VIII
Koi;- le renvoi di
second Tableau ilu 11
iOl.
405. Deux intervalles s'exprimant par le même nombre de grades peuvent avoir des valeurs exactes fort différentes. Ainsi la quarte -^ dite augmentée et son renversement la
270 SEPTIEMK PAHTIK. — INTERVALLES.
quinte — dite diminuée ont toutes deux une valeur approximative do six i^rades; néanmoins leur différence est égale à — : -^ = ^ X -^ • qui diffère très peu du dièse — ! ou demi-ton chromatique.
I/exemple de ce dièse et du demi-ton diatonique -j existant dans les gammes pseu-
(liques est plus frappant encore. Bien que ces intervalles portent tous deux le nom de demi-ton et aient pour valeur commune un grade, le second est à peu près double du pi'emier.
406. Examinons maintenant comment ces divers intervalles sont distribués dans les l; mîmes, et voyons de quels noms particuliers ils sont ou pourraient être désignés.
Secondes. — Il suffit de parcourir les Tableaux du n° 400 pour constater que, dans les genres normaux et alternants, la seconde peut avoir trois valeurs différentes, savoir :
-r' qu'on appelle seconde mineure ou demi-ton diatonique; tr et — qu'on appelle l'une l't
l'iiulre seconde majeure ou ton entier.
Dans le genre orné, on trouve, en outre. rinter\alle 4t- qui vaut trois grades et qu'on
appelle seconde augmentée, bien que sa valeur soit naturelb' et n'ait subi aucime augmentation; avec la terminologie actuelle, on pourrait aussi donnrr à cet intervalle le nom de sesquiton (un ton et demi).
Enfin, dans le genre pseudique, on rencontre encore l'intervalle -^> peu différent du
demi-ton — > et qui n'a pas reçu de nom, les théoriciens n'en signalant généralement pas l'existence.
Tierces. — Disposons par tierces les notes de l'une quelconque des gammes ternaires fondées sur la tonique (/o; si nous représentons par le signe ? l'ensemble des signes ;;et ;, nous voyons que la formule générale des huit gammes dont il s'agit est
/<(o /"il'.' f/oi mil'! .vo/| a/,? r<':> fn.i /«j? doj ... etc.
Cette formule montre que, sur les sept tierces existant dans une gamme quelconque, six font partie des trois échelles constitutives et pourraient s'appeler par suite tierces d'échelle:
elles valent - ou - et sont dites, selon le cas, majeures ou mineures; quant à la septième
tierce, qui est ré fa dans l'exemple précédent, et qu'on pourrait désigner sous le nom de tierce de raccordement puisqu'elle relie la première série de trois échelles à la série suivante, elle a toujours pour valeur la différence entre deux octaves fa^/a^ et trois
quintes /flo ''C2; cet intervalle est le quotient 4 : ( - ) = -^; telle est donc la formule de la
tierce de raccordement séparant les degrés II et 1\ d'une gamme ternaire iiuekoïKjue.
Quintes. — Il est facile de reconnaître sur la formule ci-dessus de la gamme par tierces qu'il existe trois catégories de quintes, savoir :
i» Les trois quintes fa do, do sol et sol ré, qui correspondent aux trois échelles T, D, A {quintes d'échelle): elles valent toujours -;
2° Les deux quintes la? mi? et mi? si?, à cheval sur deux échelles conjointes (quintes à cheval); ces quintes formées par les médiantes d'échelles valent 7. comme les précédentes, si les deux échelles sur lesquelles elles chevauchent sont de même mode; si ces deux échelles sont, la première majeure et la seconde mineure, la quinte formée par les
CHAIMTRK I. — INfEHVAl.l.KS lîT NDMIIIUCS MISICVIX. 9.JI
nu'diantes vaut ^ x -r = ^ et esl dile (ruinlc diminuée; si la premirre des deux échelles
est mineure et la seconde inaieure. la quinte à cheval sur elles vaut 7 x -7 = -7 et est
dite quinte augmentée.
3° Les diHix quintes dont l'une des moitiés est formée par la tierce de raccordement
{f/iiintf's de raccordement.); leur autre moitié étant une tieixe d'échelle, ces quintes ont
1 17 5 >'. io ,, . fi '.Y>. (14 pour valeur, 1 une 7 x — = — > lautre - x — = 7^- 4 'f' ■'>- J '-7 4 3
On remarquera que ces diverses i[uintes correspondent aux échelles, savoir : les trois quintes d'échelles, dans les huit variantes, aux trois échelles constitutives de la gamme A, T, D; les deux quintes à cheval, dans les gammes normales, aux échelles connexes représentées plus haut par C et R (3' Partie. Contrepoint) \ enfin les deux quintes de raccordement, dans les mêmes gammes normales, à l'échelle approximative E et à la fausse échelle F.
Autres intervalles. — Les autres intervalles étant les renversements de ceux qui viennent d'être étudiés, il serait sans intérêt de les passer en revue; on sait, en effet, que les nouvelles valeurs numériques se formeraient en renversant les anciennes (c'est-à-dire en prenant les inverses et en les doublant), et que les nouvelles dénominations s'obtiendraient en substituant les (jualiflcations de diminuée ou de mineure à celles d'augmentée ou de majeure, et réciproquement; on voit, en outre, qu'à la tierce et aux deux (juinles de raccordement correspondraient respectivement la sixte et les deux quartes conjointes à la tierce de raccordement.
ARTICLE II. — Gommas.
407. On appelle commas de petits intervalles musicaux que l'on rencontre dans l'étude théorique de la gamme; ces intervalles sont assez faibles pour que. dans la pratique, on puisse le plus souvent négliger d'en tenir compte.
Ces petits intervalles musicaux correspondent chacun à une fraction arithmétique très voisine de l'unité; les fractions que l'on rencontre le plus souvent dans la théorie des gammes sont :
Le premier de ces intervalles sera appelé conima vulgaire parce qu'il est celui qui se rencontre le plus fréquemment, ou bien comma trigène, parce qu'il est engendré par les trois facteurs 2. 3 et 5. Les commas jc' et x" sont digénes puisque tous deux sont engendrés par deux facteurs seulement; nous les distinguerons d'après les facteurs dont ils sont formés et nous leur donnerons respectivement les noms de comma deu.r-trois et de comma deux-cinq.
408. Deux intervalles musicaux s'exprimani parle même nombre de grades sont évidemment identiques ou gétophones.
Dans ce dernier cas, ils présentent une légère différence ijui n'est autre chose qu'un comma. A titre d'exemple, calculons les commas qui différencient les intervalles signalés dans le Tableau du n"» W* comme correspondant à un même nombre de grades.
Valeurs de 1 grade.
Valeurs de 2 brades.
Si
Sii
Si
Valeurs de 3 si-ades.
Valeurs de \ grades.
Valeurs de 5 grades.
Si
(vi 123 '
■ So
Valeurs de 6 erades J
64 45 128 Si /.i" \
Il n'y a évidemment pas lieu d'examiner les valeurs de plus de si.\ grades; elles ne sont, en effet, que les renversements des précédentes et ne peuvent par suite présenter d'autres commas que ceux déjà trouvés.
409. Les égalités que l'on obtient en calculant en grades n'étant souvent qu'approximatives, chacune d'elles correspond généralement à un comma. En voici quelques
exemples :
E.rcè.f (le i octnvc sur 6 sccorn/ei — [r-aleurs de 12 grades).
:f)"=sx(î^)'=---
Erres de 6 secondes '- sur i ortafc {valeurs de 12 grades).
E.rcès de 4 tierces - sur i octave (valeurs île i> grades).
/6\ 2- 3* - : 2 = — X : r = -ci; .
E.rcès de I octave sur 3 tierces - (valeurs de 12 grades).
E.rcès de 4 tierces - et i tierces - sur 2 octaves ( valeurs de ■>, \ grades ).
CHVPITRE I. — INTKRVALLKS ET NOSIBIIKS MISICAIX. 278
Excès I ' ) ilr M /jiiinlrx - sur 7 octaves {valeurs tic Sj (grades).
Excès (') de 5 octaves sur li iiuartes - (valeurs de 60 ff rades). El ces (' ) </c' 5 i[uiiilrs - sur 7 (juartcs - 1 valeurs de 3) grades).
EXPRESSION DES COM>lAS E.N FONCTION DE ./' ET ./".
410. Tous les commas que nous avons rencontrés dans ce (jui précède s'expiimciil très simplement en fonction des trois commas particuliers désignés par j-, x' et .r". Et comme x lui-même s'exprime fort simplement en fonction de ./' et x" puisque
il s'ensuit que tous les commas précédemment rencontrés s'expriment facilement en fonction de x' et x" .
11 est intéressant de remarquer que le fait est à peu près général, c'est-à-dire qu'un comma donné quelconque peut toujours s'exprimer par un produit de deux puissances (entières ou fractionnaires et positives ou négatives) de -r' et de .r", à condition toutefois que le comma donné ne corresponde pas à une fraction par trop complexe, c'est-à-dire ne soit pas forme par un trop grand nombi-e de facteurs ordinaires 3 et 5.
En effet, un comma quelconque k, étant un nombre musical, est de la forme
^= >}'.\i^.y\ a, b et c étant des exposants entiers convenablement choisis. Mais les facteurs ordinaires 3
(') Il était facile de prévoii' (jiH' eus trois derniers excès devaient être égaux enire eux; en effet, on a identii|ueinent
1'! quintes -i- 12 quartes = 12 iictaves. (i)
D'autre part, si l'on appelle x' l'excès de I3 quintes sur 7 nct.ives, on a
12 quintes = 7 octaves -(- x' . (0. )
Retranchant les égalités (i) et ('>), on a
12 quarli'S = .'. oclaves — .r'. (3 )
Des égalités (s ) et ( 3 ) on lire
.') quintes = — d'octave H- ^ x' .
~ qu^Lrtes = — il'octave — -'- x' .
Relranchant ces dernières égalités, il vient
5 quintes — - quartes = .r . ( '\ )
Ainsi, le menu- coninia x' . délini par ( j) comme élant l'exe-s Je i > (piintes sur ■; octaves, est aussi, d'ap;is (3). l'excès de 5 octaves sur i! quartes, et, d'après d ), l'excès de '1 quintes sur 7 quartes. 0. C. f. I>.
G. iS
et 5 s'expriment facilement en l'onction des commas deux-trois et deux-cinq, car on a évidemment
X JLS.
en sorte que le comma considéré, comme d'ailleurs tout nomlne musical quelconque, peut s'écrire
k = (.i--yK(.,')^ .[o.Ti)
c'est-à-dire peut s'exprimer par un produit de puissances de ./'. .r" et a.
Montrons maintenant que, si A- est un comma et si les exposants /' et c sont peu élevés, le troisième facteur de la formule précédente disparaît de lui-même. D'après cette formule,
l'intervalle A- est le total de trois intervalles, savoir : h 1" L'intervalle (-c')'-, qui est très petit, car .r' étant un comma diffère peu de l'unité;
donc (.r')''- en diffère encore moins; par suite, (.?■')'- est voisin de l'unisson (intervalle nul) puisque, par hypothèse, ù doit avoir une valeur peu élevée.
2° L'intervalle {jt") " , qui est également très petit pour les mêmes raisons que le précédent.
3" L'intervalle la'-J , qui représente un nombre dégrades inconnu mais entier,
puisque ce nombre de grades est 12 a + 19^-1- 28c, qui est évidemment entier.
En définitive, fc est égal à deux très petits intervalles augmentés d'un nombre entier de grades; ce nombi-e entier est nul, puisque, par hypothèse. A est un comma; par suite, l'exposant de 3 dans la formule précédente est nul et il reste
Le comma donné /.■ peut donc s'exprimer en fonction de x' et x", c.o.f.d.
