VE DEN

(3) | TAN) D AE 9 relative à M. Alors :

(4) S(s) = eivz IE IR x avec :

(5) p? = a ie u2.

Supposant [#| > k, on fait le changement de variable :

(6) p+u=a(Vw—k/Vw +) et

T croît de — oo à + co en même temps que u.

Il vient :

(7) S(w) = 2 eive fi ces (aVw?— Te sh r) dr, d’où d’après Watson [48] (p. 183 ; formule 14) : (8) S(æ) = 2 eivz HUE k2)

où K est la fonction de Besser modifiée de seconde espèce, d'ordre 0. | Lorsque |#| < k, on peut poser :

(9) p+u=a(Vk=wVR+w)eT;

alors :

.-H0) S(w)= 2e 7 eV ch, d’où, d’après Warson (p. 180, formule 11) :

(11) Siw) = — jr ei” H@ (aVR?— sw?) où HP est la 2e fonction de HankeL d'ordre 0. Les expressions (8) et (9) sont équivalentes en raison de l'identité :

(12) Ko(j2) =— ri H2 (x)/2.

On peut donc ne conserver que (8) puisqu'on sait donner un sens à la fonction KX, d’argument ima: ginaire pur.

2° Calcul de T(w, k).

Soit : +0oo !

AO TRE de ot #8) dt (Ha) = Peut LETTRE ee at ne e

avec p2= a? + (z— C)? lorsque M est sur l’axe. On vérifie immédiatement, en dérivant sous le signe / par rapport au paramètre À :

ag nn fee EE at = KS(s) = p

(ee)

— 92ke—ie K,(aVw?— ki),

LS Re ea w Ms re de ue voi Ex re URSS Ki n' Ÿ HARAS A RES ve :

pr 4 Î ; ë (16) T(sv, k) — Ts, 0) = 2 e—ive a kK, Piper F5) dk

= (2/a) ei [Var — 1e ki(aVw? TE) —wK, (aw)],

l'intégration étant immédiate par rapport à la variable Vw?— k?. D'un autre côté, en faisant

k= 0 dans (14), on a :

(17) +00 e— a ia e—jiwu L Le dé-=e-i ar Ce + ur

où u est défini par .. On reconnaît la transformée de Fourier de la fonction 1 /(a? + u?) 3 /? (voir par exemple Macnus [44], p. 118) :

= 2e w Ki(aw)[a.

Il reste alors :

(19) T{w, k) = (2Ja) ei Vwr—Te K, (a Vi? Re).