Champ au voisinage du fil

L’hélice filiforme n’est qu'un modèle simplifié qu’on substitue à un conducteur de section finie. Les résultats obtenus sont donc d’autant plus proches de la réalité que le fil du conducteur réel est plus fin. Cependant, il est à présumer que les écarts ne seront sensibles qu’au voisinage du fil. À distance suflisante de celui-ci, on peut admettre que tout se passe comme si le courant qui parcourt le conducteur était concentré sur l’hélice moyenne. À proximité du fil, il est nécessaire de tenir compte de la répartition du courant sur la surface conductrice, d’où la nécessité d’une théorie du fil épais. Mais, si l’on se contente d’ordres de grandeur, des renseignements intéressants peuvent être tirés du calcul du champ au voisinage du fil sans épaisseur. La seule difficulté du calcul est la suivante : au voisinage de l’hélice, à l’intérieur ou à l’extérieur du cylindre, les séries qui donnent les composantes du champ sont lentement convergentes. Sur la surface du cylindre elles sont même divergentes. Or on peut tourner cette difficulté par le procédé qui consiste à retrancher, de ces séries, des séries de somme connue et telles que les différences soient rapidement convergentes.

Pour simplifier le calcul déplaçons-nous sur l’axe

0x (8— 0, z = 0). A la distance r de l’origine, le

. ? L champ électrique sera donné par :

[ee] = D mn

MS e)+an( = Ù U, (r) Où b,(r) = bo(r) (V-67) I HT AE +Yum+,= Ÿ V() n=1 Lier = D Cn(r) = co(r) ++ = D Wa.

Or les relations (28) conduisent à poser :

(V-68) Dis AIO ERTS

Ta Sin 4 /sin

s 11 COS & Va = 2] ATrasin & sin & …

U, = ch u Vth ue—nFlu)

sh G{u) shuVthue-—2Flu)

1 cos &

RD thue—"F TA) Erasmayane G{u) Vth ue—rFlu)

Les séries (68) sont des séries géométriques dont on aura immédiatement les sommes par :

CO

à e—nFlu) — SF

D'autre part, quand on remplace U, par son expression asymptotique U,, on commet une erreur de l’ordre de e*"{# /n. On pourra donc remplacer la série (U,) par la série de terme général :

(V-70) LEE Tor ur

dont la convergence sera plus rapide. De même pour Ve et W,.

Exemple numérique. — Reprenons l’exemple du $ 13. Le fil utilisé a un diamètre égal à 0,5 mm. Calculons alors le champ à la distance :

r= a— 0,25 = 2,9 — 0,25 — 2,65 mm de l’axe dans le cas de l’hélice filiforme. En se reportant aux notations du $ 5 on pourra calculer :

shu= hr = 0,0841 d’où :

u=0,0840, chu=—1,0035, thu— 0,2895,

puis :

F(u) =1,1255, eFlu) — 3,0818, 1 JeFto —1 = 0,4804. Enfin :

Gu) =0,1795, sh G(u) —0,1804, ch G{u) = 1,0161.

ag Pa RE a ï

RER RONA Er Pare |

Un = — (In/hnasin à) 2,1264 e-1F V,=—(In/4tasin a) 0,0316e-1r

Sous-entendons, dans ce qui suit, le facteur T1 J4r a sin «, ce qui équivaut à donner au couran t1 une valeur numérique particulière.

Le tableau suivant résume les calculs :

U, Un ji, 1V'a

4 ch TRUE

ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES GUIDÉES

| 35 calcul analogue, restent finis. Il est donc raisonnable de réduire le champ à sa composante Es. L'expression (V-71) fournit ainsi un ordre de grandeur du champ à la surface d’un fil dont la section a pour rayon p. Mais cet ordre de grandeur n’est vraiment significatif que si le fil est assez fin. On constate alors par (V-71) que le résultat est le même que pour le fil rectiligne.

j Wa 1114 1

D'autre part, au même facteur près :

ao=—0 6233, jby=0,0582, jco = — 0,916.

Alors en ne conservant que trois décimales :