DE6BBS DES FO

MODE MAJEUR

NDAMENTAIiBS.

MODE MINEUR

Accord parfait majeur

Accord parfait mineur

Accord de tierce et quinte mineures (dit accord de quinte diminuée) ,

— 5—5 /--JJN

Accord de tierce et quinte mâjeures(dit ace. de quinte auffmentée^ •

HABMONIB ALTIÊRIÊB

DBGBis DES F<

INDABENTALBS.

NOMS DBS AGGOBDS.

MODE MAJEUR

'^MODB MINEUR.

Accord de tierce et quinte majeures (dit accord de ouinte auffmentée)

Accord de tierce majeure et auinte mineure

Accord de tierce mineure et quinte majeure ••••

130 UYBE PREMIER.

Nous devons faire remarquer que dans les deux tableaux qu'on vient de voir, le mode mineur est rapporté à son premier type, savoir à celui dont la formation a été exposée chapitre P% §. 42, et que c'est pour cette raison que nous avons classé parmi les accords altérés par déplacement, tous ceux qui impliquent l'altération ascendante du sixième degré, ou l'altération descendante du septième degré de l'édielle.

Si l'on voulait classer les accords de trois sons du mode mineur, en les rapportant au second type de ce mode, dans lequel les degrés 6 et 7 sont inversement modifiés selon que l'échelle est ascendante ou descendante, il suffirait d'inscrire à la suite des accords formant l'harmonie naturelle du mode mineur , tableau n^ i , tous ceux du tableau n® 2 qui proviennent de la considération de ce second type, dont la formation a été exposée §. 13, à la suite de celle du premier.

§• 82. Abstraction faite de toutes les considérations étrangères à leur structure, considérations dont on a tenu compte dans les tableaux qui précèdent, on peut résumer tout le chapitre lY de la manière suivante :

TABLEAU

DES SEUIS YÉIUTABLBS ACCOEDS DE TROIS SONS.

1® Accord parfait majeur.

2o Accord parfait mineur.

30 Accord de tierce et quinte mineures (dit accord de quinte diminuée).

4<> Accord de tierce et quinte majeures (dit accord de quinte augmentée).

50 Accord de tierce majeure et quinte mineure.

6^ Accord de tierce mineure et quinte majeure.

Ce tableau comprend deux accords de plus qu'on n'en compte ordinairement dans la classe des accords de trois sons. Jusqu'ici ces accords ont été confondus parmi les agrégations purement contingentes auxquels on voudrait à tort attribuer une fonction harmonique plus élevée. Notre loi de structure des accords est venue les tirer de ce cahos, en démontrant d'une manière^ irréfragable qu'ils possèdent tous les caractères des véritables accords ^ caractères qui ne se retrouvent dans aucune des agr^tions dont la première tierce, à partir de la fondamentale, est ou augmentée ou diminuée.

Nous avons d'ailleurs fait remarquer §§. 51 et 53 que ces agré^

gâtions contingentes restent à la libre disposition du compositeur,

pourvu qu'il respecte la loi de la tonalité que l'on n'enfreint jamais

impunément.

Cloêsificaiion mathématique des accorda de trois sons,

(82)' Nous ayons dit y aa débat da chapitre IV , qu'an accord est complètement déterminé par la somme algébriqae de ses termes , parce qu'il est toujours possible de reconstruire les éléments de cette somme qui correspondent aux divers termes ou fonctions de l'accord. Il est évident, en effets que la somme algébrique dont nous parlons détermine complètement un accord , si aucun autre accord de la même classe (1) ne présente une somme identique. Mais, lorsque deux accords appartenant à une même classe , présentent cette identité dans la somme algébrique de leurs termes , il devient nécessaire de recourir à une autre fonction de leur fondamentale Xj pour les distinguer l'un de l'autre. Or, la fonction la plus convenable pour atteindre le but que l'on se propose f est celle qui résulte du produit des termes , produit qu'il est toujours possible de déduire de la somme donnée | en s'appuyant sur notre loi de structure des accords.

Si l'on se reporte au f. 41 , page 89, il semble quHl ne saurait y avoir que quatre accords de trois sods, puisqu'il n*y a que quatre couples de valeurs entières et positives de i et l' pouvant satisfaire à l'équation de condition : i + 1' = 3; et cependant il résulte évidemment des St- ^7 » 48 et 49 que l'agrégation de tierce mineure et quinte majeure (2), ainsi que celle de tierce majeure et quinte mineure ^ sont de viRrrABLES accords de trois sons.

Pour faire disparaître l'espèce de contradiction qui semble résulter du rapprochement des divers paragraphes cités , il suflBt de remarquer que les sommes r, (or) qui correspondent à taccord parfait majeur j et à V accord de tierce mineure et quinte majeure ^ sont identiques. (Voir les $$• 37 et 47.)

De même les sommes r, (x) qui correspondent à Paccord parfait mineur et à Fac^ cord de tierce majeure et quinte mineure, sont également identiques. (Voir les SS- 38 et 49).

Gela posé, et pour procéder avec ordre, occupon»-nous en premier lieu de la fonction de x commune à f accord parfait majeur (Ut Mi Sof)^ et à Paccord de tierce mineure et quinte majeure (^Ut Mi\f Solj^}, Cette fonctiou commune, résultant de la somme algébrique des termes , pour chacun de ces accords , est la suivante :

(1) Ghaqae classe d'accords est formée de tons ceux qui sont composés d*an même nombre de soos.

(3) Pour Doos coDformer aa langage reça, nous avons encore nommé quinte augmentée Hnlericrralle Ut Sol dièse dans le tableaa de la page iOi; mais désormais, conformément à ce qni a été dit dans la note de la page lil , nous nommerons cet intavalle quinte majeure.

et provient de l'hypothèse iit= 3 avec /= 2 et t' = if dans les formales générales • (A«) et (û«) du $. 35.

Or, que signifie l'hypothèse f=2 avec ^r=:i?

Rien autre chose, sinon que pour évaluer les termes de l'accord, à partir de sa fondamentale x , il faut le concours de deux tierces majeures et d'une seule tierce mineure , sans que rien indique laquelle de ces tierces doit précéder l'autre. Dès lors on comprend qu'il faut faire successivement les deux suppositions, c'est-à-dire qu'il faut tenir compte de l'ordre dans lequel ces tierces peuvent être rangées*

X étant la fondamentale de l'accord , on a: a:-|-4, et x-\-4 — Sy ou x-f** pour la tierce et la quinte de l'accord , dans la supposition que la première tierce est majeure.

Et dans celle que c'est la tierce mineure qui occupe cette place, on a : jp — 3, et ar-|-4+4ouar-f-8 pour la tierce et la quinte de l'accord , en évaluant ce» fonctions à partir de la fondamentale x.

Maintenant, si l'on désigne par F (x) le produit des termes dans la première supposition qui donne F accord par/ait majeur y on aura en effectuant ce produit:

De même , en désignant par /(x) le produit des termes du second accord , savoir de celui do tierce mineure et quinte majeure , on aura :

Les polynômes F (x) et/(x) caractérisent et séparent complètement les deux accords qui ont pour somme commune : 9, (x) =: 3x -|- 5.

On trouverait de la même manière que Vaccord parfait mineur et Vaccord de tierce majeure et quinte mineure qui ont pour somme commune : f , (x) =3x — 2 , sont caractérisés et complètement séparés , le premier par le polynôme :

Et le second par le polynôme : x* — %s^ — 24x.

On voit que ces deux derniers polynômes ne diffèrent, comme les deux précécédents, que par leurs troisièmes termes.

Il ne nous reste plus à considérer que Vaccord de tierce et quinte mineures , et Vaccord de tierce et quinte majeures; mais ces deux accords étant formés uniquement, le premier de tierces mineures , et le second de tierces majeures , la somme de leurs termçs qui est «p, (x) = 3x — 9 pour l'un, et 9, (x)= 3x -|- 12 pour l'autre, suffît pour le caractériser et les isoler complètement, en supposant toutefois que Ton sache que le nombre — 9 provient de l'hypothèse / = 0 , l' = 3 ; et que le nombre + 12 provient de l'hypothèse inverse / = 3 avec l' = 0 introduite successivement dans les formules générales des accords de trois sons : ^, (x)=: 3X + 4I — 3/', <-f-r' = 3.

Au moyen de cette connaissance, il est facile de construire, pour chacun de ces accords , le polynôme du troisième degré correspondant au produit de ses termes. Ce polynôme est :

X (x— 3) (x — 6) = X* — 9x^ -f- 1 8x pour Vaccord de tierce et quinte mineures , et X (x-f 4) (x 4- 8) =X* H-12x" -|- 32x pour Vaccord de tierce et quinte majeures.

En rapprochant les uns des autres les six polynômes que nous venons de construire , on a le tableau suivant :