ET EL
Fe
1° Cas d’une éprouvette de largeur constante |.
Nous allons, en intégrant l’équation (3), déterminer l'équation de la ligne élastique et la flèche.
Désignons par R la réaction de l’appui fixe et par y le couple de torsion. Entre ces deux quantités nous avons la relation :
(4) u = — RL.
Le moment fléchissant dans une section d’abscisse x a pour valeur :
re
et l’équation (3) s’écrit donc :
PRE Abe ETES CE L):
fr Par intégration entre l’origine et x cette équation devient : " CO EL —@)= 55"
les
1 puisque la largeur / et l’épaisseur e sont
(le moment d'inertie I est constant et égal à constantes).
Intégrons une nouvelle fois entre 0 et L puisque y s’annule pour ces deux valeurs CRE
s L 3 Lx| ;
= )S oi
ce qui détermine y:
Ce) (7) u=3EI
En reportant cette valeur de y dans l’équation (6) que l’on intègre alors entre 0 et x nous obtenons l'équation de la ligne élastique :
(5) ps eo)
Nous arrivons donc à un résultat important : l’équation de la ligne élastique, et par suite la flèche, est indépendante de la nature du matériau utilisé et des dimensions de la section droite de la poutre.
Ceci se vérifie facilement avec des lames ou des tiges de métaux différents : fer, aluminium, cuivre.
Pour un même angle © et une même longueur L de l’éprouvette nous observons la même ligne élastique.
Nous pouvons déterminer l’abscisse de la flèche et la valeur de celle-ci. Annulant y' dans l’équation (6) nous obtenons :
x PEINE OACE,
es ie
Le maximum de y se produit donc du côté de la tête oscillante et la flèche est :
y max = 0,385 - L.
Des vérifications expérimentales effectuées par la photographie et surtout à l’aide d’un viseur à micromètre nous ont montré que la déformation était bien maximum à l’abscisse prévue mais que cette flèche observée était légèrement inférieure à la flèche calculée.
Les contraintes maxima (contraintes normales de tension ou de compression suivant la face considérée) se produisent à la surface de l’éprouvette. Leur valeur est donnée par la formule bien connue :
I et e étant constants on voit que les contraintes varient comme M. Or, M varie linéairement de O à À, et les contraintes sont donc maxima à l’encastrement oscillant. De telles éprouvettes ne présentent pas d'intérêt au point de vue de la'‘fatigue car les perturbations sont surtout importantes dans cette zone et la rupture se produit toujours au ras de l’encastrement.
29 Cas du solide d’égale résistance.
Nous allons donc rechercher la forme qu’il convient de donner aux éprouvettes pour que les contraintes soient les mêmes en tous les points de la surface, l’épaisseur de la tôle étant constante.
Me
5 I doit être constante; il en résulte d’ailleurs une simpli-
La quantité o — —
fication de l’équation (3) :
Une première intégration entre 0 et x donne :
y RO
Une seconde intégration entre 0 et L conduit à :
op re
L'intégration entre 0 et x donne l’équation de la ligne élastique : (©) (11) y= ptit).
La ligne élastique est donc une parabole.
Déterminons la variation de la largeur z de l’éprouvette en fonction de x.
ze e 5 Le moment d'inertie s'écrit | — 12; le moment fléchissant dans la section
d’abscisse x est M :
Le rapport :
Me GuL—x
CRT ele tz
L—7x est constant :
est constant lorsque LKR (Ex).
Puisque à l’encastrement oscillant la largeur de l’éprouvette est ! pour x = 0,
RE donc:
ce qui conduit à prendre une éprouvette triangulaire dont la pointe sera prise dans l’encastrement fixe. Le couple appliqué à l’encastrement oscillant est alors :
Hoi LR RE:
