CHAPITRE I. — GÉNÉEIALITBS. 3ll

Cette formule septuple représente les sons de la loDalité de A majeur normal qui sont compris dans l'étendue d'une même octave (') ; c'est donc la formule de ce qu'on appelle la gamme de A majeur normal.

480. On voit pourquoi les mots de gamme et de tonalité, bien que signifiant des choses ditTërentes, peuvent souvent être employés l'un pour l'autre sans inconvénient : ceci résulte de ce que les choses signifiées sont définies par la môme série de rapports, ou encore de ce que les choses signifiées se déterminent l'une l'autre; il est évident, en effet, que la tonalité de A majeurnormal est celle qui utilise les notes de la gamme de A majeur normal prise à ses diverses octaves, et que la gamme de A majeur normal n'est autre chose que l'air particulier que l'on écrit dans la tonalité de A majeur normal, lorsqu'on range par ordre de hauteur les notes de la tonalité qui se rencontrent dans l'étendue d'une môme octave (*).

481. Ton. — Reportons-nous encore aui formules de la tonalité et de la gamme de A majeur normal. Dans ces formules, le paramètre A a été laissé complètement indéterminé ; sa valeur, en effet, dépend de {la tonique choisie, et pourrait théoriquement être quelconque; mais, pratiquement, on se bornera à prendre pour A, soit le la normal, soit une note en rapport simple avec ce la conventionnel.

La valeur de A définit aussi ce qu'on appelle le ton. Ainsi, si A représente do par exemple, le ton de A, ou tou de do, est l'ensemble de toutes les gammes ou tonalités fondées sur la tonique A =do : c'est donc l'ensemble de toutes les notes formant avec do des rapports simples.

Mais si, au lieu de parler du ton de do en général, on précise en indiquant une tonalité particulière, le sens de l'expression se particularise en même temps; ainsi, le Ion de do majeur normal est la tonalité majeure normale fondée sur la tonique do.

482. On voit pourquoi les mots ton et tonalité, bien que signifiant des choses différentes, peuvent souvent être employés l'un pour l'autre sans inconvénients. Considérons, en effet, le Tableau à double entrée qui suit, dans lequel chaque ligne se rapporte à un ton particulier, et chaque colonne à une tonalité particulière. Parmi ces lignes et colonnes, choisissons, par exemple, la ligne de ré et la colonne du majeur orné; leur rencontre forme la case de ré majeur orné:

Tonalités

-sr

mtjiu.

do

pi

or

( ' ) Laqusllo est quelconque, ear, Jniis rutte fnimule, A est qucluonquo e\ pont SI »it(aë3 on graves i*. A.

( ' ) Ces notes devant #(re rangées Je tflniqne 4 tuniqne, ou de domiDuilo à don BDîvaat qa'it s'agit d'une gamme aatlicnlii|ue, ou plngipnnc, ou anlipiiigionns.

i remplacé par l'une de ses octnvi-s lanlp, ou de médiaate fc médiante,

ADTIB. — GAMMES DIVEBSRS.

Il est évident que les expressions :

Ton de rè majeur orné, Tonaliiâ de ré majeur orné,

désignent une seule et même cliose; en effet, la première expression désigne celui des Ions de ré qui appartient à la tonalité majeure ornée; et la deuxième expression désigne celle des tonalités majeures ornées qui a pour Ionique la note ré : il s'agit toujours, en défiaitive, de la même case du Tableau qui précède.

488. En résumé, dans les formules telles que celles que nous avons trouvées plus haut pour la tonalité majeure normale :

la tonalité est caractérisée par les fractions entre parenthèses, et le ton, par la valeuidu paramètre A. Quant à n, qui est un entier quelconque, positif ou négatif, il ne caractérise que l'octave ; si on lui assigne une valeur fixe, par exemple zéro qui est la plus simple, il reste seulement la formule de la gamme du ton (ou de la tonalité) correspondant aux valeurs attribuées au paramètre A et à la série des fractions entre parenthèses. Ces diverses définitions ayant été données ('), revenons à l'étude de la gamme en général.

484. Les tonalités qui peuvent s'imaginer étant en nombre extrêmement considérable, nous ne les étudierons qu'à un point de vue général, mais nous examinerons en détail les plus importantes; enûn, nous montrerons comment, étant donnée la valeur brute approximative des intervalles d'une gamme, on peut se faire une idée du substratum mathématique sur lequel repose la tonalité correspondante.

485. Remarque. — On a indiqué plus haut (n" 480) pourquoi les mots gamme et tonalilé peuvent souvent être employés l'un pour l'autre. '

Mais ces mots ne peuvent pas se remplacer mutuellement dans le cas où, la tonalité n'utilisant pas le facteur t, le privilège des octaves n'existe plus.

Nous allons donc, au moins dans le présent Chapitre ( Généralités ), traiter des tonalités , plutôt que des gammes.

ARTICLE II. — Tonalités monogènea on potfgéneB.

486. Toute tonalité est fondée sur les nombres qui expriment les rapports des divers degrés à la tonique; ces nombres sont formés de facteurs premiers; donc les tonalités peuvent être considérées comme engendrées elles-mêmes par des facteura premiers, et classées d'après le nombre et la nature de ces facteure générateurs.

Nous qualifierons les tonalités de monogènes, digènes, trigènes, tétragènes, etc., et, en général, polygènes suivant qu'elles seront engendrées par i, a, 3, 4, ■ - -, ou, en général, plusieurs nombres premiers (').

('} 11 va do soi quo le ëciis dos mots : ton, gamme, tonatité ci-dossus dénnis est suscepliblo d'être ^ndralîaé par lus pL'ocâdés tiabituelaï c'ost ainsi qna si IVxpiinsion tonalitéoa gamme ternaire majeure pteudique déitignu uno rortaino tonalité ou uno )(iininiG du sept sons dp propartian» bien dëHiii<>9, au coDtraîro, l'eipreSBion gamma ternaire» pteudiquet engloba doux ^ammos, do inndo majvui' nu mineur; do tuAme l'cxpressioD tonalité ternaire majeure eoglabs quatre tonalités do genre normal, orué, nltcriianl ou pseudique, ot l'expression tonalité ternaire englobe les huit tonalités quo nous avons réparties en dnuii modes et quatre genres.

(") Ces mêla : moaogine, digéne, trigéne, tétragéne, ..., polygène, qui vont être d'an rrdquont nu)^ dam la 8" Partie, signilieDt respccliveraent : quia une origine unique, double, triple, quadruple, ..., multiple.

«UPITHR 1. — CENBRAUTIiS. 3l3

487. Mais quels nombres premiers convient-il de prendre en considération ?

Jusqu'ici on a fait état uniquement des facteurs 3, 3 et 5 au moyen desquels on a formé les nombres appelés dans ce qui précède nombres musicaux, mais ce n'est là qu'un mot et non une démonstratioD. Assurément les facleura 3, 3 et 5 sont plus simples que le facteur 7 et que les nombres premiers supérieurs à 7 ; ceci a été établi plus haut ( Consonance, n" 36); mais rien ne prouve a priori que tout nombre premier autre que 2, 3 et 5 doive être exclu do touteâ les tonalités musicales ; on peut même reconnaître qu'à certains égards et dans certaines conditions, l'intfoduction du facteur 7 peut procurer une simplification analogue à celle que produisit autrefois l'adoption du facteur 5 : on sait, en effet,

que, dans la tonalité de Pythagore, les tierces avaient pour formule gr et — (formules digèues), tandis que, dans notre tonalité, les tierces sont 7 et ? (formules trigènes).

L'introduciion du facteur 5 a donc permis, en ce qui concerne les tierces, de remplacer les formules dissonantes des anciens par les formules consonantes nouvelles, et c'est cette simplification qui a rendu possible la création de l'harmonie moderne.

L'introduction du facteur 7 peut se produire dans des conditions analogues ; considérons pour fixer les idées l'intervalle diide triton, tel que celui qui sépare les notes si et/a.

Étant en rfo, si l'on fait entendre simultanément les notes /a — ^et .«= ^. l'intervalle de ces notes est très complexe puisqu'il a pour expression V • ■[ = t"* Mais on ne sent pas cette compleiité, car, par hypothèse, on est en do, en sorte que ce que l'on perçoit, ce n'est point du tout l'intervalle de triton, c'est-à-dii-e le rapport ~ de si à fa, ce sont les rapports de ces deux notes à la tonique, savoir :

t=i et ii^^.

do ï do %

Mais si, au lieu àe/asi, c'est le trilonrfo/as au'on fait entendre, on percevra cette fois l'intervalle de triton lui-même; or, ainsi qu'on vient de le dire, cet intervalle exprimé eu

fonction des facteurs a, 3 et S a pour formule la*fraction très complexe |^> tandis que, si

l'on fait usage du facteur 7, son expression se réduit 'à ^ •

On conçoit donc que si le musicien, au lieu de se borner à faire entendre parfois à l'élat isolé quelques intervalles complexes tels que do/ai,, en arrive à employer systématiquement une tonalité dans laquelle les intervalles de ce genre se présentent fréquemment et simultanément, il peut avoir intérêt à abandonner la conception de la tonalité à hase 2, 3 et 5 ; et la complication apportée aux ressources de son art peut l'amener à concevoir cei-tains sons commeexprimés dans un nouveau système comprenant les facteurs a, 3, 5 et 7, l'introduction de ce quatrième facteur simplifiant l'expression de certains intervalles, de même qu'autrefois l'introduction dn facteur 5 a simplifié l'expression des degrés lll, VI et Vil des deux modes (').

Donc, puisque nous étudions le problème de la gamme dans toute sa généralité, nous n'exclurons a /jriori aucun facteur; mais, puisque nous devons, comme toujours, procéder du simple au composé, nous examinerons les diverses tonalités nionogènes ou polygones en commençant par celles que tes plus petits facteui-s de la numération arithmétique nous permettent de concevoir.

(') Eu sOIDinc, l'esprit humam substituerait à un si^alème ilt tai^tours proinicrs un BUlro système plus coiuplrl. lorsquo co nouveau système lui permet àe concevoir plus ainiplemeDl las intcrvallas dont l'art est arrivd k tairv nsS)(c; do même un cboval, ti ijui s«n cavalier demande une accâlâration d'allnre, substîluo lo trot au pas allongé, pois lo galop an trot allongé, chaque fois que le Jcgrd do vitesse exigé par le cavalier peut Aire obtenu plus oisdmeat on adoptant une allure nouvoUo qu'on allongoanl l'allure ancienne.

HVITtÉHE PARTIE- — GAHMBS DIVERSES.

TONALITÉS MONOGfeNES.

488- Par déHnition, ces tonalilés sont foDâée» sur les nombres (juc peut former uo facteur premier unique, tel que 2, 3, 5, ... (').

La plus simple est celle qui est fondée sur le facteur a, et dont les notes, dans le ton <le do, sont les octaves successives :

. , . do-t don doi dot

D'après la tradition, cette tonalité aurait été employée à l'époque 0(1, pour la première fois, les hommes s'eiTorcërent de réaliser des sons musicaux.

Il est naturel qu'il en ait été ainsi, car non seulement le rapport a est ( après le rapport d'égalité ) celui que l'esprit humain conçoit le plus simplement, mais c'est aussi celui que les corps sonores réalisent le plus facilement ; on sait, en effet, qu'une corde harmonique attaquée énergiquement, ou un i-oseau de Qùte de Pan dans lequel on force le vent, octavient souvent d'eux-mêmes et tout naturellement.

Celte sorte de parallélisme entre les lois psychiques régissant l'esprit du musicien et les lois physiques régissant la vibration de son iuslrument, résulte da ce que les unes comme les autres sont fondées sur le principe de simplicité ; ces lois coïncident donc au début, c'est-à-dire dans les cas les plus simples; mais, ainsi qu'on l'a vu plus haut {Dissonance, n" 203), c'est seulement au début qu'il y a coïncidence entre les deux sortes de lois.

489. II n'y a évidemment aucun intérêt à étudier les tonalités monogënes qui seraient fondées sur d'autres facteurs tels que 3, 5, ... ; leurs notes seraient encore plus espacées que celles de la tonalité à base 3 ; et, d'ailleurs, leur usage ne serait pas vraisemblable, car. si l'artiste a l'esprit assez exercé pour concevoir les intervalles fondés sur le facteur 3, il conçoit a fortiori ceux qu'engendre le facteur 2, donc les notes qui se présentent naturellemment k son esprit ne sont pas formées uniquement par le facteur 3, mais bien par les facteurs 2 et 3 ; dès lors la musique qu'il pratique n'est pas monogène, mais digéue.

TONALITtS DlGbNKS.

490. Par déSnition, ces tonalités sont fondées sur des couples de facteurs tels que a et 3, ou a et 5, ou 3 et 5, ou t et 7, ou 3 et 7, ou 5 et 7, . . ., etc. Examinons successivement les premières de ces tonalités.

491. Tonalité 2,3. — Cette tonalité ayant été employée sera étudiée plus loin dans un Chapitre spécial (Chap, II); on se bornera ici à rappeler que, comme ou l'a dit dans la 7« Partie {Intervalles), Pythagore considéra if les diverses gammes grecques comme engendrées uniquement par les facteurs a et 3, et que, de nos joui'S encore, beaucoup de théoriciens classent dans cette catégorie, non seulement la gamme diatonique des musiciens modernes, mais aussi leur gamme chromatique.

492. Tonalité 2.5. — Les notes se rencontrant dans cette tonalité sont celles qu'indique la figure ci-dessous (Jtg. 381), laquelle n'est autre chose que la représentation du plan des a et des 5.

Puisque les notes situées sur une même parallèle à l'axe des a sont des octaves les unes des autres, 11 suffit, pour reconnaître quelles sont les notes distinctes, de considérer les notes disposées sur l'axe des 5 ; or, il est facile de constater que, de trois en trois, les noies situées sur cet axe sont gétophones les unes des autres. La tonique étant supposée </o, == i,

/rtt?, aura pour expression -t; celle note différant peu de wji, — -> mais étant beaucoup plus

complexe, sera interprétée, non comme /a;?, mais comme mi ; de même, les notes «o/c,— ~

(') 11 n'y a évidommoDl pas IÎdu ilo considénT le tucicur i cjui ne poomLit ongcudivr quo l'unisson.

- GJÉNéBAUTSS. 3l5

ei «5, ~ ^f différaot peu de ia}^, — - et de rfo, = a, seront ioterprétées respectivemenl, non comme jo/ïi et «Si, mais comme /ar|^iet comme rfo, qut ont des expressions beaucoup plus simples.

FIg. 181.

rat..

at.,

do^

xt^

st.,

do,

s Axe œe anf

n suit de là que, pratiquement, les notes de cette tonalité se réduiront à la gamme de trois sons distincts exprimée par la série :

C'est peut-être dans cette tonalité spéciale que les walkyries de l'œuvre de Wagner (La Walkyrie, Jll* acte, scène 1) conçoivent leur chant d'appel; en effet, 6erhilde dit :

Bientôt Helmwige, puis les autres walkyries, répètent aussi cette sorte de chant sauvage sonnant comme s'il était formé de notes écbelonnables par tierces majeures :

vfl fa>

Quoi qu'il en soit, que les walkyries chantent dans une tonalité digëne qui leur serait spéciale, ou que Wagner ait conçu leur appel sous la forme gétophone d'un accord mixte de notre tonalité moderne :

iol si rrfS *"/,

il n'en demeure pas moins établi que, pratiquement, la tonalité digène fondée sur les facteurs 3 et 5 n'offre que peu de ressources.

498. Tonalité 3.5. — Cette tonalité est d'un usage encore moins vraisemblable que la précédente, car, si l'on considère la figure ci-après qui représente ses notes, on volt qu'elle est à la fois très complexe et, pratiquement, très pauvre en sons.

nOITIBUE PARTIE. — GAHHES DlVKBSl^S.

■éH,n

Wlt,

an^

nin,

ai Km

fkx,,

IOX„

SûfXT,

ax,,

■494. Remarque sur les tonalités 3.5 c/ 3,5. — On a dit plus haut que, pratiquement, ces deux tonalités étaient fort pauvres en sons. On remarquera à ce propos qu«, théoriquement, elles permettraient de reproduire, à des comnias près, tous les sons de la gamme chromatique moderne, et môme tout son quelconque.

En effet, considérons la figure suivante, analogue à celle qui permet de représenter tous les nombres formés à l'aide des facteurs premiers 3, 3 et 5 ; choisissons arbitrairement une note quelconque N correspondant à un point de l'espace ; le plan d'équivalence ABC passant par N coupe l'axe des 5 en un certain point A, situé entre deux puissances consécutives de 5, telles, par exemple, que 5 et aS; donc sa trace AC sur le plan des 3 et des 5 est comprise entre les lignes d'équivalence menées dans ce plan coordonné par les points 5

Fig. 184.

et a5. Ceci posé, il est facile de reconnaître que la note N, quelle qu'elle soit, pourra toujours être imitée avec une très grande exactitude par une note appartenant soit k la tonalité 3.5, soit à la tonalité 3.5; considérons, par exemple, cette dernière tonalité; pour que la note N de l'espace ait pour gétophone une note du plan des 3 et des 5, il suffit que la trace AC du plan d'équivalence mené par N passe tout près de l'un des points du quadrillage du plan des 3 et des 5. Or il ne peut manquer d'en ôtre ainsi, car, dans la bande plane comprise entre les lignes d'équivalence menées par 5 et par aS, il existe un nombre infini

CHAPITRB I. — GBNBHAUTÊS. Si?

de points du quadrillage, donc un nombre inQni de lignes d'équivalence; côUes-ci étant distinctes les unes des autres sont, par suite, inBniment rapprochées ; donc une ou plusieurs d'entre elles se confondent sensiblement avec la ligne AC.

495. D'ailleurs, toute note N quelconque, même formée de facteurs autres que 2, 3 et 5, peut toujours être imitée avec une grande exactitude dans une tonalité digène telle que la tonalité 3,5, Kn effet, la recherclie des solutions entières approximative de l'équution 3* = 5^ montre qu'il est aisé de former à l'aide de facteurs 3 et 5 des commas de plus en plus petits; donc la tonalité 3.5 permet de former par la superposition de ses commas une série illimitée de sons se succédant à de très petits intervalles; par suite, quelques-uns de ces sons ne dilTéreront que très peu d'un son donné N, quel qu'il soit.

496. Ainsi les tonalités a. 5 et 3.5 pourraient bien, théoriquement, disposer de sons très nombreux ; et si, pratiquement, elles sont pauvres, cela tient à ce que, pour réaliser certains intervalles avec le peu de facteurs dont elles disposent, elles sont obligées de grouper ces facteurs en combinaisons compliquées que l'esprit se refuse à comprendre, en sorte qu'il les interprèle gétophonïquement dans une autre tonalité (').

497. Enfin, il faut bien reconnaître que les tonalités digènes autres que la tonalité 3.3 donnent lieu à la môme remarque que les tonalités monogënes fondées sur des facteurs autres que 2 : elles sont artificielles, et il serait invraisemblable qu'on en fit usage naturellement et sans convention arbitraire préalable. En effet, si le musicien conçoit les rapports musicaui caractérisés par exemple par les facteurs 3 et 5, il conçoit a fortiori les rapports correspondant au facteur a, plus simple que les précédents; donc la musique qu'il composera se présentera naturellement à son esprit dans la tonalité trigène 2.3,5, et non dans la tonalité digène 3,5,

TON ALITE s TRI GÊNES.

498. Un raisonnement tout semblable au précédent montrerait de même que la tonalité trigène par excellence est celle qui est fondée sur les facteurs a, 3 et 5,

Les gammes fondées sur ces trois facteurs sont très belles et très employées; leur nombre est considérable. En raison de leur importance, nous les étudierons ci-après dans un Chapitre à part (Chap. III). Bornons-nous ici à faire remarquer leur supériorité sur la gamme de Pythagore. Celle-ci n'admettait que deux intervalles générateurs, l'octave et la quinte {facteurs a et 3), et ne possédait pas l'accord parfait. Ici, les intervalles générateurs sont au nombre de trois : l'octave, la quinte et la tierce majeure (facteurs a, 3 et 5).

La figure 384 (n° Wi), qui représente à la fois les tonalités digènes a. 3, a.5, et 3.5, ainsi que la tonalité trigène 2.3.5, montre bien comment celle-ci peut, mieux que les précédentes, âtre à la fois simple et riche en sons.

En tonalité digène 3.3, 2.5, ou 3.5, on reste dans l'un des trois plans coordonnés, et l'on n'y peut trouver des sons nombreux qu'en s'éloignant de l'origine (unité), ce qui conduit à des rapports complexes. Si, pour n'employer que des sons simples, on reste dans le voisinage de l'origine, les sons dont on dispose sont peu nombreux.

Mais si, abandonnant le type digène, on adopte le type trigène, on peut faire usage de sons situés, non seulement dans l'un des trois plans coordonnés, mais aussi dans les deux autres et dans tout l'espace compris entre ces plans ; on dispose donc de sons beaucoup plus nombreux sans avoir à s'éloigner de l'origine, c'est-à-dire sans rencontrer de rapports compliqués.

(') Lu toiuililii 3.Î cUe-mflnifi. biop que aapÉrioure aux deux autres tonaliWs digèni' lia ci> défaul : u'est ainsi que, quand on veut lui faire eiprimer par exemple le III' ou moderne, l'espril, au liou Je comprendra mi =^7701 *( = — -, abandonne la tanalili notes, leurs gdlophonea do tonaliliî 3.3.5, savoir mi = y el ii = -^-

HDITtBMB PARTIK. — UAUHBS DIVERSES.

TONALITÉS TÊTRAGËNES.

499. Uq raisonnement tout semblable aux précédents montrerait que la tonalité tétragène par excellence est celle qui est fondée sur les facteurs a, 3, 5, 7. Cette tonalité sera étudiée dans un Chapitre à part (Cbap. IV), et l'on s'en tiendra là dans l'examen des tonalités polygènes que pourrait imaginer l'esprit humain ( ' ).

ARTICLE III. — Ifombre des notes et des gammes engendrées pef les mémeB faotenrs premiers.

500. Nombre des noies distîncles^. — La tonalité monogëne fondée sur le facteur 1 n'admet comme notes que les diverses oci^ves d'un même son ; mais tantes les autres tonalités possèdent théoriquement un nombre il^ité de notes distinctes. Eb. effet, si, partant d'une certaine note initiale quelconque, on la mQdîGe en la multipliant ou en la divisant par un nombre variable de facteurs 3, on formera une série de notes s'échelpnnaDt à intervalles réguliers, et dont aucune ne sera une octave exacte de la note initiaTet*); il en serait de même avec le facteur 5, et, d'une façon généra)^^ avec tout facteur autre que le facteur privilégié 3. Donc, en théorie, le nombre des notea distinctes d'une même tonalité n'est pas limité. Mais, en pratique, nous avons vu qu'il l'est. Ainsi, dans la tonalité 3.5, si l'on part de <fo := i, on aboutit bientôt àxi's r= — , et nous avons dit que, sauf circonstances spéciales, l'oreille interprète ce son, non comme un «u, mais comme un (^o — — = -> qui diffère peu de la note précédente et a une formule infiniment plus

simple. La tonalité a.5 ne possède donc pratiquement que trois notes distinctes parce que la troisième puissance de 5 diffère peu d'une puissance de a.

501. À ce raisonnement d'arithméticien, on peut substituer un raisonnement de musicien qui sera plus simple, car 11 reviendra à considérer, non les nombres, maïs leurs logarithmes.

En tonalité 3.5, l'intervalle géaérateur est la tierce majeure valant sensiblement quatre gétés, ou, si l'on veut, valant quatre grades.

Partant de la note initiale do et ajoutant successivement des grades, quatre par quatre, nous formerons à chaque fois une note distincte nouvelle; toutefois, lorsque ce procédé de formation nous aura conduit à ajouter, soi( douze grades (une octave), soit un multiple de douze grades, le cycle se trouvera fermé enharmoniquement et les sons engendrés cesseront d'être distincts des précédents : ils n'en seront que des octaves. Donc la tonalité a.5 ne contient pratiquement que trois notes distinctes qui seront par exemple :

do-ro grade = do, rfo + 4 grades = mi,

do -I- S grades = ia ^.

Ou verrait de même que la tonalité a.3 (pythagoricienne) n'aura pratiquement que douze sons distincts; en effet, dans cette tonalité, l'intervalle générateur est la quinte qui vaut sept grades, en sorte que, si la note initiale est do, la formule générale d'une note

(') Moire ronlaisie, en eiTel, esl commo bridùe par les ndce9sit«9 inbéi'entes au genre de musique que nous pratiqUDuB. Si rhomme, eomme le roasigûol on U feavette. cultivait unïquemoat la nn^lodio, il pourrail, lui aussi, associer à DUO noie fondataentalo des hannooiqueB de rang éloigné. Mais, en harmonie, ces associations sont plus difficilement toli!rables, parce i|ue les harmoniques de rang éloigné consonnenl généralement mal entre eux (commo correspondant à dos schémas de moins on moins pluricalables ).

(') Voir Intervailet, renvoi du n* 4i5.

CRAPITBE I. — G ENEn ALITES. 3iy

quelconque de la tonalité sera (/- étant un entier quelconque) do-i-yk grades.

Les nombres 7 et la étant premiers entre eux, le produit 7 A ne sera un multiple de 12 que quand k lui-même sera égala la; donc, de A — oà * = iija formule fournira douze notes distinctes, mais à partir de A- = ia elle ne fera que reproduire des octaYes de notes déjà obtenues (ou, plus exactement, des gétophones de ces octaves).

502. 11 est facile de se rendre compte qu'il en sera de même dans toute tonalité, quel (|ue soit le groupe de facteurs sur lequel elle puisse être fondée; en effet, si le minimum d'intervalle perçu distinctement par l'oreille est estimé par exemple à la centième partie d'une octave, il ne pourra certainement pas exister dans l'octave plus de cent notes pratiquement distinctes.

503. Gamme chromatique. — Ainsi, l'ensemble des tonalités pouvant être formées à l'aide d'un môme groupe de facteurs premiers ne comprend qu'un nombre limité de sons pratiquement distincts. On appellera dans ce qui suit gamme chromatique la gamme comprenant tous ces sons ('). Pi<r exemple, la gamme chromatique 2.3 sera la gamme comprenant les douze sons distincts qui peuvent, comme on l'a vu plus haut, être engendrés à l'aide des seuls facteurs 3 et 3,

504. Nombre des gammes. — Cherchons maintenant le nombre des tonalités ou des gammes qui peuvent être formées avec un même groupe de facteurs premiers. Le nombre de ces gammes dépend fort simplement du nombre des notes de la gamme chromatique issue des mêmes facteurs générateurs. Il est évident, en effet, que toutes les gammes que nous considérons ne peuvent être formées qu'au moyen de notes appartenant à la gamme chromatique. Si par exemple celte gamme possède douze sons, le groupe de gammes que nous considérons ne comprendra qu'une gamme de douze sons, ou douzain, qui ne sera autre que la gamme chromatique elle-même. Mais il comprendra onze gammes de onze sons, ou onzains, ces onze gammes s'obtenant en retranchant de la gamme chromatique tantôt l'une tantôt l'autre de ses notes, à l'exception pourtant de la tonique. De même les gammes de dix sons, ou dizains, s'obtiendront en retranchant de la gamme chromatique tantôt l'un tantôt l'autre des groupes de deux notes que l'on peut former en combinant deux à deux les onze notes de la gamme chromatique autres que la tonique ; ces groupes sont au nombre de cinquante-cinq. 11 est évident que les gammes de neuf sons, ou de huit sons, ou de sept sons, etc., auxquelles on peut, pour abréger le discours, donner les noms de neuvatns, huitains, septaina, etc., se dénombreraient de la même manière.

505. A titre d'exemple et pour fixer les idées, calculons le nombre des tonalités ou gammes pouvant être formées à l'aide des notes d'une gamme chromatique de douze sons.

Représentons par C„,„ le nombre des combinaisons de m objets n à /i, et par r, le

( ' ) II y a lieu de remarquer dès à présent que calte définition île la gamme chromalique présente upo certaine ùlaslieîté; elle comprend, a-l-on dît, tous les sam pratiquement dislinett; mais le nombre de ces sons peut varier d'une École musicale i. l'aalre, mdme si les deux Ecoles emploient des tonalités fondées sur les mâmcs TactearB premiers. Ainsi, dans la musique modnme des Européens, laquelle est engendrée par les facteurs >,' 3 et 5. on ne prend pas en considération les intervalles intérieurs au demi-ton : aXon le cycle des sons se ferme pratiquement au bout de douii', et la gamme chromatique a douze notes.

Mais si, dans cette même tonalité trigiiue. on fait état d'inlerralles musicaux moindres, tels que le comma x'\ à. comme on dit. on pratique le tiers de ton, le nombre des notes distinctes augmente de quati'e. et la gammp chromatique possède seize sons, au lieu de doute. On reviendr* plus loin sur cette question. ( Voir notamment Seîzain. n* 606, et Mutique par fraetiont de grade, n* 610. )

', PARTIB. — GAMMES DIVBRSBS.

nombre des gammes de n sons ; si l'on se souvient que C„,„ = C™,

,, on voit qu'on a

r, =Cn,4 = 'iio

506. Ce loUl élevé n'a d'ailleurs qu'une importance plus théorique que pratique. Ainsi, avec notre gamme chromatique moderne qui, telle que nous la pratiquons, se réduit à douze sons, on pourrait bien former no^S gammes distinctes, mais beaucoup de ces gammes seraient sans valeur musicale; par e.Yemple, parmi les gammes de trois sons, les combinaisons telles que les échelles

do mi sol do.

ou telles que la lyre d'Orphée

do fa

permettent bien d'écrire de la musique; maïs les combinaisons telles que

sont mal conçues et illogiques au point de vue musical, car, ue possédant que très peu de degrés, elles devraient les avoir très simples, et non complexes comme

' li ' ' ii'

Un certain nombre de ces ao^S gammes sont également dénuées d'intérêt musical, mais pour un autre motif : ce sont les gammes formées de notes ne rattachant pas à celle qui serait censée jouer le rôle de tonique.

Considérons par exemple la gamme de cinq sons distincts

do rê;

do.

Il suffit de tracer dans le plan des 3 et des 5 le schéma représentatif de cette gamme pour voir que l'ensemble des cinq notes dont il s'agit rattache à réy et non à do. Cette

Fig.

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combinaison, considérée comme gamme de do, est donc dépour^'ue de valeur musicale et n'a qu'une existence artificielle, puisque les cinq notes de la combinaison tendent aalurellement à rattacher à réy et non à do.

cRAPiTitR I. — fi■^KHAL1Tl:s. 3ii

507. Nota. — Nous avons vu, dans ce qui précède, notamment au n" 497, que, parmi les tonalités fondées sur un certain nombre de facteurs, les plus simples, les seules vraiment naturelles sont celles qui sont formées au moyen des facteurs les plus petits: ainsi, parmi les tonalités engendrées par deux facteurs seulement, la tonalité digéne par excellence est celle qui est formée par les facteurs a et 3 ; nous conviendrons donc que, dans ce qui suit, les épithétes de

monogène, âigène, Irigène et tétragène,

employées sans spéciSer la nature des facteurs générateurs, désigneront toujours les tonalités fondées sur les groupes de facteurs les plus simples, savoir, respectivement :

t a. 3 a. 3.:". el ci.3.5.7.

Cette convention, qui a l'avantage de simplîAer beaucoup le discours, n'empêche pas de désigner clairement, si besoin est, toute autre tonalité quelconque, puisqu'il suffit de spécifier les facteurs sur lesquels elle est fondée. Ainsi, pour dénommer la tonalité formée parles facteurs a et 5, il suffira de dire : la tonalité digéne 3.5.

[[L'ITIliME PABTIB. — GAMMES DIVKKSES.