III. — Des ItÉSEAliX SYMÉTHlytîES

Dé/initions. — 'l'onte droite <pii partage un Béseau en deux moitiés symé- Iriques, c'est-à-dire susceptibles d’être amenées à coïncidence. Sommet sur Sommet, par une demi-rotation de riiiie de ces moitiés autour de la droite, sei-a dite axe de symétrie du Réseau. I^es Sommets, ainsi amenés à coïncidence, seront «lits homologues par rapport à l’axe de symétrie. Nous verrons bientôt que ces axes peuvent toujours être i-onsidérés comme étant des Bangées. la* Béseau qui possède un ou plusieurs axes de symétrie sera dit Réseau symétrUpiv ; il sera dit asymétrique, dans le cas contraire.

Loi-sqiie le Bt'^eau possède jilusietirs axes de symétrie, ces axes |M*uveiit être de; meme espère ou d'espèces différentes.

Deux axes de symétrie sont dits de même espèce, loi'srjue la configuration du Béseau est la meme autour de chacun d’eux, ce cpii exige, comme première condition, qu’ils aient le même paramètre. Alors, si on lie par la |)«*nsée les Sommets du Béseau à chacun de ces axes, par exemple, au moyen de normales abaissées sur ces axes, de manière à figurer deux Réseaux égaux, superposés Sommet sur .Sommet, et si l’un de ces systèmes est suppost* mobile, il faudra, pour que les axes soient de même espèce, «pie l’on puisse;, par des mouvements convenables du Réseau mobile, faire coïncider en même temps l’axe mobile avec l’axe fixe, les Sommets mobiles avec les .‘sommets fîx<*s.

Deux axes de symétrie sont d’«»pèces différentes lorsque la configuration du Réseau n’i'St pas la même autour «le chacun d’eux.

SUR LKS SYSlkMKS DK l'OlXTS DISTRIBI ÉS RECl I.IÈHKMKNT.

Théorèmk X. — A tout axe de xymétrie ne contenant aucun Sommet ilu Réseau, correspondent d’autres axes parallèles et passant par des Sommets; le triangle principal est alors rectangle.

Soit GH un tel axe de symétrie (fig- fi) : soient A un Sommet, et A' le Sommet homologue de A, sur une ligne normale à («H. Joignons A, A', et elioisissons sur la Rangée AA' les deux Sommets les plus rapproeliés de l'axe GH, l’un d’un côté et l’autre de l’autre Supposons i|ue les Sommets A, A' satislassent à cette condition, et menons A R, A'R' parallèles à GH.

Soit maintenant BB' la Rangée limitrophe de la Rangée AA' : son paiamètre sera nécessairement égal à AA'; ses points d'intersection avec droites AB, A'B' s«‘ront des Sommets du Réseau; car, si un Sommet tomhail entre B et B', il serait à une distance de son homologue moindre que le paramètre AA', ce qui ne saurait être. Donc AB, A' B' seront des Rangées de paramètre .\B = A'B', et conjuguées avec AA', BB'. Ces Rangées sont évidemment des axes de symétrie. I,e triangle principal est alors .\'AB, ou A' B' B; il est rectangle.

Corollaire. — On peut remplacer l’axe GH par les axes de symétrie AB, A'B' qui lui sont parallèles, ou par une Rangée quelconque parallèle à AB qui, elle aussi, sera évidemment un axe de symétrie.

On dit alors que le Réseau possède un axe de symétrie parallèle à AB. ( )n doit entendre par là que toutes les Rangées parallèles à AB sont de tels axes.

Après avoir trouvé un système d'axes de symétrie parallèles, et passant par des Sommets, on pourra se demander s’il n’existerait pas des axes }>arallèles aux précédents, et ne contenant aucun Sommet. Je désigne ces derniers sous le nom d’axc.r intermédiaires : mais, comme, loisque de tels axes se rencontrent ils n’introduisent aucune notion nouvelle dans l'étude des Réseaux, je m'abstiendrai de les considérer, et je supposerai désormais que tout axe de symétrie passe par un Sommet.

Théobéme XI. — Tout axe de symétrie passant pur un Sommet est une des Rangées du Réseau.

Soit GOH [ fig, 7) l’axe passant par le Sommet O, et soit .A un autre Sommet en dehors de l’axe ; le point .A a son homologue en A', en vertu de la

MKMOIRF.

symétrie dont jouit l’axe (îOil : mais, d'autre part, en vertu de la symétrie générale de tout Réseau, A' a un Sommet correspondant en A* de l'autre côté de ( ) par rdpjwrl à A'. Donc la droite A A* est une Rangée ; mais elle est |)arallele à GOll : floue (iOH est aussi une Rangée du Réseau.

Théorème XII. — A tout eucc de symétrie correspond un second u.re de sYnuHrie (pii lui est perpendieuluire, et te coupe, sur un Sommet,

Si l'on mène {Jig. 7 ) la droite K)R, passant par le Sommet O et normale à GOH, elle sera perpendiculaire sur le milieu de .\A": donc, à tout .Sommet A corres|)ond un autre Sommet A", rpii est .son liutnologue par rapport a lOK ; iloiic lOK est aussi un axe de symétrie du Réseau.

Théorème \11I. — .4 tout u.re île symétrie correspondent une infinité d 'mitres (très de symétrie tpii lui sont parallèles et piusent par tous les Sommets du Itéseau.

G'est un résultat des lois générales de la distrihution régulière des Sommets flans un Réseau f|uelconqiie.

I,a symétrie du Réseau, suivant une direction déterminée, n'est jamais caractérisée par un axe unique, mais Rien par un système d’axes parallèles, formant un système complet de Rangées parallèles entre elles, emlinis- ■.ant tous les .Sommets du Réseau.

Théorème XIV. — Tout /iéseau pourvu d'un luce de symétrie a pour triangle principal un triangle rectangle ou un triangle isocèle.

F.u effet, soit Ü.M/« (Jig, S) l’axe de symétrie j>assant par deux Sommets voisins O , ,M ; soit O'M' la droite sur laquelle est située la Rangée limitrophe de O.M. Le segment O'.M’, intercepté entre l«*s perpendiculaires 0<)', MM', doit contenir un des Sommets du Réseau.

Soit donc X ce Sommet ayant son homologue en X'. Si l'on fait

M'.N"= (fN =0'X',

la droite MX* .sera égale et parallèle à OX': ainsi X" sera run des Sommets fit! Réseau (théorème I ). Or il ne peut exister deux Sommets distincts .X', X" entre O' et M'. Il faut donc (jue l’une des fieux choses suivantes ait lieu ; i" ou que l'on ait X'N"= O'M', auquel cas X tombe en O' et X* en M';

SUR I.ES SYSTÈMES DE EOISTS DISTRIBUÉS RÉGÜUÈIIEMENT. Ulj

a" ou que l’on ait NN" = o. Dans le |»remier cas, le triangle principal sera O'OM ou OMM', c'est-à-dire rectangle. Dans le second cas, N coïncide avec le inilien P de O'M'; le triangle OPM est isocèle, et, de plus, si PO.M > 45 degjrés, il est le triangle principal du Réseau; mais si l’on a PO^I < 4 '> degrés, l*' étant le Sommet homologue du Sommet P, le triangle POP' sera le triangle principal (théorème VI); il sera pareillement i.socèle.

Corollaire I. — Tout Réseau dont le triangle principal est scalène est asvmétriqne.

Corollaire U. — Tout Réseau symétrique a pour parallélogi-ainme générateur un rectangle ou un rhomhc : le rectangle OO'M'.M (Ji{f. 8 ), si le triangle principal est <K)'M; le rhomhe OPMP', si le triangle principal est OPP' ou OPM.

I’héorème XV. — Itéeiprot/i/eiaent, si le triaagle prinripal est rerlaaglr, le Itéseau possède deux axes de symétrie parallèles aux petits eûtes du triangle; si le triangle principal est isorèle, le liésean possède deux a.^■e^ de symétrie, l’an parallèle et l’antre pcrpendicnlaire à la base.

I,c Réseau à maille rectaiigulaiie a pour axes les côtés du rectangle; il existe, dans ce cas, dt's axes de symétrie intermédiaires, parallèles aux pixH’édents, et passant pur les centres des rectangles générateurs. la* Réseau à maille rhoml)e a pour axes les diagonales du rhonibe.

Dé-Jinition. — Centrer nu liésean, rentrer les mailles d’ un liésean, c'est ajouter de nouveaux Sommets au centre de ehaeun des parallélogrammes générateurs du Réseau.

’I’hÉobème XVI. — Si l'un centre tous les rectangles d un liésean à maille reclangulttu'e, on Jbrme un liésean à maille rhomhe; si l'on centre tons les rliomhes d un liésean à maille rhomhe, le liésean devient rectangulaire.

Cette proposition est évidente; il iinjjorte de remarquer que ces ehangements n’altèrent pas les axes de symétrie <hi système.

Théorème XVII. — Ixs memes systèmes de Hungées se rencontrent dans le Hé.sean à rliomhes centrés et dans le lié.vean à rhomhes non centrés;

io

MEMOIRE

// en est fie meme inmr les liésewt.r ù mailles rrctani'ulaires cenlrres on non rentrées.

Soit ahr..., AlK;... (Ji^. ;)| un Reseaii rIiombi(|ue ù maille An Ho', et eoiisidéroiis le système des Rangées parallèles à l’iiiie des diagonales du rliomlie, par exemple à AU. Si l’on prend eette diagonale pour axe des a , une queleonque des Rangées parallèles à cet axe sera earaetérisi'e par l'éijuation numérique

où n est un nombre entier quelcompie.

I,e Réseau rhombiqtie se eliange dans le Reseau rectangulaire a maille ARA'R', si l'on supprime toutes les Rangées repré-sentées par l'équation

.>• = -ij -t- ' .

/ étant un nombre entier queleonque. Cette suppression lait disparaitre tous les Sommets à ordonnée numérique impaire.

La Rangée qui rémiit deux Sommets à ordonnées paires a / et a j' existe évidemment, et dans le Ré.seau primitif et dans le Réseau dédoublé. Si l’on joint un Sommet à ordonnée paire a j avec nn Sommet à ordonnée a y ' — i , la Rangée ainsi obtenue, prolongée au delà de ce dernier Sommet il'une quantité égale à l’intervalle des deux Sommets donnés, aboutira à un troisième Sommet ayant une ordonnée égale à 4 y*-H 2 — > paire par con-

séquent; cette Rangée appartiendra donc au Réseau dédoublé, mais son paramètre y .sera deux fois plus grand que dans le Réseau primitif.

Kniin, si l’on réunit deux Sommets d’ordonnées impaires 2y-> i et uy'-t- I, la Rangée ainsi obtenue n'existe pas, il est vrai, flans le Réseau di'-doublé; mais, si on lui mène une parallèle |)ar le Sommet servant d’origine, l'extrémité du paramètre aboutira à un Sommet ayant pour ordonnée =fc (2 y' — 2y), et qui fait partie des Rangées du Réseau dédoublé.

Donc le dédoublement du Réseau n’a fait disparaitre aueiin système de Uangées.

Ou prouverait de même que si, dans le Réseau à maille reetangulaire n' \h',V {fig. 10), on supprime, dans le système des Rangées parallèles aux iliagonales ab\ .AU, tontes les Rangées d’ordre impair, telles (pie abr,

si:b i.rs systkmes de p<hnts disthiriirs hei-.üi.ièremem . 3 i a' h' c' d ' le Réseau à inuille rlioinbe ARA' H', provenant de cette soustraction, offrira les mêmes systèmes de Rangées (|ue le Réseau priiiiitil. sauf des altérations nécessaires dans les paramètres de ces Rangées, ou dan> les intervalles qui les séparent.

'I’héorème XVIII. — Si le triani'le pnnci/jnl d’un Héseuu est à la /ois l ertanffle et isocèle, le Réseau aura (juatre systèmes d'a ces : deujr systèmes, rectanf^ulaires entre eux et de meme espèce, auront pour paramètres tes cotés du carré générateur; deux autres systèmes d'une autre espèce ipn les précédents seront pareillement rectangulaires entre eux; ils auront pour paramètres les diagonales du carré générateur et couperont les a ces précédents sous des angles de degrés.

(i’t!st une conséquence évidente du théorème XV.

Théorème XIX. — Si le triangle principal est éiptiiatéral, le Réseau possédera sûr systèmes d’axes : trois systèmes d’une première espèce seront tlirigés suivant les côtés du triangle principal ; trois autres systèmes pareils entre eu.r, mais d’une autre espèce rpte les précédents, seront perpendiculaires au.v côtés du triangle principal.

C’est encore une conséquence du théorème X \ . I<a Jig. 1 1 représente la dls|)Osition des axes; les lignes pleines correspontlent aux axes de la première espèce; les lignes pointillées aux axes de la deuxième espèce.

Classification des Ré.feau.r symétrùpies.

Au point de vue de leur symétrie, ou peut distinguer quatre classes distinctes de R(«îeaux :

l’remière cJas.se. — Rt-seaux à six axes de symétrie, trois d’une espèce et trois d’une autre espèce. Cette classe n'oifre qu'tin .seul mode ; le Réseau à maille triéqiiiangle ayant [>our parallélogramme générateur uu rhomhe à angles de (>o et lao degrés (wres tliéf)rème XIX).

Deuxième classe. — Réseaux à ipiatre axes de symétrie, deux <Tunc espèce et deux d’une autre espèce. Cette clas.se n’offre qu'un seul mode; le R«è;eau à maille carrée (voyez théorème XVIll).

Troisième clas.se. — Réseaux à deux axes de syittétrie. Cette classe ollic lieux modes distincts ; le Réseau à maille rhomhe, ou rectangle centrée: le

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Iti'sean ii maille rectangulaire, ou rlionibe centrée (théorèineji X\ et W 1). I,es (leux axes sont rectangulaires entre eux et d’espèces dillérentes.

tjnali iènie clause. — Réseaux asyniciriques ; la maille est un parallélogramme à côtés inégaux, et dont les angles diffèrent de <(o degrés.

Dt's Hangt-ex tie meme espèce flans les /{éseati.r symétritpies.

néjinilwn. — .Nous supposerons, comme à la page aG, que, dans le Réseau donné, existent deux Réseaux égaux, snperpos<fs Sommets sur Sommets, de manière à figurer un Réseau uni(|ue. l^'un des deux R('-seaux sera considéré comme invariable de position; mais l’autre pourra se mouvoir tout d’une pièce, soit par translation, soit par rotatioti.

(ieci posé, si, étant donnée une Rangée du Réseau mobile coïncidant avec la Rangée fixe abc... avant tout déplacement, on peut, par des mouvements convenables du Réseau mobile, faire coincldcr cette Rangée avec la Rangée fixe ABC..., la coïncidence des deux Réseaux, Sommets à Sommets, ayant lieu simultanément, on dira <jue les Rangées abc... et AB(^... sont de meme espèce.

Thiîokème -\\. — Deux Rangées parallèles peuvent toujours e'tre considérées comme étant de meme espèce.

(<ar, en donnant au Réseau mobile un mouvement convenable de tninslation, sans rotation, on pourra toujours amener la coïncidence désirée.

Théorème XXI. — Deux Rangées sont de meme espèce, si elles ont le meme paramètre, et si sur ces paramètres, comme bases, on peut construire deux triangles élémentaires égaux entre eux.

On peut toujours, par simple translation, faire coïncider un Sommet de la Rangée mobile avec un Sommet de la Rangée fixe. Soit donc O (Jig. i a) le Sommet commun; soit OA la Rangée mobile sur le paramètre OA de lacjuelle on a contruit le triangle élémentaire OAn; soit OA' la Rangée fixe sur le paramètre OA' de laquelle on a constmit le triangle élémentaire OA'a'. On a, par bypoth(-se, OA = O.A'. Il est permis de supposer que l’on a Oa = On'; car, si l’on avait On'= « A, run des triangles élémentaires pourrait être c'onstruit du côté opposé du paramètre qui lui sert de base, et la relation Ort = Oa' serait alors satisfaite.

si n I.ES SYSTÈMES DE POINTS DISTIIIBI ES RET.l l.IF.nP.Mr.NT.

Si maintenant nous faisons tourner le llésean mobile, d'une quantité angulaire égale à \O.V, autour d'un axe de rotation passant [>ar O et normal au [)lan du Réseau, les deux triangles éléntentaires coincideront, et la superposition des deux Réseaux sera complète.

Dans le cas où les deux triangles élémentaires seraient inversement disposés, comme le sont 0« A et On." A", on ne pourrait obtenir la colncidenir par rotation autour de la normale au plan; mais, alors, on y parviendra eu faisant tourner le Réseau mobile de i8o degrés autour de la droite 00', bis.sectrice de l'angle .AOA'". Donc, dans ce cas encore, les tieux Rangées seront de meme espèce.

ScoUe. — La bissectrice de l'angle formé par deux Rangées à triangles élémentaires égaux , mais inversement disposés , est un axe de symétrie du Réseau.

Drjinition. — Les Rangées 0.\, 0.\' {fig. i 2 ), dont les triangles élémentaires peuvent être amenés à coïncidence par rotation autour de la normale passant par O, seront dites dircctcmcnl semblables. Les Rangées 0;V, < )A", dont les triangles élémentaires sont inversement disposés, seront dites im-ersement semblables.

I.orsque les deux triangles élémentaires, construits sur les paramètres comme bases, sont isocèles, les Rangées sont en même temps directement semblables et inversement semblables.

'l’iiÉoRÈME XX.11. — Deux Rangées homologues pur rapport à l'un des a.ves de symétrie du Réseau sont de meme espèce et ineer.sement semblables.

I.a similitude inverse est alors un résultat de la .symétrie.

TnÉonÈME XXIIi. — S'il existe dcu.v ou plusieurs Rangées de meme espèce, et directement semblables, partant d'un même Sommet, le système complet de ces Rangées divise en parties égales l'espace enviionnant ce .Sommet.

Parmi les Rangées directement semblables i» OA {Jig. 12 ), il est permis de considérer celle qui fait avec OA l'angle minimum. Soit 0.\' cette Rangée. -Faisons tourner le Réseau mobile autour de la normale passant par O, jusqu'à ce que la Rangée mobile OA vienne coïncider avec la Rangée fixe (.)A'. Dans ce mouvement, la Rangée mobile OA' arrivera en OA", qui XXXttf Cahier. 5

MÉMOIRF-

(liîvni èlrt* l’inu- tU’s lliinji;ces du Réseau fixe, et l’on trouvera ainsi