CHAPITRE I. — INTERVALLES KT NOMBRES MLSICAUX

Ce n'est pas la grandeur du comnia négligé qui peut expliquer cet effet, car, dans ce cas, le comma a une valeur ( — j plus faible que celle (j?) du comma du cas précédent; cet effet tient, comme on le verra plus loin (n" k'M)), h ce que le comma ^ renferme dans sa composition le facteur caractéristique du degré.

412. Si différents que puissent être les effets obtenus en négligeant les commas, ces

elfets ont néanmoins un caracLère commun facile à mettre en évidence sur un exemple :

Partant de la note c?Oo = i, considérons le mt quatrième harmonique de do^, savoir //h'j— 5,

et le nii, quatrième quinte au-dessus de do„, savoir ML— -^; l'intervalle de ces deux notes n'est autre que le comma x, puisque

iMli 8i . Si

Ces deux mi, dont les sons et les formules ont des valeurs peu éloignées, sont, en réalité, fort difterents; tous deux peuvent être IIP degré dans une gamme de do; mais mi= 5

appartient à notre gamme moderne, tandis que MI = -^ fait partie d'une gamme toute différente, dite gamme de Pythagore, fondée sur une succession de quintes, ainsi ([u'il sera expliqué plus loin. Eu négligeant le comma ijui sépare ces deux notes si dissemblables comme genèse musicale et comme formule, on arrive à les échanger l'une dans l'autre. La remanjue que nous venons de présenter au sujet do ces deux mi serait applicable à tout couple de notes différant entre elles d'un comma; on peut donc, d'une façon générale, définir comme il suit ces petits intervalles, ainsi que les effets obtenus en les négligeant.

En musique, les commas sont des intervalles extrêmement complexes, séparant deux notes assez voisines, lesquelles peuvent provenir d'une même origine telle de do„ = i , mais par des processus très différents, tels ([ue, dans l'exemple précédent, la tierce de la double octave de f/o,, et la quadruple quinte du même do„. En négligeant ces petits intervalles, on arrive à mettre en contact des tonalités fort éloignées l'une de l'autre.

Au POINT DE VUE DES NOMBRES, Ics commas sout dcs fractions extrêmement complexes, représentant le (luolient de deux nombres assez voisins, lesquels peuvent s'obtenir en multipliant l'unité par des groupes de facteurs premiers fort différents, tels que, dans l'exemple

précédent, le facteur 5 ou la 4° puissance de -• En négligeant la différence entre ces

groupes de facteurs, on aiTive à pouvoir considérer comme étant en rapports simples des nombres formés de facteurs premiers absolument différents.

En résumé, deux grandeurs de même ordre (soit deux notes de musique, soit deux fractions arithmétiques) présentant un rapport complexe, on peut s,im^\i^\Qv considérabtemeni ce rapport en altérant légèrement l'une des deux grandeurs par la suppression d'un comma (').

ARTICLE III. — Notes introduites par la modulation.

413. Nous nous bornerons, dans ce (jui suit, à rechercher les valeurs des notes ([u'introduisent les modulations les plus simples, savoir les modulations par homotonie, par connexion, par voisinage ou par équiarmure.

Pour éviter toute ambiguïté touchant les formules à attribuer aux notes considérées, nous prendrons toujours le ton de do pour l'un des deux t«ns entre lesquels s'effectue la modulation, et ce sont les notes de ce ton (et non celles de l'autre ton) qui seront dôsi-

(') La eiiiisUlui-ation îles (luateniions nniis pi'niii'ttra plus Iniii ( ii- 'lîG) (te pivcisfi- ilavanta^r li' njlo ilos cun -s.

^nées par les sept noms

(la. ;•(■, Dii, f<(, xol. la. si.

ces notes pouvant bien entendu être affectées, s'il y a lieu, d'accidents convenables.

Pour désigner les notes du second ton, vers lequel s'effectue la modulation, nous emploierons les sept mêmes noms, mais en les modifiant, le cas échéant, au moyen des notations suivantes :

.2; = — = comuia (ou comma vulgaire) ;

y = ^= aiiticonmia. intervalle égal au précédent, mais de sens contraire;

H = ; =: ^ = dièse (ou petit dièse) ;

,, — ^ = 2| = bémol (OU petit bémol), intervalle égal au précédent, mais de sens contraire ;

u.e = n=^=ï-t--r= grand dièse = sonmie d'un dièse et d'un comma ;

CJ = p :

; :^ ^ y —, grand bémol = somme d'un bémol et d'un anticomma.

Donc, des notations telles que

do.r, rc II ou

/// ni- OU /;"' tt,

représenteront les notes do, ré et mi du ton de do. mais haussées respectivement des intervalles musicaux ci-dessus définis

Semblablemrnt, les notations

mi l'r ou iiti P

représenteront les mêmes notes do, ré. mi baissées respectivement des mêmes intervalles que ci-dessus.

Il est évident que, sur le quadrillage du plan des 3 et des 5. les six accidents que nous considérons sont représentés par les six vecteurs indiqués dans la figure suivante :

Kig. 261.

MODl l.ATIONS PAR HOMOTOMi:.

414. La ligure suivante réunit, counne on l'a vu. les dix notes servant à exprimer les Jiuit ganunes ternaires fundécs sur la loni(iue do.

Elle montre iiue, pour passer d'un homotonique à l'autre, il sulTit d'appliiiuer à une ou