QUEUES EN OCODSONNIR HN

d D D © Où D © & © # On OT À NO à CO O0 OI ©

I © IH © À ONU NO ODLIJIR oO RU © © HUNNRSGUNERBRERROOOO

EE OO OU) D CU D ND» LR © © © D © À © Où © O NI SI © © «I M

N9 tO De © # ND O1 0 © «© er LR LE LR R :

Les

Remarque. — La formule (19) trouvée ci-dessus s'écrit, en l’élevant au carré :

= (Kz — 4):

En adoptant nos notations, les résultats ci-après ont été obtenus pour les nappes souterraines à fond imperméable horizontal, par les divers auteurs ayant étudié la question :

Dupuit (1) propose la formule :

b étant la hauteur de la nappe à l’origine.

On peut, par un déplacement convenable de l'origine, supposer b nul, et la formule de Dupuit est :

‘4) Pocuer, Étude sur les sources, p. 17, équation 8.

C’est à cette formule qu’arrive également M. Boulanger (1). M. Limasset (2), dans sa théorie exacte, arrive à la formule

, —9(Kx—9) = et, dans sa théorie simplifiée, à la formule 2 24%

Cette dernière formule, à l’orientation de l’axe des y près, est la même que celle de Dupuit et de M. Boulanger.

On voit apparaître, dans la formule exacte de M. Limasset et dans celle que nous proposons, un deuxième terme provenant de ce que, dans les théories correspondantes, i n’a pas été considéré comme très petit.

Nous allons établir que les formules trouvées par la théorie de M. Limasset et par celle que nous proposons sont concordantes.

Reprenons en effet la théorie de M. Limasset (Pochet, p. 334) et écrivons la fonction U [équation (11)].

U = mf(a) + mot(s) aulicude UÙ = f(x) + (|.

Les filets ont toujours pour équation (équation 15) : LP R

et la surface libre a pour équation :

y ue mf («) + m © (j —=0O:

Dans le cas de la nappe coulant sur fond horizontal, on a : Surface libre de la nappe :

. + mf (a) + mf (8) + K = O.

(1) Hydraulique générale, t. 1, p. 229. (2) Pocuer, Étude sur les sources, p. 36 et 331.

Filet liquide :

f(a)—f{(#=ir

et l'équation (21) devient :

m f’ (a) — mf° (f) ; ds en | + ma [f” (a) — f' (8); i[f (a) + (8)

ou, après réduction :

équation qui satisfait bien à :

Vo dy?

L’équation de la surface libre est donc :

VEN. m.Q V Va Ey—x

qui donne, après deux élévations au carré, la droite y — O et la parabole :

y? = — 2 muQ («x — ")

Dans le cas de m — 2, on obtient :

y? = — 4 yQ (x — pQ)

soit, avec nos notations :

he

C’est précisément la formule que nous proposons.

La méthode étudiée par M. Limasset envisage le problème dans toute sa généralité au point de vue analytique, mais donne de multiples solutions parmi lesquelles il faut choisir la solution convenable.

Nous pouvons done admettre que la théorie exacte de M. Limasset et celle que nous proposons conduisent au même résultat.

Les autres méthodes et la théorie simplifiée de M. Limasset conduisent à :

Si nous négligeons le deuxième terme de notre formule, nous obtenons :

C'est le même résultat, à cela près que la valeur de y? se trouve doublée.

— 2 qt .

Fu à est fait implicitement ou explicitement la seconde simplification de Dupuit consistant à admettre que la pression se transmet suivant la loi hydrostatique tout le long d’une même verticale.

Or, dans toutes les théories amenant à y? —

M. Boulanger admet en effet (1) que I — on c’est-à-

dire que lorsque l’on passe d’une verticale à la verticale infiniment voisine, la variation de pression a été, pour tous les points de la verticale, —dH, c’est-à-dire la variation du point le plus élevé de la verticale.

M. Limassel fait implicitement dans sa théorie simplifiée la même hypothèse, ainsi que l’a établi M. Pochet dans l’examen de cette théorie (2).

Ces hypothèses reviennent à admettre que la totalité de

(1) Boucancer, Hydraulique générale, t. 1, p. 227. (2) Pocuer, Étude sur les sources, p. 36.

ne l’eau contenue dans une tranche liquide BMA passant à la

A A Et (fig. 25),

position voisine, B,M,A, tombe d’une hauteur

c'est-à dire que le travail moteur est égal au poids de la tranche élémentaire multiplié par la différence de niveau de

CE

la surface libre, alors qu’en réalité le travail moteur est égal

au poids de la tranche multiplié par la hauteur G,G, dont REA.

tombe le centre de gravité, c’est-à-dire 2.

Lo

Ces hypothèses ont donc pour effet, dans le cas d’un fond imperméable horizontal, de doubler lexpression du travail moteur et, par suite, la valeur du coefficient de fitration K.

L'expression trouvée avec ces hypothèses étant y? — ai l'expression exacte doit donc être prise égale, à notre avis, à Us = er = — C'est la formule à laquelle nous a

La

amenés la théorie que nous proposons.

Eye

Les hypothèses couramment admises Jusqu'à ce jour amenaient donc à des résultats qui auraient été exacts avec un sol dont le coefficient de filtration aurait été double de celui du sol étudié. Les résultats n’étaient donc pas faussés dans leur forme ; la valeur des coefficients seule était altérée. Comme ces coefficients n'avaient jamais été mesurés avec une grande précision, et comme les auteurs se sont surtout attachés à étudier un sens général de variation des phénomènes, cette erreur n’avait pas grande importance.

Il ne nous est pas permis, dans la présente étude, de négliger cette cause d’erreur, car notre but, ainsi que nous l’avons exposé au début de ce chapitre, est d'obtenir des résultats numériques les plus précis possible en vue d’une utilisation directe par l’ingénieur.

b. Le fond est parabolique. — Revenons aux équations générales (14) et (15) et posons :

® (a) — À On aura :

m g? (a) = a Ces équations deviendront :

1 + a = tae (20) 1 — a? m me 7 D DT. (21)

L'’équation (21) donne :

Portant cette valeur de a dans (20), il vient :

ET EE ER Vie DT Em

qui devient, toutes réductions faites :