des observations nombreuses sur le sort des vaisseaux partis du port pour la même destination.

Si les personnes assurées ne donnaient à la compagnie d'assurance que la somme indiquée par le calcul des probabilités, cette compagnie ne pourrait pas subvenir aux dépenses de son établissement ; il faut donc qu'elles payent d'une somme plus forte le prix de leur assurance. Mais alors quel est leur avantage? G*esi ici que la considération du désavantage moral attaché à l'incertitude, devient nécessaire. On conçoit que le jeu le plus égal deve« nant, comme on l'a vu précédemment, désavantageux, parc4{ que le joueur échange une mise cer^ taine contre un bénéfice incertain; l'assurance par laquelle on échange l'incertain contre le certain , doit être avantageuse. C'est en effet ce qui résulte de la règle que nous avons donnée ci-dessus pour déterminer Tespérance morale, et par laquelle on voit de plus jusqu où peut s'étendre le sacrifice que l'on doit faire à la compagnie d'assurance, en conservant toujours un avantage moral. Cette compagnie peut donc, en procurant cet avantage, faire elle* même un grand bénéfice, si le nombre des assurés e^ très-considérable, condition nécessaire à soft existence durable. Alors son bénéfice devient cer-

tain , et ses espérances mathématiques et moraies coïncident; car l'analyse conduit à ce théorème général, savoir, que si les expectatives sont trèsnombreuses , les deux espérances approchent sans cesse Tune de l'autre , et finissent par coïncider dans le cas d'un nombre infini d'expectatives.

Nous avons dit, en parlant des espérances mathématique et morale, qu'il y a un avantage moral à répartir les risques d'un bien que l'on attend sur plusieurs de ses parties. Ainsi , pour faire pai*venir une somme d'argent d'un port éloigné , il vaut mieux la répartir sur plusieurs vaisseaux, que de l'exposer sur un seul. C'est ce que l'on fait au moyen des assurances mutuelles. Si deux personnes ayant chacune la même somme sur deux vaisseaux différeols, partis du même port pour la même destination, couviennent de partager également tout l'argent qui leur arrivera, il est clair que par cette convention chacune d'elles répartit également sur les deux vaisseaux la somme qu'elle attend. A la vérité, ce genre d'assurance laisse toujours de l'incertitude sur la perte que l'on peut craindre. Mais cette incertitude diminue à mesure que le nombre des associés augmente; l'avantage moral s'accroît de plus en plus, et finit par coïncider avec l'avantage mathématique , sa limite naturelle. Gela rend l'as^ SQciation d'assurances mutuelles, lorsqu'elle est

SUR LES PROBABILITËS. 181

très-nombreuse, plus avantageuse aux assurés, que les compagnies d'assurances qui , à raison du bénéfice qu'elles font, donnent un avantage moral toujours inférieur à l'avantage mathématique. Mais la surveillance de leur administration peut balancer ravantage des assurances mutuelles. Tous ces résultats sont, comme on l'a vu précédemment , indépendants de la loi qui exprime l'avantage moraU

On peut envisager un peuple libre , comme une grande association dont les membres se garantissent mutuellement leurs propriétés , en supportant proportionnellement les 'charges de cette garantie. La confédération de plusieurs peuples leur donnerait des avantages analogues à ceux que chaque individu retire de la société. Un congrès de leurs représentants discuterait les objets d'une utilité commune à tous, et sans doute le système des poids, des mesures et des monnaies , proposé par les savants français, serait adopté dans ce congrès, comme une des choses les plus utiles aux relations commerciales.

Parmi les établissements fondés sur les probabilités de la vie humaine, les meilleurs sont ceux dans lesquels, au moyen d'un léger sacrifice de son revenu , on assure son existence et celle de sa famille pour un temps où l'on doit craindre de ne plus suffire à ses besoins. Autant le jeu est immoral ,

autant ces étabUssemenls sont avaotageux aux mœurs, en faTorisant les plus doux penchants de la nature. Le gouvernement doit donc les encourager et les respecter dans les yicissitudes de la fortune publique, car les espérances qu'ils présentent» portant sur un avenir éloigné, ils ne peuvent pros^ I>érer qu'à labri de toute inquiétude sur leur durée. C'est un avantage que Tinstitulion du gouvernement représentatif leur assure.

Disons un mot des emprunts. Il est clair que pour emprunter en perpétuel, il faut payer, chaque année, le produit du capital par le taux de l'intérêt. Maison peut vouloiracquitter ce capital en payements égaux faits pendant un nombre déterminé d*années, payements que Ton nomme annuilés, et dont on obtient ainsi la valeur. Chaque annuité, pour être réduite an moment actuel , doit être divisée par une puissance de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, égale au nombre des années après lesquelles on doit payer cette annuité. En formant donc une progression géométrique dont le premier terme soit l'annuité divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et dont le dernier soit cette annuité divisée par la même quantité élevée à une puissance égale au nombre des années pendant lesquelles le payement doit avoir lieu, la somme de cette progression sn*a équivalente au capital emprunté ; ce qui dé-

termine la valeur de rannaité. Une caisse d'amortissement n'est nu fond qu'un moyen de convertir en annuités une rente perpétuelleiavec la seule différence que, dans le cas dun emprunt par annuités, l'intérêt est supposé constant, au lieu que l'intérêt des rentes acquises par la caisse d'amortissement est variable* S'il était le même dans ces deux cas, l'an* fiuité correspondante aux rentes acquises serait formée de ces restes , et de ce que l'État donne annuellement à ia caisse.

Si l'on veut faire un emprunt viager, on observera que les tables de rentes viagères donnant le capital requis pour constituer une rente viagère à un âge quelconque, une simple proportion donnera la rente que l'on doit faire à Tindivida dont on emprunte un capital. On peut calculer par ces principes tous les modes possibles d'emprunt.

Les principes que nous venons d'exposer sur les bénéfices et sur les pertes des établissements, peuvent servir à déterminer le résultat moyen d'un nombre quelconque d'observations déjù faites, lorsqu'on veut avoir égard aux écarts des résultats correspondants aux diverses observations. Désignons par X la correction du résultat le plus faible, et par x augmenté successivement de g, g , q", etc., les corrections des résultats suivants. Nommons ^, /, i\ etc., les erreurs dès observaiions dont nous supposerons

la loi de probabilité connue. Chaque observation étant une fonction du résultat , il est facile de voir qu'en supposant très-petite la correction x de ce résultat, l'erreur e de la première observation sera égale au produit de x par un coefficient déterminé. Pareillement Terreur s de la seconde observation sera le produit de la somme q plus x , par un coefficient déterminé , et ainsi du reste. La probabilité de Terreur s étant donnée par une fonction connue» elle sera exprimée par la même fonction du premier des produits précédents. La probabilité de s sera exprimée par la même fonction du second de ces produits, et ainsi des autres. La probabilité de Texistence simultanée des erreurs f , £\ e\ etc., sera donc proportionnelle au produit de ces diverses fonctions, produit qui sera une fonction de x. Cela posé, si Ton conçoit une courbe dont x soit Tabscisse» et dont l'ordonnée correspondante soit ce produit, cette courbe représentera la probabilité des diverses valeurs de x^ dont les limites seront déterminées par les limites des erreurs f, f , etc. Maintenant, désignons par X l'abscisse qu'il faut choisir ; X diminué de x sera Terreur que Ton commettrait si Tabscisse x était la véritable correction. Cette erreur, multipliée par la probabilité de x ou par l'ordonnée correspondante de la courbe, sera le produit de la perte par sa probabilité, en regar-

dant , comme on doit ie faire , cette erreur comme une perle attachée au choix de X. En muitipliant ce produit par la différentielle de a?, l'intégrale prise depuis la première extrémité de la courbe jusqu'à X» sera le désavantage de X, résultant des valeurs de X inférieures à X. Pour les valeurs de x supérieures à Xy a; moins X serait Terreur de X si a; était la véritable correction ; l'intégrale du produit de x par l'ordonnée correspondante de la courbe et par la différentielle de x sera donc le désavantage de X, résultant des valeurs de x supérieures à Xy cette intégrale étant prise depuis x égal à X jusqu'à la dernière extrémité de la courbe. En ajoutant ce désavantage au précédent, la somnle sera le désavantage attaché au choix de X. Ce choix doit être déterminé par la condition que ce désavantage soit un minimutn; et un calcul fort simple montre que pour cela, X doit être l'abscisse dont l'ordonnée divise la courbe en deux parties égaies, en sorte qu'il est aussi probable que la vraie valeur de x tombe en deçà qu'au delà de X.

Des géomètres célèbres ont choisi pour X la valeur de x la plus probable , et par conséquent celle qui correspond à la plus grande ordonnée de la courbe; mais la valeur précédente me parait être évidemment celle que la théorie des probabilités indique.

DE LAPLAGE. 'à\

IW ESSAI PHILOSOPHIQUE

Des illusions dans t estimation des probabilités.

L'esprit a ses illusions, comme le sens de la vne; et de même que le tonner corrige cellés*ci, la réflexion et le calcul corrigent les première^. La probabilité fondée sur une expérience joe^rnalière, ou exagérée par la crainte et par l'espérance, nous frappe plus qu*ime probabilité supérieure, mais qui n'est qu'un simple résultat du calcul. Ainsi nous ne craignons point pour de faibles avantages, d'exposer notre vie à des dangers beaucoup moins invraisemblables que la sortie d'un quine à la loterie de France ; et cependant personne ne voudrait se procurer les mêmes avantages, avec la certitude de perdre la vie si ce quine amvait.

Nos passions, nos préjugés et les opinions dominantes, en exagérant les probabilités qui leur sont favorables, et en atténuant les probabilités contraires, sont des sources abondantes d'illusions dangereuses. -^ ^ ..r^''\y^''

Les maux présents et la cause qui les fart naître, nous afleclent beaucoup plus que le souvenir des maux produits par la cause contraire ; ils nous empêchent d'apprécier avec justesse les inconvé* nients des uns et des autres , et la probabilité des moyens propres h nous en préserver. C'est ce qui porte alternativement vers le despotisme et vers

SUR LBS PROBABILITÉS. mi

Fanarcbie les peuples sortis de l'état de repos, dans lequel ils ne reotrent jamais qu'après de longues et cruelles agitations.

Cette impression vive que nous recevons de la .^ ^ présence des événemcaits, et qui nous laisse à peine remarquer les événements contraires observés par d'autres, est une cause principale d'erreur dont on 06 peut trop se garantir.

C'est principalement au jeu qu'une foule d'illusions entretient Tespérance et la soutient contre les chances défavorables, La pfupa^f dé ceux qui mettent aux loteries, ne savent pas combien de chances sont à leur avantage, combien leur s<Hit contraires. Us n'envisagent que la possibilité» pour une mise légère, de gagner une somme considérable; et les projets que leur imagiBation enfant)|f, exagèrent à leurs yéui la probabilité de l'obtenir : le pauvre ^liiHout, excité par le désir d'un meilleur sort^^^j^^ expose à ce jeu son nécessaire, en s'atta^snantaux combinaisons les plus défavorables, qui lui promettent un grand bénéfice. Tous seraient sans doute , effrayés du nombre immense des mises perdues^ s'ils pouvaient les connaître; mais on prend soin, au contraire, de donner aux gains uqe grande publicité, qui devient une nouvelle cause d'excitation à ; i. ce jeu funeste.

Lorsqu'à la loterie de France un numéro n'est pas

sorti depuis longtemps, la foule s'empresse de le couvrir de mises. Elle juge que le numéro resté longtemps sans sortir doit, au prochain tirage, sortir de préférence aux autres. Une erreur aussi commune me parait tenir à une illusion par laquelle on se reporte involontairement à l'origine des événements. Il est, par exemple, très-peu vraisemblable qu'au jeu de croix ou pile on amènera croix dix fois de suite. Celte invraisemblance, qui nous frappe encore lorsqu'il est arrivé neuf fois , nous porte à croire qu'au dixième coup pHe arrivera. Cependant le passé, en indiquant dans la pièce une plus grande pente pour croix que pourpife^ rend le premier de ces événements plus probable que l'autre : il augmente, comme on l'a vu, la probabilité d'amener croix au coup suivant. Une illusion semblable per-suade à beaucoup de monde que l'on peut gagner sûrement à la loterie, en plaçant chaque fois sur un même numéro jusqu'à sa sortie, une mise dont le produit surpasse la somme de toutes les mises. Mais quand même de semblables spéculations ne seraient pas souvent arrêtées par Timpossibilité de les soutenir, elles ne diminueraient point le désavantage mathématique des spéculateurs, et elles accroîtraient leur désavantage moral, puisqu'à chaque tirage ils exposeraient une plus grande partie de leur fortune.

J ai VU des hommes désirant ardemment d'avoir un fils» n'apprendre qu'avec peine les naissances des garçons dans le mois où ils allaient devenir pères. S'imaginanique le rapport de ces naissances à celles des filles devait être le même à la fin de chaque mois, ils jugeaient que les garçons déjà nés rendaient plus probables les naissances prochaines des filles. Ainsi l'extraction d'une boule blanche d'une urne qui renferme un nombre limité de boules blanches et de boules noires, accroît la probabilité d'extraire une boule noire au tirage suivant. Mais cela cesse d'avoir lieu quand le nombre des boules de l'urne est illimité, comme on doit le supposer, pour assimiler ce casa celui des naissances. Si dans le cours d'un mois il était né beaucoup plus de garçons que de filles, on pQurrait soupçonner que vers le temps de leur conception , une causé générale a favorisé les conceptions masculines; ce qui rendrait la naissance prochaine d'un garçon plus probable. Les événements irréguliers de la nature ne sont pas exactement comparables à la sortie des numéros d'une loterie dans laquelle tous les numéros sont mêlés à chaque tirage, de manière à rendre les chances de leur sortie parfaitement égales. La fréquence d'un de ces événements semble indiquer une cause un peu durable qui le favorise, ce qui augmente la probabilité de son prochain retour ; et

sa répétUîoD longtemps prolongée, lelie qu^line longue suite de jours pluvieux, peut développer des causes inconnues de son changement ; en sorte qu'à chaque événement attendu , nous ne sommes point» comme à chaque tirage d'une loterie, ramenés au même état d'indécision sur ce qui doit arriver. Hais à mesure que l'on multiplie les observations de ces événements» la comparaison de leurs résultats avec ceux des loteries devient plus exacte.

Par une illusion contraire aux précédentes» on cherche dans les tirages passés de la loterie de France les numéros le plus souvent sortis» pour en former des combinaisons sur lesquelles on croit placer sa mise avec avantage. Mais vu la manière dont le mélange des numéros se fait à cette loterie » le passé ne doit avoir sur l'avenir aucune influence. Les sorties plus fréquentes d'un numéro ne sont que des anomalies du hasard : j'en ai soumis plusieurs au calcul» et j'ai constamment trouvé qu'elles étaient renfermées dans* des limites que la supposi^ tion d'une égale possibilité de sortie de tous les numéros» permet d'admettre sans invraisemblance.

Dans une longue série d'événements du même genre » lés seules chances du hasard doivent quelquefois offrir ces veines singulières de bonheur ou de malheur» que la plupart des joueurs ne manquent pas d'attribuer à une sorte de fatalité. 11 arrive sou-

SUR LES raOBABILITÊS. 191

vent, dans les jeux qui dëpeadentà U fois du hasard et de rhabiièté dès joueurs, que celui qui perd, troublé par sa perte, cherche à lu r^arer par des coups hasardeux qu'il éviterait dans une autre situation : il aggrave ainsi son propre malheur, et il en prolongé la durée. C'est cependant alors que la prudence devient nécessaire , et qu'il importe de se convaincre que le désavantage moral attaclié aux chances défavorables s'accroit par le roalbem' même.

Le sentiment par lequel Thomme s'est placé long* temps au centre de l'univers, en se considérant comme l'objet spécial des soins de la nature , porte chaque individu à se faire le centre d'une sphère plus ou moins étendue , et à croire que le hasard a pour lui des préférences. Soutenus par cette opinion, les joueurs exposent souvent des sommes considérables à des jeux dont ils savent que les chances leur sont contraires. Dans la conduite de la vie , une semblable opinion peut quelquefois avoir des avantages ; mais le plus souvent elle conduit à des entreprises funestes. Ici , comme en tout , les illusions sont dangereuses, et la vérité seule est généralement utile.

Un des grands avantages du calcul des probabi'* lités est d'apprendre à se défier des premiers aperçus. Comme on reconnaît qu'ils trompent souvent ,

lorsqu'on peut les soumettre au calcul » on doit en conclur^e que sur d'autres objets il ne faut s'y livrer qu'avec une circonspection extrême. Prouvons cela par des exemples.

Une urne renferme quatre boules noires ou blanches, mais qui ne sont pas toutes de la même cou* leur. On a extrait une de ces boules, dont la coqleur est blanche , et que Ton a remise dans l'urne pour procéder encore à de semblables tirages. On demande la probabilité de n'extraire que des boules noires dans les quatre tirages suivants.

Si les boules blanches et noires étaient en nombre égal» cette probabilité serait la quatrième puissance de la probabilité j d'extraire une boule noire à chaque tirage ; elle serait donc Te- l^^îs l'extraction d'une boule blanche au premier tirage indique une supériorité dans le nombre des boules blanches de l'urne ; car si l'on suppose dans l'urne trois boules blanches et une noire , la probabilité d'en extraire une boule blanche est f ; elle est j, si Ion suppose deux boules blanches et deux noires; enfin, elle se réduit à ^, si l'on suppose trois boules noires et une blanche. Suivant le principe de la probabilité des causes» tirée des événements, les probabilités de ces trois suppositions sont entre elles comme les quantités ^ , f , j ; elles sont par conséquent égales ^ I» 1» 6* Il y d stinsi cinq contre un à parier que le

nombre des boules noires est inférieur, ou tout au plus égal à celui des blanches. Il semble donc que d'après Textraction d'une boule blanche au premier tirage, la probabilité d'extraire de suite quatre boules noires doive être moindre que dans le cas de l'égalité des couleurs, ou plus petite qu'un seizième. Cependant cela n'est pas , et l'on trouve ^ par un calcul fort simple, cette probabilité plus grande qu'un quatorzième. En effet, elle serait la quatrième puissance de ^ , de | et de f dans la première , la seconde et la troisième des suppositions précédentes sur les couleurs des boules de l'urne. En multipliant respectivement chaque puissance par la probabilité de la supposition correspondante, ou par |, I et i, la somme des produits sera la probabilité d'extraire de suite quati*e boules noires. On a ainsi pour cette probabilité^, fraction plus grande que 74. Ce paradoxe s'explique en considérant que l'indication de la supériorité des boules blanches sur les noires par le premier tirage , n'exclut point la supérioiîté des boules noires sur les blanches , supériorité qu'exclut la supposition de l'égalité des couleurs. Or cette supériorité, quoique peu vraisemblable, doit rendre la probabilité d'amener de suite un nombre donné de boules noires, plus grande que dans cette supposition, si ce nombre est considérable; et Ton vient de voir que cela com-

DE LAPLACr. Ï5

mence , lorsque le nombi'e donné est égal à quatre- Considérons encore une urne qui renferme plusieurs boules blanches et noires. Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'une boule blanche et une noire. On peut alors parier avec égalité, d'extraire une boule blanche dans un tirage. Mais il semble que pour l'égalité du pari, on doive donner à celui qui parie d*exiraire la boule blanche deux tirages , si l'urne renferme deux boules noires et une blanche ; trois tirages , si elle renferme trois boules noires et une blanche, et ainsi du rr'ste : on suppose qu'après chaque tirage la boule extraite est remise dans l'urne.

Mais il est facile de se convaincre que ce premier aperçu est erroné. En effet, dans le cas de deux, boules noireS'Sur une blanche, la probabilité d'extraire de l'urne deux boules noires eu deux tirages, est la seconde puissance de f ou ^; mais cette probabilité ajoutée à celle d'amener une boule blanche en deux tirages, est la certitude ou l'unité, puisqu'il est certain que l'on doit amener deux boules noires, ou au moins une boule blanche; la probabilité de ce dernier cas est doncf, fraction plus grande que \. Il y aurait plus d'avantage encore à parier d'amener une boule blanche en cinq tirages» lorsque l'urne contient cinq boules noires et une blanche; ce pari est même avantageux en quatre

tirages: il reyient alors à celui d'amener six en quatre coups avec un seul dé.

Le chevalier de Méré, ami de Pascal, et qui fit

naître le calcul des probabilités, en excitant ce

grand géomètre à s'en occuper, lui disait : c Qu'il

c avait trouvé fausseté dans les nombres par cette

« raison. Si Ton entreprend de faire six avec un

t dé , il y a de l'avantage à l'entreprendre en quatre

< coups, comme de67i à 635. Si l'on entreprend

< de faire sonnez avec deux dés, il y a désavantage c à l'entreprendre en 24 coups. Néanmoins 24 est c à 36, nombre des faces de deux dés, comme 4 est c à 6, nombre des faces d'un dé. Voilà, écrivait

< Pascal à Fermât, quel était son grand scandale € qui lui faisait dire hautement que les proposic tions n'étaient pas constantes et que l'arithmétique c se démentait... Il a très-bon esprit , mais il n'est c pas géomètre : c'est, comme vous savez , un grand

< défaut. > Le chevalier de Méré, trompé par une fausse analogie, pensait que dans le cas de l'égalité des paris, le nombre des coups doit croître propor-* tionnellement au nombre de toutes les chances possibles , ce qui n'est pas exact , mats ce qui approche d'autant plus de l'être, que ce nombre est plus grand.

On a essayé d'expliquer la supériorité des naissances des garçons sur les naissances des filles , par

le désir général des pères d*avoir un fils qui perpélue leur nom. Ainsi , en imaginant une urne remplie d'une infinité de boules blanches et de boules noires t en nombre égal, et supposant un grand nombre de personnes dont chacune tire une boule de cette urne , et continue ce tirage avec Tintenlion de s'arrêter quand elle aura extrait une boule blanche, on a cru que cette intention devait rendre le nombre des boules blanches extraites supérieur à celui des noires. En effet» elle donne nécessairement , après tous les tirages , un nombre de boules blanches égal à celui des personnes; et il est possible que ces tirages n'amènent aucune boule noire. Mais il est facile de reconnaître que cet aperçu n'est qu'une illusion ; car si l'on conçoit que dans un premier tirage » toutes les personnes tirent à la fois une boule de l'urne» il est évident que leur intention ne peut avoir aucune influence sur la couleur des boules qui doivent sortir à ce tirage. Son unique effet sera d'exclure du second tirage les personnes qui auront amené une boule blanche au premier. Il est pareillement visible que l'intention des personnes qui prendront part au nouveau tirage» n'influera point sur la couleur des boules qui sortiront» et qu'il en sera de même des tirages suivants. Cette intention n'influera donc point sur la couleur des boules extraites dans l'ensemble des tirages; seu-

SUR LES PROBABILITÉS. i91

lemeiit, elle fera participer plus ou moins de personnes à chacun d'eux. Le rapport des boules blanches extraites aux noires, sera ainsi très-peu différent de l'unité. II suit de là que le nOinbre des personnes étant supposé fort grand , si l'observation donne entre les couleurs extraites un rapport qui diffère sensiblement de Tuniié, il est très-probable que la même différence a lieu ù fort peu près entre l'unité et le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans Turne.

Je mets encore au rang des illusions l'application que Leibnitz et Daniel Bernouilli ont fait du calcul des probabilités à la sommation des séries. Si Ton réduit la fraction dont le numérateur est l'unité» et dont le dénominateur est l'unité plus une variable dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de cette variable » il est facile de voir qu'en suppo* sànt la variable égale à l'unité, la fraction der vient j, et la suite devient jp/tis un, moins un y plm un^ moins un^ etc. En ajoutant les deux premiers jtérmes, les deux suivants, et ainsi du reste, on transforme la suite dans une autre dont chaque terme est zéro. Grandi, jésuite italien, en avait conclu la possibilité de la création; parce que la suite étant toujours égale à ^, il voyait cette fraction naître d'une infinité de zéros, ou du néant. Ce fut ainsi que Leibnitz crut voir l'image de la création

i98 ESSAI PHILOSOPHIQUE

dans son Arithmétique binaire, où il n'employait que les deux caractères zéro et l'unité. Il imagina que Dieu pouvant être représenté par l'unité, et le néant par zéro, l'Être suprême avait tiré du néant tous les éti*es, comme l'unité avec le zéro exprime tous les nombres dans ce système d'arithmétique. Cette idée plut tellement à Leibnitz, qu'il en fit part au jésuite Grimaldi, président du tribunal de mathématiques à la Chine, dans l'espérance qiie cet emblème de la création convertirait au christianisme l'empereur d'alors, qui aimait particulièrement les sciences. Je ne rapporte ce trait que pour montrer jusqu'à quel point les préjugés de l'enfunce peuvent égarer les plus grands hommes.

Leibnitz , toujours conduit par une métaphysique singulière et très-déliée, considéra que la suite plus t«f), moins un, plus un^ etc., devient l'unité ou zéro, suivant que l'on s'arrête à un nombre de termes impair ou pair ; et comme dans l'infini il n'y a aucune raison de préférer le nombre pair à l'impair, on doit, suivant les règles des probabilités, prendre la moitié des résultats relatifs à ces deux espèces de nombres, et qui sont zéro et l'unité; ce qui donne \ pour la valeur de la série. Daniel Bernouilli a étendu depuis ce raisonnement à la sommation des séries formées de ternies périodiques. Mais toutes ces séries u ont point, à proprement

parler, de valeurs ; elles n'en prennent que dans le cas où leurs termes sont multipliés par les puissances successives d'une variable moindre que Tunité. Alors y ces séries sont toujours convergentes» quelque petite que l'on suppose la différence de la variable à l'unité; et il est facile de démontrer que les valeurs assignées par Bernouilli, en vertu de la règle des probabilités, sont les valeurs mêmes des fractions génératrices des séries, lorsque l'on suppose dans ces fractions la variable égale à l'unité. Ces valeurs sont encore les limites dont les séries approchent de plus en plus, à mesure que la variable approche de l'unité. Mais lorsque la variable est exactement égale à l'unité, les séries cessent d'être convergentes: elles n'ont de valeurs qu'autant qu'on les arrête. Le rapport remarquable de cette application du calcul des probabilités avec les limites des valeurs des séries périodiques , suppose que les termes de ces séries sont multipliés par toutes les puissances consécutives de la variable. Mais ces séries peuvent résulter du développement d'une infinité de fractions différentes dans lesquelles cela n'a pas lieu. Ainsi, la &ér\epïus un, moins un, plus un, etc., peut naître du développement d'une fraction dont le numérateur est l'unité plus la variable,et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté du carré de la variable. En supposant la variable égale

SOO ESSAI PHILOSOPHIQUE

h l'unifé , ce développemeot se change dans la série proposée, et la fraction génératrice devient égale h \; les règles des probabilités donneraient donc alors un faux résultat, ce qui prouve combien il serait dangereux d'employer de semblables raisonnements , surtout dans les sciences mathématiques que la rigueur de leurs procédés doit éminemment distinguer.

Nous sommes portés naturellement à croire que l'ordre suivant lequel nous voyons les choses se renouveler sur la terre, a existé de tout temps, et subsistera toujours. En effet, si l'état présent de l'univers était entièrement semblable à l'état antérieur qui l'a produit, il ferait naître à son tour un état pareil ; la succession de ces états serait donc alors éternelle. J'ai reconnu par l'application de l'analyse à la loi de la pesanteur universelle, que les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites, et la position de leurs orbites et de leurs équateurs, ne sont assujettis qu'à des inégalités périodiques. En comparant aux anciennes éclipses la théorie de l'équation séculaire de la lune, j'ai trouvé que depuis Hipparque, la durée du jour n'a pas varié d'un centième de seconde, et que la température moyenne de la terre n'a pas diminué d'un centième de degré. Ainsi la stabilité de l'ordre actuel parait établie à la fois par la

théorie et par les observations. Mais cet ordre est tronblé par diverses causes qu*un examen attentif fait apercevoir, et qu'il est impossible de soumettre au calcul.

Les actions de l'Océan, de l'atmosphère et des météores, les tremblements de terre, et les érupticftis de volcans, agitent sans cesse la surface terrestre, et doivent y opérer à la longue des changements considérables. La température des climats, le volume de l'atmosphère^ et la proportion des gaz qui la constituent, peuvent varier d'une manière insensible. Les instruments et les moyens propres à déterminer ces variations étant nouveaux , l'observation n*a pu jusqu'ici rien nous apprendre à cet égard. Mais il est très-peu vraisemblable que les causes qui absorbent et renouvellent les gaz constitutifs de notre air, en maintiennent exactement les quantités respectives. Une longue suite de siècles fera connaître les altérations qu'éprouvent tous ces éléments si essentiels à la conservation des êtres organisés. Quoique les monuments historiques ne remontent pas à une très-haute antiquité, ils nous offrent cependant d'assez grands changements survenus par l'action lente et continue des agents naturels. En fouillant dans les entrailles de la terre, on découvre de nombreux débris d'une nature jadis vivante et toute différente de lu nature aciuelle.

DE LAPLACR. »6

an ESSAI PHILOSOPHIQUE

D'ailleurs» si la terre entière a été primiiîvement fluide» comme tout parait l'indiquer» on conçoit qu'en passant de cet état à celui qu'elle a mainte* nant» sa surface a dû éprouver de prodigieux chan^ goments. Le ciel même» malgré Tordre de ses mouvements » n'est pas inaltérable. La résistance de la lumière et des autres fluides éthérés et l'attractton des étoiles» doivent» après un très-grand nombre de siècles» considérablement altérer les mouvements planétaires. Les variations déjà observées dans les étoiles et dans la forme des nébuleuses, font pressentir celles que le temps développera dans le système de ces grands corps. On peut représenter les états successifs de l'univers par une courbe dont le temps serait l'abscisse» et dont les ordonnées exprimeraient ces divers états. Connaissant à peine un élément de cette courbe, nous sommes loin de pouvoir remonter à son origine ; et si , pour reposer l'imagination » toujours inquiète d'ignorer la cause des phénomènes qui l'intéressent, on hasarde quelques conjectures, il est sage de ne les représenter qu'avec une extrême réserve.

Il existe dans l'estimation des probabilités, un genre d'illusions qui » dépendant spécialement des lois de l'organisation intellectuelle» exige» pour s en garantir» un examen approfondi de ces lois. Le désir de pénétrer dans l'avenir» et les rapports de

quelques événements remarquables avec les prédiciioDS des astrologues, des devins et des augures, avec les pressentiments et les songes , avec les nombres et les jours réputés heureux ou malheureux , ont donné naissance à une foule de préjugés encore li*ès-répandus. On ne réfléchit point au grand nombre de non->coincidences qui n*ont fait aucune impression ou que Ton ignore. Cependant, il est nécessaire de les connaître, pour apprécier la probabilité des causes auxquelles on attribue les coïncidences. Cette connaissance confirmerait, sans doute, ce que la raison nous dicte à Tégard de ces préjugés. Ainsi, le philosophe de l'antiquité , auquel on montrait dans un temple, pour exaker la puissance du dieu qu'on y adorait, les ex voto de tous ceux qui , après l'avoir invoqué, s'étaient sauvés du naufrage, fit une remarque conforme au calcul des probabilités, en observant qu'il ne voyait point inscrits les noms de ceux qui, malgré cette invocation, avaient péri. Gicéron a réfuté tous ces préjugés avec beaucoup de raison et d'éloquence , dans son Traité de la Divination, qu'il termine par un passage que je vais citer ; car on aime à retrouver chez les anciens les traits de la raison universelle qui, après avoir dissipé tous les préjugés par sa lumière, deviendra l'unique fondement des institution^ humaines, c 11 faut, dit lorateur romain, rejeter la divitia-

tien par les songes et tous les préjugés semblables. La superstition, partout répandue , a subjugué la plupart des esprits et s'est emparée de la faiblesse des hommes. C'est ce que nous avons développé dans nos livres sur la nature des dieux et spécialement dans cet ouvrage, persuadé que nous ferons une chose utile aux autres et à nousméme, si nous parvenons à détruire la superstition. Cependant (et je désire surtout qu'à cet égard ma pensée soit bien comprise), en détruisant la superstition, je suis loin de vouloir ébranler la religion. La sagesse nous prescrit de maintenir les institutions et les cérémonies de nos ancêtres, touchant le culte des dieux. D'ailleurs , la beauté de Tunivers et lordre des choses célestes nous forcent à reconnaître quelque nature supérieure qui doit élre remarquée et admirée du genre humain. Hais autant il convient de propager la religion qui est jointe à la connaissance de la nature, autant il faut travaillera extirper la superstition ; car elle vous tourmente , vous presse et vous poursuit sans cesse en tous lieux. Si vous consultez un devin ou un présage, si vous immolez une victime, si vous regardez le vol d'un oiseau, si vous rencontrez un chaldéen ou un aruspice, s'il éclaire, s'il tonne, si la foudre tombe, enfin s'il naît ou se manifeste une espèce de prodige ,

« toutes choses dont souvent quelqu'une doit arri- € ver; alors la superstition qui vous domine ne vous c laisse point de repos. Le sommeil même, ce « refuge des mortels dans leurs peines et dans c leurs travaux, devient par elle un nouveau sujet t d'inquiétudes et de frayeurs. »

Tous ces préjuges et les frayeurs qu'ils inspirent, tiennent à des causes physiologiques qui continuent quelquefoisd'agir fortement, après que la raison nous a désabusés. Hais la répétition d'actes contraires à ces préjugés peut toujours les détruire. C'est ce que nous allons établir par les considérations suivantes.

Aux limites de la physiologie visible, commence une autre physiologie dont les phénomènes, beaucoup plus variés que ceux de la première, sont comme eux assujettis à des lois qu'il est trèsimportant de connaître. Cette physiologie, que nous désignerons sous le nom de psychologie, est sans doute une continuation de la physiologie visible. Les nerfs, dont les filaments se perdent dans la substance médullaire du cerveau, y propagent les impressions qu'ils reçoivent des objets extérieurs, et ils y laissent des impressions permanentes qui modifient d'une manière inconnue le sensorium ou siège de la sensation et de la pensée (i) .

(1) Les considérations suivante» sont entièrement indépendan tes du lieu de ce siège et de sa nature.

Len sens extérieurs De peuvent rien apprendre sur la nature de ces modifications étonnantes par leur infinie variété, et par la distinction et Tordre qu'elles conservent dans le petit espace qui les renferme; modifications dont les phénomènes si variés de la lumière et de l'électricité nous donnent quelque idée. Hais en appliquant aux observations du sens interne, qui peut Seul les apercevoir, la méthode dont onr a fait usage pour les observations des aens externes, on pourra porter dans la théorie de Tentendement humain , la même exactitude que dans les autres branches de la philosophie naturelle.

Déjà quelques-uns des principes (i) de psychologie ont été reconnus et développés avec succès. Telle est la tendance de tous les êtres semblable* ment organisés, à se mettre entre eux en harmonie. Cette tendance, qui constitue la sympathie, existe même entre des animaux d'espèces diverses : elle diminue à mesure que leur organisation est plus dissemblable. Parmi les êtres doués d'une même organisation, quelques-uns se coordonnent plus promptement entre eux qu'avec les autres. La nature inorganique nous offre de semblables phénomènes: deux pendules ou deux montres dont la marche est très-peu différente , étant placées sur un même sup*

(i) Je désigne ici par la dénomination de principes t les rapports généraux des phénomènes.

Sim L£S PROBABILITÉS. t07

port, finissentpar avoir exaciemenl la même marche, et dans un système de cordes sonores, les vibrations de l'une d'elles font résonner toutes ses harmoniques. Ces effets, dont les causes bien connues ont été soumises au calcul , donnent une idée juste de la syaipalhie qui dépend de causes bien plus compliquées.

Un sentiment agréable accompagne presque toujours les mouvements sympathiques. Dans la plupart des espèces d'animaux , les individus s attachent ainsi les uns aux autres et se réunissent en sociétés. Dans Tespèce humaine, les imaginations fortes ressentent un vrai bonheur à dominer les imaginations faibles, qui n'en ressentent pas moins à leur obéir. Les sentiments sympathiques excités à la fois dans un grand nombre d'individus , s'accroissent par leur réaction mutuelle, comme on l'observe au théâtre. Le plaisir qui en résulte rapproche les personnes d'opinions semblables, que leur réunion exalte quelquefois jusqu'au fanatisme. De là naissent les sectes, la ferveur quelles excitent, et la rapidité de leur propagation. Elles offrent dans l'histoire les plus étonnants et les plus funestes exemples du pouvoir de la sympathie. On a souvent lieu de remarquer ta facilité avec laquelle les mouvements sympathiques, tels que le rire, se communiquent par la simple vue, sans le concours d'aucune autre cause

i08 ESSAI PHILOSOPHIQUE

dans ceux qui les reçoivent. L'influence de ia sympuihie sur le sensarium est incomparablement plus puissante ; les vibrations qu'elle y excite , lorsqu'elles sont extrêmes, produisent , en réagissaut sur l'économie animale » des effets extraordinaires que l'on a, dans les siècles de superstition , attribués à des agents surnaturels, et qui, par leur singularité , méritent l'attention des observateurs.

La tendance à rimitation existe même à l'égard des objets de l'imagination. Placés dans une voiture qui nous parait se diriger vers un obstacle , nous imitons involontairement le mouvement qu'elle doit prendre pour l'éviter. On peut concevoir que l'idée de ce mouvement et la tendance à l'imiter correspondent à des mouvements du sensorium, dont le premier produit le second, à peu près comme les vibrations d'une corde sonore font vibrer ses har« moniques. On explique ainsi comment l'idée de la chute dans un précipice fortement imprimée par la peur, peut y faire tomber celui qui le traverse sur une planche étroite qu'il pourcourrait d'un pas ferme , si elle était posée dans toute sa longueur sur la terre. Je connais des personnes qui éprouvent une telle excitation à se précipiter d'une grande hauteur où elles se voient élevées, qu'elles sont forcées, pour y résister, d'augmenter les précaution^

SUR LES PROBABILITËS. 200

prises pour les retenir, et cependant bien propres à les rassurer.

Par une noble prérogative de l'espèce humaine , le récîtd'actions grandes et vertueuses nousenflamme et nous porte à les imiter. Hais quelques individus tiennent de leur organisation ou de pernicieux exemples y des penchants funestes qu'excite vivement le récit d'une action criminelle devenue l'objet de l'attention publique. Sous ce rapport , la publicité des crimes n'est pas sans danger,

La commisération» la bienveillance et beaucoup d'autres sentiments dérivent de la sympathie. Par elle, on ressent les maux d'autrui, et l'on partage le contentement du malheureux qu'on soulage. Mais je ne veux ici qu'exposer les principes dé psycho* logie , sans entrer dans le développement de leurs conséquences («)•

L'un de ces principes, le plus fécond de tous, est celui de la liaison de toutes les choses qui ont eu dans le sensorium une existence simultanée ou régulièrement successive ; liaison qui , par le retour de l'une d'elles, rappelle les autres. Les objets que nous avons déjà vus, réveillent les traces des choses

(1) La narration que Montaigne fait dans ses Essais, de Tamitié qui existait entre lui et la Boëtie, ofifre un exemple bien remarquable d*un genre de sympathie extrêmement rare. .

qui y dans la première vue , leur étaient associées. Ces traces réveillent semblablement celle des autres objets , et ainsi de suite ; en sorte qu'à l'occasion d'une chose présente, nous pouvons en rappeler une infinité d'autres, et arrêter notre attention sur celles que nous voulons considérer. A ce principe se rattache l'emploi des signes et des langues pour le rappel des sensations et des idées, pour la formation de l'analyse des idées complexes, abstraites et générales, et pour le raisonnement. Plusieurs philosophes ont bien développé cet objet qui , jusqu'à présent, constitue la partie réelle de la méta^ physique^

C'est en vertu de ce principe que l'on parvient à estimer les distances à la simpte vue. Une comparaison souvent répétée du mètre avec diverses distances qui en contiennent des nombres entiers, imprime dans la mémoire ces traces associées aux nombres de mètres qui leur correspondent. La vue d'une distance que Ton veut apprécier réveille ces traces ; et si l'une d'elles s'adapte exactement ou à fort peu près à l'impression de la distance que l'on a sous les yeux, on juge que cette distance renferme le nombre de mètres associé dans la mémoire à la trace qui parait lui être égale. Cest encore ainsi que l'on parvient à estimer le poids des corps, en les soupesant.

SUR LES PROBABIUTËS. Slt

On peut établir en principe de psycholc^ie» que les impressions souvent répétées d'un même objet sur divers sens, modifient lesensorium, de ma« nière que l'impression intérieure correspondante à* Fimpression extérieure de l'objet sur un seul sens» devient très-différente de ce qu'elle était à l'origine. Développons ce principe , et pour cela » considérons nn aveugle de naissanee auquel on vient d'abaisser la cataracte. L'image de l'objet qui se peint sur sa rétine, produit dans son sensorium une impression que je nommerai seconde images sans prétendre l'assimiler à la première , ni rien affirmer sur sa. nature. Cette seconde image n'est pas d'abord une représentation fidèle de l'objet; mais la comparaison habituelle des impressions de cet objet par le tact, avec celles qu'il produit par la vue, finit, en modifiant le sensorium, par rendre la seconde image conforme à la nature représentée fidèlement par le toucher. L'image peinte sur la rétine ne change point; mais l'image intérieure qu'elle fait paître n'est plus la même , comme les expériences faites sur plusieurs aveugles de naissance, auxquels on avait rendu la vue, l'ont prouvé.

C'est principalement dans l'enfance que le sen* sorium acquiert ces modifications. L'enfant, comparant sans cesse les impressions qu'il reçoit d'un même objet, par les organes de la vue et du tour

212 ESSAI PHILOSOPHIQUi;

cher, rectifie les impressions de la vue. Il dispose son seDSoriam à donner aux objets visibles la forme indiquée par le tact dont les impressions s'associent intimement avec celles de la vue, qui les rappellent toujours. Alors les objets visibles sont aussi fidèlement représentés que les objets tactiles. Un rayoa lumineux devient pour la vue ce qu'est un bâton pour le toucher. Par ce moyen , le premier de ces sens étend beaucoup plus loin que le second la qihère des objets de ses impressions. Mais la voûte céleste elle-même» à laquelle nous attachons les astres, est encore très*bornée; et ce n'est que par une longue suite d observations et de calculs que nous sommes parvenus à reconnaître les grandes distances de ces corps, et à les éloigner indéfiniment dans l'immensité de l'espace.

Il parait que dans plusieurs espèces d'animaux la disposition du sensorium qui nous fait apprécier les distances est naturelle. Mais l'homme , pour lequel la nature a remplacé presque en tout l'in* stinct par l'intelligence, a besoin, pour le suppléer, d'observations et de comparaisons qui servent mer« veiileusementà développer sesfacultés intellectuelles et à lui assurer, par ce développement , l'empire de la terre.

Les ioiages intérieures ne sont donc pas les effets d'une oause unique ; elles résultent, soit des imiuresi'

SUR LES PROBABILITËS. tIS

sions reçues simultanémeni par le même seos ou par des sens différents » soit des impressions intérieures rappelées par la mémoire. L'influence réci* proque de ces impressions est un principe psychologique fécond en conséquences. Développons quelques-unes des principales.

Qu'un observateur, placé dans une profonde obscurité, voie à des distancesdifférentes deux globes lumineux d'un même diamètre, ils lui paraîtront d'inégale grandeur. Leurs images intérieures seront proportionnelles aux images correspondantes , peintes sur la rétine. Mais si l'obscurité venant à cesser, il aperçoit en même temps que les globes, toutl'espace intermédiaire, cette vue agrandit l'image intérieure du globe le plus éloigné, et la rend presque égale à celle de l'autre globe. C'est ainsi qu'un homme, vu aux distances de deux et de quatre mètres, nous parait de la même grandeur : son image intérieure ne varie point , quoique l'une des images peintes sur la rétine soit double de l'autre. C'est encore par l'impression des objets intermédiaires que la lune à l'horizon nous semble plus grande qu'an zénith. On aperçoit au-dessus d'une branche voisine de l'œil , un objet que l'on rapporte au loin et qui parait fort grand. On vient ensuite à reconnaître le lien qui l'unit à la branche : sur-le-champ , la perception de ce lien cJiange l'image intérieure

2i4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

et la réduit à une dimeation beaucoup moindre. Toutes ces choses ne sont point de simples juge^ ments, comme quelques métaphysiciens l'ont pensé : elles sont des effets physiologiques dépendants des dispositions que le sensorium a contractées par la comparaison habituelle des impressions d'un même objet sur les organes de plusieurs sens, et spécialement sur ceux du toucher et de la vue.

L'influence des traces rappelées par la mémoire» sur les impressions qu'excitent les objets extérieurs, se fait remarquer dans un grand nombre de cas. On voit de loin des lettres, sans pouvoir distinguer le mot qu'elles expriment. Si quelqu'un prononce ce mot 9 ou si quelque circonstance en rappelle la mémoire 9 aussitôt Timage intérieure de ces lettres ainsi rappelées se superpose, si je puis ainsi dire, à l'image confuse produite par l'impression des caractères extérieurs, et la rend distincte. La voix d'un acteur que vous entendez confusément , devient distincte lorsque vous lisez ce qu'il récite. La vue des caractères rappelle les traces des sons qui leur répondent ;et ces traces, se mêlant aux sons confus de la voix , les font distinguer. La peur transforme souvent de cette manière les objetsqu'une trop faible lumière- ne fait pas reconnaître, en objets effrayants, qui ont avec eux de l'analogie. L'image de ces derniers objets , fortement retracée dans le sensorium

par la crainte, se rend propre l'impression des objets extérieurs. Il est important de se garantir de cette cause d'illusion , dans les conséquences que l'on tire ^'observations de choses qui ne font qu'une impression très-légère : telles sont les observations de la dégradation de la lumière à la surface des planètes et des satellites, d'où l'on a conclu l'existence et Tintensilé de leurs atmosphères, et leurs mouvements de rotation. Il est souvent à craindre que des images intérieures ne s'assimilent ces impressions et le penchant qui nous porte à croire à l'existence des choses que représentent les impressions reçues par les sens.

Ce penchant remarquable tient à un caractère particulier qui distingue les impressions venant du dehors, des traces produites par l'imagination ou rappelées par la mémoire. Mais il arrive quelquefois, par u^ désordre du sensorium ou des organes qui agissent sur lui , que ces traces ont le caractère et la vivacité des impressions extérieures ; alors, on juge présents leurs objets, on est visionnaire. Le calme et les ténèbres de la nuit favorisent ces illusions qui , dans le sommeil , sont complètes et forment les rêves dont on aura une juste idée, si l'on conçoit que les traces des objets qui se présentent à notre imagination dans l'obscurité, acquièrent une grande intensité pendant le sommeil.

9i6 ESSAI PHILOSOPHIQUB

Tout porte à croire que dans les somnambules quelques-uns des sens ne sont pas complètement endormis. Si le sens du toucher, par exemple, reste encore un peu sensible au 'contact des objets extérieurs, les impressions faibles qu'il en reçoit, transmises au sensorinm, peuvent, en se combinant avec les images du rêve d'un somnambule , les modifier et diriger ses mouvements. En examinant, d'après celte considération, les récits bien avérés des choses singulières opérées par les somnambules, il m'a paru que l'on pouvait en donner une explication fort simple.

Quelquefois les visionnaires croient entendre parler les personnages qu ils se figurent, et ils] ont avec eux une conversation suivie : les ouvrages des médecins sont remplis de faits de ce genre.

Charles Bonnet cite , comme l'ayant souvent observé , son aïeul maternel , c vieillard , dit-il , plein c de santé, qui , indépendamment de toute imprest sion du dehors, aperçoit de temps en temps devant t lui des figures d'hommes , de femmes , d'oiseaux , c de voitures, de bâtiments, etc. Il voit ces figures c se donner différents mouvements , s'approcher, c s'éloigner, fuir , diminuer et augmenter de granc deur, paraître, disparaître, reparaître. Il voit c les bâtiments s'élever sous ses yeux, etc. Mais il c ne prend point ses visions pour des réalités : sa

SUR LES PROBABILITËS. 117

c raison 8*en amase. Il ignore d'un moment à Tautre « quelle vision va s'offrir à lui. Son cerveau est un c théâtre qui exécute des scènes d'autant plus sur* « prenantes pour le spectateur, qu'il ne les a « point prévues, > En lisant l'histoire de Jeanne d'Arc, on est forcé de reconnaître une visionnaire de bonne foi dans cette fille admirable , dont l'exaltation courageuse contribua si puissamment à délivrer la France de ses ennemis. Il est vraisemblable que plusieurs de ceux qui se sont annoncés comme ayant reçu leurs doctrines d'un être surnaturel , étaient visionnaires : ils ont d'autant mieux persuadé les antres, qu'ils étaient eux-mêmes persuadés. Les fraudes pieuses et les moyens violents dont ensuite ils ont fait usage , leur ont paru justifiés par l'intention de propager ce qu'ils jugeaient être des vérités nécessaires aux hommes.

Un caractère particulier distingue des produits de l'imagination , les traces rappelées par la mémoire , et qui sont dues aux impressions dés objets extérieurs. Il nous porte comme par instinct , à reconnaître l'existence passée de ces objets, dans l'ordre que la mémoire nous présente. Les expériences que nous faisons à chaque instant , de la vérité des conséquences que nous en tirons pour nous conduire, fortifient ce penchant. Quel est le mécanisme qui, dans cette opération du sensorium ,

2fB ESSAI PHILOSOPHIQUE

-détermine notre jugement? nous l'ignorons , et nous ne pouvons en observer que les effets. En vertu de ce mécanisme, les traces de la mémoire , quoique faibles 9 nous font apprécier leur intensité primitive, que nous pouvons ainsi comparer aux impressions semblables d'objets présents. Nous jugeons » de cette manière, qu'une couleur que nous avons vue la veille, était plus vive que celle qui frappe maintenant notre vue.

Les impressions qui accompagnent les traces de la mémoire, servent à nous en rappeler les causes. Ainsi , lorsqu'au souvenir d'une chose qui nous a été dite , se joint le souvenir de la confiance que nous avons donnée au narrateur ; si son nom nous échappe, nous le retrouvons, en rappelant successivement les noms de ceux qui nous ont entretenus , jusqu'à ce que nous parvenions au nom qui nous a inspiré cette confiance.

Les impressions reçues dans l'enfance se conservent jusque dans l'extrême vieillesse, et se renouvellent alors même que des impressions profondes de l'âge mûr sont entièrement effacées. Il semble qne les premières impressions gravées profondément dans le sensorium, n'attendent, pour reparaître, que l'affaiblissement des impressions subséquentes, par l'âge ou par la maladie, à peu près comme les astres qu'effaçait la clarté du jour.

SUR LES PROBABILITÉS. 3f9

se montrent dans la nuit ou dans les éclipses de soleil.

Les traces de la mémoire acquièrent de l'intensité y par l'effet du temps et à notre insu. Les choses que Ton apprend le soir , se gravent dans ie sen^ sorium pendant le sommeil , et se retiennent facilement par ce moyen. J'ai observé plusieurs fois ^ qu'en cessant de penser pendant quelques jours à des matières très-compliquées , elles me devenaient faciles lorsque je les considérais de nouveau.

Si nous revoyons un objet qui nous avait frappé par sa grandeur ^ longtemps après que la vue fré* quente d'objels du même genre, beaucoup plus grands y a diminué l'impression de grandeur qu'ils font éprouver , nous sommes surpris de le trouver fort au-dessous de son impression conservée dans la mémoire.

Quelques hommes sont doués d'une mémoire prodigieuse. L'exactitude avec laquelle ils répètent de longs discours qu'ils viennent d'entendre , nous étonne. Mais lorsqu'on réfléchit à tout ce que renferme la mémoire de la plupart des hommes » on est bien plus étonné que tant de choses y soient placées sans confusion. Considérez un chanteur sur la scène ; sa mémoire lui rappelle chaque mot de son rôle » le ton, la mesure et le geste qui doivent l'accompagner. Un nouveau rôle succède-t-il au premier » celuisH

fiO ESSAI PHILOSOPHIQUE

semble comme eflhcé de sa mémoire qui retrace dans l'ordre coDvenable toutes les parties du second rôle» et qui rappellerait de la même maoière les divers rôles que le chanteur a étudiés. Ces traces dont le nombre est immense , ou du moins les dispositions propres à les faire naître » existent à la fois dans son sensorium sans se confondre , et Facteur peut les rappeler à sa volonté. Je dois répéter ici que par les mots tracer image, vibralùms^ etc. » je n entends exprimer que des phénomëdes du sensorium f sans rien aflBrmer sur leur nature et sur leurs causes; comme en mécanique, on n^exprime que des eifets» par les mots force ^ aitraetion^ affinilif etc.

Les opérations du sensorium et les mouvements qu'il fait exécuter, deviennent plus faciles et comme naturels, par de fréquentes répétitions. J>e ce pria* cipe psychologique découlent nos habitudes. En se combinant aveclasympathie, il produit les coutumes, les mœurs et leurs étranges variétés. Il fait qu'une chose généralement reçue chez un peuple, est regardée par un autre avec horreur. Les combats de gladiateurs, dont les Romains aimaient passionné* ment le spectacle, et les sacrifices humains qui souillent les annales des nations , nous paraîtraient horribles. Quand on considère l'état déplorable des esclaves, Tavilissement des parias dans l'Inde, et

SUR LES PROBABILITËS. 221

l'absurditéde tant de croyaDces cootrairesà la raison et au témoignage de tous nos sens » on est aCDigé de voir jusqu'à quel point Thabitude de l'esclavage et les préjugés ont dégradé l'espèce humaine.

Cette disposition y que la fréquence des répétitions donne au sensorium, rend très-difficile la distinction de shabitudes acquises d'avec les pen* chants qui, dans Thomme, tiennent à son organisation; car il est naturel de penser que l'instinct , si étendu et si puissant chez les animaux , n'est pas nul dans l'espèce humaine , et que l'attachement d'une mère à son enfant en dérive. La double influence de l'habitude et de la sympathie modifie ces penchants : souvent elle les fortifie, quelquefois elle les dénature au point de leur substituer des penchants contraires.

Plusieurs observations faites sur l'homme et sur les animaux» et qu'il est bien important de continuer, portent à croire que les modifications du sensorium, auxquelles l'habitude a donné une grande consistance, se transmettent des pères aux enfants par voie de génération, comme plusieurs dispositions organiques. Une disposition originelle à tous les mouvements extérieurs et intérieurs qui accompagnent les actes habituels, explique, de la manière la plus simple, l'empire que les habitudes enracinées par les siècles exercent sur tout un peuple , et la

facilité de leur comroanicaUoa aux enfants» lors même qu'elles sont les plus contraires à la raison et aux droits imprescriptibles de la nature humaine. La facilité qu'un exercice fréquent donne aux organes, est telle qu'ils continuent souvent d'euxmêmes les mouvements que la volonté leur imprime. Lorsqu'enmarchanty noussommes fortement occupés d'une idée , la cause qui renouvelle à chaque instant notre mouvement » agit sans le concours de notre volonté et sans que nous en ayons la conscience. On a vu des personnes surprises en marchant par le sommeil y continuer leur route et ne se réveiller que par la rencontre d'un obstacle. 11 paraît qu'en vertu d'une disposition qaè la volonté de marcher donne au système moteur, la marche continue, à peu près comme le mouvement d'une montre est entretenu par le développement de son ressort spiral. IJn dérangement dans l'économie animale peut produire cette disposition. Alors la marche est involontaire; et je tiens d'un médecin éclairé, que dans une maladie de ce genre qu'il avait traitée, le malade ne pouvait s'arrêter qu'en se retenant à un point fixe. Les observations des maladies peuvent ainsi répandre un grand jour sur la psychologie, quand les médecins joignent aux connaissances de leur art et des sciences accessoires, l'esprit d'exactitude et de critique que donne l'étude des

maihëmatiques , et spécialement de la science des probabilités.

Le sensoriom peut recevoir des impressions

trop faibles pour être senties , mais suflBsantes pour

déterminer des actions dont nous ignorons la cause.

Barbeu-Dubourg, traducteur français des OEuvres

de Franklin, rapporte dans sa traduction le fait

suivant, qu'il tenait d'un marchand de Paris : c Un

< jour, dit-il, que cet bonnéte homme marchait

« dans les rues de Saint- Germain, songeant à

« des affaires fort sérieuses, il ne put s'empêcher

« de moduler tout bas, chemin faisant , Tair d'une

c ancienne chanson qu'il avait oubliée depuis bien

« des années. Arrivé à deux cents pas de là, il

« commença à entendre, dans la place publique,

c un aveugle jouer ce même air sur son violon ; À

« il s'imagina que c'était une perception légère ,

« une semi-ferception du son de cet instrument,

« affaibli par Téloignement , qui avait monté ses

« organes sur ce ton , d'une manière insensible à

« lui-même. 11 assure que depuis ce temps il s'est

« donné souvent le plaisir de suggérer des airs à

i son gré à un atelier d'ouvrières, sans pouvoir

c être entendu d'elles. Lorsqu'il cessait un moment

c de les entendre chanter, il fredonnait tout bas

€ l'air qu'il voulait qu'elles chantassent , et cela

c ne manquait presque jamais de leur arriver sans

c qu'elles l'eussent sensiblement entendu, ou c qu'aucune d'elles s'en doutât. >

D'après ce que nous avons dit sur l'influence réciproque des traces du sensorium, on conçoit que la musique , par de fréquentes répétitions, peut communiquer à nos mouvements la régularité de sa mesure. C'est ce que l'on observe dans la danse et dans divers exercices on la précision des mouvements ainsi régularisés , nous semble extraordi« naire. Par cette régularité la musique rend généralement plus faciles les mouvements que plusieurs personnes exécutent à la fois.

Un phénomène psychologique très-rèmarquable, est la grande influence de l'attention sur les traces du sensorium : elle les grave profondément dans la mémoire , et elle en accroît la vivacité en même tempsqu'elle affaiblit les impressions concomitantes. Si nous regardons fixement un objet, pour y démêler quelques particularités, l'attention peut nous rendre insensibles aux impressions que d'autres objets font en même temps sur la rétine. Par elle , les images des choses que nous voulons comparer acquièrent l'intensité nécessaire pour que leurs rapports occupent seuls notre pensée. Elle réveille les traces de la mémoire qui peuvent servir à cette comparaison , et par là elle devient le plus puissant ressort de l'intelligence humaine.

L allefltîon donnée fréquemment à une qualité particulière des objets , finit par douer les organes d'une exquise sensibilité ^ qui fait reconnaître cette qualité lorsqu'elle ' devient insensible au commuil des hommes.

Ces principes expliquent les singuliers effets des panoramas. Quand les règles de la perspective y sont bien observées, les objets se peignent sur la rétine , comme s'ils étaient réels. Le spectateur est donc alors dans Tétat que ferait naître la réalité des objets. Mais la perspective n'est jamais assez exacte pour que l'identité soit parfaite. D'ailleurs, les impressions étrangères , quoique faibles , se mêlant aux sensations principales que produit la perspective, nuisent d'abord à l'illusion. L'attention donnée au panorama les efface; mais il faut pour cela un temps plus ou moins long , dépendant ded disposilions du sensorium et de la peifection du panorama. Dans tous ceux que j'ai vus, un intervalle de quelques minutes m'a été nécessaire pour acquérir une illusion complète.

Le principe suivant de psychologie explique un

grand nombre de phénomènes qui ont un rapport

direct avec l'objet de cet ouvrage. « Si l'on exécute

c fréquemment les actes qui découlent d'une mo*^

c dification particulière du sensorium, leur réaction

c sur cet organe peut, non-seulement accroître cette

c modification , mais quelquefois lui donner naist sauce. > Ainsi , le mouvement de la main qui tient une longue chaîne suspendue, se propage le long de la chaîne jusqu'à son extrémité inférieure; el si, la chaîne étant parvenue au repos, on met en mouvement cette extrémité , la vibration remonte jusqu'à la main qu'elle fait mouvoir à son tour. Cesmouvements réciproques deviennent faciles par la fréquence de leurs répétitions*

Les effets de ce principe sur la croyance sont remarquables. La croyance ou l'adhésion que nous donnons à une proposition est ordinairement fondée sur l'évidence , sur le témoignage des sens ou sur des probabilités : dans ce dernier cas, son degré de force dépend de celui delà probabilité, qui dépend elle-même des données que chaque individu peut avoir sur l'objet de son jugement.

Nous agissons souvent en vertu de notre croyance, sans avoir besoin d'en rappeler les preuves. La croyance est donc une modification du sensorium , qui subsiste indépendamment de ces preuves quelquefois entièrement oubliées, et qui nous détermine à produire les actes qui en sont les conséquences. Suivant le principe que nous venons d'exposer, une répétition fréquente de ces actes peut faire naître cette modification , surtout s'ils sont répétés à la fois par un grand nombre de personnes ; car alors , à la

force de leur réaction se joint le pouvoir de l'imitation, suite nécessaire de la sympathie. Quand ces actes sont un devoir que les circonstances nous imposent, la tendance de l'économie animale à prendre Tétai le plus favorable à notre bien-être , nous dispose encore à la croyance qui les fait exécuter avec plaisir. Peu d'hommes résistent à l'action de toutes ces causes.

Pascal a bien développé ces effets, dans un article

de ses Pensées f qui a ce singulier titre : Qu'il est dif-

fidh de démontrer T existence de Dieu par les lumières

naturelles f mais que le plus sûr est de la croire. Il

s'exprime ainsi en s'adressant à un incrédule : c Vous

c voulez aller à la foi, et vous n'en savez pas le

c chemin; vous voulez guérir de l'infidélité, et vous

c en demandez le remède. Apprenez-le de ceux qui

c ont été tels que vous , et qui n'ont présentement

t aucun doute. Ils savent ce chemin que vous vou-

« driez suivre, et ils sont guéris d'un mal dont vous

€ voulez guérir. Suivez la manière par où ils ont

€ commencé. Imitez leurs actions extérieures, si

€ vous ne pouvez encore entrer dans leurs diëposi-

c tiens intérieures ; quittez ces vaius amusements

< qui vous occupent tout entier. Taurais bientôt

c quitté ces plaisirs, dites-vous, si j'avais la foi. Et

c moi je vous dis que vous auriez bientôt la foi, si

t vous aviez quitté ces plaisirs. Or , c'est à vous à

commencer. Si je pouvais, je vous donnerais la foi; je ne le puis, ni par conséquent éprouver la vérité de ce que vous dites; mais vous pouvez bien quitter ces plaisirs^ et éprouver si ce que je vous dis est vrai.

t II ne faut pas se méconnaître : nous sommes corps autant qu'esprit; et de là vient que Tinstrument par lequel la persuasion se fait, n'est pas la seule démonstration. Combien y a-t-il peu de choses démontrées? Les preuves ne convainquent que l'esprit : la coutume fait nos preuves les plus fortes. Elle incline les sens, qui entraînent l'esprit sans qu'il y pense. Qui a démontré qu'il fera demain jour, et que nous mourrons? et qa'y a-t-îl de plus universellement cru? C'est donc la coutume qui nous en persuade; c'est elle qui fait tant de turcs et de païens; c'est elle qui fait les métiers , les soldats, etc. Il est vrai qu'il ne faut pas corn* mencer par elle pour trouver la vérité; mais il faut avoir recours à elle quand une fois l'esprit a vu où est la vérité, afin de nous abreuver et de nous teindre de cette croyance qui nous échappe à toute heure; car d'en avoir toujours les preuves présentes, c'est trop d'affaires. 11 faut acquérir une croyance plus facile, qui est celle de l'habitude qui , sans violence, sans art, sans argument, nous fait croire les choses , et incline toutes noç

c puissances à cette croyance » en sorte que notre c âme y tombe naturellement. Ce n'est pas assez c de ne croire que par la force de la conviction » si c les sens nous portent à croire le contraire. Il faut c donc faire marcher nos deux pièces ensemble :

< l'esprit y par les raisons qu'il sufiSt d'avoir vues c une fois en sa vie; et les sens, par la coutume, c et en ne leur permettant pas de s'incliner au con-

< traire, i

Le moyen que propose Pascal pour la conversion d'un incrédule» peut être employé avec succès pour détruire un préjugé reçu dès l'enfance et enraciné par Tbabitude. Ces sortes de préjugés naissent souvent de la plus faible cause , dans les imaginations actives. Qu'une personne, attachant au mot gauche une idée de malheur , fasse journellement de la main droite une chose que l'on puisse exécuter indifféremment de l'une ou de Tautre main ; cette habitude peut accroître la répugnance à se servir pour cela de la main gauche, au point de rendre la raison impuissante contre ce préjugé. Il est naturel de croire qu'Auguste, doué d'une raison supérieure à tant d'égards , s'est reproché quelquefois sa faiblesse de n'oser se mettre en route le lendemain d'un jour de foire , et qu'il a voulu la surmonter. Hais au moment d'entreprendre un voyage dans l'un de ces jours réputés malheureux, il a pu se dire que

le plus iûr était de le différer, augmentant ainsi sa répugnance par l'habitude d'y céder. La répétition fréquente d'actes contraires à ces préjugés doit, à la longue, les affaiblir et les faire entièrement disparaître.

L'attachement que l'on porte aux personnes qu'on a souvent obligées, découle du principe que nous venons de développer. La répétition fréquente d'actes en leur faveur accroît et fait même naître quelquefois le sentiment dont ils sont la suite naturelle. Les actes que le goût d'une chose nous fait exécuter fréquemment , augmentent l'intensité de ce goât, et le transforment souvent en passion.

On voit par ce qui précède, combien notre croyance dépend de nos habitudes. Accoutumés à juger et à nous conduire d'après un certain genre de probabilités , nous donnons à ces probabilités notre assentiment, comme par instinct , et elles nous déterminent avec plus de force que des probabilités bien supérieures, résultats de la réflexion ou du calcul. Pour diminuer autant qn'il est possible cette cause d'illusion , il faut appeler l'imagination et les sens au secours de la raison. Que l'on figure par des lignes les probabilités respectives, on sentira beaucoup mieux leur différence. Une ligne qui représenterait la probabilité du témoignage sur lequel un fait extraordinaire est appuyé , placée à

SUR LES PROBABILITES. 231

cûié delà ligne qui représenterait rinvraisemblance de ce fait , rendrait trè&^ensible la probabilité de Terreur du témoignage, comme un tableau dans lequel les hauteurs des montagnes sont rapprochées, donne une idée frappante des rapports de ces hauteurs. Ce moyen peut être employé dans plusieurs cas avec succès. Pour rendre sensible l'immensité de l'univers, que l'on représente par une quantité presque imperceptible, par un dixième de millimètre, la plus grande étendue de la France en longueur, la distance du soleil à la terre sera de quatorze mètres ; celle de l'étoile la plus proche surpassera un million et demi de mètres , c'est-à-dire sept ou huit fois le rayon du plus grand horizon que l'œil puisse embrasser du point le plus élevé. On n'aura encore ainsi qu'une très-faible image de la grandeur de l'univers, qui s'étend infiniment au delà des plus brillantes étoiles , comme le prouve ce nombre prodigieux d'étoiles placées les unes au delà des autres, et se dérobant à la vue dans la profondeur des cieux. Mais toute faible qu'elle est, cette image suffit pour nous faire sentir l'absurdité des idées de prééminence de l'homme sur toute la nature, idées dont on a tiré de si étranges conséquences.

Mous établirons enfin , comme principe de psychologie, l'exagération des probabilités par les passions.

La chose que Foii craint ou que l'on désire vive* ment, nous semble, par cela même , plus probable. Son image , fortement retracée dans le sensorinm, affaiblit l'impression des probabilités contraires, et quelquefois les efface au point de faire croire la chose arrivée . La réflexion et le temps , en diminuant la vivacité de ces sentiments , rendent à l'esprit le calme nécessaire pour bien apprécier la probabilité des choses.

Les vibrations du sensorium doivent être , comme tous les mouvements , assujetties aux lois de la dynamique , et cela est confirmé par Texpérience. Les mouvements qu'elles impriment au système musculaire , et que ce système communique aux corps étrangers, sont, comme dans le développement des ressorts, tels, que le centre commun de gravité de notre corps et de ceux qu'il fait mouvoir reste immobile. Ces vibrations se superposent les unes aux autres , comme on voit les ondulations des fluides se mêler sans se confondre. Elles se communiquent aux individus^ comme les vibrations d'un corps sonore aux corps qui l'environnent. Les idées complexes se forment de leurs idées simples , comme le flux de la mer se compose des flux partiels que produisent le soleil et la lune. L'hésitation entre des motifs opposés est un équilibre de forces égales. Les changements brusques que Ton produit dans le

sensorium , éprouyem la résistanee qu'un système matériel oppose à des ehaugemenls semblables ; et si Ton veut éviter les secousses et ne pas perdre de force vive, il faut agir, comme dans ce système, par nuances insensibles. Une attention forte et continue épuise le sensorium, comme une longue suite de commotions épuise une pile volta'ique, ou Torgane électrique des poissons. Presque toutes les comparaisons que nous tirons des objets matériels , pour rendre sensibles les choses intellectuelles, sont , au fond , des identités.

Je désire que les considérations précédentes, tout imparfaites qu'elles sont, puissent attirer l'attention des observateurs philosophes sur les lois du sensorium ou du monde intellectuel , lois qu'il nous importe autant d'approfondir que celles do monde physique. On a imaginé des hypothèses à peu près semblables pour expliquer les phénomènes de ces deux mondes. Mais les fondements de ces hypothèses échappant à tous nos moyens d'observation et de calcul, on peut, à l^r égard, dire avec Montaigne, que f ignorance et FtHCuriosité sont un mol et doïÂX chevet , pour reposer une tite bien faite.

Des divers moyens Rapprocher de la certitude. L'induction, l'analogie, des hypothèses fondées i

23i ESSAI PHILOSOPHIQUE

sur les faits et rectifiées sans cesse par de noiireiles observations , un tact heureux donné par la nature et fortifié par des comparaisons nombreuses de ses indications avec l'expérience ; tels sont les principaux moyens de parvenir à la vérité.

Si Ton considère avec attention lu série des objets de même nature, on aperçoit entre eux , et dans leurs changements, des rapports qui se manifestent de plus en plus à mesure que la série se prolonge, et qui , en s*étendant et se généralisant sans cesse , conduisent enfin au principe dont ils dérivent. Mais souvent ces rapports sont enveloppés de tant de circonstances étrangères, qu*il faut une grande sagacité pour les démêler et pour remonter à ce principe : c'est en cela que consiste le véritable génie des sciences. L'analyse et la philosophie naturelle doivent leurs plus importantes découvertes à ce moyen fécond que Ton nomme induction. Newton lui a été redevable de son théorème du binôme, et du principe de la gravitation universelle. Il est difficile d'apprécier la probabilité des résultats de l'induction, qui se fonde sur ce que les rapports les plus simples sont les plus communs : c'est ce qui se vérifie dans les formules de l'analyse , et ce que l'on retrouve dans les phénomènes naturels, dans la cristallisation et dans les combinaisons chimiques: Cette simplicité de rapports ne paraîtra point éton-

oante , si Ton considère que tous les effets de la nature ne sont que les résultats mathématiques d'un petit nombre de lois immuables.

Cependant Tinduction, en faisant découvrir les principes généraux des sciences , ne suflSt pas pour les établir en rigueur. 11 faut toujours les confirmer par des démonstrations , ou par des expériences décisives; car l'histoire des sciences nous montre que l'induction a quelquefois conduit à des résultats inexacts. Je citerai pour exemple un théorème de Fermât sur les nombres premiers. Ce grand géomètre, qui avait profondément médité sur leur théorie, cherchait une formule qui, ne renfermant que des nombres premiers , donnât directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable. L'induction le conduisit à penser que deux, élevé à une puissance qui était elle-même une puissance de deux, formait avec l'unité un nombre premier. Ainsi deux, élevé au carré, plus un, forme le nombre premier cinq : deux , élevé à la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le nombre premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la huitième et la seizième puissance de deux, augmentées de l'unité : et cette induction, appuyée de plusieurs considérations arithmétiques, lui fit regarder ce résultat comme général. Cependant il avoua qu'il ne l'avait pas démontré. En effet,

336 CSSAI PHILOSOPHIQUE

Euler a reconnu que cela cesse d'avoir lieu pour la trente-deuxième puissance de deux , qui, augmentée de l'unité , donne 4â94867297 , nombre divisible par 641.

Nous jugeons par induction , que si des événements divers, des mouvements par exemple, paraissent constamment et depuis longtemps liés par un rapport simple, ils continueront sans cesse d'y être assujettis ; et nous en concluons, par la théorie des Cv probabilités, que ce rapport estdâ, non au hasard, mais à une cause régulière. Ainsi l'égalité des mouvements de rotation et de révolution de la lune ; celte des mouvements des nœuds de l'orbite et de Féquateur iunafre, et la coïncidence de ces nœuds ; le rapport singulier des mouvements des trois premiers satelHtes de Jupiter, suivant lequel la k>n gitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième, est égale à deux angles droits; l'^alité de l'intervalle des marées à celui des passages de la lune au méridien; le retour des plus grandes marées avec les syzygies, et des plus petites avec les quadratures; toutes ces choses, qui se maintiennent ilepuis qu'on les observe, indiquent avec une vraisemblance extrême l'existence de causes constantes que les géomètres sont heureusement parvenus à rattacher à la loi de la pesanteur universelle, et

SUR LES PRCmABILITËS. 257

dont la eonoaissaace rend certaine la perpétuité de ces rapports.

Le chancelier Bacon y promoteur si éloqu^itde la vraie méthode {Ailosophique, a fait de Tindnction un abus bien étrange, pour prouver l'immobilité de la terre. Voici comme il raisonne dans le Naoum Organwn^ son plus bel ouvrage, c Le mouvement des astres , d'orient en occident , est d'autant plus pmmpt, qu'ils sont plus étonnés de la terre. Ce mouvement est le plus rapide pour les étoiles : il se ralentit un peu pour Saturne, un peu plus pour Jupiter, et ainsi de suite, Jusqu'à la lune et aux comètes les moins élevées. Il est encore perceptible dans l'atmosphère, surtout entre les tropiques, à cause des grands cercles que les molécules de l'air y décrivent; enfin il est presque insensible pour l'Océan ; il est donc nul pour la terre. » Mais cette induction prouve seulement que Saturne et les astres qui lui sont inférieurs ont des mouvements propres, contraires au mouvement réel ou apparent qui emporté toute la sphère céfeste d'orient en occident, et que ces mouvements»paraissent plus lents pour les astres plus éloignés ; ce qui est conforme aux lois de l'optique. Bacon aurait dû être frappé de l'inconcevable vitesse qu'il faut supposer aux astres, pour accomplir leur révolution diurne, si la terre est immobile, et de l'extrême simplicité avec

laquelle sa rotation explique coinaient des corps aussi distants les uns des autres que les étoiles , le soleil, les planètes et la lune , semblent tous assujettis à cette révolution. Quant à TOcéanetà Tatmosphère, il ne devait point assimiler leur mouvement à celui des astres , qui sont détachés de la terre ; au lieu que Tair et la mer faisant partie du globe terrestre, ils doivent participer à son mouvement ou à son repos. Il est singulier que Bacon , porté aux grandes vues par son génie, n ait pas été entraîné par ridée majestueuse que le système de Copernic offre de l'univers. Il pouvait cependant trouver, en faveur de ce système, de fortes analogies dans les découvertes de Galilée , qui lui étaient connues. Il a donné, pour la recherche de la vérité, le précepte et non l'exemple. Hais en insistant avec toute la force de la raison et de Téloquence, sur la nécessité d'abandonner les subtilités insignifiantes de l'école, pour se livrer aux observations et aux expériences, et en indiquant la vraie méthode de s'élever aux causes générales des phénomènes, ce grand philosophe a contribué aux progrès immenses que l'esprit humain a faits dans le beau siècle où il a terminé sa carrière.

L'analogie est fondée sur la probabilité que les choses semblables ont des causes du même genre, et produisent les mêmes effets. Plus la similitude

est parfaite, plus cette probabilité augmente. Ainsi nous jugeons sans aucun doute que des êtres pourvus des mêmes organes , exécutant les mêmes choses, éprouvent les mêmes sensations et sont mus par les mêmes désirs. La probabilité que les animaux qui se rapprochent de nous par leurs organes, ont des sensations analogues aux nôtres, quoiqu'un peu inférieure à celle qui est relative aux individus de notre espèce, est encore excessivement grande; et il a fallu toute l'influence des préjugés religieux pour faire penser à quelques philosophes que les animaux sont de purs automates. La probabilité de l'existence du sentiment décroit à mesure que la similitude des organes avec les nôtres diminue; mais elle est toujours très-forte, même pour les insectes. En voyant ceux d'une même espèce exécuter des choses fort compliquées, exactement de la même manière , de générations en générations et sans les avoir apprises, on est porté à croire qu'ils agissent par une sorte d'afiinité, analogue à celle qui rapproche les molécules des cristaux, mais qui, se mêlant au sentiment attaché à toute organisation animale, produit, avec la régularité des combinaisons chimiques, des combinaisons beaucoup plus singulières : on pourrait peut-être nommer affimiti animale ce mélange des affinités électives et du sentiment. Quoiqu'il existe beaucoup d'analogie entre

rorgaoisatioii des plaaies et celle des animaux, elle ae me parait pas cependant suffisante pour étendre aux végétaux la faculté de sentir; mais rien n'autorise à la leur refuser.

Le soleil faisant éclore par raclion bienfaisante de sa lumière et de sa cbaleur les animaux et les plantes qui couvrent la terre» nous jugeons par Tanalogie qu'il produit des effets semblables sur les autres planètes ; car il n'est pas naturel de penser que la matière dont nous voyons l'activité se développer en tant de façons , sott stérile sur une aussi grosse planète que Jupiter qui» comme le globe terrestre , a ses jours , ses nuits et ses années» et sur lequel les observations indiquent des changements qui supposent des forces très-actives. Cependant» ce serait donner trop d'extension à l'analogie que d'en conclure la similitude des habitants des planètes et de la terre. L'homme» fait pour la température dont il jouit et pour l'élément qu'il respire » ne pourrait pas» selon toute apparence» vivre sur les autres planètes. Mais ne doit-il pas y avoir une infinité d'organisations relatives aux diverses constitutions des globes de cet univers? Si la seule différence des éléments et des climats met tant de variété dans les productions terrestres» combien plus doivent différer celles des diverses planètes et de leurs satellites? L'imagination la plus active ne

SUR LES PROBABILITÉS. Ui

peut s'en former aucune idée; mais leur existence est très-vraisembtable.

Nous sommes conduits par une forte analogie à regarder les étoiles comme autant de soleils doués, . ainsi que le nôtre» d'un pouvoir attractif proportionnel à la masse et réciproque au carré des distances ; car ce pouvoir étant démontré pour tous les corps du système solaire et pour leurs plus petites molécules, il parait appartenir à toute la matière. Déjà les mouvements des petites étoiles que l'on a nommées doubles à cause de leur rapprochement , paraissent Tindiquer : un siècle au plus d'observations précises , en constatant leurs mouvements de révolution les unes autour des autres, mettra hors de doute leurs attractions réciproques.

L'analogie qui nous porte à faire de chaque étoile le centre d'un système planétaire est beaucoup moins forte que la précédente ; mais elle acquiert de la vraisemblance par l'hypothèse que nous avons proposée sur la formation des étoiles et du soleil ; car, dans cette hypothèse, chaque étoile ayant été, comme le soleil, primitivement environnée d'une vaste atmosphère, il est naturel d*attribuer à cette atmosphère les mêmes effets qu'à l'atmosphère solaire , et de supposer qu'elle a produit, en se condensant, des planètes et des satellites.

Un grand nombre de découvertes dans les sciences

Ui ESSAI PHILOSOPHIQUE

sont dues à l'analogie. Je citerai , comme une des plus remarquables , la découverte de l'électricité atmosphérique, à laquelle on a été conduit par l'analogie des phénomènes électriques avec les effets du tonnerre.

La méthode la plus sûre qui puisse nous |;uider dans la recherche de la vérité , consiste à s'élever , par induction , des phénomènes aux lois et des lois aux forces. Les lois sont les rapports qui lient entre eux les phénomènes particuliers : quand elle& ont £ait connaître le principe général des forces dont elles dérivent, on le vérifie soit par des expériences directes f lorsque cela est possible /soit en exami^ nant s'il satisfait aux phénomènes connus; et si par une rigoureuse analyse on les voit tous découler de ce principe jusque dans leurs moindres détails ; si d'ailleurs ils sont très-variés et très-nombreux, la science alors acquiert le plus haut degré de certitude et de perfection qu'elle puisse atteindre. Telle est devenue l'astronomie par la découverte dâ la pesanteur universelle. L'histoire des sciences {ait voir que cette marche lente et pénible de l'induction n'a pas toujours été celle des inventeurs. L'tmàgination, impatiente de remonter aux causes, se plait à créer des hypothèses; et souvent elle dénature les faits, pour les plier à son ouvrage : alors, les hypothèses sont dangereuses. Mais quand on ne

V SUR LES PROBABILITÉS. â43

les envisage que comme des moyeos de lier entre eux les phénomènes pour en découvrir les lois; lorsqu'en évitant de leur attribuer de la réalité, on les rectifie sans cesse par de nouvelles observations, elles peuvent conduire aux véritables causes, ou du moins, nous mettre à portée de conclure des phénomènes observés, ceux que des circonstances données doivait faire éclore.

Si Ton essayait toutes les hypothèses que Ton peut former sur la cause des phénomènes , on parviendrait, par voie d'exclusion, à la véritable. Ce moyen a été employé avec succès : quelquefois on est arrivé à plusieurs hypothèses qui expliquaient également bien tous les faits connus, et entre lesquelles les savants se sont partagés, jusqu'à ce que des observations décisives aient fait connaître la véritable. Alors il est intéressant pour Thistoire de Tesprii humain, de revenir 'Sur ces hypothèses, de voir comment elles parvenaient à expliquer un gr^nd nombre de faits , et de rechercher les changements qu'elles doivent subir pour rentrer dans celle de la nature. C'est ainsi que le système de Ptolémée, qui n'est que la réalisation des apparences célestes , se transforme dans l'hypothèse du mouvement des planètes autour du soleil , en y rendant ^ux et parallèles à l'orbe solaire , les cercles et les épicycles que Ptolémée fait décrire annuelle*

ment et dont il laisse la grandeur indéterminée. Il suflSt ensuite, pour changer cette hypothèse dans le vrai système du monde , de transporter en sens contraire à la terre, le mouvement apparent du soleil.

Il est presque toujours impossible de soumettre au calcul la probabilité des résultats obtenus par ces divers moyens : c'est ce qui a lieu pareillement pour les faits historiques. Mais l'ensemble des phénomènes expliqués ou des témoignages est quelquefois tel, que sans pouvoir en apprécier la probabilité, on ne peut raisonnablement se permettre aucun doute à leur égard. Dans les autres cas , il est prudent de ne les admettre qu'avec beaucoup de réserve.

Notice historique sur le calcul des probabiHtis.

Depuis longtemps on a déterminé, dans les jeux les plus simples, les rapports des chances favorables ou contraires aux joueurs : les enjeux et les paris étaient réglés d'après ces rapports. Mais personne, avant Pascal et Fermât, n'avait donné des principes et des méthodes pour soumettre cet objet au calcul, et n'avait résolu des questions de ce genre un peu compliquées. Cest donc à ces deux grands géomètres qu'il faut rapporter les premiers

éléments de la science des probabilités » dont la découverte peut être mise au rang des choses remarquables qui ont illustré le xTn* siècle , celui de tous qui fait le plus d'honneur à Tesprit humain. Le principal problème qu'ils résolurent par des voies différentes , consiste ^ comme on Ta vu précédemment, à partager équitablement l'enjeu entre des joueurs dont les adresses sont égales, et qui conviennent de quitter une partie avant qu'elle finisse , la condition du jeu étant que pour gagner la partie, il faut atteindre, le premier, un nombre donné de points différent pour chacun des joueurs. Il est clair que le partage doit se faire proportionnellement aux probabilités respectives des joueurs de gagner cette partie, grobabilités dépendantes des nombres de points qui leur manquent encore. La méthode de Pascal est fort ingénieuse, et n'est au fond que l'équation aux différences partielles de ce problème, appliquée à déterminer les probabilités successives des joueurs, en allant des nombres les plus petits aux suivants. Cette méthode est limitée au cas de deux joueurs : celle de Fermât, fondée sur les combinaisons, s'étend à un nombre quelconque de joueurs. Pascal crut d'abord qu'elle était, comme la sienne, restreinte à deux joueurs; ce qui établit entre eux une discussion à la fin de laquelle Pascal reconnut la généralité de la méthode de Fermât.

Haygens réuoU les divers problèmes que l'oa avait déjà résolus, et en ajouta de aouveaux , dans ua petit Traité, le premier qui ait paru sur cette matière» et qui a pour titre : De Batiocmiis m ludo àhœ. Plusieurs géomètres s'en occupèrent ensuite : Hndde, le grand pensionnaire de Witt en Hollande, etHalley en Angleterre , appliquèrent le calcul aux probabilités de la vie humaine» et Halley publia» pour cet objet» la première table de mortalité. Vers le même temps» Jacques Bernouilli proposa aux géomètres divers problèmes de probabilité dont il donna depuis des solutions. Enfin» il composa son bel ouvrage intitulé : Ars coryeciandi, qui ne parut que sept ans après sa mort» arrivée en 17Q6, La science des probabilités est beaucoup plus appro*^ fondie dans cet ouvrage que dans celui de Huygens : Fauteur y donne une théorie générale des combi*' naisons et des suites, et rapplique à plusieurs ques*tionsdifficiles» concernant les hasards. Cet ouvrage est encore remarquable par la justesse et la finesse des vues » par l'emploi de la formula du bipôoiiç dans ce genre de questions, et par la démi^stratipo de ce théorème» savoir : qu'en multipliant indéfini*ment les observations et les expériences» le rapport des événements de diverses natures approche ^e celui de leurs possibilités respectives» dans des limites dont l'intervalle se resserre de plus en plus.

SUR LES PROBABILITÉS. Ul

à mesure qu'ils se multiplient y et devient moindre qu'aucune quantité assignable. Ce théorème est très-utile pour reconnaître par les obsenrations^ les lois et les causes des phénomènes. Bernouilli attachait avec raison une grande importance à sa démonstration qu'il dit avoir méditée pendant vingt années.

Dans l'Intervalle de la mort de Jacques Bernouilli à la publication de son ouvrage, Montmprt et Moivre firent paraître deux traités sur le calcul des probabilités. Celui de Montmort a pour titre : Essai sur ks Jeux de hcuard; il contient de nombreuses applications de ce calcul aux divers jeux* L'auteur y a joint dans la seconde édition quelques lettres dans lesquelles Nicolas Bernouilli donne des solutions ingénieuses de plusieurs problèmes difficiles. Le traité de Moivre , postérieur à celui de Montmort, parut d'abord dans les Transactions phihsophiques de Tannée 1711. Ensuite l'auteur le publia séparément, et il Ta perfectionné succèssivement dans les trois éditions qu'il en a données. Cet ouvrage est principalement fondé sur la formule du binôme, et les problèmes qu'il contient ont, ainsi que leurs solutions, une grande généralité. Mais ce qui le distingue , est la théorie des suites récurrentes et leur usage dans ces matières. Cette théorie est l'intégration des équations linéaires

aux différences finies à coefficients constants , intégration à laquelle Moivre parvient d'une manière très-heureuse.

Moivre a repris dans son ouvrage le théorème de Jacques Bernouilli sur la probabilité des résultats déterminés par un grand nombre d'observations. Il ne se contente pas de faire voir, comme Bernouilli, que le rapport des événements qui doivent arriver approche sans cesse de celui de leurs possibilités respectives ; il donne de plus une expression élégante et simple de la probabilité que la différence de ces deux rapports est contenue dans des limites données. Pour cela , il détermine le rapport du plus grand terme du développement d'une puissance très-élevée du binftme à la somme de tous ses termes y et le logarithme hyperbolique de l'excès de ce terme sur les termes qui en sont très-voisins. Le plus grand terme étant alors le produit d'un nombre considérable de facteurs , son calcul numérique devient impraticable. Pour l'obtenir par une approximation convergente , Moivre fait usage d*un théorème de Stirling sur le terme moyen du binôme élevé à une haute puissance, théorème remar* quable, surtout en ce qu'il introduit la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon , dans une expression qui semble devoir être étrangère à cette transcendante. Aussi Moivre fut«il ex-

StJH LES PROBABILITÉS. 240

trémement frappé de ce résultai que Sliriing avait déduit de l'expression de la circonférence en produits infinis y expression à laquelle Wallis était parvenu par une singulière analyse qui contient le germe de la théorie si curieuse et si utile des intégrales définies. Plusieurs savants , parmi lesquels on doit distinguer Deparcieuxy Eersseboom, Wargentin, Dupré de Saint-Maure y Simpson, Sussmilch, Hessène, Moheau, Price, Baily, et Duvilavd, ont réuni un grand nombre de données précieuses sur la population, les naissances, les mariages et la mortalité. Ils ont donné des formules et des tables relatives aux rentes viagères, aux tontines, aux assurances, etc. Mais dans cette courte notice, je ne puis qu'indiquer ces travaux utiles, pour m'attacher aux idées originales. De ce nombre est la distinction des espérances mathématique et morale, et le principe ingénieux que Daniel Bernouilli a donné pour soumettre celle-ci à l'analyse. Telle est encore l'application heureuse qu'il a faite du calcul des probabilités à l'inoculation. On doit surtout placer au nombre de ces idées originales , la considération directe des possibilités des événements , tirées des événements observés. Jacques Bernouilli et Moivre supposaient ces possibilités connues , et ils cherchaient la probabilité que le résultat des expériences à faire approchera de plus en plus de les

représenter. Bayes t dans les rramocfûms jpMZoïophiquesde Tannée 1763, a cherché directement la probabililé que les possibilités indiquées par des expériences déjà faites sont comprises dans des limites données ; et il y est parvenu d'une manière fine et très-ingénieuse» quoique un peu embarrassée* Cet objet se rattache à la théorie de la probabililé des causes et des événements futurs, conclue des événements observés ; théorie dont j'exposai , quelques années après, les principes, avec la remarque de Tinfluence des inégalités qui peuvent exister entre les chances que Ton suppose égales. Quoique l'on ignore quels sont les événements simples que ces inégalités favorisent, cependant cette ignorance même accroît souvent la probabilité des événements composés.

En généralisant l'analyse et les problèmes coucernant les probabilités^ je fus conduit au calcul des différences finies partielles que Lagrange a traité depuis, par une méthode fort simple, et dont il a fait d'élégantes applications à ce genre de problèmes. La théorie des fonctions génératrices , que je donnai vers le même temps, comprend ces objets

parmi ceux qu'elle embrasse, et s'adapte d'elle-même et avec la plus grande généralité aux questions de

probabilité les plus difficiles. Elle détermine encore

par des approximations très-convergentes, les va-

leurs des fooctions composées d'un grand nombre de termes et de facteurs ; et en faisant voir que la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon entre le plus souyent dans ces valeurs » elle montre qu'une infinité d'autres transcendantes peuvent s'y introduire.

On a encore soumis au calcul des probabilités les témoignages , les votes et les décisions des as« semblées électorales et délibérantes , et les juge* ments des tribunaux. Tant de passions, d'intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets , qu'elles sont presque toujours insolubles. Mais la solution de problèmes plus simples » et qui ont avec elles beaucoup d'analogie» peut souvent répandre sur ces questions diflBciles et importantes, de grandes lumières que la sûreté du calcul rend toujours préférables aux raisonnements les plus spécieux.

L'une des plus intéressantes applications du calcul des probabilités concerne les milieux qu'il fiiut choisir entre les résultats des observations. Plusieurs géomètres s'en sont occupés , et Lagrange a publié, dans les Mémoires de Turin, une belle méthode pour déterminer ces milieux , quand la loi des erreurs des observations est connue. J'ai donné pour le même objet une méthode fondée sur un artifice singulier qui peut être employé avec avantage

â5â ESSAI PHILOSOPHIQUE

dans d*aulres questions d'analyse , et qui en permettant d'étendre indéfiniment dans tout le cours d'un long calcul des fonctions qui doivent être limitées par la nature du problème, indique les modifications que chaque terme du résultat final doit recevoir en vertu de ces limitations. On a vu précédemment que chaque observation fournit une équation de condition du premier degré, qui peut toujours être disposée de manière que tous ses termes soient dans le premier membre, le second étant zéro. L'usage de ces équations est une des causes principales de la grande précision de nos tables astrononiiques, parce que l'on a pu ainsi faire concourir un nombre immense d'excellentes observations à la fixation de leurs éléments. Lors* qu'il n'y a qu'un seul élément à déterminer, Côtes avait prescrit de préparer les équations de condition de sorte que le coefficient de l'élément inconnu fut positif dans chacune d'elles; et d'ajouter ensuite toutesceséquations, pour former une équation finale d'où l'on tire la valeur de cet élément. La règle de Côtes fut suivie par tous les calculateurs. Mais quand il fallait déterminer plusieurs éléments , on n'avait aucune règle fixe pour combiner les équations de condition de manière à obtenir les équations finales nécessaires : seulement , on choisissait pour chaque élément les observations les plus

SUR LES PROBABÎLITËS. 2fô

propres à le détermiaer. Ce fut pour obvier à ces tâtonnements que MM. Legendre et Gauss imaginèrent d'ajouter les carrés des premiers membres des équations de condition , et d'en rendre la somme un minimum^ en y faisant varier chaque élément inconnu : par ce moyen on obtient directement aulant d*équations finales qu'il y a d'éléments. Mais les valeurs déterminées par ces équations méritentelles la préférence sur toutes celles que l'on peut obtenir par d'autres moyens? C'est ce que le calcul des probabilités pouvait seul apprendre. Je l'appliquai donc à cet objet important, et je parvins, par une analyse délicate , à une règle qui renferme la précédente , et qui réunit à l'avantage de donner par un procédé régulier les éléments cherchés, celui de les faire sortir avec le plus d'évidence de l'ensemble des observations, et d'en déterminer les valeurs qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs possibles. .

On n'a cependant encore qu'une connaissance imparfaite des résultats obtenus, tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles n'est pas connue : il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont contenues dans des limites données; ce qui revient à déterminer ce que j'ai nommé poûb d'un résultat. L'analyse conduit à des formules générales et simples pour cet objet. J'ai appliqué cette *

2SI ËSSAÎ PHILOSOPHIQUE

analyse aux résultats des observations géodésiques. Le problème général consiste à déterminer les probabilités que les valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires des erreurs d'un très*grand nombre d'observations, sont renfermées dans des limites quelconques.

La loi de possibilité des erreurs des observations introduit dans les expressions de ces probabilités une constante dont la valeur semble exiger la connaissance de cette loi presque toujours inconnue. Heureusement » cette constante peut être déterminée par les observations mêmes. Dans la recherche des éléments astronomiques» elle est donnée par la somme des carrés des différences entre chaque observation et le calcul. Les erreurs également probables étant proportionnelles à la racine carrée de cette somme , on peut par la comparaison de ces carrés , apprécier l'exactitude relative des diverses tables d'un même astre. Dans les opérations géodesiqueSy ces carrés sont remplacés par les carrés des erreurs des sommes observées des trois angles de dbaque triangle. La comparaison des carrés de ces erreurs fera donc juger de la précision relatire des instruments avec lesquels on a mesuré les angles. On voit, par cette comparaison, l'avantage du cercle répétiteur sur les instruments qu'il a remplacés dans la géodésie.

SUR LES PROBABILITES. 2SK

Il existe souTent dans les observations plusieurs sources d'erreurs : ainsi les positions des astres étant déterminées au moyen de la lunette méridienne et du cercle, tous deux susceptibles d'erreurs dont la loi de probabilité ne doit pas être supposée la même» les éléments que Ton déduit de ces positions sont affectés de ces erreurs. Les équations de condition que l'on forme pour avoir ces éléments » contiennent les erreurs de chaque instrument et elles y ont des coefficients différents. Le système le plus avantageux des facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement ces équations , pour obtenir par la réunion des produits autant d'équations finales qu'il y a d'éléments à déterminer, n'est plus alors celui des coefficients des éléments dans chaque équation de condition. L'analyse dont j'ai fait usage conduit facilement, quel que soit le nombre des sources d'erreur, au système de facteurs qui donne les résultats les plus avantageux ou dans lesquels une même erreur est moins probable que dans tout autre système. La même analyse détermine les lois de probabilité des erreurs de ces résultats. Ces formules renferment autant de constantes inconnues qu il y a de sources d'erreur , et qui dépendent des lois de probabilité de ces erreurs. On a vu que dans le cas d'une source unique , on peut déterminer cette constante en formant la somme des carrés des

résidus de chaque ëquatioa de condition, lorsqu'on y a substitué les valeurs trouvées pour les éléments. Un procédé semblable donne généralement les valeurs de ces constantes, quel que soit leur nombre ; ce qui complète l'application du calcul des probabilités aux résultats des observations.

Je dois ici faire une remarque importante. La petite incertitude que les observations , quand elles ne sont pas très-multipliées, laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler, rend un peu

incertaines les probabilités déterminées par l'analyse. Mais il suffit presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats obtenus sont renfermées dans d'étroites limites, approche extrêmement de l'unité ; et quand cela n'est pas , il suffit de savoir jusqu'à quel point on doit multiplier les observations pour acquérir une probabilité telle, qu'il ne reste sur la bonté des résultats aucun doute raisonnable. Les formules analytiques des probabilités remplissent parfaitement cet objet ; et sous ce rapport, elles peuvent être envisagées comme le complément nécessaire des sciences fondées sui* un ensemble d'observations susceptibles d'erreur. Elles sont même indispensables pour résoudre un grand nombre de questions dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent ou inconnues ou trop compliquées

pour être soumises ou calcul : souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et îrrëgulières ; mais elle reste toujours empreinte dans les événements produits par toutes ces causes, et elle y apporte des modifications qu'une longue suite d'observations peut déterminer. L'analyse des probabilités développe ces modifications ; elle assigne la probabilité de leurs causes « et elle indique les moyens d'acorottre de plus en plus cette proba*bilité. Ainsi , au milieu des causes irrégûlières qui agitent l'atmosphère , les changements périodiques de la chaleur solaire, du jour à la nuit» et de Thiver à l'été, produisent dans la pression de cette grande masse fluide, et dans la hauteur correspondante du baromètre, des oscillations diurnes et annuelles que de nombreuses observations borométriques ont fait connaître avec une probabilité au moins égale à celle des faits que nous regardons comme certains. Cest encore ainsi que la série des événements historiques nous montre l'action constante des grands principes de la morale , au milieu des passions et des intérêts divers qui agitent en tous sens les sociétés. 11 est remarquable qu'une science qui a commencé par la considération des jeux, se soit élevée aux plus importants objets des

connaissances humaines.

J'ai rassemblé toutes ces méthodes dans ma

Théorie analytique des probàbilitéê , où je me suis proposé d'exposer de la manière la plus générale les principes et l'analyse du calcul des probabilités, ainsi que les solutions des problèmes les plus intéressants et les plus difficiles que ce calcul présente.

On voit par cet Essai que la théorie des probabi* lités n'est au fond que le bon sens réduit au calcul ; elle fait apprécier avec exactitude ce que les esprits justes sentent avec une sorte d'instinct» sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre» toutes les fois que l'on peut» à son moyen» déterminer le choix le plus avantageux. Par là» elle devient le supplément le plus heureux à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Si Ton considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance; la vérité des principes qui lui servent de base » la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes» les établissements d'utilité publique qui s'appuyent sur elle^ et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore» par son application aux questions les plus importantes de la philosophie naturelle et des sciences morales ; si l'on observe ensuite que dan$ les choses même qui ne peuvent être soumises au calcul» elle donne les aperçus les

plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugements, et qu'elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent, on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations, et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.