DOUBLEMENT

Le tuyau contient plus d’une longueur d’onde directe.

Lorsque le tuyau parle au son fondamental, si on diminue la longueur de la languette, ce qui a pour effet d’augmenter le nombre des vibrations, le son, avons-nous vu, monte d’abord un peu, puis disparaît quoique le courant d’air ne cesse pas de passer, puis reparaît à une hauteur plus grande, disparaît à nouveau et parcourt ainsi une série de phases d’extinctions et de réappa-

ririons ascendantes, quand on persiste à accroître la fréquence des vibrations.

En voici la raison. L augmentation du nombre des vibrations raccourcit 1 onde dans le rapport V : N. La distance interpolaire doit donc diminuer suivant le même rapport, quoique l’indice ne varie pas.

Les obstacles à la génération du son, que nous avons déjà montre devoir se produire en pareil cas, se développent donc et, quand ils ont acquis une puissance mécanique égale à celle de la transformation de tension en vitesse, l’intensité de la vibration est réduite à zéro.

Au moment ou s eteint le son, les variations de tension se trouvent donc compensées.

Cette compensation réagit sur le mouvement de la languette, puisque les oscillations de celle-ci ne peuvent être entretenues que par des différences alternatives de pression sur sa surface interne, égales à la réaction de son élasticité sur la force qu’applique A sa surface externe la puissance mécanique du courant d’air.

Le courant d airjie cessera pas pour cela de passer, car n’étant plus influencée, 1 élasticité delà languette la tiendra éloignée du canal de 1 anche dans la mesure de sa courbure.

Le raccourcissement ne peut diminuer la longueur d’onde en accélérant les vibrations s’il n’augmente proportionnellement la force élastique de la languette.

Si le raccourcissement continue, il arrivera un moment où les causes de compensation n équilibreront plus l’accroissement de cette force. La puissance mécanique du courant d’air reprendra alors son efficacité sur la face externe de la languette, et le jeu de celle-ci se rétablira, engendrant d’après le nombre des vibrations

une onde nouvelle

Néanmoins pour qu’il en puisse être parfaitement ainsi, il faut, tout comme pour la génération du son fondamental, que la tranche ventrale extrême de l’onde occupe exactement l’extrémité du tuyau opposée a 1 anche. L onde nouvelle étant plus courte que l’onde fondamentale, cela n’arrivera que si le coefficient m exprimant le nombre de distances interpolaires de l’onde nouvelle

nécessaire pour former la longueur du tuyau est un nombre entier.

On a ainsi T = Lm.

Mais

Si donc, afin de la distinguer de Tonde O du ton fondamental nous appelons O Tonde du ton de doublement, il y a :

Toutefois, bien que toujours fonction de la réflexion pariétale, la valeur I se modifie dans le cas qui nous occupe.

En considérant la façon dont la distance interpolaire de Tonde inverse du ton fondamental s’établit à l’intérieur du tuyau, nous avons vu que c’est simplement d’après l’indice ; dans le cas

. Cela provient de ce que le mouvement vibratoire

se présente déjà tout formé à l’entrée du tuyau.

Pour le doublement, il n’en est pas ainsi : avant de s’y propager, le mouvement vibratoire doit se former à l’intérieur même du tuyau.

Afin de nous rendre compte plus clairement de ce qui se passe, détachons par la pensée du tuyau entier T un tronçon t, pris du côté de Tanche.

A son extrémité opposée à Tanche le diamètre d de ce tronçon sera nécessairement :

L’indice propre i du tronçon sera donc :

soit

D’où l’inégalité :

Si ce tronçon, considéré comme tuyau indépendant, devait parler au son fondamental à lui propre, la distance interpolaire y serait :

Supposons qu’il en soit ainsi, et réunissons le tronçon t au reste du tuyau T.

L onde formée en t tendrait d abord à se propager dans tout le tuyau T ainsi reconstitué, par une série de distances interpolaires dont chacune serait

Mais au moment même de la reconstitution de T, l’indice propre I de ce tuyau entier reprendrait son action, et l’onde tendrait à s’y former et à s’y propager avec la distance interpo-

laire y.

De cet antagonisme il résulte que la distance interpolaire se forme et se propage conformément à la moyenne des indices propres du tronçon et du tuyau entier, soit :

et comme - doit égaler L,

La longueur du tuyau entier sera donc :

Remarquons qu’en réalité, cette formule est identique à celle mesurant le tuyau parlant au son fondamental, car, si on prend

m nr i,

d - D’ + et conséquemment :

i = I et T =

En somme doftc 1 onde du ton de doublement égale toujours une partie aliquote du tuyau, prise du côté de Tanche et multipliée par la moyenne des indices propres de cette partie et du tuyau entier.

Quand le tuyau T double, il contient donc, à partir du bout de 1 anche, d abord le tronçon t égalant —, occupé par une distance interpolaire primaire, comme telle comprise entre un

nœud et un ventre, puis un ou plusieurs autres tronçons — oc-

cupés chacun par une distance conséquente, comprise entre deux ventres, avec formation par l’opposition de ces deux ventres d un nœud dans sa partie moyenne. Il y a donc, sur toute la longueur de T la succession nœud ventre, nœud ventre et ainsi de suite, nécessaire à la formation du son, avec ventre à l’extrémité de T opposée à l’anche.

On voit que le mode de propagation de l’onde directe de doublement à l’intérieur du tuyau est tout à tait analogue au mode de propagation de l’onde inverse au son fondamental, et ne présente que ces deux différences : la longueur L des distances interpolaires et conséquentes n’est pas déterminée par I seul,

mais par la moyenne --- , et L est toujours partie aliquote

de T.

Reste ;\ examiner l’influence de l’onde inverse dans le doublement.

Pour le faire plus commodément, appelons indice composé

et désignons par J la moyenne- * —

Tout comme lors de l'émission du son fondamental, il y aura onde inverse se propageant dans le tuyau par distances interpolaires et conséquentes-^^—--,- soit

Mais les distance interpolaire et conséquentes directes n’étant plus représentées par une expression fractionnaire de même

dénominateur, puisqu’elles sont -y-, l’interférence sur la tranche initiale de l’onde directe pourra se produire pour divers doublements, à raison de la valeur diverse de m dans — j— : j, - .

Dès lors le son de hauteur tonale propre au doublement, amenant interférence, ne pourra s’engendrer, et le tuyau ne recommencera à parler que par constitution d’un rapport

— ; —p— sans interférence dans un doublement supérieur.

C’est là l’obstacle possible à l’extrémité nodale du tuyau, mais en outre, dans le doublement comme dans l’émission du son fondamental, les mêmes obtades que nous avons exposés en traitant de cette dernière peuvent se développer à l’extrémité ventrale. De là résultent les phases semblables qu’on observe, d’amortissement progressif et d’embarras avant la disparition et d’accroissement jusqu’au point normal à la réapparition du son.

Voici maintenant deux phénomènes propres au doublement :

A mêmes diamètres D et D’ la masse d’air en vibration est plus considérable, pour un même ton, dans le tuyau qui double que dans le tuyau parlant au son fondamental. Le son en devient

plus plein.

A mêmes diamètres D et D’ et pour un même ton, le degré d’inclinaison de la paroi sur l’axe est moindre dans le tuyau qui double que dans le tuyau parlant au son fondamental. L’éclat

du timbre en est diminué.

Il faut encore noter ceci :

A mesure qu’augmente le degré du doublement, la longueur de la partie vibrante et par conséquent l’ouverture formée parla levée de la languette diminuent. Pendant la durée de chaque vibration, il ne pénètre donc dans le tuyau qu’une quantité d’air moindre relativement à cette durée. Cette diminution n’influe pas sur la constitution de la distance interpolaire et laisse donc

également intacte 1 expression T = j y . Mais, en revanche, l’intensité du son diminue à chaque doublement nouveau, de façon que pour l’empêcher de décroître il faut augmenter la pression de la soufflerie, afin de faire passer, dans un même

temps, une quantité d air suffisante par un orifice de moindre dimension.

Ici encore l’expérience est venue confirmer l’exactitude de la théorie.

Un tuyau long d’un mètre et ayant I = ^ a donné sensiblement les doublements suivants, correspondant aux longueurs d onde calculées d après les valeurs de m et des indices complexes respectifs.

m = 3 . O zz 0,3819

m — 4 . O zz 0,2937

111 — 5. O zz 0,2395

O11 a ensuite mis en expérience un tuyau long également d’un

mètre, mais ayant l’indice beaucoup plus fort I zz - 4 .

Les longueurs d’onde des doublements successifs, obtenus au nombre de quatre seulement, ont été :

O zz o ra 7o83 O — o, 4888 O ~ 0,3047 O =0,2444

Si on vérifie par quel m a lieu la division de la longueur du tuyau pour ses doublements, 011 trouve :

o ra 7o83. m = 2

Le doublement correspondant à m zz 4, et pour lequel le calcul indique O zz o'”375o, n’est donc pas apparu.

Voici ce qu’on découvre en recherchant la cause de cette lacune.

L’indice inverse I’ ^soit du tuyau entier est I’ zz 4.

La longueur des distances interpolaire et conséquentes

déterminée par cet indice est :

o ra 375°

zz o ra 09375

Dix de ces distances font o m 9375.

Le tuyau ayant un mètre de long, présente la différence en excès i m oooo — o m 9375 = o ra oé25.

A cette distance o m o625 de la tranche d’origine, prendrait donc naissance une onzième distance, laquelle serait conséquente inverse et, comme telle, comprise entre deux noeuds.

Remarquons que, dans une distance conséquente quelconque, la place du ventre, si cette distance est située entre deux nœuds, la place du nœud, si la distance est située entre deux ventres, se trouve au point de contact de deux fractions e et e’ de la distance, respectivement proportionnelles au diamètre sur lequel chacune d’elles prend naissance à l’une des extrémités. Il en est ainsi, parce que chacune d’elles est proportionnelle à la distance interpolaire de l’onde directe et de l’onde inverse d’un tuyau dont la longueur égalerait leur somme.

On a donc e : e’ : :

d’où e : e’

Ramenons les diamètres terminaux du tuyau entier à D — 3

et D’ = 1, ce qui est conforme à I =

A o m o625 de son extrémité nodale, le tuyau aurait pour dia¬

mètre 1,125.

Si, conservant toujours la même inclinaison de paroi, le tuyau était prolongé de o m 03i25 pour pouvoir entièrement renfermer dans son intérieur la onzième distance (dixième conséquente) inverse, il acquerrait i m 03i25 de longueur et le diamètre D’ de son petit bout deviendrait o, 9375.

La partie e de la distance o m 09375 prenant naissance sur le diamètre D égal à 1,125 est d’après ce qui a été démontré tout à l’heure :

= 0-09375 X i.»5__ = 0 . no5II3

Le ventre de la onzième distance inverse qui nous occupe tombe donc à o m 09375 X 10 + 0 m 05 ii 3 , soit à o m 98863 de l’extrémité du tuyau opposée à l’anche; donc aussi à i ro ooooo — o™98863, c’est-à-dire à o ra oti37 seulement de l’extrémité

nodale. Là se trouve une tranche sur laquelle le potentiel de tension n’a encore perdu que ou o,r 20 environ de

sa valeur. Le degré d’interférence est donc ~~ et, dans des

conditions aussi défavorables, le doublement par m = 4 ne peut se produire. ^ p

Une lacune analogue se rencontre sur le tuyau long d’un mètre, avec indice I = J-. L e doublement par m = 5, dont

1 onde serait O = 2 66,666, n’y apparaît pas, et le ton saute du doublement par m 4 au doublement par m = 6. En vérifiant on trouve pour le doublement par m = 5 un (J e g rt ç d’interférence de - 33 — .

Dans les recherches expérimentales, il importe d’étre attentif à ces lacunes provenant d’interférences, afin de ne pas être induit'

en erreur par d’apparentes anomalies dans la succession des tons de doublement.

Pout les expenences concernant les doublements, encore plus que pour celles relatives au son fondamental, il convient de se servir, non pas d’un seul tuyau dont on ferait varier le ton parle déplacement de la rasette, mais d’un nombre de tuyaux é<> il \ celui des divers sons qu’on veut étudier. Pour toute la série° des doublements dérivant d’un même indice I, ces tuyaux, bien entendu, doivent être exactement égaux de longueur et avoir exactement aussi les mêmes diamètres terminaux D et D’ Ils doivent en un mot, être construits avec beaucoup de soin, parce que 1 indice propre du tronçon formé du côté de l’anche par la division du tuyau en parties aliquotes étant la plupart du temps très fort la moindre irrégularité dans les diamètres vicie sensiblement les

Mais, si les différents tuyaux d’une même série doivent être b.en égaux de longueur et de diamètres terminaux, il importe et c est là le principal motif qui rend nécessaire l’emploi d’un tuyau spécial pour chaque doublement, que chacun des tuyaux soit régulièrement anché et surtout langueyé en vue du ton

qu’il doit rendre, c’est-à-dire, autant que faire se peut, comme un tuyau destiné à rendre le môme ton en son fondamental.

En voici les raisons :

D’abord, quand on baisse la rasette pour foire doubler, la languette tend à se fermer, ce qui, indépendamment de la réduction déjà signalée du passage de l’air, rend la levée de la languette trop faible relativement à son élasticité et, par là, comme disent les facteurs, le tuyau trop prompt à parler. Pour obtenir une bonne émission de son, il fout un peu cambrer la partie vibrante, ce qui tourmente la courbure générale de la languette et la dérange pour le cas qu’on voulût revenir en arrière.

En second lieu, si l’épaisseur de la languette est bonne quand celle-ci vibre dans son entier, elle devient trop forte pour une partie très réduite par le raccourcissement, et cette dernière prend trop de raideur pour que le vent la mette aisément en mouvement.

Troisièmement, par l’effet du raccourcissement, la largeur de la partie vibrante devient de plus en plus grande relativement à sa longueur, ce qui rend cette partie très sujette à gauchir dans le sens transversal, irrégularité extrêmement préjudiciable à la formation du son.

Pour maintenir la grosseur de l’anche plus en rapport avec celle du petit bout du corps, il n’y a d’ailleurs aucun inconvénient à la laisser plus cylindrique à mesure qu’on construit le tuyau pour un ton plus élevé, c’est-à-dire à n’enlever qu’une bande moins large dans le sens de la longueur de la paroi, pour former l’ouverture convenable à l’application d’une languette de plus en plus étroite, dont on règle alors la levée et la courbure avec facilité.

Enfin, lorsque la rasette descend à une certaine distance du coin qui maintient la languette dans le noyau, il est difficile que la partie inactive de la languette, comprise entre le coin et le crochet, continue à fermer hermétiquement. Or rien n’est plus pernicieux pour la régularité des résultats qu’une infiltration d’air immédiatement au dessus de la partie vibrante, car cette infiltration y trouble nécessairement le potentiel de tension.

Aussi, pour parer à celle qui, indépendamment de ce qui concerne la languette, pourrait se produire et, de fait, se produit assez souvent entre la paroi de l’anche ou les côtés du coin et

la paroi intérieure du noyau, ai-je coutume d’employer un peu de cire, que j’étends et fais pénétrer au moyen d’une aiguille à tricot un peu chaude.

Sans toutes ces précautions, on s’expose à de l’irrégularité dans le résultat des expériences.

Ajoutons, en terminant, que, dans la pratique, pour les doublements comme pour le ton fondamental, le facteur d’orgues se sert fréquemment d’un petit excès de longueur qu’il laisse au tuyau, afin de modifier son gré le timbre du son. Il a même une certaine latitude à cet égard, car dans bien des cas, surtout pour les premiers doublements, plus espacés entre eux, le ton normal se produit assez largement avant l’instant ou le tuyau cesse de parler pour sauter à un doublement plus élevé.