En tant qu'elles fournissent les matériaux d'une

science, et d'une science qui peut se construire indépendamment de l'expérience (28), les idées d'espace et de temps offrent encore une grande disparité. L'espace a trois dimensions et le temps n'en a qu'une. Il faut trois grandeurs (ou, comme disent les géomètres, trois coordonnées) pour fixer la position d'un point susceptible de se déplacer d'une manière quelconque dans l'espace ; il n'en faut plus que deux si le point est assujetti à rester sur une surface, par exemple sur un plan ou sur une sphère ; il n'en faut plus qu'une si le point est pris sur une ligne déterminée. Ainsi, les étapes d'une route sont fixées, quand on assigne les distances à un point pris sur la route, tel que le point de départ ou V origine du bornage de la route. Un point est fixé à la surface des mers, quand on en donne la longitude et la latitude ; mais, s'il s'élève au-dessus, ou s'abaisse au-dessous de la surface, il faudra assigner une troisième coordonnée, à savoir la hauteur au-dessus du niveau des mers, ou la profondeur au-dessous de ce même niveau. Au contraire, pour fixer l'époque d'un phénomène ou sa position dans le temps, il suffit, comme pour fixer le lieu d'un point sur une ligne, d'assigner une seule grandeur, à savoir le temps écoulé ou qui doit s'écouler, entre un instant pris pour ère ou pour origine du temps, et l'instant du "phénomène. De là l'infinie variété des rapports de grandeur, de configuration, de situation et d'ordre, qui sont l'objet de la géométrie ; tandis que l'idée du temps, vu son extrême simplicité, ne saurait fournir l'étoffe d'une théorie qui mérite le nom de science, tant qu'elle n'est pas associée aux conceptions abstraites de la géométrie, ou à d'autres notions suggérées par l'étude expérimentale du monde physique.

142. — Après avoir indiqué les contrastes, revenons aux analogies (138), et voyons si nos procédés de critique philosophique n'ont absolument aucune prise sur ces questions abstruses que les métaphysiciens ont soulevées à propos des grandes et fondamentales idées de l'espace et du temps. Ces idées ne seraient-elles en effet, comme Kant le veut, que des lois de l'esprit humain, des formes où doivent en quelque sorte venir se mouler les idées plus particulières dont la sensibilité fournit les matériaux à l'entendement, des règles à la faveur desquelles devient possible l'expérience qui nous instruit de l'existence des objets extérieurs? Donner, hors de l'esprit hu-

main, une valeur objective aux idées de temps et d'espace, estce céder à une illusion du même genre que celle qui nous fait transporter aux arbres du rivage le mouvement du navire qui nous emporte, et au système des astres le mouvement de la terre d'où nous les observons (7)?

Mais, par quel prodigieux hasard, s'il en était ainsi, les phénomènes dont la connaissance nous arrive s'enchaîneraient-ils suivant des lois simples, qui impliquent l'existence objective du temps et de l'espace ? La loi newtonienne, par exemple, qui rend si bien raison des phénomènes astronomiques, implique l'existence, hors de l'esprit humain, du temps, de l'espace et des relations géométriques. Gomment admettre que les phénomènes astronomiques, si manifestement indépendants des lois ou des formes de l'intelhgence humaine, viendraient se coordonner, d'une manière simple et réguUère, en un système qui ne signifierait pourtant rien hors de l'esprit, parce que la clé de voûte de ce système serait un fait intellectuel, humain, mal à propos transporté dans le monde où s'accomplissent les phénomènes astronomiques? Ce qui se dirait des phénomènes astronomiques pourrait se dire de tous ceux que la science a ramenés à des lois régulières, simples, et qui paraissent tenir de très près, en raison de cette simplicité même, aux lois primordiales qui nous sont cachées.

Au surplus, nous n'en sommes pas réduits à insister sur de telles inductions, quelque pressantes qu'elles soient. Nous pouvons pénétrer et nous avons effectivement pénétré plus avant dans la nature de l'acte qui nous donne la connaissance de l'espace. L'analyse de nos facultés intellectuelles nous a fait, pour ainsi dire, toucher du doigt la corrélation sur laquelle la nature se fonde et les procédés qu'elle emploie pour donner, non seulement à l'homme, mais aux autres espèces animales, la représentation et la perception de l'espace, selon la mesure de leurs besoins. La hardie négation de Kant se trouve réfutée d'avance par cette analyse même qui nous montre avec évidence la raison de la valeur représentative des impressions sensibles, en ce qui touche à la configuration et aux rapports géométriques des objets d'où ces impressions émanent. Il n'en résulte pas sans doute de démonstration catégorique et l'on sait que le système du grand logicien allemand, c'est de réputcr sans valeur tout ce qui n'est pas étabh par une dé-

monstration logique ; mais la raison se refuse à le suivre dans cette voie qui aboutit nécessairement, comme tout le monde l'a remarqué, à l'idéalisme pur ou au scepticisme le plus absolu.

143. — Que si l'on veut aller plus loin et suivre les ontologistes dans leurs controverses sur la nature de l'espace et du temps, on se heurte sans doute contre des contradictions insolubles. Il y a des difficultés également insurmontables à regarder l'espace et le temps comme des substances ou comme les attributs d'une substance ; et il faut pourtant bien, dans la hiérarchie ontologique, que les objets de notre connaissance viennent se ranger parmi les substances ou parmi les attributs des substances. Mais de pareilles contradictions ne déposent pas nécessairement contre la valeur objective des idées d'espace et de temps : elles s'expliquent aussi bien et mieux encore, si l'on admet que la philosophie ontologique part d'un principe arbitraire quand elle entreprend de classer en substances etenattiibuts tous les objets de la connaissance; et cela vient à l'appui des remarques déjà faites (135 el 136), comme de celles que nous ferons ultérieurement. Il n'y a rien de plus clair dans l'esprit humain que les conceptions de l'espace et du temps et tout ce qui s'y rattache : il n'y a rien de plus obscur que la notion de substance et tout ce qu'on en a voulu déduire. En bonne critique, il ne faut pas juger de ce qui est clair par ce qui est obscur ; il faut au contraire que les idées claires par elles-mêmes projettent leur lumière sur les régions obscures du champ de la connaissance, et nous aident à en chasser les fantômes.

Les idées d'espace et de temps sont tellement claires par elles-mêmes, qu'elles échappent nécessairement à toute définition. Lorsque Leibnitz définit l'espace : l'ordre des choses coexistantes, et le temps : l'ordre des existences successives, il est trop clair que ses définitions présupposent l'idée des objets définis, et qu'elles ne nous apprendraient rien sur leur nature, si nous n'en avions l'idée antérieurement à la définition. Mais pourtant ces définitions ont un sens philosophique en ce qu'elles indiquent que l'idée d'ordre, par son degré de généralité, domine les idées du temps et de l'espace, non point seulement dans l'échelle des abstractions logiques, mais bien plutôt dans celle des conceptions rationnelles : de sorte que, dans la théorie de l'ordre en général, se trouve la raison d'un

grand nombre de propriétés et de rapports que les géomètres ont d'abord spécialement étudiés sous les formes (comparativement moins abstraites et plus sensibles) de l'espace et du temps.

144. — Leibnitz, en recourant à ces définitions, a entendu exprimer une pensée plus importante encore : à savoir que si les idées d'espace et de temps ne sont pas des illusions fantastiques, des formes de notre entendement ; si elles ont au contraire une réalité externe ou objective, cette réalité externe ne doit pas être prise dans un sens absolu, mais dans un sens phénoménal et relatif, pour employer une terminologie qui n'est pas précisément celle de Leibnitz, mais que nous croyons devoir préférer et dont nous avons tâché de fixer, dès le début de nos recherches (8 et suiv.), le sens et la valeur. C'est à ces termes que nous ramenons le fond du débat entre Leibnitz et Clarke, bien qu'eux-mêmes n'y aient pas mis cette sécheresse logique, parce qu'ils étaient surtout préoccupés, dans leur controverse, des questions de théologie naturelle qu'ils y rattachaient.

Leibnitz a étayé sa thèse d'arguments a priori, tirés du principe de la raison suffisante (138), et dont, pour notre part, nous admettons la force probante ; mais y aurait-il en outre des inductions légitimes, capables de corroborer ces arguments a priori ? Il y en a en effet, et de plusieurs sortes. D'abord, les deux principes fondamentaux de la dynamique, le principe de l'inertie de la matière (119) et celui de la proportionnalité des forces aux vitesses, sont l'un et l'autre des résultats de l'expérience et ne sauraient être donnés que par l'expérience, tant qu'on fait profession de ne rien affirmer sur la valeur absolue ou relative des idées d'espace et de temps ; mais l'un et l'autre aussi sont des conséquencesnécessaires de la théorie leibnitzienne qui n'attribue aux idées de temps et d'espace qu'une valeur phénoménale et relative ^ Or, si une loi de la

' Concevons un système qui comprenne tous les corps susceptibles <1 "exercer les uns sur les autres des actions appréciables : et, si la matière n'est pas indifférente au repos comme au mouvement, il y aura une différence essentielle et observable, entre l'état du système lorsque les corps sont absolument fixes, et l'état du même système lorsque les particules qui le composent sont animées d'un mouvement comnmn de translation, en vertu duquel elles décrivent avec la même vitesse des droites parallèles, sans que rien soit changé dans leurs positions

nature a besoin de preuve empirique, tant qu'on ne préjuge rien sur la valeur d'un principe philosophique, et si, d'autre part, elle est une conséquence nécessaire de ce même prin-

relatives, et, par conséquent, dans les actions qu'elles exercent les unes sur les autres. L'expérience prouve le contraire : mais c'est aussi ce qu'on peut nier avant toute expérience, dès qu'on admet avec Leibnitz que l'idée de l'espace n'est qu'une idée de relation, et que la raison ne peut concevoir que des mouvements et des repos relatifs.

Les mêmes considérations s'appliquent au principe de la proportionnalité des forces aux vitesses. Imaginons, pour plus de simplicité, que les particules matérielles A, B, C,... supposées d'égale masse, soient soumises à l'action de forces égales F, qui leur font décrire avec des vitesses égales des droites parallèles ; et qu'en outre une force F' agisse dans la même direction sur la seule particule A : il faudra que l'effet de cette force F' soit d'imprimer à A une vitesse relative, absolument indépendante du mouvement commun du système produit par l'action des forces F sur toutes les particules A, B, G,... dont il se compose. Donc, si l'on considère isolément la particule A, soumise aux forces F, F', il faudra que les effets de ces deux forces s'ajoutent purement et simplement, chaque force produisant son effet comme si l'autre n'existait pas, et la vitesse totale étant la somme des vitesses que chaque force aurait imprimées à la particule A, en agissant seule. En conséquence, une force double, c'est-à-dire la réunion de deux forces capables d'imprimer séparément des vitesses égales, imprimera une vitesse double ; une force triple imprimera une vitesse triple ; en un mot, les vitesses croîtront proportionnellement aux forces qui les produisent.

Les géomètres et les physiciens de l'école contemporaine, en admettant le principe de la proportionnalité des forces aux vitesses comme l'une des bases de la science du mouvement, l'ont généralement admis comme une donnée de l'expérience ou comme un fait d'observation. Quelques-uns ont cru n'y voir qu'une définition, d'autres un théorème ordinaire de mathématiques, susceptible d'être démontré comme tout autre théorème : mais alors ils sont tombés dans des paralogismes où l'on a refusé de les suivre. Le principe en question, tout comme le principe d'inertie avec lequel, en réalité, il ne fait qu'un, ne peut être effectivement qu'une donnée empirique, tant que l'objet de l'idée d'espace est regardé comme quelque chose d'absolu ; tant que la distinction entre les mouvements absolus et les mouvements relatifs est regardée comme quelque chose d'absolu, et non pas comme une distinction qui n'est ellemême que relative. Si, au contraire, avec Leibnitz, on n'admet pas qu'il puisse y avoir rien d'absolu dans les idées d'espace et de mouvement, le principe de la proportionnalité des forces aux vitesses ne requiert plus l'intervention de l'expérience. Ce n'est pas non plus un théorème mathématique ou une définition purement logique : c'est un axiome philosophique. Voyez Laplace, Exposition du système du monde, liv. m, chap. 2 ; Poisson, Traité de mécanique, 2« édit., T. I, n° 116. On peut consulter aussi le discours préliminaire et la première partie du Traité de Dynamique de d'Alembert : il est curieux de voir comment d'Alembert, qui se croyait bien éloigné de philosopher à la manière de Leibnitz, emploie, pour établir ce qu'il appelle la nécessité des lois du mouvement, des raisonnements qui ne sont qu'une application continuelle du principe fondamental de la doctrine leibnitziènne.

cipe, inversement l'expérience qui constate la loi pourra être censée donner a posteriori la confirmation du principe, ou du moins vaudra comme une induction puissante en faveur du principe.

Nous pourrions reproduire encore la remarque déjà faite (116), au sujet de l'hypothèse des atomes figurés et étendus, à savoir que, si les idées d'espace et de temps avaient un objet réel, d'une réalité absolue, il serait donné à notre intelligence d'atteindre par ses seules forces à ce qui est primitif et absolu ; ce qui peut paraître, par bien des motifs, très peu probable, quoique cela ne soit pas, ni ne puisse être démontré impossible. Mais nous préférons insister sur des considérations d'un autre ordre, auxquelles nous avons plus habituellement recours dans ce genre de recherches.

Admettons que l'esprit ait un penchant (comme il l'a sans aucun doute) à attribuer une réalité absolue à ce que nous concevons sous les noms d'espace et de temps, et que ce penchant soit trompeur : il y aura très probablement des incohérences dans le système de nos idées, tenant à un défaut d'harmonie entre la nature des objets de la pensée et la manière de les penser ; et réciproquement, s'il se manifeste des incohérences, des oppositions dans le système de nos idées, par suite de l'attribution d'une réalité absolue aux idées d'espace et de temps, il en faudra conclure, avec une probabilité du même ordre, que ces idées n'ont pas objectivement la valeur absolue que l'esprit humain voudrait leur accorder, par une condition de son organisation comme sujet pensant.

145. — Or, de telles oppositions, de tels conflits existent à propos des idées d'espace et de temps, et donnent lieu à ce que Kant a décrit sous le nom d'anlinomies de la raison pure, dans la partie la plus remarquable, suivant nous, de son œuvre de critique^. Il répugne de concevoir le monde comme limité dans l'espace, et comme ayant un commencement et une fin dans le temps ; il ne répugne pas moins de concevoir le monde comme n'ayant ni limites, ni commencement, ni fin : première antinomie. Il répugne de concevoir une limite à la divisibilité de la matière ; et il ne répugne pas moins de concevoir la matière comme divisible à l'infini : seconde

* Critique de la raison pure, — Dialectique transcendenlale, liv. ii, chap. 1.

antinomie. La thèse et l'antithèse se prouvent également bien et se détruisent l'une l'autre. Kant met sur la même ligne deux autres antinomies, dont nous n'avons pas besoin de parler

Ces antinomies ou (pour parler un langage moins technique) ces contradictions sont réelles ; il n'est pas nécessaire, pour en être frappé, de recourir à des arguments pourvus des formes scolastiques, il suffit de parcourir les livres des philosophes, d'entrer un peu dans leurs débats interminables. Mais, à nos yeux, ce ne sont pas des contradictions de la raison, ce sont des contradictions de l'esprit humain, chose bien différente ; car, si la raison ne peut se contredire elle-même sans perdre son unité et son autorité régulatrice, on peut bien comprendre que, dans l'organisation complexe de l'esprit humain, des rouages soient capables de se contrarier, et que l'entendement, dans sa manière d'élaborer et de relier les matériaux fournis par les sensations, ait ses illusions comme il en a dans les sensations, ou dans certains jugements spontanés qui s'associent constamment aux sensations et que la raison désavoue (85).

C'est là le seul motif plausible que puisse faire valoir Kant pour refuser aux idées d'espace et de temps toute valeur objective, et pour ne les considérer que comme des formes de la sensibilité ; mais en cela il va trop loin : car il suffit d'admettre avec Leibnitz que l'espace et le temps sont des phénomènes, qui n'ont objectivement qu'une réalité relative et non absolue, pour faire évanouir des contradictions où le point de départ des deux thèses contraires est l'attribution d'une valeur objective absolue à l'idée de l'espace et à celle du temps.

L'esprit humain est organisé pour percevoir, dans l'espace et dans la durée, des rapports qui existent effectivement hors de lui et indépendamment de lui. Il pénètre ainsi dans la réalité, mais dans une réalité relative, phénoménale, dont la connaissance suffit aux besoins et au rôle de l'homme dans le monde. Lorsqu'il est tenté de l'outrepasser et d'ériger cette réalité relative en réalité absolue, il cède sans doute à un penchant de sa nature, mais ce penchant le trompe, et la raison l'en avertit, en lui montrant des abîmes sans fond et des contradictions sans issue.

146, — Les deux antinomies kantiennes ne sont pas les

seules contre lesquelles se heurte l'esprit humain, dès qu'il a la prétention d'atteindre à l'essence des choses ou à la réalité absolue, dans la double conception de l'espace et du temps. Le plein des cartésiens est insoutenable dans l'état de la physique, et les actions à distance, à travers le vide, tel que les newtoniens le conçoivent, sont absolument incompréhensibles. C'est une hypothèse que la force des habitudes scientifiques nous a rendue familière, mais qui n'en devrait pas moins choquer notre raison autant qu'elle choquait celle des Leibnitz, des Bernoulli et des Huygens, s'il fallait considérer le vide ou l'espace comme quelque chose de primitif et d'absolu qui subsiste indépendamment des phénomènes du monde matériel, et non pas plutôt comme une relation entre des phénomènes dont le fondement et le principe essentiel échappe absolument à nos moyens de perception et de connaissance. Mais qu'est-ce qu'une pareille contradiction dans la conception que l'homme peut avoir du monde physique, auprès des contradictions dans la conception que l'homme a de luimême, de l'action des organes sur l'esprit et de l'esprit sur les organes, et en général de tous les phénomènes de la vie organique, animale, intellectuelle, dont les uns lui sont propres, tandis qu'il est pour les autres en communauté de nature avec une si prodigieuse variété d'êtres inférieurs? Il répugne de concevoir l'intelligence et la pensée, la force vitale et plastique diffuses dans une substance étendue, grande ou petite, dans un système de particules à distance comme dans un tout continu ; il répugne de les concevoir inhérentes à une particule ou à une agrégation de particules déterminées, ou d'imaginer qu'elles se transportent d'une particule à l'autre, d'un groupe matériel à un autre groupe, au furet à mesure du renouvellement des matériaux de l'organisme. Il répugne même d'assigner au principe de la vie et de la pensée un lieu dans l'espace ; de fixer (comme dirait un géomètre) les coordonnées d'un point de l'espace où l'esprit aurait son siège, et d'où il agirait sur les organes, après avoir ressenti et perçu les modifications de l'organisme. De toutes parts il y a contradiction pour la raison, si l'étendue est conçue comme quelque • hose d'absolu, si l'espace est quelque chose de nécessaire, de primitif et d'immuable. Mais, au lieu de contradictions dans le système de nos connaissances, il n'y a plus que des faits

qui surpassent nos connaissances, si les corps, si l'espace ne sont que des phénomènes dont il nous est bien donné de percevoir la réalité externe, mais non le fondement absolu et l'essence première.

Il y a dans la nature de l'homme des besoins qui n'auraient pas satisfaction, des facultés qui sembleraient vaines et trompeuses, si tout finissait pour lui avec la vie animale. D'un autre côté, il répugne de placer dans l'espace et dans le temps l'accomplissement des destinées supérieures de l'homme, en dehors de la sphère des phénomènes organiques et des faits sensibles. Nous ne prétendons point que la raison livrée à elle-même soit habile à sonder ces mystères : nous disons seulement qu'en présence de tels mystères et pour la conciliation de croyances instinctives ou acquises qui semblent se combattre, la raison trouve de nouveaux motifs d'admettre que les formes de l'espace et du temps, toujours conçues comme inhérentes aux phénomènes et non à la constitution de l'esprit humain, n'ont pourtant elles-mêmes qu'une valeur phénoménale.

Nous nous gardons d'avancer que la probabilité philosophique de cette solution soit une probabilité de même ordre que celle qui rend légitime, aux yeux de la raison, la croyance de sens commun à l'existence objective des corps, à celle du monde extérieur, tel qu'il se montre à nous dans l'espace et dans le temps. Que ceux pour qui de telles inductions sont sans valeur abandonnent le champ de la spéculation philosophique, ils en ont pleinement le droit : pour ceux à qui une telle désertion répugnerait, il faut accepter les inductions comme elles s'offrent ; autant que possible, sans se faire illusion à soi-même, et surtout sans vouloir faire illusion à d'autres.

Des diverses sortes d'abstractions et d'entités. — Des idées mathématiques. — Des idées de genre et d'espèce.

147. — Déjà nous avons indiqué d'une manière générale comment la connaissance ou l'idée se dégage de l'impression sensible : il y a dans ce travail de l'esprit sur les matériaux qui lui sont fournis par la sensibilité, une série d'analyses et de synthèses, de décompositions et de recompositions, comparables à ce qui se passe dans l'élaboration des matériaux que l'animal emprunte au monde extérieur pour y puiser les principes et en former les matériaux immédiatement appropriés au développement et à la réparation de ses organes. La comparaison est d'autant plus admissible que, dans un cas comme dans l'autre, il ne s'agit pas simplement d'isoler des parties juxtaposées, ou d'agréger des parties isolées : il faut concevoir au contraire que, dans un cas comme dans l'autre, par l'élaboration des matériaux primitifs, faite sous l'influence d'un principe vital, les produits des combinaisons acquièrent des propriétés qui n'appartiennent ni en totalité ni en partie aux éléments isolés ; tandis qu'inversement la dissociation des éléments permet la libre manifestation de propriétés que l'état de combinaison neutralisait ou rendait latentes.

La décomposition ou l'analyse à laquelle la force de l'intelligence soumet les matériaux de la sensibilité, se nomme abslraclion ; et bien que toutes les idées que nous avons des choses, même de celles qui tombent immédiatement sous nos sens, puissent être abstraites ou séparées de l'impression sensible qui les accompagne (100 et suiv.), on donne particuliè-

rement le nom d'idées abstraites à celles que nous procure une abstraction ou une décomposition ultérieure à laquelle nous soumettons les idées des objets sensibles. D'une autre part, l'acte de composition ou de synthèse par lequel la pensée coordonne les matériaux fournis par la sensibilité, en y introduisant un principe d'unité et de liaison systématique, aboutit à la conception d'entités, que l'on qualifie souvent aussi d'idées abstraites, par opposition aux images des objets sensibles ; mais qu'il faut pourtant distinguer des idées obtenues par voie de décomposition ou d'abstraction proprement dite. La formation des idées abstraites et des entités n'est pas réservée aux philosophes et aux savants : le travail qui les produit commence dès que l'esprit humain entre en action, et se manifeste dans l'organisation des langues, quel que soit le degré de culture des peuples qui les parlent. Notre but, dans ce chapitre, doit être de discerner, à l'aide des règles de critique dont nous tenons à montrer partout l'apphcation, la part qui revient à la constitution des objets pensés et la part qui revient aux lois régulatrices de la pensée, dans la formation des idées abstraites proprement dites, et dans la conception de ces types purement intelligibles, que nous ne craignons pas de nommer entités, quoique à une certaine époque les philosophes aient abusé du mot et de la chose, et quoique à une autre époque la chose et le mot soient tombés dans un injuste décri.

148. — Remarquons d'abord qu'on se ferait de l'abstraction une notion fausse, ou tout au moins très incomplète, si l'on n'y voyait qu'un procédé de l'esprit qui isole les propriétés d'un objet pour les étudier à part et arriver ainsi plus aisément à la connaissance de l'objet. Ceci est l'abstraction, telle qu'on l'entend dans la logique vulgaire ; et en ce sens les idées abstraites, les sciences abstraites seraient des produits purement artificiels de l'entendement, ce qui n'est vrai que de certaines idées et de certaines sciences abstraites. Mais il y a une autre abstraction (celle-là même qui nous a donné, pures de toute image sensible, les idées de l'étendue et de la durée, de l'espace et du temps), abstraction en vertu de laquelle nous distinguons par la pensée des éléments indépendants les uns des autres, quoique la sensation les confonde. Il y a des idées abstraites qui correspondent à des faits généraux, à des lois supérieures auxquelles sont subor-

données toutes les propriétés particulières par lesquelles les objets extérieurs nous deviennent sensibles : et les sciences qui ont pour objet de telles idées, qui embrassent le système de telles lois et de tels rapports, ne doivent point passer pour des sciences de création artificielle, conventionnelle et arbitraire.

Pour prendre un exemple propre à faire sentir la distinction que nous voulons établir, considérons un corps solide, en mouvement dans l'espace. On peut prendre à volonté un point de la masse et considérer le mouvement du corps comme le résultat de la combinaison de deux autres mouvements ; l'un par lequel tous les points de la masse se mouvraient d'un mouvement commun, le même que celui du point en question ; l'autre par lequel le corps solide tournerait d'une certaine manière autour de ce même point auquel on attribuerait alors une fixité idéale. La décomposition du mouvement réel du corps en ces deux mouvements fictifs, l'un de translation, commun à tous les points de la masse, l'autre de rotation, relatif à l'un des points de cette masse, s'effectuera d'une infinité de manières différentes, suivant qu'on aura choisi arbitrairement tel ou tel point de la masse pour centre du mouvement relatif. Cette décomposition idéale du mouvement rée du corps en deux autres pourra encore donner lieu à des décompositions ultérieures qui seront ou qui pourront être, comme la décomposition primitive, accommodées à notre manière de concevoir le phénomène, qui fourniront des images propres à en faciliter la description et l'étude, mais qui, en général, seront arbitraires et non fondées sur la nature même du phénomène.

Supposons maintenant qu'il s'agisse du mouvement d'un corps solide, soumis à la seule force de la pesanteur, et n'éprouvant pas de résistance de la part du milieu dans lequel il se meut : il y a pour ce corps un point connu sous la dénomination de centre de gravilé, et qui jouit de cette propriété, que, si on le prend pour centre du mouvement de rotation imagine tout à l'heure, les deux mouvements de translation et de rotation, devenus indépendants l'un de l'autre, s'accomplissent chacun séparément comme si l'autre n'existait pas. En conséquence, l'abstraction qui distingue ou qui isole ces deux mouvements cesse alors d'être une abstraction artificielle ou purement logique : elle a son fondement, sa raison dans la nature

du phénomène, et nous en donne la conception ou la représentation véritable.

149, — Quand, dans la vue d'étudier plus facilement les conditions d'équilibre et de mouvement des corps solides et fluides, nous imaginons des solides doués d'une rigidité parfaite, des fluides dépourvus de toute viscosité, de toute adhérence entre leurs parties, nous faisons abstraction de quelquesunes des qualités naturelles que ces corps possèdent ; nous construisons en idée, pour simplifier les problèmes que nous nous proposons de résoudre et pour les accommoder à nos procédés de calcul, des corps dont le type ne se trouve pas réalisé dans la nature, et n'est peut-être pas réalisable. A la vérité, et par une heureuse circonstance, les corps solides et les fluides, tels que la nature nous les offre, ne s'éloignent pas tant des conditions fictives de rigidité et de fluidité absolues, qu'on ne puisse considérer les résultats théoriques, obtenus à la faveur de ces conditions fictives, comme représentant déjà avec assez d'approximation les lois de certains phénomènes naturels. C'est en cela que consiste l'utilité de l'hypothèse ou de la conception abstraite, substituée artificiellement aux types naturels des corps solides et des fluides.

Lorsqu'on étudie les lois d'après lesquelles les richesses se produisent, se distribuent et se consomment, on voit que ces lois pourraient s'établir théoriquement d'une manière assez simple, si l'on faisait abstraction de certaines circonstances accessoires qui les compliquent, et dont les effets ne sauraient être que vaguement appréciés, par suite de cette complication. En conséquence, on admettra que les richesses ou les valeurs commerçables peuvent circuler sans la moindre gêne, passer immédiatement d'une main à l'autre, se réaliser, se négocier, s'échanger contre d'autres valeurs ou contre des espèces, au gré du propriétaire, au cours du jour et du marché ; on admettra le parfait nivellement des prix sous l'influence de la libre concurrence : suppositions dont aucune n'est vraie en toute rigueur, mais qui approchent d'autant plus d'être vraies, qu'on les apphque à des denrées sur lesquelles s'exerce de préférence la spéculation commerciale, à des pays et à des temps où l'organisation commerciale a fait plus de progrès.

De pareilles abstractions par lesquelles l'esprit sépare des

faits naturellement associés et dépendant les uns des autres (abstraction dont on pourrait se passer, si l'esprit humain était capable d'embrasser à la fois toutes les causes qui influent sur la production d'un phénomène, et de tenir compte de tous les efïets qui résultent de leur association et de leurs réactions mutuelles), sont ce que nous proposons d'appeler des abstractions artificietles, ou, si l'on veut, des abstractions togiques.

150. — II y a d'autres abstractions déterminées par la nature des choses, par la manière d'être des objets de la connaissance, et nullement par la constitution de l'esprit ou à cause du point de vue d'où l'esprit les envisage. Telles sont assurément les abstractions sur lesquelles porte le système des mathématiques pures : les idées de nombre, de distance, d'angle, de ligne, de surface, de volume. II est dans la nature des choses que certains phénomènes résultent de la configuration des corps, et ne dépendent pas des qualités physiques de la matière dont les corps sont formés (1). Lors donc que notre esprit fait abstraction des qualités physiques de la matière, pour étudier à part les propriétés géométriques ou de configuration, il ne fait que se conformer à l'ordre suivant lequel, dans la nature, certains rapports s'établissent, certains phénomènes se développent à côté, mais indépendamment des autres. A bien plus forte raison, si les progrès que nous faisons dans l'interprétation philosophique de la nature tendaient «le plus en plus à nous donner les moyens d'expliquer par des rapports géométriques tous les phénomènes de l'ordre physique dont on a pu étudier soigneusement les lois ; si la physique tendait à se résoudre dans la géométrie, il serait conforme à la nature des choses et non pas seulement à la nature de l'esprit humain, d'isoler par la pensée un système de faits non seulement généraux, mais fondamentaux : un système de rapports qui domine les autres ou qui en contient la raison objective, à tel point qu'on a pu voir dans la géométrie la pensée de Dieu et appeler Dieu l'éternel géomètre. De telles abstractions, indépendantes de la pensée humaine, supérieures aux phénomènes de la pensée humaine, ne doivent point être confondues avec ces abstractions artificielles que l'esprit imagine pour sa commodité, et nous proposons de les appeler abstractions rationnelles.

151. — Les motifs qui nous portent à attribuer une valeur objective aux abstractions géométriques, sont de même nature que ceux qui nous font croire à l'existence du monde extérieur ou qui nous font attribuer une valeur objective aux idées fondamentales de l'espace et du temps. Si la notion de la ligne droite ou de la distance n'était qu'une fiction de l'esprit, une idée de création artificielle, par quel hasard se ferait-il que les forces de la nature, la force de la gravitation, par exemple, varieraient avec les distances suivant des lois simples, seraient (comme disent les géomètres) fondions des distances, de telle sorte que la variation de la distance est nécessairement conçue comme la cause ou la raison de la variation de la force ? D'où viendrait cet harmonieux accord entre les lois générales de la nature, dont nous ne sommes que les témoins intelligents, et une idée déterminée par la constitution de notre entendement, qui n'aurait de valeur que comme invention humaine et comme produit de notre activité personnelle ?

152. — Mais, si la croyance à l'existence du monde extérieur est et a dû être, pour l'accomplissement de la destinée de l'homme, une croyance naturelle ; si la nature s'est chargée de combattre les pyrrhoniens sur ce terrain (86), elle n'a nullement pris ni dû prendre le soin de' combattre un pyrrhonisme purement spéculatif, qui consiste à ne voir dans toutes les idées abstraites que des jeux de l'esprit ou des créations arbitraires de l'entendement. Ceci intéresse la philosophie, mais n'intéresse pas la vie pratique, ni même la science proprement dite. On n'en saura ni mieux, ni plus mal, la géométrie ou la physique, soit que l'on considère les conceptions géométriques comme une fiction de l'esprit, sans réalité objective, qui trouve cependant une application utile dans l'analyse des phénomènes physiques ; soit que l'on considère au contraire les vérités mathématiques comme ayant une valeur objective hors de l'esprit qui les conçoit, comme contenant la raison des apparences physiques assorties aux modes de notre sensibilité. La science est indifférente à cette transposition d'ordre, et il n'y a rien qui puisse servir à démontrer logiquement que l'ordre a h doit être admis, à l'exclusion de l'ordre b a. Mais ce qui n'a pas d'influence directe sur les applications techniques et sur le progrès de la science positive, est précisément ce qui a le plus d'importance pour l'ordre

philosophique à int-roduire entre les objets de nos connaissances, et pour éclairer du flambeau de la raison les connexions et les rapports entre les faits scientifiques, positivement constatés ; et l'on ne se rendra point compte du vrai caractère des sciences mathématiques, ni du rôle qu'elles jouent dans le système des connaissances humaines, tant qu'on n'aura pas apprécié l'importance de ces questions d'ordre, et qu'on ne les aura pas résolues d'après les inductions, les analogies, les probabilités philosophiques.

Plus nous avancerons dans notre examen, plus nous trouverons de motifs d'attacher une grande importance à la distinction doctrinale entre l'abstraction logique et l'abstraction rationnelle. Car, si toutes les abstractions sont des créations artificielles de l'esprit, il sera tout simple que l'esprit arrange à sa guise et selon les convenances de sa nature, le produit de ses propres facultés. Que s'il y a au contraire des idées abstraites dont le type soit hors de l'esprit humain, comme l'esprit ne peut opérer sur les idées abstraites, quelle qu'en soit l'origine, qu'en y attachant des signes sensibles (112), il pourra se trouver entre la nature des signes qu'il est tenu d'employer et la nature des idées rappelées par ces signes, certaines discordances capables de contrarier, soit la juste perception par la pensée, soit la juste expression par le langage, des liens et des rapports qu'il faudrait saisir entre les types de pareilles idées.

153. — De ce que les idées fondamentales des mathématiques ne sont pas des produits artificiels de l'entendement, il ne s'ensuit point que toutes les parties de la doctrine mathématique soient aiïranchies de conceptions artificielles qui tiennent moins à la nature des choses qu'à l'organisation de nos méthodes. Ainsi, l'application que nous faisons des nombres à la mesure ou à l'expression des grandeurs continues, est sans nul doute un artifice de notre esprit, et ne tient pas essentiellement à la nature de ces grandeurs. On a pu dire en ce sens que les nombres n'existent pas dans la nature : et toutefois, quand notre pensée se porte sur l'idée abstraite de nombre, nous sentons bien que cette idée n'est pas une fiction arbitraire ou une création artificielle de l'esprit, pour la commodité de nos recherches, comme le serait l'idée de corps parfaitement rigides ou fluides. Lorsque nous étudions les proprié-

tés des nombres, nous croyons, et avec fondement (36), étudier certains rapports généraux entre les choses, certaines lois ou conditions générales des phénomènes : ce qui n'implique pas nécessairement que toutes les propriétés des nombres jouent un rôle dans l'explication des phénomènes, ni à plus forte raison que toutes les circonstances des phénomènes ont leur raison suprême dans les propriétés des nombres, conformément à cette doctrine mystérieuse qui s'est transmise de Pythagore à Kepler, qui a pris naissance dans la haute antiquité, pour ne disparaître qu'à l'avènement de la science moderne.

En général il arrive qu'après que la nature des choses a fourni le type d'une abstraction, l'idée abstraite ainsi formée suggère à son tour des abstractions ultérieures, des généralisations systématiques qui ne sont plus que des fictions de l'esprit (16). De là vient que les idées qu'on appelle neuves, parce qu'elles projettent sur les objets de notre connaissance un jour nouveau, ont leur temps de fécondité et leur temps de stérilité et d'épuisement. Si ces idées neuves sont fécondes, c'est que, loin d'être créées de toutes pièces par le génie qui s'en empare, elles ne sont pour l'ordinaire que l'heureuse expression d'un rapport découvert entre les choses ; et si leur fécondité n'est pas illimitée, comme" le nombre des combinaisons artificielles dans lesquelles l'esprit peut les faire entrer, c'est que la nature ne s'assujettit point aux règles logiques qui président à la coordination systématique de nos idées. De là vient encore que le défaut général des systèmes est d'être, comme on dit, trop exclusifs, ou de n'embrasser qu'une partie des vrais rapports des choses, et de s'en écarter tout à fait dans leurs conséquences extrêmes ou dans leur prolongement excessif.

154. — Non seulement l'application des idées fondamentales des mathématiques à l'interprétation scientifique de la nature nous montre qu'elles ne sont pas des créations artificielles de l'esprit, mais il est à remarquer que plusieurs de ces idées, malgré leur haut degré de généralité et d'abstraction, ne sont que des formes particulières, et en quelque sorte des espèces concrètes d'idées encore plus abstraites et plus générales, auxquelles nous pourrions nous élever par d'autre voies que celles de l'abstraction mathématique, et par la contemplation d'autres phénomènes que ceux auxquels le calcul et

la géométrie s'appliquent. Les idées de combinaison, d'ordre, de symétrie, d'égalité, d'inclusion, d'exclusion, etc., ne revêtent pas seulement des formes géométriques ou algébriques ; et certaines propriétés des figures ou des nombres, qui tiennent à telle espèce d'ordre, à tel mode de combinaison ou de symétrie, ont leur cause ou raison d'être dans une sphère d'abstractions supérieures à la géométrie et au calcul (143). Par exemple, l'idée d'inclusion, ou celle du rapport du contenant au contenu, se retrouve en logique où elle sert de fondement à la théorie du syllogisme ; quoique le mode selon lequel l'idée générale contient l'idée particulière, soit bien différent du mode suivant lequel une quantité ou un espace contiennent une autre quantité ou un autre espace. L'idée de force ou de puissance active est bien plus générale que l'idée de force motrice ou mécanique ; et un jour viendra peut-être où, conformément encore aux indications de Leibnitz, on tentera l'ébauche de cette dynamique supérieure dont les règles, jusqu'ici confusément entrevues, contiendraient dans leur généralité celles de la dynamique des géomètres et des mécaniciens, ou du moins celles d'entre ces dernières qui ne tiennent pas à des conditions exclusivement propres aux phénomènes mécaniques, en tant qu'elles se rattachent aux propriétés spéciales et aux caractères exclusifs des idées d'espace, de temps et de mouvement. Ces adages reçus également en physique, en médecine, en morale, en politique : « Toute action entraîne une réaction ; — on ne s'appuie que sur ce qui résiste », et d'autres semblables, sont autant de manières d'exprimer certaines règles de cette dynamique que nous qualifions de supérieure, parce qu'elle gouverne aussi bienle monde moral que le monde physique, et sert à rendre raison des phénomènes les plus délicats de l'organisme, comme des mouvements des corps inertes ^.

» C'est à propos d'une maxime de même genre : Vis unita fortior, que Bacon, dans un mémoire adressé, en 1603, au roi Jacques I", sur un projet d'union de l'Angleterre et de l'Écossc, s'exprime comme il suit: «Lorsque Heraclite, surnommé l'Obscur, publia un certain livre qui n'existe plus aujourd'hui, les uns y virent une dissertation sur la nature, les autres un traité de politique. Je ne m'en étonne pas : car entre les règles de la nature et celles dune bonne politique il y a beaucoup d'accord et de ressemblance, les premières n'étant que l'ordre suivi dans le gouvernement du monde, les secondes l'ordre suivi dans le gouvernement des États. Aussi les rois de Perse étaient-ils profondément initiés dans

155. — Pour prouver que les idées qui sont la base de l'édifice des mathématiques pures ont leurs types dans la nature des choses et ne sont pas des fictions de notre esprit, nous avons tiré nos inductions des corrélations qui s'observent entre les vérités abstraites des mathématiques et les lois des phénomènes naturels : les unes contenant l'explication ou la raison des autres. Mais on pourrait écarter ces inductions, considérer le système des mathématiques en lui-même, indépendamment de toute application à l'interprétation scientifique de la nature, pénétrer dans l'économie de ce système, et trouver encore des motifs suffisants de rejeter l'opinion, trop présomptueuse ou trop timide, selon laquelle l'esprit humain n'opérerait que sur les produits de sa propre fantaisie, et, comme l'a dit Vico, démontrerait les vérités géométriques parce qu'il les fait. Si cette opinion était fondée, rien ne devrait être plus aisé que de diviser le domaine des mathématiques pures en compartiments réguliers et nettement définis, ou, en d'autres termes, de soumettre le système des sciences mathématiques à une classification du genre de celles qui nous plaisent par leur régularité et leur symétrie, quand il s'agit d'idées que l'esprit humain crée de toutes pièces et peut arranger d'après ses convenances (152), sans être gêné par l'obligation de reproduire un type extérieur. Mais au contraire (et cette circonstance est bien digne de remarque), les mathématiques, sciences exactes par excellence, sont du nombre de celles où il y a le plus de vague et d'indécision dans la classification des parties, où la plupart des termes qui expriment les principales divisions ^e prennent, tantôt dans un sens plus large, tantôt dans un sens plus rétréci, selon le contexte du discours et les vues propres à chaque auteur, sans qu'on soit parvenu à en fixer nettement et rigoureusement l'acception dans

une science fort respectée alors, mais qui est aujourd'hui bien dégénérée, et dont le nom ne se prend guère qu'en mauvaise part. En effet, la magie des Perses, cette science occulte de leurs rois, était l'application à la politique des observations faites sur le monde ; on y donnait les lois fondamentales de la nature pour modèle au gouvernement de l'État. » On ne devra donc pas se scandaliser lorsqu'on verra, dans un des derniers chapitres de cet ouvrage, la magie figurer sur le tableau encylopédique de Bacon. Il dit encore ailleurs (de Augm. scient. III, c. 3) : « Magia apud Persas pro sapientia sublimi et scientia consensuum rerum universalium accipiebatur. » Voyez l'édition que M. Bouillet a donnée des Œuvres philosophiques de Bacon, t. I, p. 522.

une langue commune. Ceci accuse une complication et un enchevêtrement de rapports, rebelle à nos procédés logiques de définition, de division et de classification ; et rien ne montre mieux que l'objet des mathématiques existe hors de l'esprit humain, et indépendamment des lois qui gouvernent notre intelligence.

156. — Il appartient à la philosophie générale de fixer le rang des mathématiques dans le système général de nos connaissances et d'apprécier la valeur des notions premières qui servent de fondement à cette vaste construction scientifique. Que si l'on entre dans les détails d'économie et de structure intérieures, on voit surgir des questions analogues, auxquelles les mêmes moyens de critique sont applicables, et qui, d'un intérêt spécial pour les géomètres que leurs études préparent à les bien entendre, composent en grande partie ce qu'on peut appeler la philosophie des mathématiques. Il va sans dire que ces questions de détail ne sauraient entrer dans notre cadre : nous en avons traité dans d'autres ouvrages * auxquels on trouvera tout simple que nous renvoyions le lecteur curieux de ces sortes de spéculations, en nous bornant ici aux indications les plus succinctes.

Au premier rang des questions philosophiques, en mathématiques comme ailleurs, se placent celles qui portent sur la valeur représentative des idées, et où il s'agit de distinguer, selon l'expression de Bertrand de Genève, ce qui appartient aux choses mêmes (l'abstraction rationnelle), d'avec ce qui n'appartient qu'à la manière dont nous pouvons et voulons les envisager (l'abstraction artificielle ou purement logique). L'Algèbre n'est-elle qu'une langue conventionnelle, ou bien est-ce une science dont les développements, liés sans doute à l'emploi d'une notation primitivement arbitraire et conventionnelle, embrassent pourtant un ensemble de faits généraux et de relations abstraites ou purement intelligibles, que l'esprit humain découvre, démêle avec plus ou moins d'adresse et de bonheur, mais qu'il crée si peu, qu'il lui faut beaucoup de tâtonnements et de vérifications

• 1° De l'origine cl des limiles de la Correspondance entre l'algèbre et la géométrie (en particulier, le chap. XVI et dernier).

2° Traité élémentaire de la Théorie des fonctions et du calcul infinitésimal (en particulier, le chap. IV du livre I")-

avant qu'il n'ait pris, pour ainsi dire, confiance dans ses découvertes ? Tout le calcul des valeurs négatives, imaginaires, infinitésimales, n'est-il que le résultat de règles admises par conventions arbitraires ; ou toutes ces prétendues conventions ne sont-elles que l'expression nécessaire de rapports que l'esprit est certainement obligé (attendu leur nature idéale et purement intelligible) de représenter par des signes de forme arbitraire, mais qu'il n'invente point au gré de son caprice, ou par la seule nécessité de sa propre nature, et qu'il se borne à saisir, tels que la nature des choses les lui offre, en vertu de la faculté de généraliser et d'abstraire qui lui a été départie? Voilà ce qui partage les géomètres en sectes; voilà le fond de la philosophie des mathématiques comme de toute philosophie. Tout cela, remarquons-le bien, ne touche point à la partie positive et vraiment scientifique de la doctrine. Tous les géomètres appliqueront aux symboles des valeurs négatives, imaginaires, infinitésimales, les mêmes règles de calcul, obtiendront les mêmes formules, quelque opinion philosophique qu'ils se soient faite sur l'origine et sur l'interprétation de ces symboles : mais, ce qui n'intéresse pas la doctrine au point de vue des règles positives et des applications pratiques, est précisément ce qui contient la raison de l'enchaînement et des rapports des diverses parties de la doctrine.

Démontrer logiquement que certaines idées ne sont point de pures fictions de l'esprit, n'est pas plus possible qu'il ne l'est de démontrer logiquement l'existence des corps (151) ; et cette double impossibilité n'arrête pas plus les progrès des mathématiques positives que ceux de la physique positive. Mais il y a cette différence, que la foi à l'existence des corps fait partie de notre constitution naturelle : tandis qu'il faut se familiariser, par la culture des sciences, avec le sens et la valeur des hautes abstractions qu'on y rencontre. C'est ce qu'exprime ce mot commun, attribué à d'Alembert : Allez en avant, et la foi vous viendra ; non pas une foi aveugle, machinale, produit irréfléchi de l'habitude, mais un acquiescement de l'esprit, fondé sur la perception simultanée d'un ensemble de rapports qui ne peuvent que successivement frapper l'attention du disciple, et d'où résulte un faisceau d'inductions auxquelles la raison doit se rendre, en l'absence

d'une démonstration logique que la nature des choses rend impossible.

157. — Nous allons passer à cette autre catégorie d'idées abstraites auxquelles l'esprit s'élève par voie de synthèse, afin de relier dans une unité systématique les apparences variables des choses qui sont l'objet immédiat de ses intuitions. Ce sont là les idées ou les conceptions auxquelles nous attribuons le nom à'enlilés : et afin de ne pas trop effaroucher quelques lecteurs par un mot qui rappelle autant la barbarie scolastique, il sera à propos de choisir d'abord les exemples les plus palpables, et de montrer comment l'entité intervient pour la conception des phénomènes qui tombent le plus immédiatement sous les sens.

Si nous imprimons un ébranlement à un point de la surface d'une masse liquide, nous donnons naissance à une onde dont nous suivons des yeux la propagation en tout sens, à partir du centre d'ébranlement. Cette onde a une vitesse de propagation qui lui est propre, et qu'il ne faut pas confondre avec les vitesses de chacune des particules fluides qui successivement s'élèvent et s'abaissent un peu, audessus et au-dessous du plan de niveau qui les contient dans l'état de repos. Ces mouvements de va-et-vient imprimés aux particules matérielles restent très petits et à peine mesurables ; tandis que l'onde chemine toujours dans le même sens, jusqu'à de grandes distances, avec une vitesse que nous apprécions parfaitement sans instruments, et que nous pouvons mesurer de la manière la plus exacte en nous aidant d'instruments convenables. Si plusieurs points de la surface, éloignés les uns des autres, deviennent en même temps des centres de mouvements ondulatoires, nous verrons plusieurs systèmes d'ondes se rencontrer, se croiser sans se confondre. Tout cela nous autorise bien à concevoir l'idée de l'onde, comme celle d'un objet d'observation et d'étude, qui a sa manière d'être, ses lois, ses caractères ou attributs, tels que celui d'une vitesse de propagation mesurable. Cependant l'onde n'est vraiment qu'une entité : la réalité matérielle ou substantielle appartient aux molécules qui deviennent successivement le siège de mouvements oscillatoires. La conception systématique du mode de succession et de liaison de ces mouvements, voilà l'idée de