FORMULE EMBRASSANT TOUS LES ACCORDS POSSIBLES

§. (282)". Les accords de treizième étant les derniers que nous ayons^k considérer dans le système musical actuel, nous profiterons de l'espace qui nous reste pour faire connaître la formule qui embrasse tous les accords de notre système , et même tous les accords possibles, dans les systèmes supérieurs auxquels l'être raisonnable peut s'élever graduellement , par le développement des facultés infinies qu'il tient de la bonté de son Créateur.

En représentant par x la fondamentale d'un accord quelconque ; par m le nombre des sons qui le composent; par T, Q, S, N, 0, 0, etc., les intervalles de tierce, de quinte, de septième, de neuvième, de onzième, de treizième, etc. , comptés à partir de la fondamentale sur l'échelle des quintes , on aura , en général , pour la fonction de X, F(j:), formée par le produit des quantités:

X, .r-|-T, aJ-f-Q, a^-]-S, x-f-N, x-\-0, x -\- Q , etc....

une expression de la forme :

ra m— 1 111—2 m— 3 m— A*

F (x) ^rz X -\- X ^ X -j- A^ X -{- As X -\- -f A x -\- ~\- A x.

Dans laquelle A, désigne la somme des quantités T, Q, S, N, etc

A 2 la somme de leurs produits 2 à 2, A, celle de leurs produits 3 à 3, A/i la somme de leurs produits // à /-i.

Quant aux valeurs des quantités T , Q, S, N, etc., elles sont déterminées dans chaque cas particulier en fonction des deux tierces majeure et mineure , par les formules :

T— 40— 30; Q 4k — 3k'; S — 4s— 3s'; N — 4n — 3n'; 0— 4w — 3w'; 0= 4t — 3t', etc.

avec les conditions lélcologiques suivantes, qui doivent cire satisfaites en nombres entiers positifs:

0-1-0' — l; k -{-k'= 2; s f s' = 3; n -}- n' — 4; w + «' = 5 , -r 4- T» — 6, etc....

4g4 LIVRE PREMIER.

En nous renfermant dans notre système musical actuel, la plus grande valeur attribuable à m est 7 ; c'est celle qui correspond aux accords de treizième. Dans ce cas, la formule ci-dessus prend la forme suivante :

Et les équations de condition: 0 -f 0' — 1 ; k + k' — 2 , elc, etc., n'admettent que les valeurs qui donnent aux intervalles correspondants l'étendue convenable

d'après le système actuel.

TM im

Ainsi pour: 0 + 6' — 1 , on a les deux couples: q, ~ ^ || g,^ ^ 1| qui donnent pour T, soit la tierce majeure (TM) , soit la tieree mineure (Tm).

QM Qj Qm

k = 2 11 k = 1 II k = 0 II De même pour: k + k' — 2, on a les trois couples: ,., ^ | j j,, ^ || ^, g ||

qui donnent pour Q soit la quinte majeure (QM) , soit la quinte Juste (Qj) , soit la

quinte mineure (Qm).

SM Sm Sd

\ o 1 . s = 2 11 s = 1 II s = 0 11

Pour : s + s' =: 3 , on doit employer les 3 couples . ^, ^ || g/— g || s' = 3 H

qui donnent pour S soit la septième majeure (SM) ; soit la septième mineure (Sm) ; soit enfin la septième diminuée (Sd).

L'hypothèse ^,^^ ^ Il doit être écartée, parce qu'une septième formée au moyen de trois tierces majeures, n'est autre chose que l'enharmonie (ut=r:si^).

La relation : n -f n' m 4 n'admet aussi que trois couples , qui correspondent aux

trois états de l'intervalle de neuvième ; ces couples sont :

NM Nm NA

n=:2||n = l||n=3l| n'=: 2 II n'=r 3 II n'=r:l 11

qui déterminent N, ou comme neuvième majeure (NM) ; ou comme neuvième mineure (Nm) ; ou enfin comme neuvième augmentée {^A). — L'hypothèse: ", H ^ 1 doit évidemment être rejetée dans notre système musical. Pour l'intervalle de onzième 0 , on a les trois couples : Oj OM Om

J=z5 11 0)'= 2 II 0)'= 4 qui correspondent à la onzième juste (Oj) , à la onzième majeure (OM) , et à la onzième mineure (Om).

Les hypothèses : Il ^/ ^ o 11 w'= 1 H «'= 5 N ^^^^^"^ évidemment être re-

jetées comme en dehors de notre système musical actuel.

Enfin, pour l'intervalle de treizième 0, deux couples seulement sont admissibles, savoir :

Cela tient à ce que l'intervalle de treizième n'étant autre chose que celui de sixte accru d'une octave , et cet intervalle (celui de sixte) , n'étant que le renversement de l'intervalle de tierce (lequel n'admet originairement que deux espèces , la tierce majeure et la tierce mineure , éléments primordiaux et opposés du système des accords) , on ne doit admettre non plus que deux espèces dans l'intervalle de treizième.

Au moyen des déterminations précédentes, on trouvera sans difficulté les formules générales qui correspondent aux diverses classes d'accords.

Par exemple , pour les accords de trois sons , on aura :

Pour les accords de quatre sons , la formul* générale qui les embrasse tous , sera :

Les formules correspondantes aux accords de 5 , de 6 et de 7 sons, quoique plus compliquées, ont la même forme et se déduisent de même de la formule générale donnée ci-dessus.

Pour donner au moins une vérification des formules (a) et (/î), posons : t = 2 avec t' = 1 ; 9 =: i avec 6'= O; et k =: 1 avec k' = 1 dans la première de ces formules , on aura pour la fonction d'x correspondante :

/j (x) = xî -h 5x2 + 4x = X (x + 4) (a: -}- 1) qui présente le produit des termes de l'accord parfait majeur. Comme on peut le voir, page 152, sous le paragraphe (82), et page 153 dans le tableau de classification). Posons de même , dans (/3), t := 3 avec t' = 3 ; 6=1 avec 9' = 0 ; k =r 1 avec k' m 1 ; s r^ 1 avec s' =: 2 , et la fonction d'x correspondante sera :

C'est-à-dire le polynôme qui résulte du produit des 4 termes de l'accord de septième dominante , comme on peut s'en assurer en se reportant page 185, au tableau de classification des accords formés par le concours de trois tierces majeures et de trois tierces mineures. Ces deux vérifications peuvent suffire.

§. 383. Au moyen du tableau général pour la structure des accords de treizième , donné ci-dessus, on peut découvrir tous les accords

(le cette classe soit naturels , soit mixtes , soit altérés , et former ainsi les diverses familles d'accords de treizième. Toutefois , quand on veut connaître que les seuls accords naturels et les accords mixtes, parmi lesquels se trouvent les accords-types des diverses familles, il est plus simple de considérer les échelles ascendantes des gammes majeure et mineure, en ayant soin de faire intervenir aussi l'échelle du second type du mode mineur, et d'échelonner six tierces au-dessus de chaque degré des susdites échelles ; le résultat de cette opération nous fera connaître les accords demandés.

En opérant de cette manière , on trouve onze accords-types , parmi lesquels sept accords, naturels et quatre accords mixtes. Ces accords typiques correspondent aux onze cas énumérés à la fm de la remarque précédente, voir §. (382)'. Yoici la nomenclature et le mode de construction des accords naturels et des accords mixtes de la présente classe, avec l'indication des degrés de la gamme auxquels ils correspondent :

ACCORDS NATURELS DE SEPT SONS. (Au UOmbrC dc SCpt.)

A. Accord de treizième majeure, avec onzième juste, neuvième et septième majeures, quinte juste et tierce majeure, (Mode majeur, 1" degré. — Formé par le concours de onze tierces majeures et de dix tierces mineures).

TM, Qj, SM, NM, Oj, ©M, Exemple : ut — mi — sol — si ré — fa — la.

B. Accord de treizième majeure , avec onzième juste , neuvième majeure, septième mineure, quinte juste et tierce mineure. (Mode majeur, 2" degré. — Formé par le concours de neuf tierces majeures et de douze tierces mineures :

Tm, Qj, Sm, NM, Oj, ©M. Exemple : ré — -—fa la ut mi sol si.

G. Accord de treizième mineure , avec onzième juste , neuvième et septième mineures, quinte juste et tierce mineure. (Mode majeur 3° degré.

— Formé par le concours de sept tierces majeures et de quatorze tierces mineures).

Tm, Oj, Sm, Nm, Oj , em.

Exemple : mi sol si ré fa la ut.

D. Accord de treizième majeure, avec onzième, neuvième et septième

majeures, quinte juste et tierce majeure. (Mode majeur, -4" degré. —

Formé par le concours de douze tierces majeures et de neuf tierces

mineures.)

TM, Qj, SM, NM, OM, gM.

Exemple : fa la ut mi sol si ré.

E. Accord de treizième majeure, avec onzième juste, neuvième majeure, septième mineure, quinte juste et tierce majeure, (Mode majeur, 5* degré. — Formé par le concours de dix tierces majeures et de onze tierces mineures.)

TM, Qj, Sm, NM, Oj, gM.

Exemple : sol si ré fa la ut mi.

F. Accord de treizième mineure, avec onzième juste, neuvième majeure, septième mineure, quinte juste et tierce mineure. (Mode majeur, 6^ degré. — Formé par le concours de huit tierces majeures et de treize tierces mineures).

Tm, Qj, Sm, NM, Oj , Gm.

Exemple : la ut mi sol si ré fa.

G. Accord de treizième mineure, avec onzième juste , neuvième, septième, quinte et tierce mineures. {Mode majeur, 7^ degré. — Formé par le concours de six tierces majeures et de quinze tierces mineures.)

Tm, Qm, Sm, Nm, Oj , Gm.

Exemple : si ré fa la ut mi sol.

ACCORDS MIXTES. (Au nombre de 14, parmi lesquels trois accords-lypes.)

A' Accord de treizième majeure , avec onzième et neuvième majeures . septième mineure , quinte juste et tierce majeure. (Mode mineur , 2* type, 4® degré. Accord conjugué avec l'accord naturel A, étant formé au moyen du concours de onze tierces majeures et de dix tierces mineures).

TM, Qj, Sm, NM, OM gM.

Exemple : ré fa^ la ut mi soli:^ si.

B'. Accord de treizième mineure avec onzième juste, neuvième et septième majeures j quinte juste et tierce mineure. (Mode mineur, 1" type, 1^"^ degré. — Accord conjugué avec l'accord naturel B, et formé, comme lui, au moyen de neuf tierces majeures associées à douze tierces mineures.

Tm, Qj, SM, mi, Oj, 0m.

Exemple ; la ut mi solj si^ ré fa.

— 3 -h4 -hA —3 —3 —3.

B". Accord de treizième mineure , avec onzième juste , neuvième majeure, septième mineure, quinte juste et tierce majeure. (Mode mineur, 2" type, 5^ degré. — Conjugué avec les accords B et B', et par conséquent formé comme eux au moyen de neuf tierces majeures associées à douze tierces mineures.)

TM, Qj, Sm, NM, Oj, em.

Exemple : mi sol^t si ré faj la ut

G'. Accord de treizième majeure , avec onzième juste , neuvième , septième, quinte et tierce mineures. Mode mineur, i"lype, 2^ degré. — Conjugué avec l'accord naturel C, comme étant formé par le concours de sept tierces majeures et de quatorze tierces mineures.)

Tm, Qm, Sm, Nm, Oj , gM.

Exemple : si ré fa la ut mi sol^it-

G". Accord de treizième mineure, avec onzième juste, neuvième majeure, septième , quinte et tierce mineures. (Mode mineur , 2® type , 6^ degré. Conjugué avec les accords G et G', et par conséquent formé au moyen de sept tierces majeures associées à quatorze tierces mineures).

Tm, Qm , Sm , INM, Oj, em.

Exemple : fa^ la ut mi — -sol^i si ré.

D'. Accord de treizième majeure avec onzième juste, neuvième^ septième, quinte et tierce majeures. (Mode mineur, 1" type, 6° degré. Conjugué avec l'accord naturel D , et par conséquent formé par le concours de douze tierces majeures et de neuf tierces mineures.)

TM, QM, SM, NM, Oj , eM. Exemple : ut mi sol|:j si ré fa la.

E'. Accord de treizième majeure, avec onzième et neuvième majeures,

septième mineure, quinte juste et tierce mineure. (Mode mineur, 1®"" type,

4^ degré. — Conjugué avec l'accord naturel E, et par conséquent

formé au moyen de dix tierces majeures associées à onze tierces

mineures.)

ïm, Qj, Sm, NM, OM , eM.

Exemple : ré fa la ut mi sol^ si.

E". Accord de treizième majeure, avec onzième juste, neuvième et

septième majeures, quinte juste et tierce mineure. Mode mineur , 2" type,

1" degré. — Conjugué avec les accords E et E', et par conséquent

formé au moyen de dix tierces majeures associées à onze tierces

mineures.)

Tm, Qj, SM, NM, 0 j , oM.

Exemple : la ut mi sol^ si ré fait-

F'. Accord de treizième mineure, avec onzième juste, neuvième et septième mineures, quinte juste et tierce majeure» (Mode mineur, 1"^ type, 5^ degré. — Conjugué avec l'accord naturel F, c'est— à-dire formé par le concours de huit tierces majeures et de treize tierces mineures.)

Exemple : mi solii si ré fa la ut

-hA —3 —3 —3 -hA —3

F". Accord de treizième majeure, avec onzième juste, neuvième et septième mineures, quinte juste et tierce mineure. (Mode mineur, 2^ type, 2^ degré. — Conjugué avec les accords F et F' , et par conséquent formé comme ces accords au moyen de huit tierces majeures associées à treize tierces mineures.)

Exemple : si ré faj la ut mi soli:^.

H. Accord de treizième majeure, avec onzième majeure, neuvième augmentée, septième majeure, quinte juste et tierce majeure. Accord-type, mode mineur, 1" type, 6*^ degré. — Formé par le concours de treize tierces majeures et de huit tierces mineures).

' H'. Accord de treizième majeure , avec onzième , neuvième , septième, quinte et tierce majeures. (Mode mineur, 2^ type, 3^ degré. — Conjugué avec le précédent.)

Exemple': ut mi sol^ si ré fa^ la.

1. Accord de treizième mineure, avec onzième et neuvième mineures, septième diminuée, quinte et tierce mineures. (Accord-type, dont le siège est la note sensible en mode mineur , 1" type. — Formé par le concours de quatre tierces majeures et de dix-sept tierces mineures.)

Exemple : sol|^ si ré fa la ut mi.

J. Accord de treizième mineure, avec onzième, neuvième, septième,

quinte 'et tierce mineures. (Accord-type, dont le siège est la note

sensible en mode mineur, 2" type. — Cet accord est formé par

le concours de cinq tierces majeures et de seize tierces mineures.

Tm, Qm, Sm, Nm, Om, era.

Exemple : solj si ré— faj la— ut— rai.