Toute grandeur n'est pas nécessairement la

LA CERTITUDE Î.0C.ÏQI'E

somme d'un certain nombre de parties aliquotes de la grandeur unité, si petites qu'on les choisisse. Ainsi la diagonale d'un carré ne contient un nombre exact de fois aucune partie aliquole du côté, elle est incommensurable avec lui, comme le savaient déjà les pythagoriciens. Si donc le côté est pris pour unité de longueur, il ne correspondra, pour la diagonale, aucun nombre entier ou fractionnaire qui en soit la mesure. Pour qu'on puisse encore parler du nombre qui mesurera la diagonale, il Ouït que ce concept subisse une transformation nouvelle: il faut que le nombre devienne définitivement un symbole que, par définition, on fera correspondre à tout état de grandeur, quel qu'il

soit.

Que sera la valeur d'un nombre incommensurable, comparée, soit aux nombres entiers ou fractionnaires, soit à d'autres nombres incommensurables? Quel sera le sens des opérations effectuées sur des nombres, dont l'un au moins est incommensurable? La représentation des quantités concrètes donnera la réponse à ces questions.

Il est clair d'abord que, si a est un nombre incommensurable, c'est-à-dire le symbole arithmétique d'une longueur A incommensurable avec l'unité, et si * est le symbole répondant à la longueur B, les relations a=b,a>b 9 a<b signifieront simplement que A etB ont entre elles les mêmes relations de grandeur ; a + b représentera la somme des longueurs A et B,rt —b leur différence, somme et différence qui conservent d'ailleurs une signification précise indépendante dé la nature des nombres a et b.

Pour aller plus loin, il faut définir les valeurs approchées du nombre incommensurable. Supposons la lon- • gueur unité divisée en n parties égales : soit / la longueur commune à ces parties. Si nous portons / sur la

MATI1ÉMATIQI ES Pl'HES

longueur incommensurable AB,à partir de A, autant de fois que ce sera possible, B se trouvera compris entre le

dernier point de division ainsi obtenu, G, et le point ('/ silué au delà de B. sur la ligne AB, et tel que (XV soit égal à /. Si, par exemple, on a A G = /XP* AC = IX (p -r *)» l' 1 "ombre incommensurable a, qu'on fera correspondre à AB, sera compris entre ceux qui mesurent AC. et AC, c'est-àdire entre 7 - et 2-i- 1 , puisque cela signifie simplement que AB est compris entre AC et AC 11 n'y a plus qu'à faire croître n indéfiniment, ou faire lendit» / vers zéro : on fera naître uni 1 double série de longueurs telles que AG et AG\ de plus en plus approchées de AB, et admettant AB pour leur limite commune, puisque CC tend vers zéro. Ou pourra dire, en d'autres termes, sans exprimer autre chose, que les deux séries de valeurs telles que ; - et / -'-+— adineltenl pour limite commune le nombre incommensurable a. Ce sont là les valeurs approchées du nombre incommensurable qui entreront à sa place dans les calculs pratiques.

Tout cela est clair, mais jusqu'ici nous apercevons une chose indispensable pour qu'il soit permis de parler de nombre incommensurable, c'est la connaissance préalable d'une quantité incommensurable concrète à laquelle il corresponde, et qui lui serve, pour ainsi dire, de subslratum. Celle condition, nécessaire à l'existence d'un nombre incommensurable, peut disparaître.

I^ quantité AB posée à priori est, avons-nous dit, la limite commune des deux séries de longueurs telles que AG et AC, ou encore a est la limite commune des deux séries de valeurs approchées telles que^et £-"tJ. Les

■fcw-

MATHÉMATIQUES PfRES

nombres de la première série P~\ sont moindres qu'un nombre quelconque de la deuxième, et la différence entre deux valeurs de même dénominateur (Jj el^-—- 1 ) tend vers zéro, puisqu'on fait croître n indéfiniment. Eh bienl réciproquement, supposons que, dans une question quelconque, nous soyons conduits à deux suites illimitées de nombres présentant ces deux mêmes propriétés : Si nous imaginons une espère de quantité telle que à chacun de ces nombres puisse correspondre un état delà quantité, nous aurons deux suites d'éLals 0i! ?*•—» fa---» et Qi, Q*..., Qn..., dont les premiers restent inférieurs aux seconds, la différence Q n -y n devenant d'ailleurs aussi petite qu'on veut. Faisant un dernier appel à l'intuition sensible, à cette vue de continuité qu'implique pour l'imagination au moins la représentation d'une durée ou d'une étendue, et qui nous montre, entre ces deux suites d'étals de la quantité, un état nouveau, ne se confondant avec aucun des autres, supérieur aux premiers, inférieur aux seconds, nous admettrons par un postulat spécial qu'un pareil état existe. Il peut être commensurable, ce dont on s'assurerait en constatant qu'un certain nombre entier ou fractionnaire est la limite commune des deux suites de valeurs. En général, il sera incommensurable, et nous nous trouvons ainsi avoir fait naître la quantité incommensurable nécessaire à la signification du nombre, sans que cette quantité ait été posée à priori.

Si le postulat d'où elle a pu sortir est un appel ci la représentation sensible, il ne réalise pas moins, par son caractère de généralité, un progrès immense dans la voie qui nous en éloigne. Désormais, un nombre incommensurable sera simplement défini par deux suites abstraites S et S' répondant aux conditions indiquées; il sera déterminé par les valeurs approchées dont il est la limite. Rien n'est plus facile alors que de définir le

produit ou le quotient de deux nombres incommensurables ; (\[iq de définir ^~N" quand N n'est pas un

carré, etc.

4. — Mais le postulat lui-même peut disparaître enfin. Il suffit do renoncer à voir la quantité incommensurable sous le symbole qui y correspond, et de convenir que les deux suites de nombres, S et S', quand elles ne sont pas séparées par un entier ou une fraction, définissent un nombre incommensurable. Par définition il sera plus grand qu'un nombre de la première suite, et plus petit qu'un nombre de la deuxième. Par définition les opérations sur les nombres incommensurables seront telles que rien ne soit changé à leur calcul, et que tout se passe, au point de vue des résultats, comme si, au lieu de s'en tenir i\ un symbolisme pur, on avait conservé, dans l'établissement des principes, l'intuition des quantités concrètes. Mais qu'importe? l'épuration se fait, la notion du nombre incommensurable se dépouille de toute aperecplion sensible ; les postulats disparaissent, et, à part les données intuitives qu'ont exigées les notions premières d'entiers et de fractions, le nombre se pose comme une création de l'esprit (i). Au fond, sans doute, les postulais se cachent pour se montrer de nouveau à l'occasion d une application concrète. Ils ne sont que déplacés : si pour une grandeur quelconque on veut parler d'un état correspondant à quelque sjmbolc incommensurable, il faudra admettre que, par sa nature, elle est susceptible d'une pareille détermination; ce qui revient encore à dire que, d'une part, elle peut prendre toute valeur marquée par un nombre fractionnaire, et que, d'autre part, entre deux suites d'états mesurés par des séries

(1) On trouve aussi dans les traités d'analyse d'autres méthodes de définition des incommensurables ; au fond, elles ne dill'crent pas essentiellement de celle que nous indiquons ici.

LA CKRTtTI'DK LOGIQUE

MATIIKMATIQUKS PIRKS

de nombres toiles que Set S 7 , il cxisle un «Hat intermédiaire de la grandeur. Du moins la rigueur logique des constructions de l'esprit se trouve de plus en plus nettement séparée des conditions objectives auxquelles elles pourront être utilisées.

5.. — llevenanl maintenant en arriére, envisageons à leur tour les données premières relatives A la fraction et au nombre entier, et voyons si elles ne se réduisent pas aussi entre les mains des analystes modernes. Pour la fraction, la question est des plus simples. Rien n'empêche de laisser de cùté le partage de l'unité en parties égales, et la formation de diverses quantités par la répétition de parties aliquotes de celte unité. 11 suffira d'appeler fraction le symbole £ où a et b sont des nombres entiers quelconques ; d'appeler égales deux fractions formées des mêmes nombres quand on a divisé de part et d'autre les deux termes par tous leurs facteurs communs. De cette définition résulte, en particulier, ce point fondamental que la valeur d'une fraction n'est pas altérée si on multiplie ou qu'on divise les deux termes par un même nombre : d'où la simplification des fractions et leur réduction au même dénominateur; d'où enfin les règles de calcul, dont le but se définira par le résultat lui-même. Ainsi, ajouter ou multiplier deux fractions, ce sera former de nouvelles fractions à l'aide de telle série de calculs, etc.

Reste seulement alors, pour servir de fondement a l'analyse, une certaine quantité de données intuitives, celle qu'implique la notion du nombre entier. Il serait illusoire de vouloir la supprimer complètement, du moins il est possible de la réduire encore à un minimum indispensable. Signalons, par exemple, la suite d'idées qui permetà Helmhollzde résoudre ce problème de reconstruction logique. Elle consiste à supprimer la notion concrète de la collection, avec tous les postulats

qu'elle implique, et fonde le concept du nombre sur l'idée de succession dans le temps, que suffit & nous donner le souvenir d'un é!atps\ chique passé se mêlant dans la conscience à une représentation actuelle. Telle idée «le succession nous permet de construire une série de symboles dont chacun sera défini par la propriété de venir après le précédent. II reste alors (I j à définir,

(1) Portons notre attention sur un terme «le cette série pour plus de commodité, nous représenterons les différents tenues par des signes absolument quelconques), puis sur charnu de rem qui suivent dans l'ordre où ils se présentent, et désignons-les reeperlivement par un, dciu, trois. . Cel.i s'appellera cout/der. ï.ph tiol iliou« du système décimal, par exemple, nuits prruicltroul d'aller aussi longtemps que nous voudrons, sans jamais répéter d'ailleurs la même désignation, ou. suivant 'l'expression que nous conviendrons d'adopter, fc même nombre, Nous appellerons supérieurs à uu nombre tous ceux qui le suivent dans notre série ; inférieurs, tous ceux qui le précèdent. Deux nombres correspondant à des éléments distincts de la série sont «lits inégaux ; l'un d'eux est nécessairement supérieur à l'autre. Deux nombres correspondant au même élément et qui, pour une raison quelconque, auront reçu deux désignations distinctes, seront dits égaux. U résulte évidemment de cette définition que deux nombres éçaux à un troisième sont égaux entre eux.

Addition, a étaut un nombre quelconque, nous représenterons par a + 1 le nombre suivant, de sorte que, si b était la première désignation de ce dernier nombre, quand on avait compté mw, deux, trois, etc., à partir d'un élément déterminé de la série, on a, par définition, l'égalité b z= (a -f 1). Plus généralement, nous représenterons par \a + b) le nombre de la série qu'on serait amené à désigner par b % si on avait compté un pour le nombre (a -+- 1 , deux pour le nombre \'(i -+-*)+ I], etc. Cette définition a pour conséquence immédiate l'égalité

le nombre marqué par le premier membre est, eu effet, celui qui suit [a + b) ; on y est donc conduit en comptant un, deux, trois, etc., à partir de {a + 1) jusqu'à 'b + 1 . de sorte que, par définition, ce nombre peut être encore désigné par t » -f (6 -f- l'|. Ainsi de nos premières définitions résulteront les égalités

ta + i) -f 1 = a + (l -f n ou a -f 2 (<i + 2) + 1 = a + 3 L'addition se trouve de la sorte complètement définie. Ou voit immédiatement que cette opératiou marquée par le symbole (n + b) a un résultat unique, chacun des termes de ce processus étant lui-même

LA CERTITUDE LOOIQl'K

à l'aide de ces symboles, des opérations telles que les postulats fondamentaux, fournis par Taperception des collections concrètes, en résultent logiquement, et que

bien déterminé, de sorte que la dêfiiiiliou inémc de l'addition implique cet axiome : doux nombres égaux, ajoutés à un mémo troisième, donnent des résultats égaux.

Trois caractères essentiels la distinguent encore de l'additiun ordinaire : 1- la loi d'associativitê [{a -f b) -f c =; a -f (b -f c)\ n'est établie que pour le cas c= 1; 2° l'addition n'est pas donnée eoiiîme réversible : dans l'opération marquée par (a -f b) les rôles de a et de b ne sont pas les mômes. Si nous disons quo {a -f b) est le résultat obtenu co ajoutant b à a, il n'est pas évident que le résulta obtenu eu ajoutant a & b lui est égal ; 3° il n'est nullement évident que, si l'un des deux termes a ou 6 est changé, le résultat (a -f b) est également changé.

Il reste donc à .montrer qu'on peut déduire logiquement des premières définitions ces trois propriétés de l'addition ordinaire.

1. — Loi d'associativitê. (a + b) -f c = a -f [l> 4- c) (2). L'égalité a lieu pour c = t, ainsi que nous l'avons remarqué. II sufllt alors, pour en établir la généralité, do montrer que, si elle est vraie pour un nombre c, elle est encore vraie pour r-f- t. Or, eu vertu de (1), nous avons

D'autre part l'égalité (2) étant supposée vraie pour le nombre c, nous avons

(a -f b) 4 c = n -f {b -f c*), de sorte quo nous pouvons écrire

[(« + A) + c) + i = [n -f (b 4- c)) + 1 = a + [(6 + c) + !J= a -f [b + (c + t)J, et finalement,

2 — Loi de réversibilité, a + A = b -f n.

Considérons d'abord le cas particulier où b est i. L'égalité à démontrer est alors (3) a + i = t + «

Remarquons nue, pour a = 1, elle est vérifiée d'elle-même, les deux nombres désignant le résulta de la même opération (1 + 1). Il suffit donc de montrer que, si elle est exacte pour un nombre a, elle l'est eucore pour a 4- 1. Or, en vertu de (I), nous avons

Admettons que l'égalité (:l) soit exacte pour a, nous pouvons écrire (i + a) + i = («+!) + 1,

MATIlKMATini KS PUKKS

rien ne soit changé à la théorie de l'addition des nombres. Sur cette base unique et si simple, la notion de l'antériorité d'un fait par rapport à un autre, se trouvera donc construite rationnellement toute TariHi-

et, par suite,

L'égalité (3) est donc établie pour tout nombre mis à la place de a.

Passons maintenant au ras général: b est quiconque. Comme l'é^alité à établir tst déjà, démontrée pour le ras où 6 est 1, il suffit do faire voir que, si clic est evicte pour nu nombre A, ede lest pour b -f 1. Or, en vertu de (I), nous avons

Supposant notre égalité exacte pour '», et nous appuyant sur :i), nous pouvons écrire

(a + &) + != (b + a) + i = 1 -f fb r= ;i + b) -f « - [b + w

Donc

3. — Si Ton remplace l'un des deux nombres par un autre qui lui soit inégal, le résultat de l'addition sera aussi inégal au premier.

Observons d'abord que nos définitions première? ont pour conséquence immédiate que, si deux nombres sont inégaux, et, par suite, si l'uu est supérieur à l'autre, il existe un nombre déterminé qui, ajouté au second, fournit le premier, et, réciproquement, '*«' fait suffit à établir que les deux nombres sout inégaux.

Dès lors, soit f un nombre supérieur à a, et désignons par 6 le nombre tel que l'on ait

Nous avons:

c + f = c + fa -f b) = [c -f a) -f- b

e + a est donc nécessairement durèrent de c -f- A Ocux nombres inégaux ajoutés au même nombre donnent des résultats inégaux. En outre, puisque

et c + « = « | c,

nous avons:

f + c et a 4- c sont inégaux : le même nombre ajouté à des nombres illégaux fournit des résultats inégaux.

L'addition, telle que nous l'avons définie, se confond doue par toutes ses conséquences avec celle qui avait sou origine dans l'iutuitiou directe des collections d'objets.

LA CKRTITCDE LOGIQUE

métique, et, comme ou va le voir, l'analyse tout entière.

H. — La quantité algébrique.

L'algèbre n'est tout d'abord qu'une arithmétique où les nombres sont remplaces par des lettres, cl oi'i une formule, c'est-à-dire un tableau d'opérations à effectuer, se substitue au résultat numérique particulier, dans la solution d'un problème. Un sjmbole nouveau et propre à l'algèbre prend naissance avec les quantités négatives. Quelle en est l'origine? C'est sans doute la considération des grandeurs susceptibles de varier dans deux sens opposés, comme une distance ou une durée. Si l'inconnue d'un problème doit se calculer par la formule x = a — 6, et que b soit plus grand que «, le problème n'admet pas de solution. Mais, dans le cas particulier où il s'agit d'une de ces quantités qu'on peut mesurer, à partir d'un état déterminé, dans deux directions contraires, on reconnaît que la solution x = b—a répond à un problème ne différant du premier que par le sens où on fait varier l'inconnue. Plus généralement, l'idée paraît naturelle de compter certaines grandeurs positivement dans un sens, négativement dans l'autre, partout où elles interviennent, et on n'a pas de peine à vérifier, dans une foule de questions, que celle convention généralise et simplifie, en permettant de résoudre par une formule unique un certain nombre de problèmes distincts. Mais en laissant subsister le lien qui unit les nombres négatifs aux grandeurs elles-mêmes, on peut difficilement éclaircir avec rigueur tous- les points qui s'y rattachent. On sait tous les fantômes et toutes les obscurités que les meilleurs esprits se sont déclarés impuissants à dissiper; c'est précisément que pour eux la quantité négative était l'être nécessaire, le Substrat um indispensable que désigne le symbole.

MATHÉMATIQUES PUMES

L'interprétation des calculs devient alors fort difficile. Comment justifier seulement la règle de multiplication des nombres négatifs? Comment même en donner le sens? Aujourd'hui tous les nuages ont disparu grâce à la séparation nettement tranchée entre un pur symbolisme d'une part, et, de l'autre, les interprétations possibles ou impossibles suivant les conditions concrètes. En peu de mots, voici comment se définissent maintenanties nombres négatifs ainsi que les opérations effectuées sur eux.

En choisissant d'abord les valeurs numériques attribuées aux lettres de telle façon que tous les calculs indiqués par les signes algébriques puissent se faire normalement, on appelle somme, différence, produit de deux polynômes (I), un nouveau polynôme dont la valeur numérique soit la somme, ou la différence, ou le produit des premiers, après la substitution des nombres aux lettres. Les règles qui fourniront le nonveau polynôme se déduisent de là tout naturellement. On supprime alors la restriction qui limitait le choix des valeurs attribuées aux lettres. Le sens des calculs et des raisonnements que l'on a faits disparaît en même temps, une définition va y suppléer : on appellera somme, différence, produit de deux polynômes, le polynôme nouveau formé à l'aide des premiers, en vertu des règles précédemment obtenues. L'application mécanique de ces règles, abstraction faite de toute signification des lettres ou des calculs, servira toute seule â déterminer ici le but elle résultai de chaque opération. Les nombres négatifs, purs symboles de la forme — N (où N est nombre quelconque, entier, fractionnaire ou incommensurable), seront enfin posés comme des polynômes réduits à un terme, de sorte que les opéra-

(1) Suites de termes de la forme A + Il — C où A, Il,<: son*

des produits de fréteurs.

G. Milbaud. fc

MATHÉMATIQUES TIRES

lions principales effectuées sur eux se trouvent complètement définies. Les égalités portant sur des expressions où entrent de pareils nombres se trouvent définies par les régies de calcul elles-mêmes qui, effectuées dans chacun des deux membres, donnent de part et d'autre même résultat. L'inégalité a besoin d'une définition nouvelle : on dira que Ton a A>K, A et» désignant des nombres quelconques (positifs ou négatif si la différence A -« est un nombre positif; au contraire, on dira que Von a A<B, si A- Best un nombre négatif. Comme conséquence, il est clair que : i- tout nombre positif est plus grand qu'un nombre négatif quelconque; 2° de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est formé avec le plus petit «ombre arithmétique. m r

Ainsi se trouve construite une série illimitée de signes partant de zéro et se succédant eu ordre inverse desnombrcsarithméliqucs;avecla série de ces nombres, elle forme une échelle double de symboles allant dans deux sens contraires de zéro à l'infini : celle précisément sans doute à laquelle conduisait l'intuition d'une distance variable, comptée à partir d'un point fixe dans deux directions opposées. Mais l'analyse a voulu la reconstruire pour elle, sauf à laisser le soin, à quiconque en fera une application concrète, de justifier la légitimité de son application.

Après le nombre négatif, c'est le nombre imaginaire qui s'introduit tout naturellement, h l'occasion de ce problème simple : Troiner un nombre dont le carré soit A. Si A est posilif, l'arithmétique donne un nombre a entier, fractionnaire ou incommensurable, répondant à la question, et lalgèbre se contente d'y joindre — «, dont le carré est le même. Mais, si A est négatif, il n'existe plus aucun nombre défini jusqu'ici, posilif ou négatif, qui, multiplié par lui-même, repro-

duise A; autant vaut dire que le problème posé ne peut se résoudre avec les symboles jusqu'ici introduits : qu'à cela ne tienne, on créera un symbole nouveau dont le carré soit un nombre négatif, et les nombres imaginaires naîtront ainsi. Cette fois, il n'est pas facile aux esprits les plus acharnés à chercher l'être, la chose sous le signe, de trouver un substratum concret représenté par le symbole imaginaire, comme une collection d'objets l'était par le nombre entier: et de là viennent tontes les difficultés qui ont paru surgir par l'introduction des imaginaires. Mais, au fond, l'aualyse n'a pas brusquement ici changé sa méthode, comme on pourrail le croire. Elle ne se trouve vraiment chez elle qu'au milieu de purs symboles, dont elle H\e elle-même les relations. Le nombre imaginaire arri\e pour elle aussi naturellement que le nombre entier, celui-ci est un signe comme celui-là; ni l'un ni l'autre ne prennent de signification permettant \\\\ usage pratique que lorsque l'esprit vient placer sons le langage symbolique une interprétation appropriée à l'usage qu'il en veut faire.

On trouve encore chez quelques mathématiciens l'idée qu'il n'y a pas de convention arbitraire dans cette propriété de — 1, d'être le carré de y— i. Nous craignons qu'ils ne soieiit victiuies d'une erreur due à la persistance du signe y • Sans convention, > — 1 ne signifie rien, l'opération que rappelle ce signe n'étant définie que s'il porte sur un nombre positif. Sans doute, la convention sera naturellement amenée, cela est clair; mais, quant à affirmer sa nécessité, c'est méconnaître le caractère même de l'anahse.

Du reste, bien qu'il nu se cache, à l'origine de la quantité imaginaire, aucune quantité concrète, l'analyse fait même disparaître toute trace de cette origine, expérimentale jusqu'à un certain point (l'expérience

la certitude lockh'K

portant ici sur dos résultais de calcul). El voici comment tîllo procède :

Sera dite quantité imaginaire toute expression de la forme a + b>l — 1, ou encore, pour simplifier l'écriture, <* + éî, où a et b sont des nombre positifs ou négatifs, et i un symbole auquel on convient d'appliquer toutes les règles de calcul algébrique, sauf que son carré se remplacera par — 1. L'égalité a + bi = a'+ Vi

signifiera, par définition | el ^^

Ces définitions suffisent pour que des calculs de différentes sortes, effectués sur des imaginaires, se dégagent une foule de relations souvent très précieuses, non seulement pour l'analyse, qui y puise des transformations commodes de certaines expressions algébriques, mais pour l'arithmétique même et le domaine des nombres réels. Comment cela est-il possible? Comment le symbole i ne gône-t-il pas? Mais en quoi génerait-il, puisque toute égalité où il entre se dédouble en deux relations entre quantités réelles?

Du reste, le symbole a-\-bi Irouvc une représentation géométrique simple sur laquelle nous n'avons pas à insister : Qu'y a-t-il là que de très naturel? L'esprit ne peut-il essayer, — et cela de bien des manières, — de faire correspondre, par d'ingénieuses conventions, un vsymbole, quel qu'il soit, à certaines réalités concrètes?