PREMIERE PARTIE

Oà l'on considère les Plans et la Sphère.

KoTIOIfS PBÉLZMIHAIRES , Page I

Un point esc donné sur un plan par ses distances à deux lignes connues de position , ibid*

Diverses manières de représenter un nombre quelconque de points, situés dans l'espace, a

La projection d'an point sur an plan, est le pied.de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan , ibiâ*

La projection d'^ne droite sur un plan , est l'intersection de ce plan avec on autre ^i lui est perpendiculaire , et qui passe par la droite propQsée, . 5

Les pians coordonnés ou les plans de projection , sont ceux sur lesquels on projette , et les plans projetans sont ceux qui , par leurs intersections avec les premiers, déterminent les projections des lignes qu'ils contiennent, 6

Gomment une ligne est donnée par tes deux projections , ibid*

Un plan est donné lorsqu'on connaît s«s intersections avec les plans coordonnés, ^

Notation observa dans le conrs de l'ouvrage, et comment on ramène à des constmctions sur un plan , tontes celles qui doivent être faites dans Pcspace. 8

Du Plan et dé la L^fië droite. g

Lorsqu'au plan est perpendiculaire k l'un des plane coordonnés , il ne faut connaître que son intersection avec ce dernier, pour le construire , ibîd,

Uoe droite tracée sur nn des plans coordonnés, est en même temps la projection de toutes les lignes que l'on peut mener dans le plan élevé sur cette droite, perpendiculairement au premier, lo

Détermination des points où une ligne droite située dans l'espace, renconti-e les plans coordonnés, i x

vj TABLE

Remarque. Dans tonte constrnction les plans doivent être regardes comme indéfinis, et une droite peut rencontrer le plan horizontal derrière loplan rerlical , ou le plan vertical au-dessons du plan horizontal, page ii

Problème, Deux plans étant donnes, trouver les projections de leur intersection, 12

Remarques sur les positions particulières que peuvent avoir ces deux plans, à l'c'|;ard <les plans coordonnes, i3

Condiiion diaprés laquelle deux plans sont parallèles , 14

Problème. Trouver les projections de la ligne qui passe par denx points donnes, ibid.

Corollaire /. Autre manière de donner nne droite dans Pçspace , i5

Corollaire',II. Comment on trouve la position d'un point situé sur nne ligne donnée , lorsqu'on connaît sa projection sur un des plans coordonné:» , ibid.

Remarque. Deux droites ne se coupent pas toujours, lorsque leurs projections se coupent sur chacun des plans coordonnés^ il faut, de plus , que les deux intersections des projections soient dans un plan perpendiculaire h la fois aux deux plans coordonnés , 16

Théorème, Lorsque deux lignes sont parallèles dans l'espace, leurs projections sur un même plan , sont parallèles entre elles, ibid.

Remarques. Il est nécessaire que les projections soient parallèles dans deux plans différcns , sans quoi les lignes pourraient n'être pas parallèles , i^

Problème. Mener par un point donné, nne ligne parallèle à une ligne donnée, 18

Proi/èmc. Trouver les projections d'un point, lorsque l'on connaît trois plans sur chacuii desquels il est situé , ibid.

Remarques. Le quarré de la distance d'un point quelconque de l'espace, <H celui où les trois plans coordonnés se rencontrent, est égal à la somme des quarrés des distances du point proposé li chacun de ces plans , 19

Problème. Trouver l'intersection d'un plan cl d'une ligne droite , 20

problème. Connaissant les communes sections d'un plan avec chacnn des plans coordonnés, constrnirc ce plan, c'est-à-dire, trouver pour chaque point du plan horizontal , la hauteur de celui qui lui correspond dans le plan incliné, at

On détermine l'angle que font ces deux plans. 9^%

Remarques. Con.siruction d'un plan incliné, lorsqu'on connaît Tangle qu'il fait avec le plan horizontal, et son intersection avec ce dernier. ibid.

Problème, Mener par un point donné , un plnti parallèle II un plan donné. 33

DES MATIÈRES. ^ij

Théorème. Une Kgnc et un plan sont rëcipro(]peftienl perpendiculaires, lorsque les projections de la ligne , sur le plan horizontal et sur le plan vertical , sont respectivement perpendiculaires aux com-

' munes sections du plan incliné avec ces mêmes plans , pnge a4

Problème. Mener par un point donné , nue ligne perpendiculaire à un plan donné , a5

Problème, Mener par nu point donne', un plan perpendiculaire h une droite donnée , ibid.

Remarque au moyen de laquelle on peu^ résoudre autrement les problèmes ci-dessus , a6

Problème. Faire passer un plan par trois points donnés , ay

Corollaire. Comment on rapporte sur le plan horizontal, le triangle que forment les lignes menées par les trois points donnés, a8

Problème. Deux plans étant donnés, trouver Tangle qu^ils font entre eux, 29

Problème, Un plan étant donné, ainsi qu'une ligne droite située dans ce plan, mener, par cette droite, un second plan qui fasse avec le premier un angle donné , 3o

Problème. Connaissant Tangle que deux lignes font entre elles , et cehii que chacune fait avec une verticale menée par leur point de rencontre, trouver la projection du premier angle, sur le plan horizontal , 3i

Problème, Deux lignes droites étant données sur un plan , par leur

point de rencontre, en mener une troisième qui fasse avec chacun^

d'elles , un augle donne , 3a

Corollaire où Pou construit un des angles dièdres formés par les

plans que déterminent les droites données et cherchées, 33

Remarque, Le problème précédent cessera d'être possible lorsque

' l'un des trois angles donnés sera plus grand que la somme des deux

autres.

On tire du même problème la solution de la question inverse , ibid,

Lemme. Si, par un point quelconque de l'arête d'un angle dièdre , on élève, en dehois de cet angle, une perpendiculaire sur chacune de ses faces, l'angle com.pris entre ces droites seia le supplément de celui qui mesure l'angle dièdre proposé , 34

Théorème. Si , par le sommet d'un angle trièdre et en dehors de ce angle, on mène des droites perpendiculaires à ehacunc de ses faces , les plans qui contiennent ces lignes deux à deux, formeront un nouvel angle trièdre, dans lequel les angles des arêtes seront supplémens des angles des faces du premier, et les angles des arêtes de celui-ci seront suppléraens de ceux des faces du nouvel angle trièdre , 35

Corollaire. Il est possible, par le théorème ci-dessus, de comtmirc

Tiij TABLE

an angle crièdra » lorsqu'on connatl les angles qnc ses faces font entre elles, page 36

Problème, Connaissant dans un angle trièdre, l'angle qne forment deux arêtes , et ceux que la face qui les contient fait avec chacune des deux autres, trouver sur son plan la projection de la troisième arête , ou bien , connuissant les angles que deux pians font avec le plan horizontal, et les lignes suivant Icsquellrs ils le rencontrent, trouver la projection de leur commune section, 87

Problème, Connaissant dans un angle trièdre, denx faces et Pangle qu'elles comprennent , construire le développement de cet angle trièdre , 38

Problème. Les projections d'un point étant connues sur les plans coordonnes, projeter ce point sur d'autres plans donnes , 39

Corollaire!. Comment on rapporte une ligne à un nouveau plan de projection, 4^

Corollaire IL Comment on repasse aux plans coordonnes primitifs, 4^

Problème. Deux plans e'tant donnés, ainsi qu'une ligne droite située dans Tun, mener dans l'autre une ligne qui fasse avec la première on angle donné , ou bhen, connaissant la projection d'un angle donné et la position d'un de ses rôtés, trouver celle de l'autre, ibid.

Problème. Les projections d'une droite étant données dans l'espace, mener un plan qui passe par cette droite, et qui fasse avec le plan horizontal un angle donné, 4^

Corollaire relatif au cas où le plan cherché fait l'angle donnée avec un plan quelconque , 44

Problème, Deux droites qui ne se coupent point , étant données dans l'espace , trouver leur plus courte distance , i&iiL

Théorème, La somme des quarrés des cosinus des angles qu'un plan quelconque fait avec trois antres, perpendiculaires entre eux, est égale au q narré du rayon , 4^

Lemme, L'aire de la projection horizontale d'une figure tracée sur un plan incliné, est h Taire de celte figure cooamc le cosinus de l'angle des deux plans est au rayon , 4?

Corollaire. La somme des quarrés des aires des projections d'une figure plane est égale au quarré de Faire de cette figure , 4^

Remarque, On déduit de la proposition ci-dessus , un théorème sur les tétraèdres rectangulaires , analogue à celui du quarré de l'hypoténuse dans le triangle rectangle, 49

De la Sphère j^ ' 5i

Problème. Trouver la position et la grandeur du cercle qui es i l'intersection d'une sphère et d'an plan donnés;, ihith

DES MATIERES. ix

jUtéorème, Le plan ëlcvë perpentliculaircment tur le milieu de la droite qni joint deax point« d^une sphère, passe par le centre, page 5a

Problème. Trouver le centre et le rayon d'une sphère , lorsqn^on conuatt qoatre points par lesquels elle doit passer, ibid.

Problème» Trouver Pintersection de deux sphères données , 53

Corollaire I, Construction des deux points oii trois sphères qni se coupent deux à deux peuvent se rencontrer h la fois , ou procédé pour trouver les projections d'un point lorsqu'on connaît ses distances h trois autres points donne's , 54

Corollaire II, Construction d'une pyramide triangulaire lorsqu'on en connaît les six arêtes , 55

Problème. Mener un plan qui touche dans un point donné , une sphère donnée , ibid.

Remarque dans laquelle on indique des moyens de simplifier , dans beaucoup de circonstances, les constructions, 5^

Problème. Mener, par une ligne donnée , un plan tangent à une sphère donnée, 58

Problème, Mener un plan qui repose sur trois sphères données, 59

Remarque à la suite de laquelle on détermine le point oîi une ligne

. tangente à deux cercles, rencontre la droite qui joint leurs

centres, 60

Corollaire où l'on fait voir que les points de concours des tangentes communes à trois cercles, combinés deux à deux, sont en igné droite , 61