SO M

trique au temps o des particules n'ayant pas encore rencontré une paroi au bout du temps t; nous l'appellerons ‘volume non - sédimenté"..

La fraction sédimentée est alors f = 1 - —<— et le problème se réduit à calculer v en fonction du temps.

Faisons momen tanément abstraction du tube et prenons trois plans parallèles verticaux Pis Le et pe Pr con» tient l'axe 00!, les distances de Rae ne à P, sont respectivement x et y, liées par l'équation |

sut xe

Figure 5 (coupe horizontale).

Ces trois plans partagent toute droite en segments propor-

tionnels,

Ê — = STE ne ‘= 1. 0

Par conséquent, toutes les particules situées au temps o dans le plan P. seront au temps t dans le plan P. Inversement, toute particule situéc au tomps t dans lo plan P so trouvait au tomps o dans 1c plan P..

Reprenons alors le volume V.

Le plan P. découpe V suivant un cercle S,. Les trajectoires contenues*à l'intérieur du cercle S aécbupent dans le plan P, une surface S.. Cette surface Sy (Hachurée sur figurc $) est le lieu géométrique des particules non sédimentées du plan PL ‘

Or, à chaque valeur de x correspond une valeur de y,

donc de Sy et de Se Se o86t ainsi Uno fonction de x. Lo volume

v est engendré par cette surfaco Sx lorsque x varie de la Va— leur B à la distance critique X pour laquelle 0; étant la distance à l'axe 00! d'un plan vertical tel que les parti- CULES QUE il Contient au temps o seraient dans le plan À (plan vertical tangent au volume V) au tomps t, sa valeur nous sera donnée. par intégration de l'équation 6 :

o Dame lon D en ne 0 ee X

Prenons maintenant deux plans horizontaux H et H!, "H'contenant l'axe do révolution OA coupe le cercle S sut Yant un segment de longueur 2 c, H! situé à la distando ver- ‘ticale h de H (o < h < c) coupe 1e cercle Sy suivant une corde de longueur 2u et la surface & Suivant un segment de longucur 2: (figure B ) |

Les relations suivantes sont immédiates:

He naeshelior te

ra da W

et w apparaît comme fonction à la fois de x ot de h. 8, est engondreé par 10 sogmont 2w quand h varie -ce à +c,

D'où: + SURE Sri X +0 DES. à V = CR 2wdahâx r+ B -c

Si maîintenant nous figurons (figure 7 }) le coroiceSs Se ses intersections par lés plans H ot H!, La valour dë u (demi-cordc) est

U = DR h

et la valcour do w

Figure 7, & +c ) d'où: s, =f 2#+ ÿe° -n° an UC

cxpreossion qui, après intégration, conduit à l'équation 10

ni Cdt à 2: mes (10)

Ainsi, quelle que soit la forme du volume de révolution.V,, La sûurlace 5, est, toujours donnée par l'équation 10 *, et v par l'expressiofi générale

f c‘ax (11)

X est fonction uniquement de t (équation Bis c est une fonction de x qui ne dépend que de la forme du tube, ; : F V

Le calcul de la fraction sédimentée f = 1 - —— nécessite également la connaissance de Vs l'équation ph n'est aisément soluble que dans le cas où V est un volume régulier: cylindrique, conique, sphérique, ellipsoïdal, V est alors