ESS\l PHILOSOPHIQUE

» qui entraînent l'esprit sans qu'il y pense. Qui » a démontré qu'il fera demain jour, et que nous » mourrons? et qu'y «-t-il de plus universelle- » ment cru? C'est donc la coutume qui nous en » persuade; c'est elle qui fait tant de turcs et de » païens; c'est elle qui fait les métiers, les » soldats, etc. Il est vrai qu'il ne faut pas com- » mencer par elle pour trouver la vérité; mais » il faut avoir recours à elle quand une fois l'es- » prit a vu où est la vérité, afin de nous abreuver » et de nous teindre de cette croyance qui nous » échappe à toute heure ; car d'en avoir toujours » les preuves présentes, c'est trop d'affaires. Il » faut acquérir une croyance plus facile, qui est » celle de l'habitude qui , sans violence, sans art, » sans argument, nous fait croire les choses, et » incline toutes nos puissances à cette croyance , » en sorte que notre âme y tombe naturellement. » Ce n'est pas assez de ne croire que par la force » de la conviction , si les sens nous portent à » croire le contraire. Il faut donc faire marcher » nos deux pièces ensemble : l'esprit , par les rai- » sons qu'il suffit d'avoir vues une fois en sa vie ; » et les sens , par la coutume , et en ne leur per- » mettant pas de s'incliner au contraire. »

T^e moyen que propose Pascal pour la conversion d'un incrédule, peut être employé avec

siuK S |)()iir détruire un préjugé reçu dès Tenfance et enraciné par Thabitude. Ces sortes de préjugés naissent souvent de la plus faible cause, dans les imaginations actives. Qu'une personne , attachant au mot gauche une idée de malheur, fasse journellement de la main droite une chose que l'on puisse exécuter indifféremment de Tune ou de l'autre main ; cette habitude peut accroître la répugnance à se servir pour cela de la main gauche , au point de rendre la raison impuissante contre ce préjugé. Il est naturel de croire qu'Auguste , doué d'une raison supérieure à tant d'égards , s'est reproché quelquefois sa faiblesse de n'oser se mettre en route le lendemain d'un jour de foire , et qu'il a voulu la surmonter. Mais au moment d'entreprendre un voyage dans l'un de ces jours réputés malheureux , il a pu se dire que le plus sûr était de le différer, augmentant ainsi sa répugnance par l'habitude d'y céder. La répétition fréquente d'actes contraires à ces préjugés doit , à la longue , les affaiblir et les faire entièrement disparaître.

L'attachement que l'on porte aux personnes qu'on a souvent obligées, découle du principe que nous venons de développer. La répétition fréquente d'actes en leur faveur, accroît et fait même naître quelquefois le sentiment dont ils

^44 ESSAI philosophiquï:

sont la suite naturelle. Les actes que le goût d'une chose nous fait exécuter fréquemment, augmentent l'intensité de ce goût, et le transforment souvent en passion.

On voit par ce qui précède, combien notre croyance dépend de nos habitudes. Accoutumés à juger et à nous conduire d'après un certain genre de probabilités , nous donnons à ces probabilités notre assentiment , comme par instinct , et elles nous déterminent avec plus de force que des probabilités bien supérieures , résultats de la réflexion ou du calcul. Pour diminuer autant qu'il est possible cette cause d'illusion , il faut appeler l'imagination et les sens au secours de la raison. Que l'on figure par des lignes les probabilités respectives , on sentira beaucoup mieux leur différence. Une ligne qui représenterait la probabilité du témoignage sur lequel un fait extraordinaire est appuyé , placée à côté de la ligne qui représente^ rait l'invraisemblance de ce fait , rendrait très sensible la probabilité de l'erreur du témoignage; comme un tableau dans lequel les hauteurs des montagnes sont rapprochées , donne une idée frappante des rapports de ces hauteurs. Ce moyen peut être employé dans plusieurs cas avec succès. Pour rendre sensible l'immensité de l'univers, que l'on représente par une quantité presque impercep-

tible, par un dixième de millimètre, la plus grande étendue de la France en longueur, la distance du Soleil à la Terre sera de quatorze mètres : celle de l'étoile la plus proche surpassera un million et demi de mètres, c'est-à-dire sept ou huit fois le rayon du plus grand horizon que l'œil puisse embrasser du point le plus élevé. On n'aura encore ainsi qu'une très faible image de la grandeur de l'univers qui s'étend infiniment au-delà des plus brillantes étoiles, comme le prouve ce nombre prodigieux d'étoiles placées les unes au-delà des autres , et se dérobant à la vue dans la profondeur des cieux. Mais toute faible qu'elle est, cette image suffit pour nous faire sentir l'absurdité des idées de prééminence de l'homme sur toute la nature, idées dont on a tiré de si étranges conséquences.

Nous établirons enfin, comme principe de Psychologie , l'exagération des probabilités par les passions. La chose que l'on craint ou que l'on désire vivement , nous semble , par cela même , plus probable. Son image, fortement retracée dans le sensorium , affaiblit l'impression des probabilités contraires , et quelquefois les efface au point de faire croire la chose arrivée. La réflexion et le temps , en diminuant la vivacité de ces sen-

timens, rendent à Tesprit le calme nécessaire pour bien apprécier la probabilité des choses.

Les vibrations du sensorium doivent être, comme tous les mouvemens , assujéties aux lois de la Dynamique , et cela est confirmé par l'expérience. Les mouvemens qu'elles impriment au système musculaire , et que ce système communique aux corps étrangers, sont, comme dans le développement des ressorts , tels , que le centre commun de gravité de notre corps et de ceux qu'il fait mouvoir reste immobile. Ces vibrations se superposent les unes aux autres, comme on voit les ondulations des fluides se mêler sans se confondre. Elles se communiquent aux individus, comme les vibrations d'un corps sonore aux corps qui l'environnent. Les idées complexes se forment de leurs idées simples , comme le flux de la mer se compose des flux partiels que produisent le Soleil et la Lune. L'hésitation entre des motifs opposés est un équilibre de forces égales. Les changemens brusques que l'on produit dans le sensorium , éprouvent la résistance qu'un système matériel oppose à des changemens semblables; et si l'on veut éviter les secousses et ne pas perdre de force vive , il faut agir, comme dans ce système, par nuances insensibles. Une attention forte et continue épuise le sensorium , comme

SinPïJ» PBOB A B I L 1 1 L> . 247

une longue suite de commotions épuise une pile voltaï(|ue , ou Torgane électrique des poissons. Presque toutes les comparaisons que nous tirons des objets matériels, pour rendre sensibles les choses intellectuelles , sont, au fond, des identités.

Je désire que les considérations précédentes, tout imparfaites qu'elles sont, puissent attirer l'attention des observateurs philosophes sur les lois du sensorium ou du monde intellectuel, lois qu'il nous importe autant d'approfondir que celles du monde physique. On a imaginé des hypothèses à peu près semblables pour expliquer

f les phénomènes de ces deux mondes. Mais les fondemens de ces hypothèses échappant à tous nos moyens d'observation et de calcul , on peut à leur égard, dire avec Montaigne, que l* ignorance

f et Vincuriosité sont un mol et doux chevet, pour

f reposer une tête bien faite.

Des dis^ers mojens d approcher de la certitude.

L'induction, l'analogie, des hypothèses fondées sur les faits et rectifiées s^ns cesse par de nouvelles observations, un tact heureux donné par la nature et fortifié par des comparaisons nombreuses de ses indications avec l'expérience; tels sont les principaux moyens de parvenir à la vérité.

a48 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Si Ton considère avec attention la série des objets de même nature , on aperçoit entre eux , et dans leurs changemens, des rapports qui se manifestent de plus en plus à mesure que la série se prolonge, et qui, en s' étendant et se généralisant sans cesse , conduisent enfin au principe dont ils dérivent. Mais souvent ces rapports sont enveloppés de tant de circonstances étrangères, qu'il faut une grande sagacité pour les démêler et pour remonter à ce principe : c'est en cela que consiste le véritable génie des sciences. L'Analyse et la Philosophie naturelle doivent leurs plus importantes découvertes à ce moyen fécond que l'on nomme induction. Newton lui a été redevable de son théorème du binôme, et du principe de la gravitation universelle. Il est difficile d'apprécier la probabilité des résultats de l'induction , qui se fonde sur ce que les rapports les plus simples sont les plus communs : c'est ce qui se vérifie dans les formules de l'Analyse , et ce que l'on retrouve dans les phénomènes naturels, dans la cristallisation et dans les combinaisons chimiques. Cette simplicité de rapports ne paraîtra point étonnante, si l'on considère que tous les effets de la nature ne sont que les résultats mathématiques d'un petit nombre de lois immuables.

SUA LES PROBABILITÉS. I^g

Cependant Tinduction, en faisant découvrir les principes généraux des sciences , ne suffit pas pour les établir en rigueur. Il faut toujours les confirmer par des démonstrations, ou par des expériences décisives; car l'histoire des sciences nous montre que Tinduction a quelquefois conduit à des résultats inexacts. Je citerai pour exemple, un théorème de Fermât sur les nombres premiers. Ce grand géomètre , qui avait profondément médité sur .leur théorie, cherchait une formule qui, ne renfermant que des nombres premiers , donnât directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable. L'induction le conduisit à penser que deux , élevé à une puissance qui était elle-même une puissance de deux, formait avec l'unité un nombre premier. Ainsi deux, élevé au carré , plus un , forme le nombre premier cinq : deux, élevé à la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le nombre premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la huitième et la seizième puissance de deux, augmentées de l'unité; et cette induction, appuyée de plusieurs considérations arithmétiques , lui fit regarder ce résultat comme général. Cependant il avoua qu'il ne l'avait pas démontré. En effet, Euler a reconnu que cela cesse d'avoir lieu pour la trente-deuxième puis-

aSo ESSAI PHILOSOPHIQUE

sance de deux , qui , augmentée de Tuiiité , donne 4294967297, nombre divisible par 64 1 .

Nous jugeons par induction, que si des évènemens divers, des mouvemens par exemple, paraissent constamment et depuis long-temps liés par un rapport simple, ils continueront sans cesse d'y être assujétis; et nous en concluons par la théorie des probabilités , que ce rapport est dû , non au hasard , mais à une cause régulière. Ainsi l'égalité des mouvemens de rotation et de révolution de la Lune ; celle des mouvemens des nœuds de l'orbite et de l'équateur lunaire , et la coïncidence de ces nœuds ; le rapport singulier des mouvemens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant lequel la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième , est égale à deux angles droits; l'égalité de l'intervalle des marées à celui des passages de la Lune au méridien ; le retour des plus grandes marées avec les syzygies , et des plus petites avec les quadratures ; toutes ces choses , qui se maintiennent depuis qu'on les observe , indiquent avec une vraisemblance extrême l'existence de causes constantes que les géomètres sont heureusement parvenus à rattachera la loi de la pesanteur universelle, et dont la connaissance rend certaine la perpétuité de ces rapports.

Le chancelier Bacon , promoteur si éloquent de la vraie méthode philosophique, a fait de Tinduc don un abus bien étrange, pour prouver l'immobilité de la Terre. Voici comme il raisonne dans le Nosfum Organum^ son plus bel ouvrage. « I^ mouvement des astres , d'orient en occident, est d'autant plus prompt, qu'ils sont plus éloignés de la Terre. Ce mouvement est le plus rapide pour les étoiles : il se ralentit un peu pour Saturne, im peu plus pour Jupiter, et ainsi de suite, jusqu'à la Lune et aux comètes les moins élevées. Il est encore perceptible dans l'atmosphère, surtout entre les tropiques, à cause des grands cercles que les molécules de l'air y décrivent; enfin il est presque insensible pour l'Océan ; il est donc nul pour la Terre. » Mais cette induction prouve seulement que Saturne et les astres qui lui sont inférieurs ont des mouvemens propres , contraires au mouvement réel ou apparent qui emporte toute la sphère céleste d'orient en occident, et que ces mouvemens paraissent plus lents pour les astres plus éloignés; ce qui est conforme aux lois de l'Optique. Bacon aurait du être frappé de l'inconcevable vitesse qu'il faut supposer aux astres, pour accomplir leur révolution diurne, si la Terre est immobile , et de l'extrême simplicité avec laquelle sa rotation explique comment

aSa ESSAI PHILOSOPHIQUE

des corps aussi distans les uns des autres que les étoiles, le Soleil , les planètes et la Lune, sem* blent tous assujétis à cette révolution. Quant à l'Océan et à l'atmosphère, il ne devait point assimiler leur mouvement à celui des astres, qui sont détachés de la terre; au lieu que l'air et la mer faisant partie du globe terrestre , ils doivent participer à son mouvement ou à son repos. Il est singulier que Bacon , porté aux grandes vues par son génie , n'ait pas été entraîné par l'idée majestueuse que le système de Copernic offre de l'univers. Il pouvait cependant trouver, en faveur de ce système, de fortes analogies dans les découvertes de Galilée, qui lui étaient connues. Il a donné , pour la recherche de la vérité , le précepte et non l'exemple. Mais en insistant avec toute la force de la raison et de l'éloquence , sur la nécessité d'abandonner les subtilités insignifiantes de l'école, pour se livrer aux obseï^ vations et aux expériences, et en indiquant la vraie méthode de s'élever aux causes générales des phénomènes , ce grand philosophe a contribué aux progrès immenses que l'esprit humain a faits dans le beau siècle où il a terminé sa carrière.

L'analogie est fondée sur la probabilité que les choses semblables ont des causer du même

SUR LES PROBABILITE. a 53

genre, et produisent les mêmes effets. Plus la similitude est parfaite, plus cette probabilité augmente. Ainsi nous jugeons sans aucun doute que des êtres pourvus des mêmes organes , exécutant les mêmes choses, éprouvent les mêmes sensations et sont mus par les mêmes désirs. La probabilité que les animaux qui se rapprochent de nous par leurs organes, ont des sensations analogues aux nôtres, quoiqu'un peu inférieure à celle qui est relative aux individus de notre espèce, est encore excessivement grande ; et il a fallu toute l'influence des préjugés religieux pour faire penser à quelques philosophes que les animaux sont de purs automates. La probabilité de l'existence du sentiment décroît à mesure que la similitude des organes avec les nôtres diminue ; mais elle est toujours très forte , même pour les insectes. En voyant ceux d'une même espèce exécuter des choses fort compliquées , exactement de la même manière , de générations en générations et sans les avoir apprises , on est porté à croire qu'ils agissent par une sorte d'affinité, analogue à celle qui rapproche les molécules des cristaux, mais qui , se mêlant au sentiment attaché à toute organisation animale, produit , avec la régularité des combinaisons chimiques , des combinaisons beaucoup plus singu-

a54 ESSAI PHILOSOPHIQUE

lières : on pourrait peut-être nommer affinité animale ce mélange des affinités électives et du sentiment. Quoiqu'il existe beaucoup d'analogie entre l'organisation des plantes et celle des animaux , elle ne me paraît pas cependant suffisante pour étendre aux végétaux la faculté de sentir; mais rien n'autorise à la leur refuser.

Le Soleil faisant éclore par l'action bienfaisante de sa lumière et de sa chaleur les animaux et les plantes qui couvrent la terre, nous jugeons par l'analogie qu'il produit des effets semblables sur les autres planètes ; car il n'est pas naturel de penser que la matière dont nous voyons l'activité se développer en tant de façons, soit stérile sur une aussi grosse planète que Jupiter qui , comme le globe terrestre, a ses jours, ses nuits et ses années, et sur lequel les observations indiquent des changemens qui supposent des forces très actives. Cependant, ce serait donner trop d'extension à l'analogie que d'en conclure la similitude des habitans des planètes et de la Terre. L'homme , fait pour la température dont il jouit et pour l'élément qu'il respire, ne pourrait pas, selon toute apparence, vivre sur les autres planètes. Mais ne doit-il pas y avoir une infinité d'organisations relatives aux diverses constitutions des globes de cet univers ? Si la seule diffé-

SUm LES PROBABILITÉS. îlSS

reiice des éJémens et des climats met tant de val'iété dans les productions terrestres, combien plus doivent différer celles des diverses planètes et de leurs satellites ! L'imagination la plus active ne peut s'en former aucune idée ; mais leur existence est très vraisemblable.

Nous sommes conduits par une forte analogie à regarder les étoiles comme autant de soleils doués, ainsi que le notre, d'un pouvoir attractif proportionnel à la masse et réciproque au carré des distances; car ce pouvoir étant démontré pour tous les corps du système solaire et pour leurs plus petites molécules , il paraît appartenir à toute la matière. Déjà les mouvemens des petites étoiles que l'on a nommées doubles à cause de leur rapprochement, paraissent l'indiquer : im siècle au plus d'observations précises , en constatant leurs mouvemens de révolution les unes autour des autres, mettra hors de doute leurs attractions réciproques.

L'analogie qui nous porte à faire de chaque étoile le centre d'un système planétaire est beaucoup moins forte que la précédente; mais elle acquiert de la vraisemblance par l'hypothèse que nous avons proposée sur la formation des étoiles et du Soleil; car, dans cette hypothèse, chaque étoile ayant été comme le Soleil , primitivement

environnée d'une vaste atmosphère, il est naturel d'attribuer à cette atmosphère les mêmes effets qu'à l'atmosphère solaire , et de supposer qu'elle a produit, en se condensant, des planètes et des satellites.

Un grand nombre de découvertes dans les sciences sont dues à l'analogie. Je citerai, comme une des plus remarquables, la découverte de l'électricité atmosphérique, à laquelle on a été conduit par l'analogie des phénomènes électriques avec les effets du tonnerre.

La méthode la plus sûre qui puisse nous guider dans la recherche de la vérité , consiste à s'élever, par induction, des phénomènes aux lois et des lois aux forces. Les lois sont les rapports qui lient entre eux les phénomènes particuliers : quand elles ont fait connaître le principe général des forces dont elles dérivent, on le vérifie soit par des expériences directes, lorsque cela est possible, soit en examinant s'il satisfait aux phénomènes connus; et si par une rigoureuse analyse on les voit tous découler de ce principe jusque dans leurs moindres détails ; si d'ailleurs ils sont très variés et très nombreux, la science alors acquiert le plus haut degré de certitude et de perfection qu'elle puisse atteindre. Telle est devenue l'Astronomie par la découverte de la pe-

SUR LES PROBABILITlêS. ^B*]

sauteur universelle. L'histoire des sciences fait voir que cette marche lente et pénible de Tinduo tion n'a pas toujours été celle des inventeurs. L'imagination impatiente de remonter aux causes, se plaît à créer des hypothèses; et souvent elle dénature les faits , pour les plier à son ouvrage : alors, les hypothèses sont dangereuses. Mais quand on ne les envisage que comme des moyens de lier entre eux les phénomènes pour en découvrir les lois; lorsqu'en évitant de leur attribuer de la réalité , on les rectifie sans cesse par de nouvelles observations , elles peuvent conduire aux véritables 'causes , ou du moins , nous mettre à portée de conclure des phénomènes observés, ceux que des circonstances données doivent faire éclore .

Si l'on essayait toutes les hypothèses que l'on peut former sur la cause des phénomènes , on parviendrait, par voie d'exclusion, à la véritable. Ce moyen a été employé avec succès : quelquefois on est arrivé à plusieurs hypothèses qui expliquaient également bien tous les faits connus, et entre lesquelles les savans se sont partagés , jusqu'à ce que des observations décisives aient fait connaître la véritable. Alors il est intéressant pour l'histoire de l'esprit humain, de revenir sur ces hypothèses, de voir comment elles parve-

naient à expliquer un grand nombre de faits, et de rechercher les changemens qu'elles doivent subir pour rentrer dans celle de la nature. C'est ainsi que le système de Ptolémée, qui n'est que la réalisation des apparences célestes, se transforme dans l'hypothèse du mouvement des planètes autour du Soleil , en y rendant égaux et parallèles à l'orbe solaire , les cercles et les épicycles que Ptolémée fait décrire annuellement et dont il laisse la grandeur indéterminée. Il suffit ensuite, pour changer cette hypothèse dans le vrai système du monde , de transporter en sens contraire à la Terre , le mouvement apparent du Soleil.

Il est presque toujours impossible de soumettre au calcul la probabilité des résultats obtenus par ces divers moyens : c'est ce qui a lieu pareillement pour les faits historiques. Mais l'ensemble des phénomènes expliqués ou des témoignages est quelquefois tel , que sans pouvoir en apprécier la probabilité, on ne peut raisonnablement se permettre aucun doute à leur égard. Dans les autres cas , il est prudent de ne les admettre qu'avec beaucoup de réserve.

SUR LES PROBABILITKS. uSq

Notice Jiist(tri(iii(' sur le Calcul des Probabilités.

Depuis long-temps on a déterminé dans les jeux les plus simples, les rapports des chances favorables ou contraires aux joueurs : les enjeux et les paris étaient réglés d'après ces rapports. Mais personne, avant Pascal et Fermât, n'avait donné des principes et des méthodes pour soumettre cet objet au calcul , et n'avait résolu des questions de ce genre un peu compliquées. C'est donc à ces deux grands géomètres qu'il faut rapporter les premiers élémens de la science des probabilités , dont la découverte peut être mise au rang des choses remarquables qui ont illustré le xvii^ siècle , celui de tous qui fait le plus d'honneur à l'esprit humain. Le principal problème qu'ils résolurent par des voies différentes , consiste, comme on l'a vu précédemment, à partager équitablement l'enjeu entre des joueurs dont les adresses sont égales, et qui conviennent de quitter une partie avant qu'elle finisse, la condition du jeu étant que pour gagner la partie, il faut atteindre, le premier, un nombre donné de points différent pour chacun des joueurs. Il est clair que le partage doit se faire proportionnellement aux probabilités respectives des joueurs de gagner cette

partie, probabilités dépendantes des nombres de points qui leur manquent encore. La méthode de Pascal est fort ingénieuse , et n'est au fond que Téquation aux différences partielles de ce problème, appliquée à déterminer les probabilités successives des joueurs, en allant des nombres les plus petits aux suivans. Cette méthode est limitée au cas de deux joueurs : celle de Fermât, fondée sur les combinaisons, s'étend à un nombre quelconque de joueurs. Pascal crut d'abord qu'elle était, comme la sienne, restreinte à deux joueurs ; ce qui établit entre eux une discussion à la fin de laquelle Pascal reconnut la généralité de la méthode de Fermât.

Huygens réunit les divers problèmes que l'on avait déjà résolus, et en ajouta de nouveaux, dans un petit Traité, le premier qui ait paru sur cette matière, et qui a pour titre : De Ratiociniis in ludo aleœ. Plusieurs géomètres s'en occupèrent ensuite : Hudde, le grand pensionnaire Witt en Hollande, et Halley en Angleterre, appliquèrent le calcul aux probabilités de la vie humaine, et Halley publia pour cet objet, la première table de mortalité. Vers le même temps , Jacques Bernoulli proposa aux géomètres divers problèmes de probabilité dont il donna depuis des solutions. Enfin il composa son bel ouvrage intitulé : Ars

conjectafidi , qui ne parut que sept ans après sa mort, arrivée en 1706. La science des probabilités est beaucoup plus approfondie dans cet ouvrage que dans celui d'Huygens : l'auteur y donne une théorie générale des combinaisons et des suites, et l'applique à plusieurs questions difficiles, concernant les hasards. Cet ouvrage est encore remarquable par la justesse et la finesse des vues, par l'emploi de la formule du binôme dans ce genre de questions, et par la démonstration de ce théorème , savoir : qu'en multipliant indéfiniment les observations et les expériences , le rapport des évènemens de diverses natures approche de celui de leurs possibilités respectives, dans des limites dont l'intervalle se resserre de plus en plus, à mesure qu'ils se multiplient, et devient moindre qu'aucune quantité assignable. Ce théorème est très utile pour reconnaître par les observations , les lois et les causes des phénomènes. Bernoulli attachait avec raison une grande importance à sa démonstration qu'il dit avoir méditée pendant vingt années.

Dans l'intervalle de la mort de Jacques Bernoulli à la publication de son ouvrage, Montmort et Moivre firent paraître deux traités sur le calcul des probabilités. Celui de Montmort a pour titre : Essai sur les Jeiix de hasard; il con-

a62 ESSAI PHILOSOPHIQUE

tient de nombreuses applications de ce calcul aux divers jeux. L'auteur y a joint dans la seconde édition , quelques lettres dans lesquelles Nicolas Bernoulli donne des solutions ingénieuses de plusieurs problèmes difficiles. Le traité de Moivre , postérieur à celui de Montmort, parut d'abord dans les Transactions philosophiques de l'année 17 ii. Ensuite l'auteur le publia séparément, et il l'a perfectionné successivement dans les trois éditions qu'il en a données. Cet ouvrage est principalement fondé sur la formule du binôme, et les problèmes qu'il contient ont, ainsi que leurs solutions, une grande généralité. Mais ce qui le distingue , est la théorie des suites récurrentes et leur usage dans ces matières. Cette théorie est l'intégration des équations linéaires aux différences finies à coefficients constans , intégration à laquelle Moivre parvient d'une manière très heureuse.

Moivre a repris dans son ouvrage le théorème de Jacques Bernoulli sur la probabilité des résultats déterminés par un grand nombre d'observations. Il ne se contente pas de faire voir, comme Bernoulli, que le rapport des évènemens qui doivent arriver approche sans cesse de celui de leurs possibilités respectives ; il donne de plus une expression élégante et simple de la probabilité que

^UK LSb PROBABILITÉS. a63

la différence de ces deux rapports est contenue dans des limites données. Pour cela, il détermine le rapport du plus grand terme du développe» ment d'une puissance très élevée du binôme à la somme de tous ses termes , et le logarithme hy» perbolique de Texcès de ce terme sur les termes qui en sont très voisins. Le plus grand terme étant alors le produit d'un nombre considérable de facteurs , son calcul numérique devient impraticable. Pour l'obtenir par une approximation convergente, Moivre fait usage d'un théorème de Stirling sur le terme moyen du binôme élevé à une haute puissance, théorème remarquable, surtout en ce qu'il introduit la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon, dans une expression qui semble devoir être étrangère à cette transcendante. Aussi Moivre fut41 extrêmement frappé de ce résultat que Stirling avait déduit de l'expression de la circonférence en produits infinis, expression à laquelle Wallis était parvenu par une singulière analyse qui contient le germe de la théorie si curieuse et si utile des intégrales définies.

Plusieurs savans, parmi lesquels on doit distinguer Deparcieux, Kersseboom, Wargentin, Dupré de Saint-Maure, Simpson, Sussmilch, Messène, Moheau, Price, Baily et Duvillard,

ont réuni un grand nombre de données précieuses sur la population, les naissances, les mariages et la mortalité. Ils ont donné des formules et des tables relatives aux rentes viagères, aux tontines, aux assurances, etc. Mais dans cette courte notice , je ne puis qu'indiquer ces travaux utiles , pour m'attacher aux idées originales. De ce nombre est la distinction des espérances mathématique et morale, et le principe ingénieux que Daniel BernouUi a donné pour soumettre celle-ci à l'analyse. Telle est encore l'application heureuse qu'il a faite du calcul des probabilités à l'inoculation. On doit surtout placer au nombre de ces idées originales, la considération directe des possibilités des évènemens, tirées des évènemens observés. Jacques Bernoulli et Moivre supposaient ces possibilités connues, et ils cherchaient la probabilité que le résultat des expériences à faire approchera de plus en plus de les représenter. Bayes , dans les Transactions philosophiques de l'année 1763, a cherché directement la probabilité que les possibilités indiquées par des expériences déjà faites sont comprises dans des limites données; et il y est parvenu d'une manière fine et très ingénieuse, quoique un peu embarrassée. Cet objet se rattache à la théorie de la probabilité des causes et des évènemens futurs ,

SUR LES PROBABILITÉS. l65

conclue des évènemens observés; théorie dont j'exposai , quelques années après , les principes , avec la remarque de l'influence des inégalités qui peuvent exister entre les chances que Ton suppose égales. Quoique Ton ignore quels sont les évènemens simples que ces inégalités favorisent, cependant cette ignorance même accroît souvent la probabilité des évènemens composés.

En généralisant l'Analyse et les problèmes concernant les probabilités , je fus conduit au calcul des différences finies partielles que Lagrange a traité depuis , par une méthode fort simple , et dont il a fait d'élégantes applications à ce genre de problèmes. La théorie des fonctions génératrices, que je donnai vers le même temps, comprend ces objets parmi ceux qu'elle embrasse, et s'adapte d'elle-même et avec la plus grande généralité aux questions de probabilité les plus difficiles. Elle détermine encore par des approximations très convergentes, les valeurs des fonctions composées d'un grand nombre de termes et de facteurs ; et en faisant voir que la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon entre le plus souvent dans ces valeurs , elle montre qu'une infinité d'autres transcendantes peuvent s'y introduire.

On a encore soumis au calcul des probabilités

les témoignages, les votes et les décisions des assemblées électorales et délibérantes , et les jugemens des tribunaux. Tant de passions , d'intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets, qu'elles sont presque toujours insolubles. Mais la solution de problèmes plus simples, et qui ont avec elles beaucoup d'analogie , peut souvent répandre sur ces questions difficiles et importantes , de grandes lumières que la sûreté du calcul rend toujours préférables aux raisonnemens les plus spécieux. L'une des plus intéressantes applications du calcul des probabilités concerne les milieux qu'il faut choisir entre les résultats des observations. Plusieurs géomètres s'en sont occupés, et Lagrange a publié, dans les Mémoires de Turin , une belle méthode pour déterminer ces milieux , quand la loi des erreurs des observations est connue. J'ai donné pour le même objet , une méthode fondée sur un artifice singulier qui peut çtre employé avec avantage dans d'autres questions d'analyse, et qui en permettant d'étendre indéfiniment dans tout le cours d'un long calcul, des fonctions qui doivent être limitées par la naturel du problème, indique les modifications que chaque terme du résultat final doit recevoir en vertu de ces limitations. On a vu précédemment

SUR LES PROBABILITÉS. 'x6'J

(jiie cliaqiie observation fournit une équation de condition du premier degré, qui peut toujours être disposée de manière que tous ses termes soient dans le premier membre , le second étant zéro. L'usage de ces équations est une des causes principales de là grande précision de nos tables astronomiques, parce que Ton a pu ainsi faire concourir un nombre immense d'excellentes observations à la fixation de leurs élémens. Lorsqu'il n'y a qu'un seul élément à déterminer. Côtes avait prescrit de préj^arer les équations de condition de sorte que le coefficient de l'élément in» connu fut positif dans chacune d'elles; et d'ajou* ter ensuite toutes ces équations, pour former une équation finale d'où l'on tire la valeur de cet élément. La règle de Cotes fut suivie par tous les calculateurs. Mais quand il fallait déterminer plusieurs élémens , on n'avait aucune règle fixe pour combiner les équations de condition de manière à obtenir les équations finales nécessaires : seulement, on choisissait pour chaque élément les observations les plus propres à le déterminer. Ce fiit pour obvier à ces tâtonnemens que MM. Legendre et Gauss imaginèrent d'ajouter les carrés des premiers membres des équations de condition, et d'en rendre la somme un minimum, en y faisant varier chaque élément inconnu : par ce

moyen on obtient directement autant d'équations finales qu'il y a d'élémens. Mais les valeurs déterminées par ces équations méritent-elles la préférence sur toutes celles que Ton peut obtenir par d'autres moyens? C'est ce que le calcul des probabilités pouvait seul apprendre. Je l'appliquai donc à cet objet important, et je parvins, par une analyse délicate, à une règle qui renferme la précédente, et qui réunit à l'avantage de donner par un procédé régulier les élémens cherchés, celui de les faire sortir avec le plus d'évidence de l'ensemble des observations , et d'en déterminer les valeurs qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs possibles.

On n'a cependant encore qu'une connaissance imparfaite des résultats obtenus , tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles n'est pas connue : il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont contenues dans des limites données; ce qui revient à déterminer ce que j'ai nommé poids d'un résultat. L'Analyse conduit à des formules générales et simples pour cet objet. J'ai appliqué cette Analyse aux résultats des observations géodésiques. Le problème général consiste à déterminer les probabilités que les valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires des erreurs d'un très grand nombre d'observa-

tions, sont œnfermées dans des limites quelconques.

La loi de possibilité des erreurs des observations , introduit dans les expressions de ces probabilités une constante dont la valeur semble exiger la connaissance de cette loi presque toujours inconnue. Heureusement, cette constante peut être déterminée par les observations mêmes. Dans la recherche des élémens astronomiques, elle est donnée par la somme des carrés des différences entre chaque observation et le calcul. Les erreurs également probables étant proportionnelles à la racine carrée de cette somme , on peut par la comparaison de ces carrés , apprécier Texactitude relative des diverses tables d'un même astre. Dans les opérations géodésiques , ces carrés sont remplacés par les carrés des erreurs des sommes observées des trois angles de chaque triangle. La comparaison des carrés de ces erreurs fera donc juger de la précision relative des instrumens avec lesquels on a mesuré les angles. On voit par cette comparaison, l'avantage du cercle répétiteur sur les instrumens qu'il a remplacés dans la Géodésie.

11 existe souvent dans les observations, plusieurs sources d'erreurs : ainsi les positions des astres étant déterminées au moyen de la lunette

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méridienne et du cercle , tous deux susceptibles d'erreurs dont la loi de probabilité ne doit pas être supposée la même , les élémens que Ton déduit de ces positions, sont affectés de ces erreurs. Les équations de condition que Ton forme pour avoir ces élémens , contiennent les erreurs de chaque instrument et elles y ont des coefficiens différens. Le système le plus avantageux des facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement ces équations , pour obtenir par la réunion des produits autant d'équations finales qu'il y a d'élémens à déterminer , n'est plus alors celui des coefficiens des élémens dans chaque équation de condition. L'analyse dont j'ai fait usage conduit facilement, quel que soit le nombre des sources d'erreur , au système de facteurs qui donne les résultats les plus avantageux ou dans lesquels une même erreur est moins probable que dans tout autre système. La même analyse détermine les lois de probabilité des erreurs de ces résultats. Ces formules renferment autant de constantes inconnues qu'il y a de sources d'erreur, et qui dépendent des lois de probabilité de ces erreurs. On a vu que dans le cas d'une source unique, on peut déterminer cette constante en formant la somme des carrés des résidus de chaque équation de condition, lorsqu*on

y a substitué les valeurs trouvées pour les élémens. Un procédé semblable donne généralement les valeurs de ces constantes, quel que soit leur nombre ; ce qui complète l'application du calcul des probabilités aux résultats des observations. Je dois ici faire une remarque importante. La petite incertitude que les observations, quand elles ne sont pas très multipliées , laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler, rend un peu incertaines les probabilités déterminées par l'analyse. Mais il suffit presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats obtenus sont renfermées dans d'étroites limites, approche extrêmement de l'unité; et quand cela n'est pas , il suffit de savoir jusqu'à quel point on doit multiplier les observations, pour acquérir une probabilité telle , qu'il ne reste sur la bonté des résultats aucun doute raisonnable. Les formules analytiques des probabilités remplissent parfaitement cet objet; et sous ce rapport, elles peuvent être envisagées comme le complément nécessaire des sciences fondées sur un ensemble d'observations susceptibles d'erreur. Elles sont même indispensables pour résoudre un grand nombre de questions dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent, ou

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inconnues, ou trop compliquées pour être soumises au calcul : souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières ; mais elle reste toujours empreinte dans les évènemens produits par toutes ces causes , et elle y apporte des modifications qu'une longue suite d'observations peut déterminer. L'analyse des probabilités développe ces modifications : elle assigne la probabilité de leurs causes , et elle indique les moyens d'accroître de plus en plus cette probabilité. Ainsi, au milieu des causes irrégulières qui agitent l'atmosphère, les changemens périodiques de la chaleur solaire , du jour à la nuit , et de l'hiver à l'été , produisent dans la pression de cette grande masse fluide , et dans la hauteur correspondante du baromètre , des oscillations diurnes et annuelles que de nombreuses observations barométriques ont fait connaître avec une probabilité au moins égale à celle des faits que nous regardons comme certains. C'est encore ainsi que la série des évènemens historiques nous montre l'action constante des grands principes de la morale , au milieu des passions et des intérêts divers qui agitent en tous sens les sociétés. Il est remarquable qu'une science qui a commencé par la considération des

SUR LES PROBABILITÉS. ayS

H'u\ , se soit élevée aux plus iinportans objets des connaissances humaines.

J'ai rassemblé toutes ces méthodes, dans ma TTiéorie analytique des Probabilités j où je me suis proposé d'exposer de la manière la plus générale, les principes et l'Analyse du Calcul des Probabilités , ainsi que les solutions des problèmes les plus intéressans et les plus difficiles (|ue ce calcul présente.

On voit par cet Essai , que la théorie des proiiabilités n'est au fond , que le bon sens réduit .m calcul : elle fait apprécier avec exactitude ce .jue les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre, toutes les fois que l'on peut > à son moyen , déterminer le choix le plus avantageux. Par là, elle devient le supplément le plus heureux à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Si l'on considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a doimé naissance , la vérité des principes qui lui servent de base, la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissemens d'utilité publique qui s'appuient sur elle , et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore , par son

application aux questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des sciences morales ; si Ton observe ensuite que dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcul , elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugemens , et qu'elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent , on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations, et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.