PLAN ET DROITE

La combinaison Plan et Droite, ou la synthèse du Plan et de la Droite, nous conduit à une interprétation particulière de la notion du Plan, celle de l'étendue rectangulaire, du Plan réglé, du Plan écartelé ou brièvement du Plan carré.

Une Droite fixe située en un lieu quelconque de la surface du Plan tout nu se subordonne cette surface en tous les points, à toutes les distances et dans toutes les directions. La Droite fixe est alors Vaxe du Plan tout entier considéré comme illimité des deux côtés, c'est-à-dire de part et d'autre de la Droite.

I l^^ — La symétrie dans le plan carre

La Droite sur le Plan le partage en deux demi-plans, égaux et symétriques l'un de l'autre par rapport à la Droite, qui devient ainsi leur base commune.

Un point pris sur la Droite en est le Pôle, et le centre de symétrie de tous ses points qui, pris deux à deux, ou homologues, sont situés à

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même distance du Pôle. Un point pris en dehors de la Droite et en un lieu quelconque de l'un des demi-plans a son symétrique dans l'autre demi-

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plan, le point initial et son symétrique sont alors situés sur une même droite qui croise la Droite du Plan; et à même distance du point de croisement ou du pôle commun aux deux droites. La droite a a' peut être prise dans une direction quelconque, le point initial demeurant fixe, le point symétrique et le Pôle varieront avec chacune des positions de la Droite (fig. 1 et 2).

Maintenant, et si, ayant marqué sur l'un des demi-plans le point initial, nous rabattons ce demi-plan sur son symétrique en le faisant tourner autour de la base commune ou de Taxe, le point initial viendra se décalquer sur le second demi-plan, et, si nous redressons les demi-plans en les ramenant à leur position première, le point initial et son décalque seront alors situés sur la même droite perpendiculaire à Taxe et à même distance de cet axe : les deux points seront alors symétriques l'un do l'autre par rapport à cet axe. Or, ces deux droites perpendiculaires l'une à l'autre forment précisément le trait carré qui partage le Plan tout entier en quatre angles- plans rectangles ou quartiers égaux et symétriques deux à deux par rapport à chacun des axes du trait carré (fig. 2). L'ensemble ou la synthèse du Plan et du trait carré forme le Plan carré. Si donc nous prenons un point en un lieu quelconque de cet ensemble, il arrivera trois cas :

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{"" Le point étant situé à Yencroix du trait carré ou au pôle commun (fig. 3), dans ce cas il sera son symétrique à lui-même et le point, s'il est doué de quelque réalité sensible, sera écartelé, c'est-à-dire partagé en quatre parties égales et symétriques^ chacune d'elles se trouvant dans un

quartier; — 2'' le point étant situé sur Tune des branches du trait carré» c'est-à-dire dans un demi-plan (fig. 4), aura son symétrique sur la branche opposée et dans l'autre demi-plan; — S» enfin, si le point est situé sur la surface de l'un des quartiers (fig. 5) il aura son symétrique dans chacun des autres quartiers, savoir : a et a' situés dans le premier et le deuxième quartiers et symétriques l'un de l'autre par rapport à Vaxe droit du trait carré; a et a" situés dans le premier et le troisième quartiers et symétriques l'un de l'autre par rapport à Vaxe travers du trait carré; de même a" et a'" des 3® et 4*^ quartiers, a' et a'", des 2* et 4<* quartiers sont symétriques l'un de Tautre respectivement par rapport à ces mêmes axes droit et travers. Les points a^ a\ a'\ a" sont donc symétriques deux à deux par rapport aux axes du trait carré. Mais, de plus, les points a et a'", a' et a" sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'encroix, au pôle, ou au centre de symétrie qui leur est commun à tous les quatre(fig. (5 et 7). La symétrie par rapport aux axes est la symétrie directe ou à retour : les deuxdemi-plans sur lesquels sont situés le point initial et son symétrique étant rabattus l'un sur l'autre, les deux points sont amenés à coïncidence et se confondent en un seul. La symétrie par rapport au pôle ou au centre est la symétrie inverse ou diagonale : les quatre points «,«', a'\a'' sont en effet situés deux à deux sur chacune des diagonales

Ch. /, Art. m — Plan et Droite

a a^'\a' a*\ qui s'entrecroisent et s'entrecoupent en parties égales à l'encroix ou au centre de symétrie.

Les points a et a'", a' et a" ne peuvent pas être amenés à coïncidence par le rabattement des demi-plans suivant les axes du trait carré; mais

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si l'on observe que chacune des diagonales a a"\ a'a" partage le plan en deux demi-plans dans lesquels les points a\ a' et a, a'" sont situés inversement, on pourra, par un mouvement de rotation autour de l'encroix et en faisant glisser les deux demi-plans Tun sur l'autre, amener a' du demi-plan a' a a" àcoïncider avec son symétrique a"dudemi-plan a" a a'" et de même pour les deux autres demi-plans a a a"ya'" a!a\

Les deux diagonales a a*", cl a" se croisent en sautoir (fig. 6), ou en croix (fig. 7), selon que ces diagonales sont obliques l'une à l'autre, ou qu'elles sont d'équerre, c'est-à-dire perpendiculaires entr'elles. Lesdeux diagonales forment un sautoir quand les distances réciproques du point aux axes du trait carré sont inégales; et elles forment une croix quand ces mêmes distances sont égales entre elles. Les deux traits du sautoir, l'un en barre, l'autre en bande, sont penchés par rapporta l'un des axes et réciproquement couchés par rapport à l'autre. Les deux axes diagonaux, l'un en barre, l'autre en bande et passés en croix, sont diagonaux par rapport au trait carré, ils forment ensemble le trait carré, mais 'posé en sautoir.

Le sautoir a deux axes de symétrie passés en croix et ces deux axes sont précisément les droites du trait carré; le complexe du Plan et du

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sautoir est écartelé^ ou partagé en quatre quartiers égaux et symétriques.

La croix a quatre axes de symétrie, deux linéaires ou suivant les axes du trait carré, et doux angulaires^ également passés en croix, mais/70sés en sautoir. Le complexe du Plan et de la croix est gironné ou partagé en huit angles-plans, acutangles, ou girons^ qui sont égaux et symétriques.

Le sautoir peut être considéré comme une croix qu'on aurait biaisée ou déversée soit d'un côté (fig. 8), soit de l'autre (fig. 9). C'est ainsi que

la figure 6, étant déprimée, déverséeou biaiséeà droite, donnelafigureS; le trait travers est resté fixe, le trait droit est penché à droite, les côtés du quadrilatères a' à^a*'' sont demeurés parallèlesaux axes et restent divisés par eux en deux parties égales, enfinles deux diagonales a a''' a' a'' devenues inégales Tune à l'autre sont également passées en sautoir. Il en résulte que la figure 6, d'écartelée qu'elle était, est devenue diagonale : les deux côtés du sautoir rectangle ou de la croix qui étaient les axes de symétrie des quatre points sont devenus les côtés d'un sautoir et les axes de dyssymétrie des quatre points, ces points étant toujours symétriques deux à deux, par rapport aux axes. La symétrie implique essentiellement le rabattement direct autour des axes de symétrie des deux demi-plans quicontiennentles points; ce rabattement amène leur, coïncidence, tandis que la dyssymétrie n'implique que l'égalité des distances des points de chaque côté des axes de dyssymétrie, et qud la superposition des points ne peut être amenée que par la rotation, autourdu centre do symétrie, de chacun des demi-plans et par leur glissement l'un sur l'autre.

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La figure 7, étaDt biaisée à gauche par exemple, donne la figure 9 qui n'est plus gironnée, mais seulement écartelée. Le trait carré formé par les deux axes linéaires s'est transformé en sautoir dont les côtés sont devenus des axes de dyssymétrie, mais les axes angulaires sont restés d'équerre. Les côtés du quadrilatère sont restés égaux et parallèles deux à deux aux axes, le carré s est transformé en losange et les deux diagonales sont devenues inégales Tune à l'autre.

La figure 8, prise d'ensemble^ figure et plan compris, a un centre de symétrie^ une infmité d'axes diagonaux et deux axes principaux également diagonaux. La figure 9 a deux axes de dyssymétrie, à savoir : les deux côtés du sautoir, et deux axes de symétrie, à savoir : les diagonales a a'", a' a" qui forment un sautoir rectangle et par lesquels la figure tout entière est écartelée.

I 2. — Les partitions du plan carré.

Une droite située dans le plan d'une manière quelconque (fig. 1) le partage en deux demi-plans égaux et symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite qui est alors un axe de symétrie du plan. L'ensemble de la droite et du plan ou des deux demi-plans est pairement pair ou écartclé par rapport à deux axes de symétrie passés en croix ou perpendiculaires l'un à l'autre : l'un do ces axes qui se confond avec la droite donnée est longitudinal, et l'autre^ qui lui est perpendiculaire, est transversal. Les deux axes pris ensemble partagent le plan en quatre quartiers égaux et symétriques deux à deux. Le demi-plan ayant toute son étendue d'un seul côté de la droite est pair, c'est-à-dire divisé en deux quartiers égaux et symétriques l'un de l'autre parrapport à Taxe de parité.

Si dans l'un des demi-plans indéfinis nous menons une autre droite, cette droite, également indéfinie et pour rester distincte, sera nécessairement parallèle à la base du demi-plan qui la contient, c'est-à-dire qu'elle ne la rencontrera pas, puisque autrement la droite ne serait plus qu'une demi-droite. En d'autres termes, si nous transportons en un autre lieu

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du plan el parallèlement à elle-même la droite initiale en lafaisant glisser par un mouvement de translation sur Taxe de symétrie passant par son milieu et auquel elle reste toujours d'équerre, nous aurons un couple de deux droites parallèles, c'est-à-dire une Jume/ie (fig. 2).

Le couple des deux droites parallèles ou la jumelle (fig. 2) partage le plan tout entier en trois parties : une bande comprise entre les deux côtés de la jumelle et deux demi-plans indéfinis qui luisont juxtaposés. L'ensemble de la bande et des deux demi-plans cstpairement pair ou écartelé.

Si, partant du plan carré et do ses deux axes de symétrie, on mène parallèlement à la base de chacun des demi-plans, et symétriquement dans les quatre quartiers, une ligne droite, on aura finalement le plan recoupé par deux couples de parallèles ou deux jumelles passés en croix (fig. 3). Le plan carré se trouve ainsi subdivisé en neuf régions ou parti-

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lions, savoir: une portion de plan finie ou un quadrilatère à la fois équian^le et équilatéral, c'est-à-dire un carré; puis quatre demi-bandes indéfinies égales et à la fois équiangles et équilatérales accolées aux côtés du carré ; et enfin quatre angles-plans ou quartiers égaux ayant leurs sommets aux sommets du carré et leurs côtés accolés aux côtés indéfinis des demi-bandes.

La figure totale est gironnée, c'est-à-dire qu'elle a quatre axes de symétrie qui s'entrecroisent régulièrement par le centre : deux axes linéaires passés en croix et deux axes angulaires également passés en croix, mais posés en sautoir, puisque leur inclinaison est diagonale. De plus^ le centre de symétrie ou, ce qui est la même chose, le centre de figure est aussi le pôle de chacun des couples de droites, et simultanément des quatre points ou sommets du carré. Dans le couple de deux traits passés en croix le pôle est à Fencroix du trait carré et le cercle polaire se réduit à un point. Dans le couple de deux jumelles passées en croix, le cercle polaire est tangent aux droites et a par conséquent un diamètre égal à la distance des deux droites ou à leur écartement. A mesure que cet écartement augmente, le cercle polaire augmente aussi et, à la limite^ comme disent les géomètres, le cercle polaire devenant infiniment grand, les droites sont infiniment distantes Tune de l'autre, la figure s'évanouit, et l'on fait retour au plan tout nu.

Le carré est donc une limitation et une représentation du plan rectangulaire tout entier, comme le cercle est une limitation et une représentation du plan polaire tout entier.

Si la distance des deux droites de Tun des couples est plus grande que ladistancedes deuxdroitesde l'autre couple, on aie quadrilatère rectangle et seulement équiangle (fig. 4). Par ses deux côtés qui varient en toute proportion, le quadrilatère rectangle est la forme mouvante de Pétendue planaire ou à deux dimensions et c'est par la cote proportionnelle de ses deux côtés, mesurés avec la même unité linéaire, que s'exprime en fonction du carré , qui est l'unité do superficie, l'aire du quadrilatère rec-

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tangle. Le quadrilatère rectangle seulement équiangle, ainsi que le carré à la fois équiangle et équilatéral, pouvant passer par tous les états de grandeur sans changer de forme sont semblables au plan rectangulaire tout entier dont ils sont des représentations et des limitations qui le rendent accessible à nos moyens de perception et de manutention. Le quadrilatère rectangle en est la représentation mouvante et incessamment variable par la proportion de ses deux côtés; le carré, par l'égalité de ses côtés, en est la représentation absolue. De là, tant au point do vue esthétique ou du sentiment de la proportion à vue des côtés, qu'au point de vue logistique, ou de la mesure effective du rapport de ces côtés, trois formes générales du quadrilatère rectangle, ou brièven^ent du rectangle :

lo — Le rectangle linéaire ou long dans lequel une dimension, la longueur, remporte de beaucoup sur l'autre dimension ou la largeur. Cette dernière peut être indéfiniment réduite et à la limite le rectangle se confond avec une ligne droite indéfinie, simplement graphiée .

2"» — Le rectangle barlong ou oblong : les deux dimensions sont nettement différentes, mais prochaines, et le rapport qui les lie s'évalue par une comparaison immédiate de la longueur et de la largeur, celle-là étant par exemple double, triple, quadruple... de celle-ci.

30 — Le rectangle équilatéral, polygonal ou ronrf, c'est-à-dire le carré, qui a ses deux côtés égaux, et par conséquent au point de vue métrique une seule dimension. Quelle que soit la cote métrique de sa dimension ou de son côté, le carré est une forme absolue et invariable.

Tel est le point de départ ou d'attache, à la fois géométrique et graphique, métrique et esthétique, de l'idée do proportion. Les deux côtés du rectangle s'apprécient ou se mesurent l'un par l'autre : le jugement esthétique se prononce en donnant à leur proportion un sens purement qualitatif, c'est-à-dire simplement affectif; le jugement mathématique se prononce en donnant à leur rapport métrique un sens logistique, c'est^ à-dire quantitatif, c'est-à-dire encore, exact.

Ch. I, Art. III — Phn et Droite

La figure 5 est la figure 3 biaisée adroite par exemple, le quadrilatère est encore équilatéral, mais non plus équiangle, et sa figure équilalérale et mi-équiangle s'appelle uq rhombe ou un losange. La symétrie totale

s'abaisse d'un degré et de gironnée devient seulement écartelée par rapport aux deux axes angulaires qui sont passés en croix et qui subdivisent l'ensemble en quatre quartiers égaux et symétriques. Les deux axes linéaires forment un sautoir et sont des axes de dyssymétrie. La figure 6 est la figure 4 biaisce à gaucho par exemple, le quadrila-

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tère n'est plus ni équilaléral ni équîangle et sa figure mi-équilatérale et mi-équiangle s'aifpelle un parallélofframme. La symétrie totale s'abaisse d'uù degré et d'écartelée qu'elle était devient seulement diagonale, c'està-dire que la figure n'a plus qu'un cenlre de symétrie. Les axes diagonaux, de rectangulaires qu'ils étaient, sont devenus obliques l'un à l'autre et, formant un sautoir, ne sont plus que des axes de dyssymétrie.