DALLES

1° ON SUPPOSE QUE, PAR SUITE D'UNE SOLIDARITÉ COMPLÈTE ENTRE LE FER ET LE CIMENT, LES DEUX MATIÈRES S'ALLONGENT ÉGALEMENT.

Dans la pratique, semble-t-il, le ciment ne doit être soumis qu'à des tensions assez modérées pour que son élasticité n'en soit pas modifiée. Il doit donc y avoir, non seulement adhérence entre le fer et le ciment, mais cohésion du ciment dans toutes ses parties, et les deux substances doivent subir le même allongement. S'il en est ainsi, les efforts de tension subis par chaque substance dans la région où elle travaille le plus, c'est-à-dire à sa partie inférieure, sont proportionnels à leurs coefficients d'élasticité :

Dans ces conditions, le fer doit travailler comme une masse de

{\) La Construction moderne, n°* du 30 décembre 1893 au 1 er décembre 1894.

ciment placée à la même hauteur que lui, mais dont la section C serait à la sienne F dans un rapport inverse à celui des efforts de tension, ou, d'après l'égalité ci-dessus, à celui des coefficients d'élasticité :

Ainsi, une poutre de ciment, de section rectangulaire ABCD, avec barreaux de fer à la partie inférieure, sera équivalente à une poutre de ciment non armé, de section kefCDhgB (fig. 53). De même pour avoir l'équivalent en ciment d'une poutre armée en forme d'U (fig. 53 bis), on la ramènera d'abord à la forme de T simple, ABCEFD, en rapprochant les parties verticales, et on ajoutera les parties «A, cB,gh, ij, d'après la sectionnes barreaux correspondants; on obtiendra le profil abCghEFjiDdc. Aux nouvelles sections ainsi déter-

aH Bç.

Fig. 53.

Fig. 53 bis.

minées, il n'y aura plus qu'à appliquer les formules ordinaires de la résistance des matériaux.

Mais l'emploi de cette méthode exige la connaissance des coefficients d'élasticité du fer et du mortier de ciment. Si celui du fer est fixe et connu (20 X 10 9 ), le second varie dans des limites très étendues, avec l'origine des ciments, la composition, l'âge des mortiers, en sorte qu'il faudrait, pour bien faire, déterminer, dans chaque cas, le coefficient propre au mortier employé. Comme on ne peut y songer, on est obligé de se contenter, dans la pratique, d'une valeur moyenne de ce coefficient.

Pour des mortiers au dosage de 1 de ciment pour 4 de sable en poids, gâchés depuis six mois, et conservés à l'air, cette valeur, déduite, par M. Durand-Claye, d'essais à la compression, s'est trouvée égale à 0,54 X 10 9 pour un ciment de la Porte de France et à 0,97 X 10 9 pour un ciment Portland de Boulogne; elle s'est élevée

à 2,40 X 10 9 pour un mortier de ciment Portland, au dosage de 1 de ciment pour 2 de sable, gâché depuis deux mois et essayé à la flexion. Dans des conditions à peu près identiques, M. Coignet a trouvé les valeurs 0,94 X 10 9 et 2,76 X 10 9 en employant du Portland de Boulogne. Pour des mortiers jeunes, au dosage de 1 sur 3 en vo-

lume, le rapport =r serait donc de 20 pour le Portland et de 40

pour le ciment Porte de France.

M. Planât a comparé les résultats donnés par le calcul, dans l'hypothèse en question, à ceux des essais que nous avons décrits. Il a été amené à conclure que cette hypotèse n'a que peu de chances d'être exacte. Elle conduit, en effet, à admettre que le mortier travaille à plus de 40 kilogr. par centimètre carré, au moment de la rupture et à plus de 35 kilogr. à la limite d'élasticité; c'est en contradiction avec les faits.

Cependant, avant de la rejeter, M. Planât a cherché si on ne pourrait pas expliquer l'anomalie ci-dessus par Tune des deux hypothèses qui suivent :

A. — L'expansion du ciment pendant la prise produit une fraction du fer et une compression du mortier avoistnant, qui augmentent la résistance du premier à la flexion.

D'après des expériences, faites par M. Bonnami et décrites dans le Génie Civil (1), pendant et après la prise du ciment, un travail moléculaire « dû au foisonnement de la chaux provenant de la décomposition lente des sels trop basiques » , se produit dans la masse , qui a pour conséquence d'augmenter son volume et de diminuer progressivement sa résistance à la traction.

Quand le ciment est armé, aussitôt que la prise a rendu le mortier ou le ciment adhérents au fer, celui-ci est sollicité à suivre le mouvement de dilatation en question. Mais, son coefficient d'élasticité étant beaucoup plus faible que celui du ciment, siège de l'expansion signalée, il ne peut s'allonger à la demande de celui-ci, et, tout en étant tiré par lui, il le retient en partie. L'effet est le même que si le ciment était comprimé par un tirant. Cet effet est double : il se produit une compression longitudinale du ciment et une flexion de la pièce (dont le moment est le produit de la tension sur le fer par

(1) Voirie Génie Civil, t. XVI, n°2, p. 38.

son bras de levier, c'est-à-dire par la distance du barreau au centre de la section), qui tend à faire bomber la pièce sur le haut, en sens inverse de la tension que produira plus tard la charge. Ainsi la pièce est comprimée fortement à la partie inférieure et tendue à la partie supérieure.

Lors donc qu'on la mettra en charge, la flexion, pour se produire sur le bas, devra commencer à annuler les effets de la contre-flexion et de la compression initiales. Ce n'est qu'au bout d'un certain temps et sous une charge déjà assez forte, que la tension de la partie supérieure deviendra compression, ce qui sera sans inconvénient, et que la compression de la partie inférieure deviendra à son tour tension. Mais cette tension finale se trouvera réduite de toute la compression initiale de cette partie. Dans ces conditions, ne serait-il pas possible que les efforts de flexion réellement subis par le ciment ne dépassent pas les limites connues pour la résistance de ce dernier?

En cherchant à concilier ainsi les faits observés et le calcul, on est conduit à admettre pour la valeur de la compression et de la tension préexistantes, des quantités très différentes les unes des autres, ce qui est assez inexplicable. En outre, il paraît démontré que, si l'expansion signalée par M. Bonnami se produit souvent, le phénomène inverse se produit aussi parfois. Il ne semble donc pas que l'hypothèse supplémentaire en question réponde à la réalité des faits. Passons à la seconde.

B. — Le ciment 9 dans les pièces armées, résiste mieux à l'extension que dans les pièces sans ossature métallique.

La chose ne serait pas impossible, car, dans les pièces armées, les barreaux longitudinaux et transversaux découpent la masse en une série de prismes, maintenus chacun sur quatre faces. Les déformations des fibres longitudinales et des sections transversales ne peuvent donc plus se produire avec la même facilité ; or ce sont elles qui accélèrent la rupture. Mais, pour se prononcer sur la valeur dt cette hypothèse, il faudrait avoir recours à des expériences qui, pour le moment, font défaut. Souhaitons qu'on les fasse un jour (1).

Abandonnons donc l'hypothèse de la solidarité absolue du fer et

(1) Le vœu formulé en 1893 par M. Planât a été, en partie au moins, entendu par la Société pour les constructions en ciment armé, par M. Considère et M. Christophe. Mais les conclusions de M. Christophe — nous l'avons dit en décrivant ces diverses expériences — paraissent en désaccord avec celles de M. Considère.

du ciment, qui nous conduirait à admettre, pour la résistance du ciment à la tension, une valeur au moins double de sa résistance ordinaire.

2° on suppose qu'il n'existe entre le fer et le ciment qu'une solidarité incomplète.

Sous un effort un peu considérable, le ciment, à la partie inférieure de la pièce infléchie, se désagrège. Le barreau de fer, pris dans cette masse . désagrégée, reste protégé par elle; mais il n'en est solidaire qu'à ses extrémités. IJ n'a dès lors plus besoin de s'allonger dans les. mêmes proportions que le ciment : il se comporte comme un tirant encastré aux deux bouts.

M. Planât, par des calculs que nous ne pouvons reproduire, a trouvé que, pour une charge assez forte, les choses semblaient bien se passer de la sorte.

Si la charge augmente encore, il n'en est plus de même. La flexion est trop grande pour que le barreau puisse être considéré comme un tirant rectiligne ; obligé d'épouser plus ou moins la forme convexe de la pièce infléchie, il exerce en chaque point une réaction de bas en haut qui soutient la pièce de ciment. Autrement dit, le barreau agit en partie comme un câble métallique tendu sous la pièce, ou, si l'on préfère, comme le tendeur d'une pièce armée à la Polonceau, relié à elle par une série de bielles qui le soutiennent sur toute sa longueur, en prenant son appui sur lui.

En résumé, M. Planât conclut de sa longue analyse que :

1° Sous une charge modérée, le ciment et le fer, restant adhérents, s'accompagnent dans leur déformation commune ;

2° Sous une charge moyenne, les barreaux de fer se comportent comme des tirants encastrés aux deux bouts;

3° Sous une charge exceptionnelle, ils se conduisent à la manière de câbles métalliques tendus sous la pièce.

C'est le second cas qui est le plus ordinaire et, avec lui, les dimensions des dalles se déduisent des formules pratiques ci-dessous.

Formules pratiques de A/. Planât, — 1° Section rectangulaire (dalles simples) :

n°- = 7,33 ^, cd = ^, e = 1,10 n, h = 3 s.

2° Section en forme de T (dalles armées de poutrelles ou nervures) :

»* = 8,07 g, o) = jj^, s = 0,09 n, h = 3 e;

On suppose que le coefficient d'expansion linéaire du ciment après la prise = 0,33 :

R', travail du fer à la tension = 8 kilogr. par millimètre carré;

R t , travail du ciment à la compression = 25 kilogr. par centimètre carré ;

ja , moment fléchissant maximum correspondant à la charge donnée, supposée uniformément répartie;

n, distance de Taxe des barreaux de fer au bord supérieur de la dalle;

e, distance du barreau au bord inférieur ;

u), section totale des barreaux de fer longitudinaux;

A , hauteur de la partie qui travaille effectivement à la compression.

La hauteur est prise égale à ( n -+- -» n \ pour la dalle et, pour les

poutrelles, on ajoute en dessous des barreaux la quantité voulue pour

les no ver dans le ciment.

Les formules supposent que, dans une pièce en T, l'épaisseur de la dalle est au moins égale au tiers de la distance n relative à la nervure; quant à l'épaisseur de cette dernière, elle doit être comprise entre 0,05 et 0,10 de la hauteur de la pièce.

Pour calculer un plancher, on déterminera d'abord les dimensions de la pièce en T formée par une nervure et les parties de dalles adjacentes, puis les dimensions de la dalle elle-même.

Celles des éléments des combles et toitures pourraient être déterminées d'une façon analogue.

Nouvelles formules de M. Planât. — Les formules, que nous venons de reproduire, étaient, il ne faut pas l'oublier, la conclusion d'un travail qui remonte à 1893, et que nous avons tenu, malgré son ancienneté relative, à reproduire dans cette seconde édition comme dans la première, parce qu'il donne une analyse de cette question encore si mal fixée de la théorie des constructions en ciment armé.

On ne connaissait à l'époque que les résultats d'un petit nombre d'expériences, d'une exactitude insuffisante, et les constructions exécutées étaient encore assez rares. Depuis, des expériences plus

complètes ont été effectuées, des constructions plus nombreuses se sont élevées, qui permettent de mieux contrôler les indications théoriques. M. Planât en a profité pour compléter son premier travail.

« Nous avons cru nécessaire, et possible aujourd'hui, nous ditil (1), de reprendre l'étude primitive, restée à l'état d'indication ébauchée, car nous avons maintenant un terrain beaucoup plus solide pour y asseoir une théorie plus consistante. Les conséquences pratiques que nous tirions des premières recherches ne sont pas beaucoup modifiées par l'étude plus précise que nous avons pu faire depuis; mais elles sont plus fortement justifiées. »

M. Planât les a condensées dans les formules suivantes :

1° Section rectangulaire (dalles et hourdis).

R* = 200.000 k *. Coefficient de sécurité = -) n ~~ ° ,0 ° 48 V l

( w = 36,5 VTy.

„„..,, , ., . 1 \ n = 0,0041 \/Ç Coefficient de sécurité = - ] à

° [ w = 32,4 l/6ji

R, = 300.000^. Coefficient de sécurité = i ) n = > 00342 V l

[ u> = 52,7 Vb^

{ ( n = 0,00291 \/t Coefficient de sécurité = - ' v b

Dans ces formules,

R 2 représente la résistance limite à la tension;

[l le moment total des forces extérieures, verticales ou horizontales, par rapport à la section ;

è, la largeur de cette section ;

n et a) ont la même signification que dans les premières formules.

2° Section en forme de T (dalles armées de nervures). On déterminera l'épaisseur des hourdis d'après les formules qui précèdent. Pour la détermination des proportions à donner aux nervures et à leurs barreaux, M. Planât indique une autre méthode. Les formules auxquelles il arrive sont d'un emploi fort laborieux; pour en faci-

(1) Théorie des poutres droites en fer et ciment, par M. Planât, directeur de la Construction moderne. Aulanier et C ,c , Paris,

liter l'usage, il en a résumé, sous forme de travaux graphiques, les résultats correspondant à certaines données (i).

Formules pratiques de M. Wayss. — On admet la solidarité complète entre le fer et le ciment sans s'inquiéter de ce qu'est, avec cette hypothèse, le travail du ciment à la partie inférieure des pièces. On suppose, en outre : 1° que le plan des fibres neutres se trouve à égales distances des deux faces de la dalle (cette hypothèse n'est pas justifiée) ; 2° que la distance du centre de gravité des barreaux à la face inférieure est égale à une fois et demie l'épaisseur de la dalle. On applique les formules :

a = 9 ,3i y/jj,

S, épaisseur de la dalle d'une largeur égale à l'unité;.

F e , section des barreaux;

A, Aj, charges de sécurité du mortier de ciment et du fer à la compression et à l'extension;

y., moment fléchissant maximum.

Formules pratiques de. MM. Coignet et de Tedesco. — Ces ingénieurs expliquent les écarts entre l'expérience et le calcul en admettant que, par suite de la forte adhérence du fer et du mortier, celui-ci, obligé de suivre tous les allongements du premier, se fatigue jusqu'à la dernière limite. Ils adoptent 15 kilogr. par millimètre carré et 40 kilogr. par centimètre carré pour les taux des charges de sécurité du métal et du mortier; ils fixent à 20 la valeur du rapport des coefficients d'élasticité des deux substances et déduisent de leurs calculs les trois équations suivantes qui servent à déterminer les diverses dimensions d'un plancher :

■ -"•tW^ÎB- «-ÎSS- ° = - '

e épaisseur de la dalle formant le plancher ;

h, distance du centre de gravité des fers de la nervure au milieu de cette dalle ;

C, surface de la section droite de ciment travaillant à la compression;

(l) Pour plus de renseignements, voir l'ouvrage déjà cité, p. 93 et suivantes.

M, section du métal de la nervure ;

/, distance d'axe en axe des poutrelles ;

{x, moment fléchissant maximum.

Le nombre des inconnues étant de 5 pour 3 équations, le problème peut être déterminé de diverses façons : on peut, par exemple, se donner / et s'imposer la condition que h soit aussi petite que possible, sans que, néanmoins, la dalle cesse de travailler à la compression dans toute son épaisseur e.

Dans ces conditions, si Ton pose / = 1 mètre, le tableau suivant donne les principales dimensions d'un certain nombre de types de planchers rationnels.

ÉPAISSEUR de la dalle :e

HAUTEUR h