SN

La figure 29 donne le graphique du débit en fonction du

temps.

Debt en litres per ‘sfcconde

e ouos =.

o cco3

Temps en Seconmes

Temps. ( 0 0,000

Fig. 29.

Valeur de y pour

VI. Étude générale d’une nappe cylindrique à régimée propre non influencé coulant dans un sol homo-” gène sur un fond imperméable, le débit étant limité

supérieurement.

— Nous n’étudierons les formes de Îla

Dre

mappe que dans le cas où son débit est égal au débit limite q5. S'il lui était inférieur, nous nous trouverions dans le cas étudié au paragraphe IV.

Au fond imperméable donné correspondra pour y en régime permanent la valeur y — F (x, Qq).

Cette fonction contiendra une ou plusieurs constantes arbitraires, a, b, etc.

On a donc :

YEN 7 Dee) (38 bis)

Le volume d’eau contenu dans la nappe est :

PL V=p| F (x,q,a,b,...) dx

Or les constantes a et b du régime permanent restent toujours indépendantes de x et de q en régime varié, mais deviennent fonction du temps.

Contrairement à ce qui se passe lorsque le débit de la source n’est pas limité supérieurement, q n’est pas fonction du temps, mais garde une valeur constante.

La dérivée de V par rapport au temps est donc :

) ES Le ( da , dF db

on Hé an ….)dr (ol

Gette dérivée est constante et égale au débit changé de signe.

On a donc :

oV Lu dd Li

d'où, en intégrant :

V=—m# ce, (40)

Si F ne contient qu'une seule constante arbitraire a, la relation (40) donnera :

OT ES et en portant dans (38 bis) on obtient :

y = F[x,q, + (t)], c'est-à-dire :

et le problème est complètement déterminé

VII. Cas particulier d'un fond imperméable horizontal. — L’équation donnant la valeur de y pour un fond horizontal dans le cas du débit constant et du régime uniforme est l'équation (18).

U = REV —alK (+ m)— 4

Cette équation ne contient qu’une seule constante arbitraire et, d’après ce que nous avons vu au paragraphe précédent, le problème sera complètement déterminé.

Comme nous n’envisageons que des nappes de faible débit, nous pourrons négliger qg par rapport à K (x + m) et écrire :

F\| a | ST J- T rS —

Portant cette valeur de V dans (40), nous obtenons :

2 28 [V8 Re VATE Er m) | —gt+cte

qui peut s’écrire :

E Ur nr rs m | = t+ cte. (#2) 3VaK 2 Ainsi que nous l'avons fait au paragraphe IV, nous déterminerons la constante arbitraire par la condition que, pour 1—= 0,2 == hb, 0864169 =".

Dans ces conditions, l'équation (41) donne :

On én déduit :

Hi K D: 1"

L— m — fr a

Portons ces valeurs dans (42) en y faisant ? — 0. IE vient :

— à K 3 4 2 4 qL \?

arr [ui (ui)

et l’on obtient :

t — . | Hi (Hi }| ÿ TA L (L— mm) —\ (— ms | (13}

La conduite normale du caleul consisterait à tirer de cette équation (43) la valeur de m et à la porter dans l’équation (41). Nous obtiendrions ainsi y en fonction de #, q et £. Mais cette méthode n’est pas applicable pratiquement, car l’équa- Lion (43) est du sixième degré en m. Elle est au contraire du premier degré en !. Nous conduirons donc les calculs de la manière suivante :

Nous donnerons à m une série de valeurs. Nous en déduirons les valeurs de { correspondantes à l’aide de l'équation (43) et les valeurs de y correspondantes à l’aide de l'équation (41). Nous aurons ainsi y en fonction de Z

Application numérique. — Nous ferons l'application numérique correspondant aux données ci-après :

H, =V0,10 = 0,31623 ; ds cit.

Ces données numériques ont été choisies de manière à ce que, au temps ? — 0, la nappe soit identique à celle étudiée au paragraphe IV.

À partir du moment où le débit de la nappe sera inférieur à D x 10 —*, l'écoulement se fera donc conformément aux graphiques étudiés au paragraphe IV.

Avec ces données numériques, l’équation (41) devient :

y = 0,14149 V— (x + m) (A4) et l'équation (43) devient :

t = 632.460 — 56.568 [V/(5 — m}° —V—mi]: (A5)

L’équation (45) fait correspondre aux valeurs indiquées de m, les valeurs de { ci-après :

A ces mêmes valeurs de m correspondent des valeurs de y données par l’équation (44).

Le tableau ci-après donne les valeurs de y en fonction deæ et de 1. Nous y avons fait également figurer, ainsi que sur la figure 30, les résultats obtenus au paragraphe IV pour que

Fig. 30.

Échelle des hauteurs — . fois celle des longueurs.

l'on puisse se rendre compte de la continuité des deux modes d'écoulement.

. En outre, nous avons ajouté aux diverses valeurs de y une quantité fixe de. 0,25 représentant la hauteur capillaire r, afin que l’on puisse comparer les résultats obtenus avec ceux constatés dans la pratique (Voy. remarque, p. 160).

Valeur de y pour x — Débit

Temps. 0 — 1 — ? — 3 — — 5 x 107 — 228 600 0,437 0,485 0,524 0,558 0,589 0,617 5,00 — 195 400 0,420 0,471 0,513 0,548 0,580 0,610 5,00 — 152 100 0,397 0,454 0,498 0,536 0,568 0,599 5,00 — 101 900 0,366 0,433 0,481 0,521 0,556 0,587 5,00 — 52000 0,329 0,412 0,465 0,507 0,544 0,576 5,00 0 0,250 0,391 0,450 0,495 0,533 0,566 5,00

100 000 0,250 (DEP 0,423 0,461 0,494 0,523 0 150 000 0,250 0,364 0,412 0,448 0,478 0,505 3,27 200 000 0,250 0,358 0,402 0,436 0,465 0,490 2,88 230 000 0,250 0,351 0,393 0,426 0,453 0,476 2,57

Nous avons indiqué sur la figure 31 le graphique en fonction du temps et-dans les deux modes d'écoulement :

19 De la quantité d’eau contenue dans la nappe :

20 Du débit ;

3° De l’ordonnée y, au seuil de la nappe ;

40 De l’ordonnée y, au sommet de la nappe.

L'instant À — 0 marque la délimita‘ion des deux modes d'écoulement.