CHAPITRE IL

PARTICULARITÉS QUE PRÉSENTENT LES INTERVALLES LORSQU'ON LES ÉVALUE EN QUINTES.

§. 21. Nous ferons observer en premier lieu que tous les intervalles possibles entre deux sons d'une gamme diatonique majeure se trouvent dans la première colonne à gauche dans le tableau précédent, et que la seconde colonne donne leur évaluation en quintes.

Parmi ces intervalles , la quarte majeure , et son renversement la quinte mineure , embrassent l'une et l'autre six quintes , c'est-à-dire toute l'étendue de la gamme majeure (voir §. 45). De plus cet intervalle constitue notoirement le premier degré d'attraction. La résolution naturelle de cet intervalle attractif, connue d'ailleurs de tous les musiciens harmonistes, étant la suivante:

nous ferons remarquer avec Barbereau que, dans cette résolution, les deux sons Fa et Si font des mouvements égaux et en sens inverses sur l'échelle des quintes, la note Si rétrogradant de 5 quintes pour se résoudre sur Ul; et la note Fa au contraire avançant de la même quantité pour se résoudre sur la note Mi.

§. 22. Une seconde remarque qui n'aura sans doute pas échappé au lecteur, c'est que dans les colonnes 3 et  se trouvent tous les intervalles qui sortent des limites de la gamme majeure. Ce sont ceux que, d'après Choron et M. Fétis, nous avons caractérisé par répithète d'attraclifs dans le tableau de la page 54.

Le degré d'attraction, variable d'un intervalle à l'autre, est marqué, pour chacun d'eux, par sa mesure même. Mais il y a une limite à ces divers degrés d'attraction 5 ainsi, par exemple, l'intervalle qui constitue l'enharmonie , telle que la donnent douze quintes justes, est absolument inacceptable pour notre organe auditif; aussi ramène-t-on cet intervalle à Vunisson au moyen du leuipérament.

On peut maintenant comprendre pourquoi Barbereau assigne une étendue de 41 quintes, et pas davantage, à la gamme chromatique. (Voir §. 14.)

C'est qu'en prenant une quinte de plus à partir du Fa vers la droite , on rencontre le Mi qui enliarmoniquement reproduit le Fa, ce qui fait un double emploi en employant le tempérament , et constitue, au contraire, un intervalle fauœ si l'on ne tempère point.

§. 23. On peut résumer ce qui précède dans les trois points principaux suivants : 1° que 6 quintes embrassent toute l'étendue de la gamme majeure diatonique , et que c'est à ce point (6 quintes) que se manifeste le premier degré d'attraction entre deux sons. 2° Que la gamme chromatique embrasse 11 quintes. 3° Que 12 quintes donnent Venharmonie qui se ramène à l'unisson au moyen du tempérament.

§. 24. Il est à peine nécessaire de faire remarquer que la question de la grandeur des deux espèces de demi-tons, question résolue en sens inverses par les acous.ticiens et les musiciens , se trouve actuellement et définitivement résolue en faveur de ces derniers , puisque le demi-ton diatonique a pour mesure 5 quintes , et que le demi-ton chromatique en demande 7.

§. 25. De la mesure môme du demi-ton chromatique on peut conclure que pour diéser une note, il faut ajouter 7 au chiffre qui lui correspond dans le tableau des quintes ; et que pour la bémoliser , il faut retrancher 7 de ce chiffre.

Comparaison entre l'évaluation des intervalles en quintes , et leur évaluation en demi-tons moyens.

§. 26. Nous avons dit, §. 17, que la quinte tempérée selon le tempérament égal et le demi-ton moyen, jouissent tous deux de la propriété de diviser l'octave en douze parties égales ; il résulte de là qu'il y a beaucoup d'analogie entre les modes d'évaluation des intervalles fondés sur ces deux mesures.

D'une part, c'est la quinte qui est représentée par l'unité; d'autre part, c'est le demi-ton moyen qui a cette détermination. Or, si l'on compare les mesures des intervalles selon ces deux modes différents, on trouve : 1" que le ton, ou seconde majeure, se forme

de deux demi-ions moyens, comme : Ut Ul^ Ré, et aussi de deux

quintes, comme: Ut Sol Ré.

T Que la tierce majeure est formée de quatre demi-tons moyens, comme: Ut—-UL'^__Ré.Ré'^__Mi; et aussi de quatre quintes,

comme : Ut Sol Ré La Mi.

3" Que la tierce mineure est formée de trois demi-tons moyens . comme : Ut---Réb-—Ré^ — Mi\) , et aussi de trois quintes descendantes, comme: Ut Fa ^ib Mib.

L'analogie est rompue pour la quarte qui embrasse 5 demi-tons moyens , et ne donne qu'une seule quinte négative (c'est-à-dire prise à gauche du point de départ sur l'échelle générale); elle l'est encore à l'égard de la quinte qui , exprimée par i dans le nouveau mode d'évaluation , l'est par 7 en demi-tons moyens. Mais elle subsiste pour tous les autres intervalles ; par exemple: la quinte augmentée est composée de 8 demi-tons moyens et aussi de 8 quintes; la sixte augmentée contient 10 unités de l'une ou de l'autre espèce; enfin, ainsi que nous l'avons dit en commençant ce chapitre, la quinte moyenne et le demi-ton moyen partagent l'octave en 12 parties égales; mais il est nécessaire de procéder alternativement par quintes ascendantes et quartes descendantes, ou vice versa, afin de rester dans une même octave.

Les relations principales entre les deux modes d'évaluation se trouvent résumées dans les figures suivantes :

Fig. 8.

1 3 3 4 5 6 7 8 9 10 li 12

Ff-^^ï77->^^ '^ *'/$

Wlfo^ ^ ^o

:trz

itzz:

îê

rj : o

izz:

Première Remarque. Dans le paragraphe qu'on vient de lire, le demi-ion diatonique est supposé identiquement égal au demi-ton chromatique ; car c'est cette identification qui constitue le demi-ton moyen. Pour exprimer graphiquement cette circonstance, il eut fallu, à la rigueur, employer une notation spéciale; nous avons toutefois cru devoir , pour plus de simplicité , conserver le mode ordinaire de représentation qui, moyennant la présente remarque, ne peut donner lieu à aucune méprise.

Seconde Remarque. Pour évaluer en demi-tons moyens une série quelconque formée de quintes et de quartes , il suffit de considérer l'équation suivante :

% 1 X •\- h y = z (a) dans laquelle x représente un certain nombre de quintes , y un certain nombre de quartes, et z le nombre de demi-tons moyens qui résulte de leur association. En prenant pour x et /des nombres entiers de mêmes signes, on exprimera que les quintes et les quartes doivent se prendre dans le même sens ; en attribuant au contraire à a? et à j des signes opposés, on exprimera qpie les quintes et les quartes doivent se prendre en sens inverses. La valeur positive ou négative qui en résultera pour z indiquera le sens des demi-tons moyens; par exemple, on peut convenir que le signe -|- indiquera toujours le sens ascendant , et le signe — le sens descendant.

Si dans l'équation («) on pose a:=j = l, il vient z=i2; ce qui signifie qu'au moyen d'une quinte et d'une quarte ascendantes toutes deux, on forme 12 demitons moyens, c'est-à-dire l'octave. Ce qui est évident; exemple:

zm

Soit a; = 1 avec 7 = — 1, on a: 5 = 2, ce qui donne la seconde majeure ascendante, qui se forme de deux demi-tons moyens ou d'une quinte ascendante suivie

d'une quarte descendante

~rr

En posant x = — 1 avec/ = 2, on a: 5=3; ce qui correspond à la tierce mi-

neure ascendante , qui se forme de trois demi-tons moyens ou de deux quartes ascendantes combinées avec une quinte descendante, comme:

tierce mineure

Toutefois l'équation (a) est beaucoup trop générale puisqu'elle embrasse toutes les séries possibles de quintes et de quartes régulières ou irrégulières , dont elle donne toujours l'évaluation rigoureuse en demi-tons moyens. Pour en limiter les solutions aux seules séries régulières formées de quintes et de quartes alternativement ascendantes et descendantes , il faut la combiner avec l'une des trois relations suivantes :

La relation (l) combinée avec (a) donne :

Ix — ^x=lz ou 2x = z ce qui correspond à un nombre pair de demi-tons moyens formé d'un même nombre de quintes ascendantes et de quartes descendantes, ou vice versa, ce qui est précisément le cas dés séries (a) (b) (c) («?) de la fig. 8.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce sujet, le lecteur pouvant facilement résoudre lui-même toute question du même genre , au moyen des indications que nous venons de donner.

Troisième Remarque. On pourrait représenter géométriquement la quinte moyenne et le demi-ton moyen, respectivement par des arcs de cercle de 30 et de 210 degrés qui , sur un cercle divisé en 360 parties , sont soustendus par les côtés des deux duodécagones réguliers inscrits l'un convexe et l'autre étoile , la quarte correspondrait à l'arc de 150 degrés qui, avec celui de 210, forme le cercle entier représentant l'octave. (Voir la note II à la fin de l'ouvrage).