CHAPITRE PREMIER

Essai sur la numération chaldéenne.

L'ancien système métrique assyrien et notre nouveau système métrique décimal peuvent être considérés^ tous les deux^ comme déduits d'un seul et même principe^ parce qu'ils dérivent; l'un aussi bien que l'autre^ du système de numération auquel ils se rapportent; et il résulte de ce fait que lorsqu'on veut entreprendre ^ avec quelque chance de succès, l'étude du système métrique assyrien, il est indispensable de connaître, au préalable, tous les détails de la numération, tant écrite que parlée, dont les Assyriens se servaient.

La vérité de ce principe a été reconnue et proclamée par M. J. Offert, dès les premières pages de son Etalon des mesures assyriennes ^^ et voici en quels termes il s'est exprimé à cette occasion :

«Avant d'aborder ce point (l'étude de la métrologie assyrienne), il convient, a-t-il dit, de toucher un sujet en apparence différent, mais en réalité connexe à notre développement »

« Nous savons, par les auteurs grecs, que les Chaldéens comptaient le temps par Sosses de 60, par N&rs de 600 et par Sars de 3600 ans. J'avais cru voir, séduit par des assonnances philologiques, dans les Sosses l'hébreu Saat «heure», dans les Ners le sémitique Nahar «jour», et dans le Sar le mot Sahr «mois». J'avais donc cru devoir modifier les évaluations du Soss et du Ner et maintenir celle du Sar.*

« Je suis en état, aujourd'hui, de rectifier cette erreur, et en même temps de généraliser et de corriger les idées que la plupart des savants ont émises au sujet des Sosses, des Nets et des Sars.*

«Les expressions en question ne sont pas des valeurs exclusivement temporaires. Le Ner, par exemple, ne veut pas dire seulement 600 ans; cet intervalle est égal à un Ner d'années. Elles sont tout simplement des valeurs numériques, en un mot, des coefficients arithmétiques. »

^ L'étalon de» mesurée tuêt/rietmeê, fixé par le* texteê eunéi/ormet, par M. J. Oppebt; Extrait du Journal AsiaUque (aoÛt-septembre, 1872 et octobre-novembre, 1874^ Paris, Imprimerie nationale, MDCCCLXXV, p. 3 et suiv.

2 Essai

«Le So88 signifie le nombre 60;»

« Le Ner signifie le nombre 600 ; »

« Le Sar signifie le nombre 3600. »

Je me croiS; en conséquence^ suffisamment autorisé à soutenir^ dès à présent; que les Sosses, les N&i's et les Sars correspondaient toujours^ dans la numération chaldéenne^ à des nombres abstraits et jamais à des nombres concrets] et cela, malgré Topinion contraire trop souvent adoptée par d'éminents assyriologues et malgré M. Oppert lui-même qui, après avoir dit, comme on vient de le voir, que le Sosse signifie 60, le Ner 600 et le Sar 3600, n'a pas craint de soutenir en même temps que «ces expressions ne s'employaient que pour les chiffres élevés et ne s'ajoutaient qu'à une certaine valeur, dans chaque ordre d'idées. »

«L'unité, a-t-il dit ensuite, était :

Pour les valeurs temporaires. Vannée; Pour les valeurs itinéraires, la toise * de 6 coudées;

Pour les valeurs agraires, probablement le carré de 60 coudées, le Ptèthre; Pour les valeurs cubiques, le talent ]> quand il est incontestable, au contraire, si je ne me trompe, qu'on pouvait dire, par exemple, aussi régulièrement, un Sosse ou un Sar ^oboles qu'un Sosse ou un Sar de talents: La suite de mon étude justifiera, je l'espère, cette assertion de la manière la plus complète.

Dans une note se rapportant aux passages que je viens de transcrire (p. 4, note 1), le même auteur ajoute, aux explications qui précèdent, les nouveaux renseignements que voici :

« M. Brandis (Das MUm-, Maass- und Gewichtssystem) a également émis cette idée (celle d'une valeur abstraite attribuée au Sosse et au Sar), et il cite, à ce propos, les passages d'Hésychius et de Suidas : lapoç • 'ApiôjjLÔç Ttç zapà BaôuXwvtoiç. Seulement il a laissé de côté le Ner, qui entre bien dans tout le système de numération chaldéenne. »

Il me paraît cependant nécessaire de faire remarquer, avant d'aller plus loin, que cette dernière affirmation de M. Oppert ne se trouve pas exprimée avec toute la précision désirable; car autant il est vrai de soutenir, avec lui, que le Ner entre réellement dans le système de la numération chaldéenne, autant il est indispensable de reconnaître, avec M. Brandis, qu'il est parfaitement permis de ne faire aucune mention de ce groupe d'unités, quand on veut se contenter d'exposer cette numération dans son ensemble; parce qu'il est incontestable, ainsi qu'on le verra bientôt, qu'elle procédait essentiellement par Soixantaines, c'est-à-dire par Sosses ou Soixantaines d'unités, par Sars ou Soixantaines de Sosses, par Soixantaines de Sars, etc., comme notre numération procède aujourd'hui par dizaines, c'est-à-dire, par dizaines, centaines, milliers, etc.; ce qui conduit à reconnaître que le Ner ne peut pas être considéré comme un des éléments principaux de la numération chaldéenne, que par conséquent il n'a pas assez d'importance pour figurer dans un résumé général et qu'enfin si Ton veut absolument le mentionner, ce ne peut être que dans une étude détaillée, et à la condition de mentionner,

1 M. Oppebt désigne ici, sous ce nom de toiae, la mesure assyrienne qui avait 6 coudées de longueur; mais cette dénomination ne semble pas acceptable, parce que la loiêe est essentiellement une mesure de 6 pieds seulement et non de 6 coudées de longueur; et comme, dans le système métrique assyrien, 6 coudées coiTespondaient exactement à JO pieds, c'est à la Pertica des Romains, plutôt qu'à notre toise, que cette mesure de 6 coudées de longueur doit être assimilée. Je la désignerai, en conséquence, moi-même, sous le nom de Perche,

avant lui, la dizaine qui jouait; par rapport aux unités^ précisément le même rôle que le Ner par rapport aux Sosses. En d'autres termes^ on est forcément conduit à dire, quand on tient à s'exprimer d'une manière parfaitement correcte :

Ou bieU; avec M. Brandis^ que les Chaldéens comptaient les unités par Sosses on Soixantaines^ par Sars ou Soixantaines de Sosses^ etc.; ou bien, comme je vais le faire^ qu'ils comptaient ces mêmes unités d'abord par dizaines et ensuite par Sosses ou groupes de 9ix dizaines, après cela par Ners ou groupes de dix Sosses et enfin par Sars ou groupes de six Ners, etc., en introduisant, alternativement, dans cette énumération, le facteur 10 et le facteur 6, de manière à y faire entrer ainsi, en deux fois, le facteur principal 60; mais il ne peut jamais être permis, je le répète, de parler des Ners, comme M. Oppbrt a voulu le faire, sans avoir parlé au préalable des dizaines.

Ces diverses expressions de Dizaines, de Sosses, de Ners et de Sars n'étaient pas employées seules, par les anciens peuples asiatiques, dans leur numération parlée, et les Assyriologues enseignent, au contraire, que ces peuples comptaient aussi très souvent, non seulement par centaines, mais encore par douzaines et même de plusieurs autres manières difi^érentes, notamment par demi-douzaines ou groupes de six unités, en d'autres termes par sixains. On rencontre, en efifet, très souvent, dans le système métrique assyrien, à côté des Sosses, groupes de six dizaines, des Ners, groupes de six centaines et des Sars, groupes de six Ners, d'autres groupes formés par la réunion de six Sosses et correspondant ainsi à 360 unités. Exemples : Le Stade composé de 360 coudées, la Mine dont le poids était de 60 drachmes et par conséquent de 360 oboles, puisque l'obole était contenue elle-même six fois dans la drachme; et il résulte de ce long exposé que les errements suivis par les peuples asiatiques, à l'origine de leur civilisation, sont identiques à ceux que l'on rencontre chez tous les autres peuples de la terre et consistent à compter d'abord, sur les doigts, par quines et par dizaines ou, en d'autres termes, de cinq en cinq unités et à adopter ensuite le sixain et la douzaine pour modifier et améliorer la numération primitive dont l'élément principal, la dizaine, ne peut être divisé ni en trois, ni en quatre parties égales.

Cest ainsi qu'on trouve, chez les Romains, dont la numération était essentiellement décimale, toutes les unités métriques systémativement divisées en 12 onces, et qu'en France même, où la numération décimale a toujours prévalu, l'ancien pied était divisé en 12 pouces, le pouce en 12 lignes et la ligne en 12 points, quand, en même temps, la grande majorité des fabricants avait contracté l'habitude de compter les produits industriels par douzaines et par grosses de 12 douzaines.

En résumé donc les deux séries suivantes :

5 . 10 . 15 . 20 . 25 . 30 60 90 . 100 . 110 . 120 240 360 600, etc.

et 6 . 12 . 18 . 24 . 30 60 90 . 96 . 102 . 108 . 120 240 360 600, etc.

réglées, la première de cinq en cinq unités et la seconde de six en six, doivent être particulièrement remarquées dans la numération chaldéenne et leurs termes les plus usuels étaient naturellement ceux qui se trouvent, à la fois, dans l'une et dans l'autre série, tels, par exemple, que 60 ou un Sosse, que l'on peut considérer comme égal à 5 douzaines aussi bien qu'à 6 dizaines, et 600 ou un Ner, qui peut être considéré, à son tour, comme égal à 6 centaines ou à un Sosse de dizaines aussi bien qu'à une dizaine de Sosses ou à cinquante douzaines.

4 Essai

Tous les assyriologaes reconnaissent; en second lieu^ que les principaux nombres de ces deux séries étaient habituellement exprimés^ en caractères cunéiformes^ dans la numération écrite; de la manière que je vais indiquer :

y représentait toutes les unités,

W' II' K ®* TU correspondaient aux réunions de cinq, de six, de dix et de douze unités, c'est-à-dire, au quine, au sixain^ à la dizaine et à la douzaine que Ton pouvait exprimer aussi par ^J = une dizaine plus deux unités.

Les nombres compris entre 1 et 10 étaient écrits ensuite, en fonction de l'unité, de la manière suivante :

i % m ^o^w> w> ^> Wo«f. mon% w-^w-,

et le même principe serrant à exprimer les dizaines,

on écrivait: <, <<, <«, <f, f,

pour correspondre à 10, 20, 30, 40, 50.

En même temps, ^pf^JS T", et enfin E TTT^T étaient des idéogrammes qui correspondaient, le premier au Sosse, le second à la centaine et le dernier au Sar.

Ces premières indications sont plus que suffisantes pour faire comprendre avec quelle facilité les mêmes nombres pouvaient être écrits, de plusieurs manières différentes, en caractères cunéiformes; car il est aisé de voir, par exemple, que l'expression ^^^^J^^^, égale à 6 Sosses plus 4 dixaines ou en d'autres termes, égale à 400, avait précisément la même valeur que ^J- égale aussi à 400 et qu'il en était de même pour l'expression ^^^^^J = 15 Sosses = 900 comparée à ]^]p- = 900, de même encore pour ^^^5y^^^ = 16 Sosses + 4 dizaines = 1000, comparativement à ^^ égal à 10 centaines, c'est-à-dire à 1000 et pour beaucoup d'autres expressions encore.

Si, en outre, on veut bien considérer que la même observation s'applique aussi et à plus forte raison au Ner que l'on pouvait représenter non-seulement par TfT\- = 6 centaines et par \^^-| = 10 Sosses, mais encore par plusieurs idéogrammes tels que l Elii^T ou îil^i' que M. Oppert a fait connaître à la page 4 de son Etalon, on n'aura aucune peine à se rendre compte de la grande variété d'expressions qui pouvaient convenir, en définitive, à un seul et même nombre.

Le caractère complexe des deux derniers idéogrammes que je viens d'assigner au Ner doit être aussi remarqué. D'un côté, en effet, je serai amené à constater, lorsque je m'occuperai des fractions, que le signe J qui servait, comme on l'a déjà vu, à indiquer la mtdttplication par 6 des nombres à la suite desquels on le plaçait, puisque JJ correspondait à un sixain et JIJ à une douzaine, que ce signe, dis-je, servait aussi à indiquer la division par 6 des nombres qu'il précédait, de sorte que lorsqu'on le mettait, comme dans l'idéogramme IE ITT^[ ; ^ avant de l'idéogramme du Sar, il ne pouvait le faire correspondre qu'à la

> A la page 4 de son EtaUm des meturea oêtyrieimet, M. Oppert s^est cru autorisé à dire que le signe T est susceptible d*être considéré, lui aussi, comme un idéogramme, au moyen duquel les Sosses peuvent être représentés, aussi bien que par ^yy^ j; mais il semble probable que ce savant assyriologue s*est trompé

dans cette appréciation, car le signe J servait à indiquer, comme on le verra plus tard, non seulement les unités, les Sosses et les Sars, mais encore les soixantièmes et les trois mille six centièmes. 11 est donc plus rationnel de regarder ce signe comme un chiffre que comme un véritable idéogramme.

sixième partie d'un Sar^ c'est-à-dire à un Ner; et d'un autre côté^ je vais montrer dans un instant que Fidéogramme ÎIl]]^]', qui servait, aussi bien que Tautre, à représenter le Ner, doit être considéré, à son tour, comme formé par la réunion de deux signes distincts, le premier JIIv^ ^^^ * ^ Sosses ou à 240 et le second T^, égal à 6 Sosses ou à 360, quoique M. Lenormant dise, à la page 58 de son Essai sur un documenit mathématique chaldéen ^, que J2^Y^ est un nom de mesure dont les deux éléments sont inséparables!

Chez les Assyriens, le mot gagar, mis à la suite du nom d'une mesure, indiquait qu'elle devait être répétée 360 fois; c'est ainsi, par exemple, que Vammat-gagar correspondait à 360 coudées, c'est-à-dire à un Stade, et il résulte de là, si ma théorie est exacte, que y^ était le signe représentatif de Vunité-gagar = 360; ce que Ton peut admettre d'autant plus aisément qu'il semble bien difficile de croire que ce nombre 360, si fréquemment employé par les Assyriens dans leur système métrique, ne possédait pas, comme tous les autres nombres usuels, un idéogramme particulier destiné à le représenter. La vérité m'oblige cependant à avouer que M. Offert, malgré mes instances réitérées, n'a jamais voulu croire à la vérité de cette assertion, et l'on sait, au contraire, que, pour lui, le signe Y^ représente tantôt le Ner lui-même (Etalon des mesures assyriennes, p. 4), et tantôt le chiffre 400, quoique cette double valeur attribuée à un seul et même signe semble bien difficile à comprendre.

Cest en s'appliquant à déterminer l'expression :

dans l'inscription des taureaux en bronze de Khorsabad, aux pages 9 et suivantes, de son Etalon, qu'il a cherché à justifier cette valeur de 400 attribuée au signe Y^. en essayant d'établir, dans ce but, que cette expression C^Cl^CII^/'riI^T^I^I^ tout entière correspond à 3 Ners et ^ c'est-à-dire à 2000; qu'ainsi, puisque Cil/' | ; considéré en particulier, correspond à un Ner, il en résulte, en déduisant 3 Ners, ou 1800, de l'expression entière, qu'il reste seulement, pour le signe Zl^y ^ne valeur égale à | de Ner ou à 200; et que, par conséquent, T^ considéré seul ne peut correspondre qu'à JZ^I^T^ moins Cl^? ^^^ ^^ Ner moins j, ou à | de Ner, c'est-à-dire à 400.

Mais, je le demande, à ceux-là même qui seraient disposés à admettre cette théorie, comment leur sera-t-il possible de justifier la préférence accordée, dans ce cas, à une expression aussi compliquée que îlC^^CII/'CII^Clv^I I f^; quand il était si facile de la remplacer, si elle pouvait être égale à 2000, par ^J^V = ^0 fois 200 = 2000, par 1JÇ^|^ = 5 fois 400 = 2000 et surtout par ^^ = 20 fois 100 = 2000? Personne, j'en suis sûr, ne sera en état de le dire.

Dans tous les cas, et quelle que puisse être à cet égard la vérité, je considère comme inutile d'insister ici plus longtemps sur ce point, parce que j'aurai nécessairement à y revenir, lorsque l'étude des mesures itinéraires me conduira à m'occuper, d'une manière détaillée de l'inscription des taureaux de Khorsabad et parce qu'il me suffit, pour le moment, d'avoir

* Esêai êur un document mathématique chaldéen et, à cette occoêion, »ur le êyitème deê poidê et metureê de Babylone, par François Lenormant, sous-bibliothécaire (aujourd'hui membre) de Tlnstitut. Paris, A. Lévy, libraire-éditeur, rue de Seine 29, 1868.

6 Essai

montré; comme je Tai fait toat-à-rheare^ avec quelle facilité an même nombre pouvait exprimé; de plusieurs manières différentes; en caractères cunéiformes.

Toutefois; on le remarquent; ces diverses expressions; quoique d'un usage très comn dans un grand nombre de caS; et quoique très souvent employées; en fait; sur la plu des textes qui sont parvenus jusqu'à nouS; ne peuvent cependant pas être considérées coi ayant le caractère d'une civilisation scientifique bien avancée; parce qu'elles peuvent à p servir aux opérations d'arithmétique les plus simples et surtout parce qu'elles ne sont combinées de manière à se prêter commodément à des opérations compliquées; telleS; exemple, que des extractions de racines carrées ou cubiques.

On a pourtant bien souvent constaté et tout le monde sait que les Chaldéens avs élevé la science des nombres à un degré de perfection très remarquable et cette seule sidération suffit pour obliger à reconnaître qu'ils devaient nécessairement posséder, en currence avec les divers systèmes de numération usuelle que je viens d'indiquer; un a système beaucoup plus parfait, conçu de manière à rendre faciles les divers calculs qu€ géomètreS; les astronomes et les savants de tout ordre ont; à chaque instant; besoin d'op

Ce système; dont je ne crains pas d'affirmer l'ancienne et incontestable existenc pU; si l'on veut; rester inconnu du vulgaire et n'a été probablement accessible qu'à un cei nombre d'initiés; mais son existence n'en est pas moins certaine; quoique les belles dé vertes des assjnîologues modernes soient insuffisantes pour en faire connaître et apprécier les détailS; car un certain désaccord existe encore malheureusement entre les diverses thé< que les maîtres de la science proposent.

J'ai néanmoins la prétention de croire que le seul exposé de ces théories va me mettre de montrer de quel côté doit être la vérité et de dire finalement quel est le syst auquel il convient d'accorder; en fait; une préférence motivée.

n n'en existe d'ailleurs que deux sérieusement en présence : le premier; proposé 1855 par Sir Henry RawlinsoN; dans le 15® volume du journal asiatique anglais* et au M. Brandis a ajouté; peu de temps aprèS; l'autorité de son approbation; et le second; exj en 1856; par M. Offert dans \\n mémoire intitulé : Les mesures de longueur chez les C déens^, vivement appuyé par M. Georoes Rawlinson dans le premier volume de son gi ouvrage^ et reproduit ensuite; en 1862; par M. François Lenormant dans son Essai sut document mathématique chcddéen. Je les exposerai; avec soiU; tous les deuX; parce qm considère comme indispensable de les faire bien connaître; avant d'entreprendre de discuter.

Voici d'abord quel est celui que Sir Henry Rawlinson a adopté de préférence :

Le signe J suffit, dans ce système; pour exprimer; non seulement les unitéS; i encore les SosseS; les SarS; etc., à la seule condition de prendre la précaution d'avai à chaque foiS; ce signe d'un rang vers la gauchC; comme je l'indique dans le tab que voici :

1 The Journal of the royal asiatic ëociety of the Gréai Britain and Ireland, page 218.

2 Inséré aux pages 33 et suivants du Bulletin archéologique de VAtheneum français, II* ai mai 1856.

^ The five great monarchies of the ancien eaêtem voorld] by Georges Rawlinson, London, pag. 1*28 et suiv.

y = un = 1,

un Sosse = 60,

un Sar =: 3600,

un Sosse de Sare = 216.000, etc.

Il en est de même pour le signe ^ qui sert à exprimer^ d'une manière analogue^ les dizaines proprement dites, les dizaines de Sosses ou les Ners, les dizaines de Sars, etc.; de sorte qu'en réunissant, comme dans le tableau suivant, les deux systèmes de notation qui viennent d'être indiqués :

Colonnes affectées

aux Sosses de Sars

aux

Sars

aux Sosses

aux unités

Ensemble

et en reproduisant, dans le bas de ce tableau, sous forme d'addition, tous les nombres qu'il contient, on peut constater, sans beaucoup de peine, que la somme de ces nombres est égale à un Sosse de Sars, plus 11 Sars, plus 11 Sosses, plus 11 unités, c'est-à-dire à 2Ô6.271.

En adoptant ce système de numération, les chiffres déjà connus permettent d'écrire, dans chaque colonne, tous les nombres compris entre J = 1 et ^^^ = 59. Par conséquent, on peut; dans cette hypothèse, écrire tous les nombres possibles, d'une manière très simple et très rationnelle, en se servant seulement des deux signes J et ^ et même en ne faisant aucun usage du zérO; malgré la place si considérable que ce dernier signe occupe dans notre système de numération moderne; puisqu'on peut; en effet, ainsi qu'on vient de le voir, supprimer entièrement les zéros, à la condition de s'assujétir à laisser complètement vacantes les cases qui doivent rester inoccupées dans les expressions des nombres qu'on veut écrire.

Lorsque toutes les cases doivent être remplies, et c'est là, on le remarquera, le cas le plus habituel, aucune erreur ne peut être à craindre, et le nombre ^^^yy^^^yj; par exemple, correspond incontestablement à 32 Sars, plus 11 Sosses, plus 22 unités, c'est-à-dire à 115.882. Mais lorsque une ou plusieurs cases doivent rester vides, la difficulté devient réelle et les erreurs sont alors possibles. Il est facile de voir, en effet, dans ce cas, que, si les colonnes des unités, des Sosses et des Sars ne sont pas très nettement séparées les unes des autres, on aura quelque peine à distinguer, par exemple :

8 Essai

<«yyy«yy = 33 Sosses et 22 unités = 2002,

de «<yT— T«tT = 32 Sars, 1 Sosse et 22 unités = 115.282;

ou bien ^^^ ^^{JJ = 32 Sosses et 32 unités = 1952,

de <«yy<— «JT = 32 Sars, 10 Sosses et 22 unités = 115.822.

Dans le même ordre d'idées, il est clair que les trois J qui, par leur réunion, forment le nombre 3, suflBsaient pour écrire, en faisant varier leurs espacements :

V —]—]] = 1 Sosse et 2 unités = 62,

2^ — yy— y = 2 Sosses et 1 unité = 121,

3*^ —y— y— y = l Sar, l Sosse et 1 unité = 3661,

4*^ — y- yy = l Sar et 2 unités = 3602,

et 5^ — yy y = 2 Sars et 1 unité = 7201.

Mais on voit, en même temps, que de nombreuses erreurs pouvaient résulter de ce système de numération, lorsqu'on ne s'appliquait pas, comme je l'ai déjà dit, à distinguer très soigneusement les colonnes affectées aux unités, aux Sosses, aux Sars, aux Sosses de Sars, etc.

On pouvait, à la vérité, éviter ces erreurs, dans Vécriture ordinaire et cowrante, en mettant les idéogrammes des Sosses et des Sars à la suite des nombres qui correspondaient aux chiffres de ces divers ordres, et en écrivant, par exemple :

y^^^ yy, au Ueu de y — yy, pour correspondre à 62, yy^^^ y, au Ueu de yy — y, pour correspondre à 121,

yE iyy^l yS^ y^ *^ ^^^^ ^^ y — y — ^y^ P^^^* correspondre à 3.661, y^y yy^l yy, au Ueu de y yy, pour correspondre à 3.602,

et yy^nî^J y> ^^ ^^^ ^® yy y^ P^^^* correspondre à 7.201;

Cest ainsi notamment qu'on trouve :

yCl^y^ ^^ ^^<: = 1 Ner, 6 Sosses et 5 dizaines = 1010, au lieu de ^ ^ ^ = 1 Ner, 6 Sosses et 5 dizaines = 1010,

sur l'inscription qui a été donnée, en entier, par M. Lekormant à la page 59 de son Essai, d'après différents exemplaires comparés des Fastes de Sargon et de Y Inscription des taureaux; et il m'a paru très utile de signaler ici, d'une manière spéciale, ces deux formes différentes du même nombre, parce qu'elles sont écrites, si je ne me trompe, la première, malgré sa complication apparente, sous la forme la plus vulgaire, c'est-à-dire sous une forme facilement accessible à toutes les intelligences, et la seconde, au contraire, malgré sa grande simplicité, ou pour parler plus exactement, en raison même de cette simplicité, sous une forme essentiellement scientifique, adoptée seulement par les calculateurs et par les hommes instruits.

Cest absolument comme si Ton écrivait aujourd'hui :

1 mille 6 cents et 5 dizaines, au lieu de 1650, pour mettre l'expression de ce nombre 1650 à la portée de ceux qui ne savent lire que les neuf premiers chiffres de la série décimale.

On conçoit néanmoins, sans beaucoup de peine, que cette addition des idéogrammes indicatifs des Sosses, des Ners et des Sars, quoique usuelle et souvent pratiquée, n'était pas cependant d'un emploi commode dans les calculs, même les plus élémentaires, et il

résulte de là que^ pour toutes les opérations d'arithmétique^ principalement pour celles qui étaient compliquées^ telles^ par exemple, que la division ou l'extraction des racines, il était indispensable de s'assujétir à supprimer ces idéogrammes, et à écrire les diverses parties des nombres, sur lesquels on voulait opérer, dans des colonnes parfaitement distinctes les unes des autres, en s'imposant la condition de laisser soigneusement en évidence, dans ces mêmes colonnes, les cases qm devaient y rester vides.

Voici notamment de quelle manière il aurait fallu opérer, si Ton avait voulu s'assurer, en effectuant une addition, que la somme des douze nombres précités correspond exactement à 622.868, c'est-à-dire, dans le système chaldéen, à 2 Sosses de Sars, plus 53 Sars, plus 1 Sosse, plus 8 unités :

Ensemble

Colonnes affectées

aux Sosses de Sars

aux San

aux Sostes

aux 1

mités

ïï

ÏÏT

ïï

T ïï

ïï'

ïï

ÏÏT

Quand on s'assujétit à écrire ainsi les nombres sur lesquels on vent opérer, le système de numération qui vient d'être exposé se distingue à un double point de vue : d'abord par sa base sexagésimale qui est certainement, parmi toutes celles qu'on peut imaginer, ceUe qui se prête le mieux à toutes les convenances, et ensuite par l'extrême facilité avec laquelle ce mode particulier de notation permet de faire, non-seulement, comme on vient de le voir, tontes les additions, mais encore, comme on le verra bientôt, tous les cedads, qnelqne compliqués qu'ils puissent être.

Les mêmes avantages sont loin de se rencontrer dans le système de numération que MM. OsoROBs Rawunson et François Lenormant ont considéré comme employé de préférence par les savants chaldéens.

1; 10 Essai

Voici d'abord eu quels termes ils ont exposé ce système :

<La notation des nombres entiers, a dit à ce sujet Fun d'eux, M. Lenormant, à la page 3 de son Essai, a été reconnue, dès les premiers travaux . . . Elle était la même chez les Assyiîens, les Babyloniens et tous les peuples qui se servaient de récriture cunéiforme anarienne, trhs simple et conçue d'après le système décimal, »

«... à partir de 60, a-t-il ajouté, on pouvait indifféremment mettre autant de crochets que le nombre comprenait de dizaines, ou placer un clou vertical suivi d'autant de ci^ochets qu'il y avait de dizaines au-dessus de 50, Ainsi 60 s'écrivait ^^^ =: 6 dizaines ou J^ = 50 + 10, 70 <^^/ ou y«. >

«La centaine était représentée par un clou perpendiculaire suivi d'une ligne horizon- » taie 1", etc., etc. »

Ce qui revient à dire, en d'autres termes, que le système de la numération asiatique cunéiforme se trouvait constitué suivant les mêmes principes que la numération quinaire romaine dans laquelle, comme tout le monde le sait, les unités étaient représentées par I,

le quine par V,

le double quine, ou la dizaine par X,

le quine de dizaines, ou la cinquantaine par L,

le double quine de dizaines, ou la centaine par C,

le quine de centaines, ou la cinq centaine par D,

le double quine de centaines, ou mille par M, etc.

Mais il n'est pas nécessaire de faire de grands eflForts pour comprendre combien il devait être difficile de se servir, même dans les cas les plus simples, de ce système quinaire romain; et cependant les difficultés auraient été plus grandes encore, dans le système attribué aux Chaldéens, par MM. Georges Rawlinson et François Lenormant, parce que l'identité du signe, au moyen duquel on représentait, dans cette hypothèse, l'unité, aussi bien que la cinquantaine, n'aurait pas permis de distinguer aisément J = 1 de J = 50, notamment dans les expressions telles que J — | = 51 et JJ = 2.

Au contraire, dans le système sexagésimal précédemment exposé, J — J = 61 peut être facilement distingué de JJ = 2, en prenant la précaution d'écrire, comme on l'a vu tout-àr heure, le premier de ces deux nombres sous la forme l^ffj — J.

Si donc, c^mme je le crois, on ne connaît aucun idéogramme spécial susceptible de senîr à exprimer la cinquantaine, il résulte de ce seul fait une difficulté sérieuse, quand on admet le système quinaire chaldéen, et l'on doit, si je ne me trompe, aller jusqu'à reconnaître que l'absence de cet idéogramme, si elle est réelle, constitue une objection grave, bien capable d'être opposée avec avantage à la théorie que je discute en ce moment

On peut néanmoins dire beaucoup plus encore, car voici en quels termes M. Lenormant s'est exprimé, aux pages 6 et 7 de son Essai, en parlant des fractions :

«Les Babyloniens, on le sait maintenant de la manière la plus positive, divisaient invariablement l'unité en 60 fractions appelées par eux «Soixantièmes» ou «Minutes» ...Pour noter les fractions inférieures à ~, ils divisaient de nouveau, d'une manière invariable, le Soixantième en 60 autres fractions secondes, c'est-à-dire au dénominateur 3600 ou 60'^.»

Je démontrerai, malgré cela, lorsque la suite de cette étude me conduira à parler, à mon tour, de la théorie des fractions, qu'il existe plusieurs erreurs, à côté de quelques vérités.

dans le passage qn'on vient de lire. Je ne veux pourtant pas le rectifier en ce moment; parce qu'il suffit; tel qu'il est, pour établir que les Chaldéens saviiient appliquer, le système sexagésimal au calcul des fractions et, par conséquent, pour en conclure qu'il semble bien difficile de croire qu'ils n'appliquaient pas aussi le même système au calcul des nombres entiers.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'écrire, en caractères cunéiformes, la somme des deux fractions jj^ et ■——, le numérateur de la première fraction se trouvant écrit sou8 la forme ^ et celui de la seconde sous la forme ^^^yj, leur somme pourra être écrite sous la forme J^^ = 50 + 10 + 4, si la théorie de M. Lenormant est exacte et si J correspond, en effet, à 50 plutôt qu'à un Sosse = 60. Cependant il est certain, d'après M. Lenormant lui-même, qu'il faut écrire, dans ce cas, J^ seulement, en exprimant ~l^ sous la forme de sT^ + Fe*oô^ ^î* -^6 + rtôof parce que J représente alors des soixantièmes et ^ des trois mille six centièmes.

La chose devient encore plus évidente si l'on suppose, en second lieu, que les deux fractions données, au lieu d'être égales à gJ-Jo et à ^H^, sont égales à fj et à ff ; car leur somme égale à J^, c'est-à-dire à 1 -f -*^y devra être écrite, à plus forte raison, dans ce deuxième cas, sous la forme J^, parce que 60 soixantièmes correspondent incontestablement à l'unité. Mais si nous remplaçons les deux fractions données par les deux nombres entiers 41 ■^- ^^ et 23 -- ^^yyy, et si nous cherchons à savoir comment leur somme doit être écrite, il est encore plus incontestable qu'elle doit être mise, dans ce cas, si la théorie de M. Lenormant est exacte, sous la forme J^^ ^-50-fl0-|-4- 64.

Il faut donc, de toute nécessité, quand on admet cette théorie, opérer de deux manières différentes, sur les mêmes nombres, suivant qu'on les rapporte à des fractions ou à des unités.

Je ne crains pas de le dire, une semblable hypothèse est inadmissible et il demeure évident, au contraire, que les Chaldéens écrivaient et calculaient les nombres entiers suivant le système sexagésimal, s'ils écrivaient et calculaient effectivement les iractions suivant le même système. L'hypothèse contraire les mettrait dans le cas où nous nous trouverions nousmêmes placés aujourd'hui, si nous voulions entreprendre d'appliquer le système des fractions sexagésimales à notre système décimal; il en résulterait immédiatement des diflicultés à peu près insurmontables.

Et cependant ce n'est pas tout encore, car voici ce qu'on lit aux pages 148 et 149 de VEssai sur un document mcUliéinatique ckaldéefi :

«Il résulte d'indices positifs que bien que la numération des nombres entiers fut invariablement décinutle, l'habitude des fractions sexagésimales faisait que, dans la pratique, on comptait certaines choses par soixantaines, pour la vente, l'emmagasinage, on le recensement, comme chez nous, il y en a encore que Ton compte par douzaines, bien que notre numération soit décimale. C'est ainsi que, sur le prisme de Teglathphalasar F", nous trouvons parmi les énoncés du butin fait dans ses diverses campagnes * : JJ! ^J ^^ 3 Su-si — 3 soixantaines de barres d'airain (col. II, 1. 29 et 30) et y^J^^- une soixantaine de barres d'arain (col. II, 1. 49 et 61).»

Quelques lignes plus loin, le même auteur ajoute :

^ Cuneiform JnêcripUona of Western AHa. PI. IX — XVI.

12 Essai

«Il est assez naturel de penser que Ton comptait les h^lques de la même manière que les barres de métal, » •

On peut conclure de ces citations que M. Lbnormant introduit, sans difficulté^ la numération sexa^imale dans le système chaldéen, non-seulement, comme Bérosb Ta déclaré en termes formels, pour le calcul des années, non-seulement, comme tout le monde le sait, pour le calcul des minutes et des secondes qu'il faut considérer, tantôt comme des fractions sexa^imales d'heure et tantôt comme des fractions sexagésimales de degré, c'est-à-dire comme des unités essentiellement différentes les unes des autres, et non-seulement enfin, ainsi qu'on vient de le voir, pour le calcul de toutes les autres fractions, mais encore pour celui de plusieurs autres unités d'un usage habituel, telles que les briques, les barres de métal, etc., etc.; et nous nous trouverions, malgré cela, malgré la parfaite connaissance que les Chaldéens avaient ainsi de tous les avantages de la numération sexagésimale, qui convenait si bien à leur système d'écriture cunéiforme, nous nous trouverions, dis-je, dans la nécessité d'admettre, si M. Lenormant ne s'était pas trompé dans ses conjectures, qu'ils n'appliquaient pas la même numération dans les autres occasions et lui préféraient habituellement la numération décimale, ou, pour parler plus exactement, la numération quinaire des Romains!

Il semble complètement impossible de le croire, et quoique les diverses objections que je viens de formuler ne soient appuyées encore sur aucun texte cunéiforme, je ne crains pas néanmoins de leur attribuer une valeur considérable dont M. Lbnormant ne paraît pas avoir tenu un compte suffisant, lorsqu'il a parlé de ses contradicteurs dans les termes que je vais reproduire ici :

«Cest tout-à-fait à tort, a-t-il dit à la première page des Notes qui accompagnent son Essai, que, postérieurement au travail de M. Oppbrt, M. Brandis (Da>s MUm-, Maass- und Gewichtswesen in Vorderasien bis ouf Alexander den Grossen, p. 7 et suiv.) a voulu renouveler la conjecture de Sir Hbnry Rawlinson, en l'exagérant encore, car il suppose l'emploi d'une échelle indéfinie d'unités suivant la progression géométrique suivante :

l . 60 . 3600 . 216.000 . 12.960.000 etc.

qui aurait formé les éléments d'une notation dans laquelle on aurait toujours placé les signes les plus forts sur la gauche . . . SU avait eu quelque expérience pratique des textes cunéiformes, il aurait su que tout ceci n^est qu'une pure fantasniugorie . . .

« L'auteur est un métrologue éminent . . . Mais on voit tout de suite qu'il n'est pas en mesure d'aborder directement les textes cunéiformes; il ne les conncnt que de secotide main . . . aussi peut-on relever chez lui d'assez nombreuses erreurs.»

Je suis moi-même, je ne crains pas de l'avouer, encore moins que M. Brandis, «en mesure d'aborder directement les textes cunéiformes»; je ne les connais pas même «de seconde main », et je sais, par conséquent, d'avance à quels reproches et à quels dangers je m'expose en essayant d'en discuter ici quelques-uns.

J'oserai cependant le faire, en commençant par celui qui me paraît, à la fois, le plus simple et le plus concluant

Cest un texte reproduit intégralement, par M. Lbnormant, à la page 72 de son Essai, d'après une tablette du Musée Britannique, cotée K — 180, sur laquelle on trouve les six nombres suivants écrits de la même manière, dans deux colonnes différentes, les uns audessous des autres, sous la forme :

«, «, '«, <. <W et f et accompagnés; dam les deux c(zs, de leur somme évidemment égale à 92. Or^ cette somme

est écrite, à chaque fois, sur ce texte, sous la forme J ^^^ TT = ^ ^^^^^ ^ dizaines 2 unités.

Le premier clou vertical y correspond donc, d'une manière certaine, à 60 et non à 50, comme M. Lenormamt le reconnaît d'ailleurs lui-même, dans sa 146* note (p. 61, 2* cahier), où il dit :

«Ce texte est le seul, à notre connaissance, qui donnerait raison à Topinion de Sir Hbnry Rawlinson, adoptée par M. Brandis, sur la valeur 60, au lieu de 60, à donner au clou vertical J, suivi d'indication de dizaines . . . Mais peut-on admettre la théorie du savant anglais sur un seul exemple ... ? Les scribes assyriens étaient-ils moins sujets à Terreur que ceux des autres nations?»

Malheureusement pour M. Lenormamt cet exemple est loin d'être unique, non-seulement parce que le texte que je viens de citer *est double, mais surtout parce que plusieurs autres textes analogues peuvent être invoqués encore avec un égal avantage.

En voici d'abord un que j'emprunte, comme le précédent, à VEssai sur un document mathématique chaldéen. Il provient d'une tablette brisée en plusieurs morceaux et publiée dans la planche LXI du tome II des Cuneiform Inscriptions of Western Asia, Cette tablette contenait une statistique complète des temples de la Babylonie, classés sous la rubrique des dieux auxquels ils étaient consacrés et, sous cette rubrique, les différents sanctuaires dédiés à une divinité y sont désignés chacun par un numéro d'ordre.

Sur le fragment ajouté à la note 8 de Y Essaie on trouve les numéros suivants écrits sans interruption, les uns après les autres :

'^w> 'm 'm, m> m, m> i t-ïï, t-tïï> t-v, etc.,

et la question est ici de savoir ce que peut représenter, dans ce cas particulier, le signe J, placé immédiatement après le chiflFre ^]^ ^— 59.

«Au premier abord, a dit M. Lknormant, en publiant ce texte, il semble que J, venant après 59, doive représenter le chiffre 60. Mais un examen plus approfondi fait naître des doutes sérieux dans l'esprit. »

«Si y est 60, comment le chiffre 61 manque-t-il à la série régulière des nombres?

« Si le système de Sir Henry Rawlinson trouvait ici son application et sa justification, il devrait nécessairement y avoir un temple J — J — 61 comme, dans d'autres fragments contenant l'énumération des sanctuaires d'autres dieux, on rencontre le temple ^ et le temple ^^».

Pour répondre aux objections ainsi formulées, j'extrais encore le passage suivant du texte même de M. Lenormant (Essai, 2* cahier, p. 5) :

«En étudiant avec attention le mécanisme de la construction de cette tablette, on y remarque que le premier temple de chaque série n'est pas désigné par un numéro d'ordre, mais constamment par le seul nom de la série. Les numéros d'ordre ne commencent jamais qu'au deuxième temple de l'énumération. D'après ce principe invariablement appliqué dans toute la tablette, J n'est pas «le temple n° 60», mais le temple d'une nouvelle série désignée par le signe J; J — JJ est le temple n^ 2 de cette même série et ainsi de suite.

> 2^ cahier, p. 4.

1 4 Essai

«Il devient donc incontestable — du moins à ce qui nous semble — que nous n'avons pas ici un exemple de l'emploi du clou vertical pour représenter 60^ mais bien le commencement d'une nouvelle série de temples d'un même dieu^ qui débute^ après le temple n^ 59 et qui se distingue de la première par le signe J^ placé avant les numéros d'ordre. Ce sont, après les temples n**" 54, 55, 56, 57, 58 et 59, les temples A, A^, A,, etc.»

Mais il. me semble qu'après avoir accepté les prémisses de ce raisonnement, il n'y a pas lieu d'en accepter la conclusion.

Il est, d'abord, incontestable que les chiffres J, J— JJ, J — JU, etc., quelle que puisse être leur valeur, et par cela seul qu'ils viennent après le chiffre 59, ne peuvent pas être écrits en y supposant J égal à 50, parce que, s'il en était ainsi, ces chiffres correspondraient à 50, 52, 53, etc., et ne feraient que répéter, sous une autre forme, la dizaine précédente.

Il ne suffit pas, en second lieu, de constater, dans la première série, la présence des nombres ^J ^^ 11, ^^J = 21, etc., pour avoir le droit de demander, avec M. Lbnormant, pour quel motif le nombre J — J ^— 61 ne se trouve pas dans la série suivante; car il est facile de reconnaître que la situation n'est pas identique dans les deux cas, puisque la première série devant contenir 59 numéros, c'est-à-dire exactement autant que la colonne des unités peut contenir de chiffres différents dans le système sexagésimal, il est, par ce motif, hors de doute que les n" ^J - 11, ^^J — 21, etc., doivent nécessairement faire partie de cette première série, aussi bien que tous les autres numéros compris entre 1 et 59 inclusivement, tandis que, au contraire, il n'en est pas de même pour le chiffre J — J ^^ 61 de la série suivante, si cette série doit contenir, comme je le crois, exactement autant de numéros que la première, c'est-à-dire 59 seulement. Dans cette hypothèse, qui est très vraisemblable, et à laquelle même une idée religieuse peut être attribuée (numéro Deus impare gaudet ^), il était absolument nécessaire de supprimer un numéro, entre J - 60 et J ^ ^ -^ 119, et ce numéro ne pouvait être, comme M. Lenormant l'a reconnu lui-même, que y — y - 61. Si, dans cette situation, on avait trouvé préférable de supprimer y - 60, en le remplaçant par y — y -^ 61, M. Lenormant ne manquerait pas de demander aujourd'hui pour quel motif ce numéro y — 60 a été supprimé.

Au fond, la difficulté qui existe entre nous se réduit à savoir si, dans l'état actuel de la 2* série des numéros, il est plus rationnel d'attribuer au signe y une valeur quelconque A, comme le savant assjnîologue le propose, que de lui attribuer, comme je le fais moi-même, une valeur exacte de 60, résultant de la position qu'il occupe immédiatement après 59. Et puisque, dans la première série, telle qu'elle est écrite, en caractères cunéiformes, les chiffres qui correspondent à 50, 51, 52, etc. ne sont pas écrits en donnant à y une valeur égale à 50 et en les mettant sous la forme y, y — y, y — yy, etc. que la théorie de M. Lenormant tendrait à leur assigner, mais sont remplacés, au contraire, par ^; ^ y> ^ yy; ©te, comme dans le système sexagésimal adopté par Sir Henry Rawlinson et par M. Brandis, il semble, par ce seul motif, hors de doute que le signe y, venant après ^ ]^, ne peut correspondre effectivement qu'à 60.

1 La suite de cette étude me conduira, en efifet, à prouver que les anciens peuples asiatiques attachaient au moins autant dMmportance aux nombres que tous les autres peuples de l'antiquité, et leur attribuaient, sons Tempire des mêmes idées, une valeur mystique dont nous ne pouvons nous rendre compte aujounVhui que d'une manière bien incomplète.

Je n'ai à ma disposition, en écrivant ces lignes, que YEtalon de M. Oppert et \ Essai de M. Lenormant. Cest assez dire à qnel petit nombre se trouvent réduits les textes cunéiformes dont je dispose, et Ton va voir, malgré cela, que j'en puis citer encore plusieurs, où le chiffre J doit nécessairement correspondre à 60.

Je signalerai, par exemple, aux pages 69 et 70 de VEssai, un curieux fragment de l'Encyclopédie sur tablettes de terre cuite rassemblée dans le palais de Ninive par Âssourbanipal, où l'on trouve l'énumération suivante des divers tonnages donnés habituellement aux barques sacrées des dieux, en les exprimant d'abord de cinq en cinq unités et ensuite de dix en dix, en fonction d'une mesure de capacité nommée Gnr :

W> <. <W» «. <«. T> tSf et T M

expressions qui sont traduites par M. Lenormant comme il suit :

5, 10, 15, 20, 30, 40, 50 et soixante.

Mais comme, après cela, cet auteur s'obstine à refuser au signe J une valeur égale à 60, il se hâte de faire remarquer que ce nombre «soixante» est écrit ici phonétiquement, stis-su, avec le signe J pris seulement pour sa valeur syllabique sus.

Je me crois autorisé cependant à considérer comme certain :

D'une part, que si, dans le cas actuel, ce signe J a, en effet, une valeur syllabique égale à sus, c'est précisément parce que sa valeur numérique est égale à un sussu, c'est-à-dire à soixante; et d'autre part, que si le scribe s'est assujéti à écrire, en toutes lettres, J^J = sussu, au lieu de J = 60, c'est uniquement parce que, sans cette précaution, J = 60 aurait pu être confondu avec J = 1.

On trouve, en second lieu, à la page 115 du 2® cahier de Y Essai de M. Lenormant, et je puis signaler encore une autre inscription où le nombre 50 est écrit, une seconde fois, ^, comme dans le cas précédent, et où le clou vertical qui l'accompagne ne peut correspondre qu'à 60.

J'ai à appeler aussi l'attention sur une tablette mathématique, cotée K — 90, que le l^lusée Britannique possède et que M. Lenormant a pris soin de reproduire dans son 2* cahier de la page 106 à la page 108.

On y remarque, dans la première colonne, une série de chiffres réglée d'abord suivant une progression géométrique croissante dont la raison est 2, et dont le premier terme est égal à 5 :

Le cinquième terme est ainsi incontestablement égal à J = 60 plus ^^ = 20, de manière à correspondre en totalité à 80; et M. Lenormant, qui se refuse toujours à reconnaître l'évidente vérité de cette proposition, croit la combattre, d'une manière sérieuse, en disant que y^^ correspond, dans le cas actuel, à 1 degré plus 20 minutes, comme si un degré n'avait pas exactement la même valeur que 60 minutes.

On trouve, d'une manière analogue, dans la seconde colonne du même tableau, les termes successifs de la progression arithmétique suivante dont la raison et le premier terme sont égaux à 16 :

<m> «<ïï, tim> TV, etc.

soit : 16, 32, 48, 64, etc.

16 Essai

et dont; par conséquent^ le quatrième terme est égal à 64. Mais M. Lenormamt se refuse encore à reconnaître là le nombre 64 et aime mieux y voir 1 degré plus 4 minutes, quand il semble hors de doute, au contraire, qu'il ne peut être question, dans les deux colonnes, ni de degrés, ni de minutes, et que tous les nombres des deux séries sont des nombres abstraits dont les déterminatifs n'ont, pour moi, je n'éprouve aucune peine à l'avouer, que des valeurs complètement inconnues, mais qui cependant ne doivent pas représenter des objets susceptibles d'être comptés par degrés et par minutes ^

^ M. Lemormant n'a reproduit le texte complet de cette tablette que pour le soumettre, a-t-il dit, aux méditations des savants; et dans le même but, je veux, à mon tour, essayer d*en rectifier les dernières lignes, sans avoir cependant la prétention de les comprendre et de les expliquer. Mais la transcription qui en a été donnée, ne me semble pas suffisamment exacte et peut être, si je ne me trompe, aisément corrigée.

Remarquez, en efifet, qu'on trouve, comme je Tai déjà dit, aux cinq premières lignes de la première colonne, les cinq nombres : ^ = 5, ^ = 10, ^^ = 20, ^^ = 40 et j \^ = 80, et aux lignes suivantes depuis la 5* jusqu'à la 15* inclusivement, tous les termes d'une progression arithmétique croissante dont la raison est 16, dont le premier terme, correspondant à la 5* ligne, est égal à 80 ou à 5 fois 16, et dont le dernier terme, correspondant à la 15* ligne, est égal à >ff = 4 Sosses, c'est-à-dire à 240 = 15 fois 16.

On trouve ainsi, dans cette première moitié de la première colonne, à la 5* ligne, 5 fois 16, à la 6* 6 fois 16 et ainsi de suite jusqu'à la 15% où l'on trouve 15 fois 16.

La même progression arithmétique est ensuite reproduite dans la seconde moitié de la même colonne, mais en sens inverse et par conséquent on y trouve :

à la 16* ligne UJ << ]f]f = 224 = 14 fois 16,

à la 17* ligne yyy ^^ ^]f = 208 = 13 fois 16,

et ainsi de suite jusqu'à la 25*, où le chiffre \ \\ = 80 = 5 fois 16 reparaît encore comme à la 5*.

En même temps, à partir de la 16* ligne et en dehors de la première colonne, on en voit naître une seconde dont les chiffes commençant par y ||| = 16 suivent, eux aussi, une progression arithmétique croissante, ayant pareillement 16 pour raison, de sorte qu'en additionnant, ligne par ligne, les nombres des deux colonnes depuis la 15* ligne jusqu'à la 24* inclusivement, on trouve des totaux constamment égaux à 240.

Mais après la 24* ligne, l'ordre, si régulier jusque-là, est complètement troublé. Rétablissons-le néanmoins par hypothèse : 1*" en mettant, dans le bas de la première colonne, à la suite du chiffre T // = 80 de la 25* ligne, les nombres successifs : ^ = 40, ^^ = 20, ^ = 10 et 'Çy = 6, identiques à ceux qui se trouvent, en ordre inverse, au commencement de la même colonne; et 2* en écrivant, dans la 2* colonne, à la suite du chiffre TJ \y^ yf = 144 = 9 fois 16, correspondant à la 24* ligne, tous les autres termes de la même progression arithmétique, savoir :

yy ^^ = 160 = 10 fois 16 pour la 25* ligne,

yy^<][][^ = 176 = 11 fois 16 pour la 26* ligne, et ainsi de suite jusqu'à ^ = 4 Sosses = 240 pour la 30* et dernière ligne.

On met de la sorte aux six dernières lignes du tableau publié par M. Lenormant, à la page 108 de son 2* cahier :

à la 26' ligne, y« ^yyy«« aulieudey« ^T«<

à la 26- ligne, ^ < ^] J\<^^ an lien de «<yy î^[t^

à la 27" ligne, « ^tTÏÏ<TT «u lieu de <<[jfy t^lj^

àla28«Ugne, < :^tlTT<<]W »« «en de <^ ^t<<flff

àla29-Ugne,^ Ci^TTÏÏ^^ an Uen de ^ ^[T^^^

et à la 30* et dernière ligne, ►^-J^-^^y^y^ au lieu de ►^y^-^y^y

£t il existe une telle ressemblance entre ces deux textes que je n'hésite pas à attribuer la grande irrégularité de celui qui a été publié par M. Lenormant aux seules altérations des copistes et à la transcription de quelques signes.

Il suffit, en effet, de faire passer sur le texte donné par M. Lenormant, de la droite des premiers chiffres à la gauche des seconds, les chiffres yy, yyy, VJ et yyy qui s'y trouvent placés immédiatement

En dernier lieu, c'est précisément sur le document mathématique chaldéen traduit par M. Lbnormant dans son Essai qu'on trouve, ainsi qu'on va le voir, la preuve la plus éclatante de Terreur contre laquelle je m'élève ici.

Au lieu de reconnaître, avec le Colonel Rawlinson (The Journal of the royal asiatic Society of the Great Britain and Ireland, Vol. XV, 1855, p. 218), que ce texte ne peut contenir, dans sa deuxième colonne, que la série des nombres naturels depuis 1 jusqu'à 60, ce qui oblige à admettre que tous les chiflFres écrits à gauche des dizaines, dans la première colonne, représentent nécessairement des Sosses et appartiennent, par conséquent, d'une manière incontestable, au système sexagésimal, M. Lenormant a cru aller au devant de toutes les difficultés et résoudre toutes les objections en affirmant que les divers nombres de ce texte doivent être regardés comme se rapportant, non à des unités, mais, au contraire, à des fractions, ayant tatUes pour dénominateur constant, dans la première colonne un Sar et dans la deuxième un Sosse, quand il est trois fois évident, si mon illusion n'est pas complète, que cette étrange affirmation, alors même qu'elle serait exacte, ne changerait rien au fond du débat, parce que les numérateurs resteraient exprimés, dans ce cas, par les mêmes nombres que les unités simples, dans l'hypothèse contraire.

Par exemple, si -^g^, est égal au carré de — ^^^ comme la première ligne du document l'indique dans l'hypothèse même de M. Lenormant, si „„*§„ est égal au carré de ^^^^

comme sur la seconde ligne, si -^n sa7 ^®* ^S^^ ^^ ^^"^ ^® an smm ^^"^^^e sur la 3*, etc., n'est-il pas évident qu'il faut reconnaître, par voie de conséquence nécessaire,

que 1 est égal au carré de 1, que 4 est égal au carré de 2, que 9 est égal au carré de 3,

et ainsi de suite jusqu'à la fin; qu'ainsi, puisque à la 8* ligne I T est égal au carré de W , on est parfaitement autorisé à dire que J^ est égal au carré de 8, c'est-à-dire à 64,

un SoMe

et que, par conséquent, le signe T, placé à la gauche d'un autre nombre, représente, encore une fois, dans cette expression elle-même, le nombre 60.

Il est vrai que M. Lenormant objecte que i T ne doit pas être traduit par --^***g~

un Sar 4 " "

et doit être remplacé, au contraire, par deux fractions distinctes égales à —^—^ + ViTsar • ^^^^ peut-on considérer cette objection comme sérieuse?

avant le signe ^^T et qui, dans mon opinion, doivent être reportés immédiatement après, pour rendre aussitôt tons les chififres de la première colonne, moins le 26*, rigoureusement identiques dans les deux textes. Quant à ceux de la 2* colonne, ils se trouvent eux-mêmes identifiés à la 26* et à la 27* ligne par le seul déplacement qui vient d*être indiqué et n*ont à recevoir, après ce déplacement, que de très légères modifications aux autres lignes, pour devenir aussi tout-à-fait identiques.

J^appelle, en même temps, l'attention, d^une manière spéciale, sur le chiffre W, transposé, par suite d'une erreur évidente, de la dernière ligne à lavant-dernière, d'où il doit être enlevé, pour être remis à sa place laissée à tort vacante dans la dernière ligne.

En résumé, il semble permis de croire que les perturbations que Ton observe dans la transcription de M. Lenoiuiamt ne doivent être attribuées, comme je l'ai dit, qu'à des fautes de copistes et que, au contraire, la grande régularité des rectifications proposées suffit seule pour engager à les accepter.

Je les soumets donc avec confiance à l'examen et à l'appréciation des hommes compétents.

18 Essai

Ce serait à peu près comme si ou voulait dire aujourd'hui que la fraetiou décimale 0,G4 ne peut pas être considérée comme égale à ~~ ^^ ^^î* ^^^^ nécessairement divisée en deux fractions distinctes ^\ -f ,~.

On peut évidemment étendre le même raisonnement à tous les autres carrés que la tablette renferme à la suite de celui-ci. Cependant la réalité de l'existence, sur cette tablette, du système sexagésimal devient encore plus évidente, s'il est possible, quand on compare la première ligne à la dernière; car, à moins de considérer cette ligne comme une répétition absurde de la première, il faut nécessairement admettre de deux choses l'une :

Ou bien on de\Ta lire, avec M. le Colonel Rawlinson : à la première ligne : J ^^ 1 est égal à J — - 1 élevé au carré,

et à la dernière : J — un Sar est égal à J — un Sosse élevé au carré;

Ou bien, après avoir lu, avec M. Lenormant (Essai, p. 140) :

T = 1 rY = IV à la première ligne • /»rv2 = I — ?y> J? suivant le compiit de Dilvoun,

il sera indispensable de lire, à la dernière, non, comme il l'a fait : J = 1 = I — — — I,

y -- 60*^ (1 = eoV

suivant le comput de Dilvoun, mais, au contraire, comme je le fais ici : — -v=^^ — = I -,-^ — I,

suivant le conrput de Dilvoun; puisque, en eflFet, dans l'hypothèse de M. Lenormânt lui-même, tous les chiffres de gauche doivent avoir 60 '^ au dénominateur et tous ceux de droite 60 seulement. De sorte que, dans un cas comme dans l'autre, on est forcé de reconnaître que le chiffre J représente, aussi exactement, dans la dernière ligne, un Sar ou un Sosse, suivant la position (ju'il occupe, qu'une unité dans la première et que, par conséquent, le système de numération suivi par le rédacteur de ce document est très certainemeut sexagésimal. On remarquera même que, dans ce dernier cas, la réalité de l'existence de ce système de numération sexagésimale a pu être établi sans modifier la traduction de M. Lenormant, quoiqu'elle soit indubitablement fautive, puisque M. Oppert a pu dire, eu note, à la page 23 de son Etalon :

«M. Lenormant s'est mépris sur ce point : il a vu, dans l'idéogramme du carré, celui de la ville de Dilmoun, qui n'a rien à voir ici.»

Malgré l'extrême longueur des explications qu'on vient de lire, elles resteraient encore incomplètes et le but que je me suis proposé ne serait atteint qu'en partie, si je négligeais de montrer, avant la fin de ce chapitre, que le texte sur lequel M. Lenormant a cru trouver le principal fondement de sa théorie, est précisément celui que l'on peut invoquer, en sens contraire, avec le plus d'avantage.

Ce texte se rencontre sur la grande inscription de Nabuchodonosor, connue sous le nom d'tnscription de la compagnie des Indes, où le développement total de l'enceinte de Babylone est donné comme égal à ^J-J^^^ stades.

Comme Hérodote (I, 178) assigne à cette enceinte la forme d'un carré parfait ayant 120 stades de côté et en fixe ainsi le développement total à 480 stades, M. Lenormant n'hésite pas à attribuer, dans ce cas, au signe J la valeur d'une cinquantaine, afin de pouvoir lire, sur l'inscription cunéiforme, le chiffre 480 = 400 -+- 50 + 30.

Il aurait dû cependant ne pas perdre de vue, avant de s'arrêter à cette conclusion, d'une part, que le renseignement fourni par Hérodote doit être considéré comme donné par

lui <cde seconde main*, et, par conséquent, ne peut avoir qu'une valeur restreinte et, de l'autre, que même en admettant la complète exactitude du renseignement qu'il nous a fourni, il peut être permis de croire, comme M. Lenormant Ta dit dans une autre occasion, que «/e« scribes assyriens ne sont pas moins sujets à V erreur que ceux des autres nations* et qu'ainsi la valeur d'une cinquantaine attribuée, dans le cas présent, au signe J est loin d'être complètement établie.

Pour parvenir, sur ce point, à une connaissance plus exacte de la vérité, il m'a semblé utile de comparer les dimensions jusqu'ici mal connues de l'enceinte de Babylone, à celles de Khorsabad, que les mesures de M. Botta permettent de déterminer avec une précision très suffisante en pareil cas, et dont le développement total est donné dans le grand ouvrage de M. Place (Ninive et V Assyrie, t. r*", p. 160) comme quadrangulaire et égal à 6890 mètres, en assignant 1760 mètres aux deux grands côtés et 1685 mètres aux deux petits; ce qui suffit pour établir que cette enceinte n'était carrée qu'en apparence, et avait, en fait, la forme d'un rectangle dont les côtés étaient presque égaux.

«J'en cherchais la raison dans une question de tciTain, a dit M, Oppert à la page 10 de son Étalon, quand l'examen des mesures de Persépolis, exécutées par Coste et Flaxdin, me fit mettre le doigt sur la difficulté.»

«Dans les constructions des rois de Perse, nous remarquons des carrés apparents; mais le mesurage montre toujours un petit écart variable et qui ne peut être le résultat d'une opération mal exécutée.»

«L'idée de faire un carré est évidente; seulement des scrupules probablement religieux arrêtaient le constructeur.»

«Il serait difficile de dire aujourd'hui quelles superstitions l'empêchaient de faire un carré parfait. Apparemment, et c'est là le point qui nous intéresse, le même principe avait déjà antérieurement prévalu, lors de la fondation de Khorsabad.»

J'aurai à confirmer, à mon tour, l'exactitude de ces appréciations dans la suite de mon étude, et j'y démontrerai qu'en elBfet, il n'existe aucune salle rigoureusement carrée dans les monuments de Persépolis, et que toutes celles qu'on y rencontre, en assez grand nombre, ayant à peu prhs la forme d'un carré, ont constamment leurs deux dimensions assez différentes entre elles pour qu'il soit nécessaire de reconnaître que cette différence ne résulte pas d'une erreur d'exécution et doit être, au contraire, incontestablement rapportée à la volonté même des architectes.

Mais s'il en est ainsi, et il semble impossible d'en douter, non-seulement le carré parfait a été systématiqueynent proscrit à Khorsabad, aussi bien qu'à Persépolis, mais il a dû être également proscrit à Babylone, sous l'empire des mêmes idées symboliques et religieuses; et alors c'est à tort, et sans y être suffisamment autorisé, qu'Hérodote a considéré l'enceinte de cette ville comme étant un carré parfait de 120 stades de côté, la vérité étant, au contraire, que cette enceinte devait correspondre, comme celle de Khorsabad, à un rectangle ayant seulement Vapparence d'un carré, mais ayant, en réalité, 120 stades sur son plus petit côté et 125 sur le plus grand, soit, en totalité, 490 stades de développement, comme l'inscription de la compagnie des Indes le démontre, quand on y restitue au signe J la valeur de 60 qui lui appartient incontestablement, par le seul fait de la i)osition qu'il occuj)e, à la gauche du chiffre ^^^.

L'ancienne existence du système sexagésimal chaldéen se trouve ainsi démontrée une fois de pluS; et je la considérerai; en conséquence, conmie un fait désormais établi de la manière la plus positive.

Une dernière observation doit être cependant ajoutée encore, pour donner la mesure exacte de Fusage que Ton faisait autrefois de ce système de numération, qu'on ne rencontre, dans toute sa simplicité, que sur les textes ayant un caractère scientifique, tandis qu'il est toujours plus ou moins altéré sur les inscriptions qui étaient écrites pour un usage plus général.

Ce dernier fait résulte certainement de ce que les calculateurs et les savants possédaient seuls, comme je l'ai déjà indiqué, une connaissance exacte et complète de ce système, et le réservaient pour leur usage exclusif, en prenant soin de le modifier et de le traduire en langage vulgaire, quand Us voulaient le mettre à la portée du plus grand nombre.

C'est ainsi notamment que, sur l'inscription des taureaux, au lieu d'écrire simplement le chilBfre ^^<<^ = 1 Ner, 6 Sosses et 5 dizaines == 1010, que tout le monde n'aurait peutêtre pas su lire, on a écrit, en toutes lettres, comme je l'ai fait remarquer précédemment, yj[I]^P ^^^^5y ^<S soit : un Ner, six Sosses et cinq dizaines, et que, d'un autre côté, sur l'inscription de la compagnie des Indes, pour exprimer la longueur développée de l'enceinte de Babylone, au lieu d'écrire, en adoptant le système sexagésimal, ^^ = 8 Sosses et 1 dizaine = 490, on a mis de préférence Vf-J^^^ = 400 + 60 + 30, parce qu'il est extrêmement probable que la première de ces deux expressions aurait été moins bien comprise que la seconde par la plus grande partie des lecteurs, qui aurait peut-être lu, dans le premier cas, 8 dizaines ou 80, au lieu de 8 Sosses et 1 dizaine égaux à 490.

En résumé, comme il est parfaitement certain que le système sexagésimal chaldéen était celui qui se prêtait le mieux à toutes les exigences des calculs que l'on pouvait avoir à opérer, il est également certain que c'était à ce système seid que tous ces calculs se trouvaient habituellement rapportés par les véritables savants. Ce sera donc, en l'adoptant d'une manière exclusive, que j'exposerai, dans le chapitre qui va suivre, les principales règles de l'arithmétique chaldéenne.