TROISIÈME PARTIE
APPLICATION DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS A L'ÉTUDE DU MOUVEMENT DES NAPPES AQUIFÈRES SOUTERRAINES
I. Résumé des chapitres précédents et objet du présent chapitre. — Les expériences décrites au chapitre premier ont confirmé, pour de faibles pentes motrices des nappes filtrantes, l'existence des trois lois ci-après :
19 Le débit d’un filtre cylindrique par unité de section droite normale à l'écoulement (quantité appelée vitesse apparente et désignée par V) est proportionnel à la charge H et en raison inverse de l'épaisseur de la couche traversée e. On a
HO dl So 2 donc : V=— K — , K étant une constante spécifique pour un e
sol homogène. Nous l’appelons coefficient de filtration.
2° Lorsque la surface hibre-du liquide se trouve à l’intéricur du sol, la capillarité agit en diminuant d’une quantité constante pour un sol homogène la charge en chaque point de la nappe liquide. Nous appelons cette quantité constante hauteur capillaire et nous la désignons par x. C’est également une constante spécifique.
30 Lorsqu'une nappe liquide est en mouvement dans un sol homogène, le volume du liquide en mouvement est dans un rapport y avec le volume apparent du sol mouillé par lui. Ce rapport y est aussi une constante spécifique que nous appelons coefficient de perméabilité.
Les méthodes et appareils décrits au chapitre IT permettent de mesurer pour un sol donné et dans des conditions de compression déterminées les constantes spéciliques nur
Nous nous proposons dans le présent chapitre d'utiliser cette connaissance aussi précise que possible des coefficients
K, « et » pour étudier la forme et le débit des nappes souterraines coulant dans le sol.
Dans de remarquables ouvrages, M.M. Boussinesq, Pochet, Limasset et Maillet ont étudié le problème dans sa généralité et se sont appliqués à analyser les phénomènes complexes qui se produisent dans le mouvement de nappes à gros débit et de grande étendue.
Ces études nous ont été d'une très grande utilité et nous ont guidé dans nos recherches, quoique notre but soit beaucoup plus modeste. Nous nous attacherons principalement à rechercher la forme et le débit des nappes de peu d’importance et de faible étendue que l’on a à examiner lors des études de drainage, d'assainissement ou d'irrigation.
Pour l'étude de ces nappes, il est permis de faire des hypothèses qui simplifient les calculs. C’est ainsi que l’on peut considérer, étant donnée leur faible étendue, le sol qu'elles traversent, comme homogène. Les coefficients spécifiques K, n et y peuvent donc être pris constants dans toute l'étendue de la nappe. Le débit, étant très faible, peut s’évanouir par rapport à d’autres quantités dans certaines expressions.
Par contre, certaines hypothèses faites dans l'étude des nappes de grande étendue ne sont plus permises. C’est ainsi qu'il n’est plus possible de considérer comme nulle l'épaisseur de la nappe par rapport à sa longueur. De même, il ne sera plus possible de considérer toujours comme étant parallèles les filets liquides.
Le problème qui se pose est donc différent de celui que l’on a à examiner lors de l’étude de grandes nappes.
Alors que, dans ce dernier cas, il v a surtout lieu d'étudier le sens de variation des phénomènes et leur ordre de grandeur, nous avons, pour l'étude de petites nappes, non pas à rechercher le sens de variation qui est en général évident a priori, mais à exprimer d'une manière numérique aussi exacte que possible les résultats qui doivent être utilisés directement par l'ingénieur.
C’est pourquoi, dans cette étude, nous conduirons les calculs
d’une manière différente de celle utilisée dans les ouvrages cités ci-dessus. Nous nous placerons dans des cas particuliers, que nous définirons avec précision, et nous utiliserons aussi longtemps que possible des formules mathématiquement exactes pour ne recourir aux formules approchées que lorsque nous pourrons établir l’ordre de grandeur de l'erreur que nous commettons en faisant l’approximation.
II. Étude générale d’une nappe cylindrique à débit constant et à régime uniforme coulant dans un sol homogène sur un fond imperméable. — Nous appellerons nappe cylindrique, une nappe dans laquelle les filets liquides
À pre a | — B, A. = à RD - - = - pe O 1e 5
Fig. 23.
coulent par tranches verticales parallèles et identiques. Le fond imperméable sera lui-même un cylindre à génératrices horizontales.
Nos calculs porteront toujours sur une tranche de 1 mètre de largeur de cette nappe.
EL
Prenons pour plan de la figure 23 un plan perpendiculaire aux génératrices du fond imperméable, Dans ce plan, prenons pour axe des æ un axe horizontal, et pour axe des y une verticale ascendante.
Soit A$M,B, la trace du fond imperméable sur le plan de la figure, AMB la trace de la surface libre de la nappe sur le même plan.
Soient æ et y les coordonnées du point M.
La nappe avant un débit constant et un régime uniforme, la courbe AMB ne variera pas avec le temps et y sera fonction exclusivement de x et du débit q de la nappe.
Nous pouvons donc poser y = f (x, q).
Supposons xconstant et donnons à y un accroissement infiniment petit dy.
Nous allons calculer l'accroissement de débit dg correspondant au débit du filet liquide AMBA,M,B..
Désignons par & l'angle de la tangente en M à la courbe AMB avec l’horizontale.
La section du filet liquide est dy cos 1.
La vitesse apparente est, d’après la première loi rappelée au début de ce chapitre :
IH
H Or, —, rapport de la hauteur de chute de l’eau à la longueur - e
de la couche de sable parcourue, n’est autre que sin &. Le débit dq du filet liquide est donc :
dq = — K dysinicosi (11)
Nous ne pouvons introduire ici la simplification de Dupuit, qui consiste à supposer sin à très petit, et par suite à poser cos & — 1 et sin i = tg i, car dans le cas de nappes de faible étendue, {g 1 a en moyenne des valeurs assez grandes (plusieurs centièmes) el peut même devenir infinie au seuil de la source.
Nous adopterons done la formule exacte (11) pour le calcul de la surface libre de la nappe.
Nous avons :
y EDIT : “ra 0x donc :
Ô0y So , 0x sin & COS 1 —
+ Ce)
et l’équation (11) devient :
ON
L’équation aux dérivées partielles de la surface libre de la nappe est donc :
dq = — K dy
K 99 Ôy
Ôq dx 1 ne)
Supposons cette équation résolue; nous obtiendrons une relation y = F (x,q).
En faisant q — O, nous obtiendrons l'équation du fond imperméable.
En donnant à q une valeur Q égale à celle du débit de la
nappe, nous obtiendrons l’équation de la surface libre de la nappe.
En donnant à q des valeurs intermédiaires entre O et ©, nous obtiendrons l'équation des filets liquides.
L'intégrale complète de l'équation (12) est :
ui it
—— g + ax + b (13) — Ka ?
a et b étant des constantes arbitraires.
di M —
Pour obtenir l'intégrale générale, considérons a et b comme des fonctions de q et de x et posons b — + (a), + étant: une fonction arbitraire.
L’équation (13) devient :
1 2 y= Et q+arts (a) (13) Dérivons par rapport à a : me (15) Ka? ‘1e
L’élmination de a entre (14 ) et (15) donnera une valeur de y qui sera la solution générale de l'équation (12).
La fonction arbitraire + (a) devra être choisie de manière à ce que l'intégrale générale y = F (x,q) devienne pour g = O y — F (x, O), équation du fond imperméable.
Influence de la capillarilé. — D'après la deuxième loi rappelée au début de ce chapitre, la capillarité agit en diminuant d’une quantité x constante pour un sol homogène la charge en chaque point de la nappe liquide.
La charge n'intervenant, dans l’équation indéfinie (12), que par ses dérivés par rapport à æ et à g, la capillarité ne modifie pas cette équation.
Lorsque l’on passe de la forme indéfinie à la forme finie, la charge n’est plus y, mais y — »r, et l’effet de la capillarité se borne simplement à exhausser toute la nappe d’une hauteur % par rapport au fond imperméable.
En vue de simplifier les calculs qui suivent, nous ne tiendrons pas compte de cette influence de la capillarité. Il y aura simplement lieu, lors des applications, d’exhausser la nappe souterraine de la hauteur capillaire x, constante spécifique du sol homogène dans lequel elle circule.
III. Étude de cas particuliers. — a. Le fond esl horlzontal. Reprenons les équations (14) et (15) et posons :
© (a) = ma par suite :
Ces équations deviennent :
TEE
y RIT + ma (16) O—= gd +otm. 47)
L’élimination de a entre (16) et (17) donne :
y=+1gv—g[K(c+m)—) (18)
Le signe + seul est pratiquement acceptable.
Ho OO. : y 0.
Le fond imperméable se confond avecl’axedes x, et la détermination : (a) — ma correspond au cas d’un fond imperméable horizontal.
Supposons m — 0, ce qui, dans le cas du débit constant et du régime uniforme, revient à déplacer l’origine d’une quantité m en suivant l’axe des x.
L’équation (18) devient :
DU y = gV —9(Kz— 0) (19)
La surface libre est une parabole ayant pour axe l’axe des x. Les filets liquides sont également des paraboles ayant pour axe l'axe des æ,
Des par
Le tableau ci-dessous et la figure 24 donnent les résultats
d'application de cette formule avec les données suivantes :
CLP
DLL LL LÉ dL
PP PEDE LPPITTPPI
